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2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第2部分 专题1 第4讲 转化与化归思想


第四讲

转化与化归思想

1.转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时, 采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的 一种数学方法. 一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题 通过变换转化为已解决的问题.

2.转化与化归的常见方法 (1)直接转化法: 把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或 基本图形问题. (2)换元法: 运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本 问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径.

(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价问题, 以达到化归的目的. (5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明 特殊化后的问题的结论适合原问题. (6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于 解决的问题. (7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于探求.

(9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的问题进行 解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的 结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 集 U,通过解决全集 U 及补集?UA 使原问题获得解决,体现了 正难则反的原则.

特殊与一般的转化
[例 1] x2 y2 若椭圆 C 的方程为 5 +m=1,焦点在 x 轴上,与直线

y=kx+1 总有公共点,那么 m 的取值范围为________.

[思维流程]

[解析]

由椭圆 C 的方程及焦点在 x 轴上,知 0<m<5.

又直线与椭圆总有公共点,直线恒过点(0,1), 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上. 02 12 则 5 +m≤1,即 m≥1. 故 m 的取值范围为[1,5).
[答案] [1,5)

总结 ——————————规律· —————————————

特殊与一般的转化步骤 特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进 行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法. 这类转 化法一般的解题步骤是: 第一步:确立需转化的目标问题:一般将要解决的问题作为 转化目标. 第二步:寻找“特殊元素”与“一般元素”:把一般问题转 化为特殊问题时,寻找“特殊元素”;把特殊问题转化为一般问 题时,寻找“一般元素”.

第三步:确立新目标问题:根据新确立的“特殊元素”或者“一般 元素”,明确其与需要解决问题的关系,确立新的需要解决的问题. 第四步:解决新目标问题:在新的板块知识背景下用特定的知识解 决新目标问题. 第五步:回归目标问题. 第六步:回顾反思:常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、 特殊图形、特殊角、特殊位置等.对于选择题,当题设在普通条件下都 成立时,用特殊值进行探求,可快捷地得到答案;对于填空题,当填空 题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题 中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.

x2 y2 1.已知双曲线 C:a2-b2=1 的右支上存在一点 P,使得点 P 到 a2 双曲线右焦点的距离等于它到直线 x=- c (其中 c2=a2+b2) 的距离,则双曲线 C 离心率的取值范围是 A.(1, C.(1, 2 ] 2+1] B.[ 2,+∞) D.[ 2+1,+∞) ( )

y2 解析:若离心率 e=2,设双曲线为 x2- 3 =1,P(x,y),则右
? 1?2 1 焦点为(2,0),直线为 x=-2,依题意有?x+2? =(x-2)2+y2, ? ?

联立双曲线方程, 消去 y, 12x2-20x+3=0, 得 该方程有实根, 所以离心率可以取 2,排除 A,D. y2 若离心率 e=3,设双曲线为 x2- 8 =1,同理,可得离心率不 可以取 3,排除 B.
答案:C

等与不等的转化
[例 2] (1)设 x,y 为正实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. (2)若关于 x 的方程 9x+(4+a)·x+4=0 有解,则实数 a 的 3 取值范围是________. [思维流程] (1)

(2)

[解析]

(1)∵4x2+y2+xy=1,

3 3 ?2x+y?2 ? +1, ∴(2x+y)2=3xy+1=2×2xy+1≤2×? ? 2 ? 8 ∴(2x+y)2≤5, 2 10 ∴2x+y 的最大值为 5 . (2)设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程 t2+(4+a)t+4=0 有正解. 4? 分离变量 a,得 a+4=- t+ t ?, ? ? ? 4? ? ∵t>0,∴-?t+ t ?≤-4, ? ? ? ∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8]. 2 10 [答案] (1) 5 (2)(-∞,-8]
? ? ? ?

总结 ——————————规律· —————————————
函数、方程与不等式间的转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不 等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式 的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以 将问题化繁为简, 一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题, 从而求出参变量的范围.

1 3 2.已知函数 f(x)=3ax +bx2+x+3,其中 a≠0. (1)当 a,b 满足什么条件时,f(x)能取得极值? (2)已知 a>0,且 f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用 a 表示 出 b 的取值范围.

解:(1)f′(x)=ax2+2bx+1. 当(2b)2-4a≤0,即 b2<a 时无极值. 当(2b)2-4a>0,即 b2>a 时, f′(x)=ax2+2bx+1=0 有两个不同的根,

即 x1=

-b-

b2-a -b+ b2-a ,x2= , a a

因此 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). ①当 a>0 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x
f′(x) f(x)

(-∞,x1)


x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

0
极大值



0
极小值



?

?

?

由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值.

②当 a<0 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x
f′(x) f(x)

(-∞,x2)


x2

(x2,x1)

x1
0
极大值

(x1,+∞)

0
极小值





?

?

?

由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值. 综上所述,当 a 和 b 满足 b2>a 时,f(x)能取得极值.

(2)法一:由题意 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在区间(0,1]上恒成立, ax 1 即 b≥- 2 -2x,x∈(0,1]. ax 1 设 g(x)=- 2 -2x,x∈(0,1]. 1 ①当 ∈(0,1],即 a≥1 时, a
?ax 1? g(x)=-? 2 +2x?≤-2 ? ?

a 4=- a,等号成立的条件为

? 1 ? 1 x= ∈(0,1],[g(x)]最大值=g? ?=- a, ? a? a ? ?

因此 b≥- a.

1 ②当 >1,即 0<a<1 时, a a 1 1-ax a 1 g′(x)=-2+2x2= 2x2 >0,[g(x)]最大值=g(1)=-2-2= a+1 - 2 , a+1 因此 b≥- 2 . 综上所述,当 a≥1 时,b≥- a; a+1 当 0<a<1 时,b≥- 2 .
2

法二:由题意 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在区间(0,1]上恒成立, ax 1 所以 b≥- 2 -2x,x∈(0,1]. ax 1 设 g(x)=- 2 -2x,x∈(0,1], a 1 则 g′(x)=-2+2x2. 1 1 令 g′(x)=0,得 x1= 或 x2=- (舍去). a a 1 当 ∈(0,1),即 a>1 时, a

由于
? x∈? ? ?

? x∈?0, ? ?

1? ? 时,g′(x)>0; a? ?

? 1 ,1?时,g′(x)<0, ? a ? ? 1 ? 1? ? ? 上单调递增,在? ,1?上单调递减, ? a? ? ? a ?



? g(x)在?0, ? ?

? 所以[g(x)]最大值=g? ? ?

1? ? =- a, a? ?

因此 b≥- a. 1 当 ∈[1,+∞ ),即 a∈(0,1]时, a

由于 x∈(0,1]时, g′(x)≥0, g(x)在(0,1]上单调递增, 即 a+1 所以[g(x)]最大值=g(1)=- 2 , a+1 因此 b≥- 2 . 综上所述,当 a>1 时,b≥- a; a+1 当 0<a≤1 时,b≥- 2 .

正与反的转化
[例 3] 若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x
[思维流程]
3

?m ? 2 +? 2 +2?x -2x ? ?



区间(t,3)上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是________.

[解析]

g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①

g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立. 2 由①得 3x2+(m+4)x-2≥0,即 m+4≥x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立, 2 ∴m+4≥ t -3t 恒成立,则 m+4≥-1, 即 m≥-5; 2 2 37 由②得 m+4≤x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立,则 m+4≤3-9,即 m≤- 3 . 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为- 3 <m<-5.
[答案]
? ? ? ? ? 37 - 3 ,-5? ? ?

总结 ——————————规律· —————————————
正与反的转化法 正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,一种充 分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出现 多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简 单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.

3.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至 少存在一个值c,使得f(c)>0,则实数p的取值范围是_______.

解析:若在[-1,1]内不存在 c 满足 f(c)>0, 1 ? ?f?-1?≤0, ?p≤-2或p≥1, ? 则? 即? ?f?1?≤0, ? ?p≤-3或p≥3. 2 ? 3 3 解得 p≤-3 或 p≥2,取补集得-3<p<2, 即满足题意的实数 p
? 3? 的取值范围是?-3,2?. ? ?
? 3? 答案:?-3,2? ? ?

主与次的转化
[例 4] 已知函数 f(x)=x3+3ax-1, g(x)=f′(x)-ax-5,

其中 f′(x)是 f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值, 都有 g(x)<0,则实数 x 的取值范围为________.
[思维流程]

[解析]

由题意,知 g(x)=3x2-ax+3a-5,令

φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1. 对-1≤a≤1,恒有 g(x)<0,即 φ(a)<0,
?φ?1?<0, ? ∴? ?φ?-1?<0, ? ?3x2-x-2<0, ? 即? 2 ?3x +x-8<0, ?

2 解得-3<x<1. 的一切 a 的值,都

故当 有 g(x)<0.

? 2 ? x∈?-3,1?时,对满足-1≤a≤1 ? ?

[答案]

? 2 ? ?- ,1? ? 3 ?

—————————规律· 总结—————————————
主与次的转化法 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在, 通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现了两 个字母:x及a,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常 数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-1,1] 内关于a的一次函数小于0恒成立的问题.

4.设f(x)是定义在R上的单调增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a) 对任意a∈[-1,1]恒成立,求x的取值范围.
解:∵f(x)是 R 上的增函数, ∴1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]. (*)

(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 令 g(a)=(x-1)a+x2+1.
?g?-1?=x2-x+2≥0, ? 则? ?g?1?=x2+x≥0, ?

解得 x≥0 或 x≤-1,

即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).

“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等,应用时还应遵循以下五条原则: 1.熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于运用熟知的知识和 经验来解答问题. 2.简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题,通过对简单问题的解决, 达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.

3.和谐化原则 转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部 所表示的和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运 用某种数学方法或符合人们的思维规律. 4.直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

5.正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面, 设法从问题的反面去探求,使问题获得解决,或证明问题的 可能性. 总之,化归与转化是高中数学的一种重要思想方法,掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素和原 则对我们学习数学是非常有帮助的.

数学思想专练(四)


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