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1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理


1.1分类计数原理 与分步计数原理 实际问题 2008年29届夏季奥运会在北京举行.奥运 会足球赛共有16个队参赛.它们先分成4个 小组进行循环赛,决出8强,这8个队按确定 的程序进行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外 还决出了第三、第四名.问一共安排了多少场 比赛? 要回答这个问题,就要用到排列、组合的知 识.在运用排列、组合方法时,经常要用到分类 计数原理与分步计数原理. 问题 1 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码? 因为英文字母共有 26个,阿拉伯数字 0 ~ 9共有10个, 所以总共可以编出 26 ? 10 ? 36种不同的号码 . 探究 你能说说这个问题的特 征吗? 上述问题中 , 最重要的特征是 或 字的出现 : 每个座位 可以用一个英文字母或 一个阿拉伯数字编号 .由于英文 字母、阿拉伯数字各不 相同,因此用英文字母编出的 号 码与用阿拉伯数字编出 的号码也是各不相同的 . 问题 2. 从甲地到乙地,可以乘火车,也 可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火 车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 一、分类计数原理 完成一件事,有两类办法. 在第1类办法中有 m种不同的方法,在第2类方法中有n种不同的方 法,则完成这件事共有 说明 N= m+n种不同的方法 1)各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在分 类标准下进行分类,然后对每类方法计数. 问题3、用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉 伯数字,以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给 教室里的座位编号,总共能编出多少个不同 的号码? 字母 数字 1 2 3 4 得到的号码 A1 A2 A3 A4 A 5 6 A5 A6 7 树形图 8 A7 A8 9 A9 我们还可以这样来思考 : 由于前 6个英文字母的任意一个 都能与 9 个数 字中的任何一个组成一 个号码 , 而且它们各不 相同,因此共有 6 ? 9 ? 54 个不同的号码 . 探究 你能说说这个问题的特征吗? 上述问题中, 最重要的特征是 和 字的出现 : 每个座位由一个英文字母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的数字组成的 号码是各不相同的. 二、分步计数原理 完成一件事,需要两个步骤。做第1步有m种不 同的方法,做第2步有n种不同的方法,则完成这件事 共有 N= m×n种不同的方法 说明 1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数. 分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理 分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步” 联系 区别一 区别二 每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完

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