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四川省双流中学2014届高三下学期最后一卷数学理试题


四川省双流中学 2014 届高考模拟考试(最后一卷)

数学(理工农医类)20140530
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.

第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 球的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

4 ? R 3 ,其中 R 是球的半径。 3

第Ⅰ卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ??1,0, a ?1? ,若 A ? B ,则实数 a 的值是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.已知直线 l1 : ax + 3y - 1 = 0 , l2 : x + by + 1 = 0 ,则 a = - 3b 是 l1 ^ l2 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.运行右图所示框图的相应程序,若输入 a , b 的值分别为

log 2 3 和 log 3 2 ,则输出 M 的值是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)-1

2 4.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 ,若命题 ? p 为真命题,则实数 a 的取值范围是

(A) a ? 0 或 a ? 1 (C) 0 ? a ? 1

(B) a ? 0 或 a ? 1 (D) 0 ? a ? 1

5.甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是 (A)18 (B)16 (C)12 (D)8 6.函数 y ?

1 的一段大致图象是 x ? sin x

(A)

(B)

(C)

(D)

7.一个几何体是由圆柱和正三棱锥组合而成 ,其正视图和俯视图如图所示, 则该几何体的表面积是

3 3 2 3 3 (C) 4? ? 2
(A) 2? ?

9 3 4 9 3 (D) 4? ? 4
(B) 2? ?

8.若直线 l : 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 与 x 轴相交于 A 点,与 y 轴相 交于 B 点, 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则O A ?O B ( O 为坐标原点)的最小值为 (A) 3 ? 2 2 (C) 2 (B) 3 ? 2 2 (D) 1

9.若在区间 ?1,5? 和 ? 2,6? 内各取一个数,分别记为 a 和 b ,则方程 心率小于 5 的双曲线的概率为 (A)

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 表示离 a 2 b2

1 2

(B)

15 23

(C)

17 32

(D)

31 32

10.如图,在等腰梯形 ABCD 中, E , F 分别是底边 AB, CD 的中点,把四边形 AEFD 沿直线

EF 折成直二面角,若点 P ? 平面 ADFE ,设 PB, PC 与平面 ADFE 所成的角分别为 ?1 ,? 2
( ?1 , ? 2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则点 P 的轨迹为 (A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆
D F C F C D E B P E B A A

第Ⅱ卷(共 100 分)
二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.已知 i 为虚数单位,复数 z ? i (2 ? i ) 的模为__________. 12.二项式 ( x ?
2

2 6 ) 的展开式中不含 x3 项的系数之和为 x



13.如图,已知P是边长为2的正三角形的边BC上的动点, 则 AP ? ( AB ? AC) ? ________. 14.路灯距地平面为 8m,一个身高为 1.75m 的人以

uu u r uu u r uuu r

5 m/s 的速率,从路灯在地面上的射影点 7
m/s.

C 处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率 v 为 若 ?n ? x1 ? x2 ? ? ? xn ,给出下列命题: ①函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 在 x ? ②数列 {xn } 是等差数列; ③ sin ?n ? sin ?n?1 对于任意正整数 n 恒成立;

15.将函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 的所有正的极大值点从小到大依次排列,构成数列 {xn } ,

?
3

处取得极大值;

④存在正整数 T ,使得对于任意正整数 n ,都有 sin ?n ? sin ?n?T 成立; ⑤ n 取所有的正整数, sin ? n 的最大值为 其中真命题的序号是

3 . 2

(写出你认为正确的所有命题的序号) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? cos 2 3 sin x ? cos x ? cos ?
2

?

?

?? ? ? x?, x ? R. ?2 ?

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

2 a ?c )c o s B ? c b o s (Ⅱ) 设锐角△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , 且(
求 f ( A) 的值域.

C



17. (本小题满分 12 分) 已知递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,求 Sn .

18.(本小题满分 12 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进 行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优 成绩 良. 5 2 (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; 6 5 (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思 7 2 8 想,在该校学生(人数很多)中任选 3 人 8 6 6 6 7 7 8 9 0 8 进行体质健康测试,求至少有 1 人成绩是 “优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及 期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC =2 ,AB ? 2 2 ,D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 O A D E B C

AE ? BE 时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面
角是否为定值?若是,求出该锐二面角的余弦值; 若不是,说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 上的任意一点到点 A? ?1,0? , B ?1,0? 的距离之和为
2 2. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程;

(Ⅱ)设椭圆 C2 : x2 +

3y2 ? 1 ,若斜率为 k 的直线 OM 交椭圆 C2 于点 M ,垂直于 OM 的 2 直线 ON 交曲线 C1 于点 N .
(i)求证: MN 的最小值为 2 ; (ii)问:是否存在以原点为圆心且与直线 MN 相切的圆?若存在,求出圆的方程;若不 存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 1 ? ax(a ? R) . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)试探究函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零

点;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若 g ( x) ? ln(e x ? 1) ? ln x ,且 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值 范围.

四川省双流中学 2014 届高考模拟考试(最后一卷)

数学(理工农医类)参考答案 20140530
第Ⅰ卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? ?0,1 ? ,集合 B ? ??1,0, a ?1? ,若 A ? B ,则实数 a 的值是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1.B【解析】∵ A ? B ,∴ a ? 1 ? 1 ? a ? 2 ,选 B 2.已知直线 l1 : ax + 3y - 1 = 0 , l2 : x + by + 1 = 0 ,则 a = - 3b 是 l1 ^ l2 的 A.充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2. C【解析】 l1 ? l2 ? a ?1 ? b ? 3 ? 0 ? a ? ?3b ,选 C
3.运行右图所示框图的相应程序,若输入 a , b 的值分别为 log 2 3 和 log 3 2 ,则输出 M 的值是

A.0 B.1 C.2 D.-1

3、C【解析】因为 log2 3 ? 1 ? log3 2 ,所以 M ? ab ? 1 ? log3 2 ? log2 3 ? 1 ? 2

2 4.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 ,若命题 ? p 为真命题,则实数 a 的取值范围是

A. a ? 0 或 a ? 1

B. a ? 0 或 a ? 1

C. 0 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

2 4.D【解析】∵命题 ? p 为真命题,∴命题 p 为假命题,即 ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 ,

∴ ? ? 4a ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1
2

5.甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙位于甲的同侧的排法种数是 A.16 B.12 C.8 D.6
2 2 5.C【解析】将乙丙捆绑,并与甲全排列共有 A2 种;乙丙“松绑”共有 A2 种;再将丁插入 2 2 甲乙丙排列产生的 4 个空格当中,共有 4 种插入方法,总计有 4 ? A2 ? A2 ? 16 种

6.函数 y ?

1 的一段大致图象是 x ? sin x

6.A 【解析】由函数为奇函数淘汰 B、C,由 y ? x 和 y ? sin x 图象知,当 x ??? ,

x ? sin x ? ?? ,∴ y ?
也可求导得 y ?
/

1 ? 0? ,选 A x ? sin x

1 cos x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立, ∴y? 在 (0, ??) 递减, 选 A. 2 x ? sin x ( x ? sin x)

7.一个几何体是由圆柱和正三棱锥组合而成,其正视图和俯视图如图所示,则该几何体的表面积 是

9 3 4 9 3 D. 2? ? 4 【解析:】设圆柱底面圆的半径为 R ,由俯视图,该圆的内接正三角形的边长为
A. 4? ? B. 4? ?

3 3 2 3 3 C. 2? ? 2

3 ,由正弦定理得

3 ? 2 R ? R ? 1,故该几何体的表面积是 sin 60?
2

圆柱的表面积与三棱锥的侧面积的和减去三棱锥的底面积 圆柱的表面积是 2? R ? 2? R ?1 ? 4? ,三棱锥的侧面三角形的高为

1 3 9 1 3 3 ( 2)2 ? ( )2 ? ,故侧面积为 3 ? ? 3 ? ? 2 2 4 2 2 1 3 3 ? 3 ,故答案为 A 三角形的底面积为 ? 3 ? 3 ? 2 2 4
【答案:】A

8.若直线 l : 2ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 与 x 轴相交于 A 点,与 y 轴相交于 B 点,被圆

x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则 OA ? OB ( O 为坐标原点)的最小值为
A. 3 ? 2 2 C. 2 8.A【解析】 由题意 A ? ? B. 3 ? 2 2 D. 1

1 2 ? 1 ? ? 2? ,0 ? , B ? 0, ? , OA ? OB ? ? ,圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 a b ? a ? ? b? 2 2 配方得 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 4 ,∴圆心在直线上,故 a ? b ? 1 ,
?a ? b ? 1 ? b 2a ? ?a ? 2 ? 1 ? 1 2 ?1 2? ? b 2a ? ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? ? a ? b? ? 3 ? ? ? 时 ? ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 ? a b 即 ? ?b ? 2 ? 2 a b ?a b? a b ? ? ?a ? 0 ? ? ?b ? 0
等号成立.∴ OA ? OB ? A. 错选 C 的可能是这样作的: ①

1 2 ? 的最小值为 3 ? 2 2 .选 a b

b 6

B(3 , 6 )

1 2 2 2? ? ? 2 2 ? ?1 2? ? 2 ab ? 4 a b ab ? ?| OA | ? | OB |? ? ? ? (a ? b) ? a b ab ? ? ? a ? b ? 2 ab ?
, 或②

2 O

A(1 , 2 ) 1 5

a

ab ?


a?b 1 1 1 2 2 2 ? ? ? 2 ? OA ? OB ? ? ? ? 2 2?2 ? 4 2 2 a b ab ab

错因:都是两等号不能同时成立. 9.若在区间 ?1,5? 和 ? 2,6? 内各取一个数,分别记为 a 和 b ,则方程 心率小于 5 的双曲线的概率为( (A) ).

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 表示离 a 2 b2

1 2

(B)

15 23

(C)

17 32

(D)

31 32

【解析:】 由题意知横轴为 a ,纵轴为 b ,建立直角坐标系,先作出满足题意的 a 、 b 的可行

a 5, ?1剟 ? 2剟 b 6, 并 求 出 其 面 积 为 23 , 又 由 双 曲 线 的 离 心 率 小 于 5 得 1 ? c ? 5 , 则 域? a 2 ?a ? b, ?

0?

b ? 2 ,即 b ? 2a ?a ? 0,b ? 0 ? ,再作出虚线 b ? 2a ,并求出其在可行域内的端点坐标分 a

别为 A ?1, 2 ? 、 B ? 3,6 ? ,由此可求出可行域范围内满足 b ? 2a 的面积为

15 ,所以所求概率为 2

15 15 p? 2 ? . 23 23 2

10.如图,在等腰梯形 ABCD 中, E , F 分别是底边 AB, CD 的中点,把四边形 AEFD 沿直

BP ,C 线 EF 折成直二面角, 若点 P ? 平面 ADFE , 设P
( ?1 , ? 2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则点 P 的轨迹为 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线
D F A E

与平面 ADFE 所成的角分别为 ?1 , ? 2

D B P E

A

B

C F

C

10.B【解析】如图,连接 PE, PF ,易知 ?BPE ? ?1 , ?CPF ? ?2 ,由 tan ?1 ? tan ?2 ,可
得 tan ?1 ? tan ?2 ,故

BE CF PE BE ? ? ? ? 定值,且此定值不为 1,故 P 点的轨迹为圆。 PE PF PF CF

(在平面上给定相异两点 A、B,设 P 点在同一平面上且满足 PA/PB= λ, 当 λ>0 且 λ≠1 时, P 点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。教材 必修②P124 B 组第 3 题)

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.已知 i 为虚数单位,复数 z ? i (2 ? i ) 的模为__________ 11.C【解析】因为 z ? i(2 ? i) ? 1 ? 2i ?| z |? 5 12.二项式 ( x ?
2

2 6 ) 的展开式中不含 x3 项的系数之和为 x

【解析:】由排列组合的知识或通项公式得二项式 ( x ?
2

2 6 ) 的展开式中含 x3 项的系数为 x 6 3 3 , 而所有系数和为 3 ? 729,729 ?160 ? 569 C6 ? 2 ? 160

【答案:】569

13.如图,已知P是边长为2的正三角形的边BC上的动点,则 AP ? ( AB ? AC) ? ________. 13.6 【解析】设 BC 的中点为 D, AP, AD 的夹角为 ? ,则有

uu u r uu u r uuu r

uu u r uuu r

uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r AP ? ( AB ? AC) ? 2 AP ? AD ? 2 | AD | ?(| AP | cos? ) ? 2 | AD |2 ? 6 .
14.路灯距地平面为 8m,一个身高为 1.75m 的人以 点C 处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率 v 为 14. m/s.

5 m/s 的速率,从路灯在地面上的射影 7

1 【解析】如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB.设人从 C 点运动到 B 5 AB BE ? 处路程为 x 米,时间为 t(单位:秒) ,AB 为人影长度,设为 y,则∵BE∥CD,∴ . AC CD


1 7 5 7 y 1.75 ,∴y= x, x= t,∴y= x= t. ? 25 7 25 5 y?x 8

1 1 ,∴人影长度的变化速率为 m/s. 5 5 15.将函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 的所有正的极大值点从小到大依次排成数列 {xn } ,
∵y′=

?n ? x1 ? x2 ? ?? xn ,则下列命题正确的是
号) ①函数 f ( x) ? cos 2x ? 3x 在 x ? ②数列 {xn } 是等差数列; ③ sin ?n ? sin ?n?1 对于任意正整数 n 恒成立;

(写出你认为正确的所有命题的序

?
3

处取得极大值;

④存在正整数 T ,使得对于任意正整数 n ,都有 sin ?n ? sin ?n?T 成立; ⑤ n 取所有的正整数, sin ? n 的最大值为

3 2

【解析:】因为 f '( x) ? ?2sin 2x ? 3 ,画出函数 y ? ?2sin 2x ? 3 的图象,知 f ( x ) 的所有正 极 大 值 点 为

xn ?

?
6

? (n ? 1)? , n ? N * , 故 ① 错 误 , ② 正 确 , 又

? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?
【答案:】②④⑤

n? n(n ? 1) ? ? , n ? N * ,从图象易判断②④⑤正确 6 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

16.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? cos 2 3 sin x ? cos x ? sin 2 ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间;

?

?

?? ? ? x?, x ? R. ?2 ?

2 a ?c )c o s B ? c b o s (Ⅱ) 设锐角△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , 且(
求 f ( A) 的值域.

C



17. (本小题 12 分)已知递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的 等差中项。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an log 2 an , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,求 Sn 。 17.解: (1)设等比数列 {an } 首项为 a1 ,公比为 q 。 由已知得 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ??????1 分 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a3 ? 8 。????????3 分 于是 a2 ? a4 ? 20 。

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?q ? ? a1q ? a1q ? 20 故? ,解得 ? 或? 2 。????????5 分 2 ? ?a1 ? 2 ?a ? 32 ? a3 ? a1q ? 8 ? 1
又数列 {an } 为递增数列,故 ?

?q ? 2 ,∴ an ? 2n ????6 分 ?a1 ? 2

(2)∵ bn ? an log2 an ? n ? 2n ??????????7 分 ∴ Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? …? n ? 2n+1 ??????????9 分
两式相减得 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? …? 2n ? n ? 2n?1 ??????????10 分

?

2 ? (1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 1? 2

∴ Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ????????????12 分

18.(本小题满分 13 分) 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中,随机抽取 12 名进 行体质健康测试,测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下: 成绩 5 6 7 8 9 2 5 2 6 0

8 6 8

6

7

7

8

根据学生体质健康标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想,在该校学生中任选 3 人进行体质健康 测试,求至少有 1 人成绩是“优良”的概率; (Ⅲ)从抽取的 12 人中随机选取 3 人,记 ? 表示成绩“优良”的学生人数,求 ? 的分布列及 期望. 18.本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、随机变量的分布列、期望等基础知识,考查 数据处理能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)这组数据的众数为 86,中位数为 86;???????4 分 (Ⅱ)抽取的 12 人中成绩是“优良”的频率为 3 , 4 故从该校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为 3 ,?????5 分 4 设“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是‘优良’的事件”为 A,
0 则 P( A) ? 1 ? C3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 63 ;???????7 分 4 64 64 (Ⅲ)由题意可得, ? 的可能取值为 0,1,2,3.??????8 分

? ?

3

P(? ? 0) ?

3 C3 C1C 2 1 27 ? , P(? ? 1) ? 9 3 3 ? , 3 C12 220 C12 220

1 C92C3 C3 108 27 84 21 ? = ? = , , P(? ? 3) ? 9 3 3 C12 220 55 C12 220 55 所以 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 1 27 27 21 P 55 55 220 220

P(? ? 2) ?

???????12 分

E? ? 0 ?

1 27 27 21 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???????13 分 220 220 55 55 4

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC =2 ,AB ? 2 2 ,D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 O A D E B C

AE ? BE 时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面
角是否为定值?若是,求出该锐二面角的余弦值; 若不是,说明理由. 18.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与

平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等,考 查化归与转化思想.满分 13 分. 解法一: (Ⅰ)在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB ,
? CO ? AB .???????2 分

又 OA ? OB , D 为 AB 的中点, ∴ DO ? AB .???????4 分 ∵ DO ? CO ? O , ∴ AB ⊥平面 COD .???????5 分 (Ⅱ)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,
? AO ? BO .???????5 分

z C E B D y

O A x

由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OC 所 在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1, 0) .???????7 分

由 CE ∥平面 AOB ,故设 E ( x, y,1) .???????8 分 由 AE ? BE ,得 ( x ? 2)2 ? y2 ? 12 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 12 , 故 x ? y ,即 E ( x, x,1)( x ? 0) .???????9 分

???? ??? ? 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,由 AC ? (?2,0,1) , CE ? ( x, x,0) ,得
??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???????11 分 ? ?ax ? bx ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) ,???????12 分 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3
6 .?13 分 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值,且该锐二面角的余弦值为 解法二: (Ⅰ)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,
? AO ? BO .???????1 分

由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OC 所 在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1, 0) .???????2 分

??? ? ???? ???? ∵ AB ? (?2,2,0) , OC ? (0,0,1) , OD ? (1,1,0) ,
???? ????? ???? ????? ∴ AB ?OC ? 0 , AB ?OD ? 0 ,???????4 分

∴ OC ? AB . OD ? AB , ∵ OD ? OC ? O , ∴ AB ⊥平面 COD .???????6 分 (Ⅱ)∵ CE ∥平面 AOB , ∴ E 在过点 C 且与平面 AOB 平行的平面内,设该平面为 ? . 又 AE ? BE , ∴ E 在底面的射影在直线 OD 上, ∴ E 又在过点 C 且与平面 AOB 垂直的平面内,设该平面为 ? , ∴ ? ? ? =CE . ∴由 AC ? CE =C , ∴直线 AC 与 CE 确定平面 ACE , ∴点 E 运动时,平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值.故不妨取 E (1,1,1) ,?8 分 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) , 由 AC ? (?2,0,1) , CE ? (1,1,0) ,得

??? ?

??? ?

??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???????10 分 ? ?a ? b ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) , 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 .???????12 分 3
6 .?13 分 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角为定值,且该锐二面角的余弦值为

20.(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax , (其中无理数 e ? 2.71828? , a ? R ) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ? 0, e? 上不是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 f ( x ) 的图象在 x ? t 处的切线为 l ,证明:函数 f ( x ) 的图象上不存在位于直 线 l 上方的点.

21.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 : 下焦点及左、右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. (Ⅰ)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点,交 y 轴于点 N ,已知 NA ? ?1 AF ,

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、 a 2 b2

uur

uuu r

uuu r uuu r NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
(Ⅲ)直线 l 交椭圆 C2 于 P 、 Q 两个不同点, P 、 Q 在 x 轴的射影分别为 P 、 Q ,且
/

/

? ???? ? uur uu u r uuu r ??? ? ???? ???? OP ? OQ ? OP / ? OQ/ ? 1 ? 0 ,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,证明:点 S 在椭圆 C2 上.
21.解: (1)由抛物线 C1 的焦点 F (

p , 0) 在圆 O 上, 2

p2 ? 1 ,即 p ? 2 , 4 ∴抛物线 C1 : y 2 ? 4x ?????????????????????????????
∴ 2分 ∵椭圆 C2 的上、下焦点 (0, c) 、 (0, ?c) 及左、右顶点 (?b, 0) 、 (b, 0) 均在圆 O 上, ∴ b ? c ? 1,?a ? 2 . ∴椭圆 C2 : x ?
2

y2 ? 1 .???????????????????????????4 2

分 (2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) .

? y2 ? 4x 联立方程组 ? ,消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, y ? k ( x ? 1) ?
? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ∴ ? ? 16k ? 16 ? 0, 且 ? ???????????????????5 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
2



由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得:

uur

uuu r uuu r

uuu r

?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 x ? x2 ? 2 x1 x2 k2 ? ? ?1 .???????????????8 ∴ ?1 ? ?2 ? 1 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2 分 (3)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ),? S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P '( xp ,0), Q '( xQ ,0)
由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ?1 ? 0 得 2x p xQ ? y p yQ ? ?1 ;① 又 xp ?
2

uu u r uuu r uuu r uuur
? 1 ;② 2 yQ 2 2 xQ ? ? 1 ;③ 2 yp2

由①+②+③得 ( x p ? xQ ) ?
2

?1 2 ∴ S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,命题得证.????????????14


( y p ? yQ )2

21.(本题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 a 2 b2

| F1F2 |? 2 ,点 P 在椭圆上,且 ?PF1F2 的周长为 6。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若点 P 的坐标为 (2,1) , 不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 设线段 AB 的中点为 M ,点 P 到直线 l 的距离为 d ,且 M , O, P 三点共线。求 值 21.解:(Ⅰ)由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b ? a ? c ? 3
2 2 2

12 13 | AB |2 ? d 2 的最大 13 16

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????????????3 分 4 3
(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知: 点 M 在 x 轴上,且原点 O 不重合,显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件。 所以可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ,

由?

? y ? kx ? m ?3x ? 4 y ? 12
2 2

消去 y 并整理得:(4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ①??6 分
2 2

则 ? ? 64k 2 m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ,即 4k ? m ? 3 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

4km 3m 8km 4m2 ? 12 , 2 ), , x x ? ,故点 M (? 2 1 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
3m ?2km ? 2 ,而 m ? 0 , 2 4k ? 3 4k ? 3

因为 M , O, P 三点共线,则 kOM ? kOP ,即 所以 k ? ? 分

3 ??????????????????????????????9 2

此时方程①为 3x ? 3mx ? m ? 3 ? 0 ,且 12 ? m ? 0, x1 ? x2 ? m, x1 x2 ?
2 2

2

m2 ? 3 3

所以 | AB | ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ?
2 2 2

13 (12 ? m 2 ) 12

又d ?

| 8 ? 2m | 32 ? 22

?

2| m?4| 13

所以

12 13 (m ? 4) 2 3 4 52 | AB |2 ? d 2 ? (12 ? m2 ) ? ? ? (m ? ) 2 ? 13 16 4 4 3 3

故当 m ? ? 分

4 12 13 52 ? (?2 3, 0) 时, | AB |2 ? d 2 的最大值为 ????????14 3 13 16 3


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