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第8讲曲线与方程


第 8 讲 曲线与方程 【2014 年高考会这样考】 1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.利用直接法或定义法求轨迹方程. 3.结合平面向量知识能确 定动 点轨迹,并会研究轨 迹的有关性 质 考点梳理 1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解 建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲 线叫做方程的曲线. 2.直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标;(2)写出适合 条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解,即两个 曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方 程组无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的 交点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 一个主题 通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研究,明确曲线的位置、形状以及性 质是解析几何需要完成的两大任务,是解析几何的核心问题,也是高考的热点之一. 四个步骤 对于中点弦问题,常有的解题方法是点差法,其解题步骤为: ①设点:即设出弦的两端点坐标;②代入:即代入圆锥曲线方程;③作差:即两式相减, 用平方差公式把上式展开;④整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解. 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0;(2)待定系数法:已知所求曲 线的类型,求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数; (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点
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的轨迹方程;(4)代入转移法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而变化,并且 Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用 x,y 的代数式表示 x0,y0,再将 x0,y0 代入已知 曲线得要求的轨迹方程;(5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没 有相关动点可用时,可考虑将 x,y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参 数得普通方程. 考点自测 1.f(x0,y0)=0 是点 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系, ∵f(x0,y0)=0 可知点 P(x0,y0) 在曲线 f(x,y)=0 上,又 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上时, 有 f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0 是 P(x0,y0)在曲线 f(x,y)=0 上的充要条件.答案 C 2.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是( ).

A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析
?x-y=0, ?x=1, ?x=-1, ? ? ? (x-y)2+(xy-1)2=0?? ∴? 或? 答案 C ? ? ? ?xy-1=0, ?y=1 ?y=-1.

1 ? 1 3.(2013· 成都模拟)已知点 F? ?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 解析 由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物 线,故选 D.答案 D → → 4. 已知点 A(-2,0)、 B(3,0), 动点 P(x, y)满足PA· PB=x2-6, 则点 P 的轨迹方程是________. → → →→ 解析 PB=(3-x,-y),PA=(-2-x,-y),∴PA· PB=(3-x)(-2-x)+y2=x2-x-6+ y2=x2-6,∴y2=x.答案 y2=x 5.(2011· 北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a> 1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于坐标原点对称;③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 1 的面积不大于 a2.其中,所有正确结论的序号是________. 2 解析 设 P(x, y)为曲线 C 上任意一点, 则由|PF1|· |PF2|=a2 得, C: ?x+1?2+y2· ?x-1?2+y2 =a2 把(0,0)代入方程可得 1=a2,与 a>1 矛盾,故①不正确;当 M(x,y)在曲线 C 上时, 点 M 关于原点的对称点 M′(-x,-y),也满足方程,故曲线 C 关于原点对称,故②正 1 1 1 确;S△F1PF2= |PF1|· |PF2|sin∠F1PF2= a2sin∠F1PF2≤ a2,故③正确.答案 ②③ 2 2 2 ).

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考向一 直接法求轨迹方程

【例 1】?如图所示,已知 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过点 P 作 l → → → → 的垂线,垂足为点 Q,且QP· QF=FP· FQ.求动点 P 的轨迹 C 的方程. [审题视点] 由已知等量关系,通过向量数量积的坐标运算直接得到轨迹方程. 解 → → → → → → → 设点 P(x,y),则 Q(-1,y),FP=(x-1,y),QP=(x+1,0),QF=(2,-y),由QP· QF=FP· FQ,

得(x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y),化简得 C:y2=4x. 直接法求轨迹方程的步骤: (1)恰当地建立直角坐标系; (2)设动点 P(x, y)为轨迹上任意一点; (3)用动点坐标表示问题中的几何关系,列出等式;(4)化简并整理得轨迹方程. 【训练 1】 (2012· 四川改编)如图, 动点 M 与两定点 A(-1,0)、 B(2,0)构成△MAB, 且∠MBA=2∠MAB, 求动点 M 的轨迹 C 的方程. 解 设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0 且 y≠0.当∠MBA=90° 标为(2,± 3). 当∠MBA≠90° 时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB, |y| x + 1 2tan∠MAB |y| 得 tan∠MBA= ,即- = . 2 |y| 1-tan ∠MAB x-2 1-?x+1?2 ? ? 2 化简可得 3x2-y2-3=0.而点(2,± 3)在曲线 3x2-y2-3=0 上,综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3 =0(x>1). 考向二 定义法求轨迹方程 【例 2】?一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨 迹方程,并说明它是什么曲线. [审题视点] 利用两圆内、外切的充要条件找出点 M 满足的几何条件,再由曲线定义建立关系式,从而 求出轨迹方程. 解 如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别 O2,将圆的方程分别配方得:(x+3) +y =4,(x-3) +y =100,当动圆 相外切时,有|O1M|=R+2.①当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R. ②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(- O2(3,0)的距离和是常数 12,所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0)、O2(3,0),
2 2 2 2

时,点 M 的坐

为 O1、 与圆 O1 ②将① 3,0) 和 长轴长

x2 y2 等于 12 的椭圆.∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27 ∴圆心轨迹方程为 + =1,轨 36 27 迹为椭圆.

【训练 2】 如图所示,已知 C 为圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心,点 A( 2,0),P 是圆上的动点,点 Q 在 → → → → 圆的半径 CP 上,且MQ· AP=0,AP=2AM.当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程.
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→ → 圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2,∵MQ· AP=0,

→ AP = 则 |AQ| 双曲线

→ 2AM,∴MQ⊥AP, 点 M 是 AP 的中点,即 QM 是 AP 的中垂线,连接 AQ, =|QP|,∴||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2,又|AC|=2 2>2,根据

的定义,点 Q 的轨迹是以 C(- 2,0),A( 2,0)为焦点,实轴长为 2 的双曲线,由 c= 2,a=1,得 b2=1,因此点 Q 的轨迹方程为 x2-y2=1. 考向三 相关点法求轨迹方程 【例 3】?如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD| 4 = |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线 l 被 C 所截线段的长度. 5 [审题视点] (1)动点 M 通过点 P 与已知圆相联系, 所以把点 P 的坐标 标表示,然后代入已知圆的方程即可;(2)将直线方程和 C 的方程组 合两点的距离公式计算. 解 (1)设点 M 的坐标是(x,y),点 P 的坐标是(xP,yP), 用点 M 的坐 成方程组,结

4 5 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|,所以 xP=x,且 yP= y,∵P 在圆 x2 5 4 5 ?2 x2 y2 x2 y2 y =25,整理得 + =1,即 C 的方程是 + =1. +y2=25 上,∴x2+? ?4 ? 25 16 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线 l 的方程是 y= (x-3),设此直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将 5 5 4 x2 y2 x2 ?x-3? 直 线 方程 y = (x - 3) 代入 C 的方 程 + = 1 得: + = 1 , 化简 得 x2 - 3x - 8 = 0 , 5 25 16 25 25 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= ,所以线段 AB 的长度是|AB|= 2 2 41 所截线段的长度是 . 5 教学反思:
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?1+16??x1-x2?2= ? 25?

41 41 ×41= ,即 25 5

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