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第一单元 集合与常用逻辑用语


第一单元 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念及其基本运算 基础梳理 1. 集合的概念 (1)集合与元素 概念上的区别 元素 符号上的区别 关系

研 究 对 象 , 特 征 : 确 定 小写的字母 a,b,c… 性、 、 . 一些对象组成的总体 大写的字母 A,B,C…

集合

a∈A 或a

A

(2)集合的表示法 表示方法 使用范围 描述法 含有限个元素且元 清楚集合 素个数较少 特征 {1,2,3,…,2 011} ______的 用封闭的曲线 内部表示集合

例子

{x∈R|1≤x<3}

(3)常见集合的符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集

符号

N

N * 或 N+ Z

Q

R

C

2. 集合间的基本关系 文字语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都 相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元 素续表表示 A 中任意一个元素均为 B 中的元 素,B 中至少有一个元素不是 A 中的元素 符号语言

子集

真子集

空集

空集是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集

3. 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集

符 号 表 A∪B 示

A∩B

若全集为 U,则集合 A 的补集为

图形 表示

意义

基础达标 1. 集合 A={1,t}中实数 t 的取值范围是 2. (必修 1P7 习题改编)用列举法表示: {y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}= {(x,y)|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}=

. ; .

3. (必修 1P13 习题 4(2)改编) 已知 A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则 A∪B= 4. M={x|x2+2x-a=0,x∈R}≠?,则实数 a 的取值范围是 5. 设集合 U={(x,y)|y=3x-1}, 则 = . 经典例题 题型一 集合的基本概念 【例 1】若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b}, 则 b2012-a2012= . 变式 1-1 (2011·苏东中学期中质量检测)已知 A=(-∞,0], B={1,3,a},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为 ,

. .

.

题型二 集合之间的关系 【例 2】已知集合 A={x|x2-3x+2<0},B={x||x|≥a},当 a 为何值时,A ? B 成立? 变式 2-1 (2011·启东中学期中考试)

集合 A={(x,y)| }, B={(x,y)|y=k(x-2)},若集合 A∩B 有两个元素, . 则实数 k 的取值范围为 题型三 集合的运算 【例 3】已知集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 变式 3-1 已 知 集 合 A={a,b,2},B={2,b2,2a}, 且 A ∩ B=A ∪ B , 则 a= . 易错警示 【例】 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围. 链接高考 (2010·江苏)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a = .

第二节

命题及其关系、 命题及其关系、充分条件与必要条件

基础梳理 1.命题 能够判断 之分. (2)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题

的语句叫做命题.命题有



表述形式

(2)四种命题及其关系

3. 充分条件与必要条件 ,同时称 q 是 p 的 ;如 (1)定义:一般地,如果 ,那么称 p 是 q 的 果 ,且 ,那么称 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的 ,记作 . (2)如果 ,且 ,那么称 p 是 q 的充分不必要条件;如果 ,且 ,那么称 p 是 q 的必要不充分条件;如果 ,且 ,那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件. (3)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论;其次, 结论要分四种情况说明:充分不必要条件, ,充要条 件, . 基础达标 1.下列说法:①2x+5>0;② 是有理数;③如果 x>2,那么 x 就是有理数;④如果 x≠0, 那么 就有意义.其中命题的个数为 . 2.(选修 2-1P6 例 1 改编)设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则原命题 命题, 为 逆命题为 命题.(填“真”或“假”) 3.(2010·陕西改编)“a>0”是“|a|>0”的条件 .(填“充分不必 要”、“必要不充分”、“充要”) 4. 命 题 “ 若 x=1 或 x=6, 则 (x-1)(x-6)=0” 的 逆 否 命 题 . 是 5.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最 大值为_________. 经典例题 题型一 命题概念及其真假的判断 例 1 判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由. (1)大角所对的边大于小角所对的边; (2)x+y 是有理数,则 x,y 也都是有理数; (3)求证:x∈R,方程 x2+x+1=0 无实数根. 变式 1-1 判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假并说明理由. (1)x2+4x+4≥0; (2)你是高一的学生吗? (3)一个正数不是素数就是合数; (4)若 x∈R,则 x2+4x+7>0. 四种命题的关系及命题真假的判断 题型二 四种命题的关系及命题真假的判断 【例 2】写出命题:“若实数 x,y 满足 x2+y2=0,则实数 x,y 全为零”的逆命题、否命题、逆否 命题,并判断真假. 变式 2-1 写出命题 “等式两边都乘同一个数,所得结果仍是等式” 的逆命题、否命题、逆否命题. 题型三 充分条件与必要条件的判定 【例 3】求证:方程 x2+ax+1=0(a∈R)两实根的平方和大于 3 的必要条件是|a|>3.这个条件是否为充分条件,为什么? 变式 3-1 . ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是

链接高考 (2010·广东)“m< 数”解的

”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实 条件.(填“充分”、“必要”或“充要”)

?x
简单的逻辑连接词、 第三节 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 基础梳理 1.命题 的真假判断 2.全称量词 (1)“ ”、“ ”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号 “ ”表示“对任意 x”. 的命题,叫做全称命题. (2)含有 (3)全称命题:?∈M,p(x),其中 M 为给定集合,p(x)是一个含有 x 的语句. 3. 存在量词 (1)“ ”、“ ”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通 常用符号“? ”表示“存在 x”. (2)含有 的命题,叫做存在性命题. (3)存在性命题:?∈M,p(x),其中 M 为给定集合,p(x)是一个含有 x 的语句. 4. 含有一个量词的命题的否定 命题?? ∈M,p(x) 命题的否定

∈M,p(x)

基础达标 1.(选修 2-1P11 例 2 改编)有下列命题: ①2004 年 10 月 1 日既是国庆节,又是中秋节; ②10 的倍数一定是 5 的倍数; ③梯形不是矩形; ④方程 x2=1 的解为 x=±1. 其中使用逻辑联结词的命题的序号是 2.(2010· 安 徽 ) 命 题 “ 存 在 x ∈ R, 使 得 x2+2x+5=0” 的 否 定 是 . 3.若“p 且 q”与“ 或 q”均为假命题,则 p ,q . (填“真”或“假”). 4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x2)>0”用符号“?”写成存在性命题为

. 5.(2011·苏南三校调研)存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是 . 经典例题 题型一 含有逻辑联结词的命题真假判定 【例 1】写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“ ”形式的命题,并判断真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号相同; q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. 全称命题、 题型二 全称命题、存在性命题及其真假的判断 【例 2】判断下列命题是否是全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有唯一解; (4)存在实数 x,使得 变式 2-1 判断下列命题的真假. (1)每个指数函数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3)任意 x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; (4)存在 x∈R,x3≤0.. 题型三 含有一个量词的命题的否定 【例 3】写出下列命题的否定并判断真假. (1)p:不论 m 取何实数,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:? . 变式 3-1 写出下列命题的否定形式. (1)有些三角形的三个内角都等于 60°; (2)能够被 3 整除的整数,能够被 6 整除; (3)??∈R,使得函数 y=sin(2x+?)是偶函数; (4)? x,y∈R,|x+1|+|y-1|>0. 题型四 复合命题真假判断的综合应用 【例 4】(2011·兴化中学调研) 设命题 p:函数 的定义域是 R, 命题 q:不等式 对一切正实数 x 均成立. .

(1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围;

(2)如果 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 易错警示 【例】已知命题 p:函数 f (x)=-(5-2m)x 是减函数.若 为真命题,求实数 m 的取值范围. 链接高考 (2010·安徽)命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是


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