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2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限填空题(数学)


2009 届全国名校真题模拟专题训练 12 导数与极限
二、填空题
1、(安徽省蚌埠二中 2008 届高三 8 月月考)若 lim
n →∞

1 =1,则常数 a 的值 n( n + a ? n)

=_________ 答案:2

?1 ? 1 ? x ( x < 0) ? , 要使 f (x ) 在 2、 (安徽省蚌埠二中 2008 届高三 8 月月考)设函数 f ( x) = ? x ?a + x 2 ( x ≥ 0) ?
(-∞,+∞)内连续,则 a =_______ 1 答案:2

? x2 ? 1 ( x > 1) ? 3、(四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)已知函数 f(x)= ? x ? 1 在 x=1 ?x + a ( x ≤ 1) ?
处连续,则实数 a 的值为 答案:1 4、(四川省乐山市 2008 届第一次调研考试)曲线 C: y = 2x (0 ≤ x ≤ 2) 两端分别为 M、N,且 ;

NA ⊥ x 轴于点 A。把线段 OA 分成 n 等份,以每一段为边作矩形,使与 x 轴平行的边一
个端点在 C 上,另一端点在 C 的下方(如右图) ,设这 n 个矩形的面积之和为 Sn ,则

lim ?( 2n ? 3) n→∞ ?
答案:24

(

n

16 ? 1 Sn ? = _____ ?

)

5、(四川省成都市新都一中高 2008 级 12 月月考)已知函数 f ( x) = x3 + 3mx 2 + nx + m 2 在 x =-1 时有极值 0,则 m=_________;n=_____________; 本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质 解析:f '(x)=3x2+6mx+n 由题意,f '(-1)=3-6m+n=0 f(-1)=-1+3m-n+m2=0
?m=1 ?m=2 解得? 或? ?n=3 ?n=9

但 m=1,n=3 时,f '(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立 即 x=-1 时不是 f(x)的极值点,应舍去 答案:m=2,n=9.

6、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一) lim(
x →1

x x?3 + 2 )= x ?1 x ?1

.

答案:2 7、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知点 P ( 2, 2 ) 在曲线 y = ax3 + bx 上,如果该 曲线在点 P 处切线的斜率为 9 ,那么 ab = ____________;函数 f ( x ) = ax + bx ,
3

3 x ∈ [ ? ,3] 的值域为____________. 2
答案:-3;[-2,18] 8、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图为函数 f ( x) = ax + bx + cx + d 的 图象, f '( x ) 为函数 f ( x ) 的导函数, 则不等式 x ? f '( x ) < 0 的解集为______ ______.
3 2

y

答案: ( ?∞ , ? 3) ∪ (0, 3)

x 3 ? 2x 2 = 9、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习二) lim x→2 x?2
答案:4 10、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ' ( x ) ,且满足

- 3 o

3

x

f ( x ) = 3 x 2 + 2 xf ' (2 ) ,则 f ' (5) =
答案:6



11、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷) f ( x) = ?
lim x→ 2

?2 x + a, ( x ≤ 2) ,若 ?log 2 x, ( x > 2)

f ( x) 存在,则常数 a=
答案:-3

.

12、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)关于函数 f ( x) = ?

?e ? x ? 2 ?2ax ? 1

(x ≤ 0)

(x > 0)



。对于下列命题: ( a 是常数且 a >0) ①函数 f (x ) 的最小值是 -1; ②函数 f (x ) 在每一点处都连续; ③函数 f (x ) 在 R 上存在反函数; ④ 函 数 f (x ) 在 x = 0 处 可 导 ; ⑤ 对 任 意 x1 < 0, x 2 < 0 且 x1 ≠ x 2 , 恒 有
f( x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )< 。 2 2

其中正确命题的序号是 答案:①②⑤

.

13、(广东省 2008 届六校第二次联考) y = x cos x 在 x =

π 处的导数值是___________. 3

答案:

1 3 ? π 2 6

14、 (广东省 2008 届六校第二次联考)设 f ( x ) = 2 ? x ? 4 , x0 是函数 f ( x ) 的一个正数零点,
x

且 x0 ∈ ( a, a + 1) , 其中 a ∈ N , 则 a = 答案:2 15 、 ( 广 东 省 揭 阳 市 2008

.

年 第 一 次 模 拟 考 试 ) 设 ,

f 0 ( x) = cos x, f1 ( x) = f 0 '( x), f 2 ( x) = f1 '( x),L , f n +1 ( x) = f n '( x) f 2008 ( x)


n ∈ N ?,



解 析 : 由 f 0 ( x) = cos x 得 f1 ( x) = ? sin x, f 2 ( x) = ? cos x, f 3 ( x) = sin x, f 4 ( x) = cos x …

? f 2008 ( x) = f 0 ( x) = cos x
16、(广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检)曲线 y = sin x 在点( 程为 答案: x ? 2 y + 3 ? ;

π
3

,

3 )处的切线方 2

π
3

=0

17、 (贵州省贵阳六中、 遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f ( x) = ? 点 x = 0 处连续,则 a = 答案:-1 .

?a cos x ?x ?1
2

( x ≥ 0), ( x < 0)



18、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)曲线 y = x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为 答案:
8 3

.

19、(河南省开封市 2008 届高三年级第一次质量检)曲线 y = 两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 答案:

1 和y = x 2 在它们的交点处的 x


3 4
,若 lim f (x)存在,则
x→1

20、(河南省许昌市 2008 年上期末质量评估)设 f(x)= 常数 a=___________. 答案:-2

?e ? x ? 2, x ≤ 0 ? 21、(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)关于函数 f ( x) = ? (a 为常 ? 2ax ? 1, x > 0 ?

数,且 a>0)对于下列命题:

①函数 f(x)的最小值为-1; ③函数 f(x)在 R 上存在反函数;

②函数 f(x)在每一点处都连续; ④函数 f(x)在 x=0 处可导;
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< . 2 2

⑤对任意的实数 x1<0, x2<0 且 x1<x2,恒有 f ( 其中正确命题的序号是_____________. 答案:①②⑤

x 2 + ax + 3 22、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)若 lim = 2 ,则 a = x →1 x3 + 3
______________. 答案:4(湖南省雅礼中学 2008 年高三年级第六次月考)函数 f ( x) = x + 2cos x(0 < x < ) 的最

π

2

大值为 π 答案: 答案: 6+ 3 23、(河南省上蔡一中 2008 届高三月考) lim
x →2

x3 ? 8 = x2 ? 4

答案:3 24、 (黄家中学高 08 级十二月月考)已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n , S n = 2n 2 + 3n , lim 则 【解】 :∵ Sn = 2n 2 + 3n ∴ S n?1 = 2 ( n ? 1) + 3 ( n ? 1)
2

Sn
2 an

n →∞

=

2 ∴ an = 2 n 2 + 3n ? ? 2 ( n ? 1) + 3 ( n ? 1) ? = 4n + 1 ∴ ? ?

(

)

lim

Sn 2n 2 + 3n 2n 2 + 3n 1 = lim = lim = 2 2 n →∞ a n →∞ n →∞ 16n 2 + 8n + 1 8 ( 4n + 1) n

25、(江苏省南京市 2008 届高三第一次调研测试)函数 f (x) = x – lnx 的单调递减区间是 ▲ .

答案:(0,1]


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