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椭圆的参数方程(含答案)


椭圆的参数方程 教学目标: 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义,并能利用参数方程来求最值、轨迹问题; 2.通过椭圆参数方程的推导过程,培养学生数形结合思想,化归思想,以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:椭圆的参数方程。 教学难点:椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式:讲练结合,引导探究。 教学过程: 一、复习 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程:

二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程
2 2 因为 ( ) ? ( ) ? 1 ,又 cos ? ? sin ? ? 1
2 2

x a

y b



? x ? a cos ? x y ,这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。 ? cos ? , ? sin ? ,即 ? a b ? y ? b sin ?

2.参数 ? 的几何意义 问题、如下图,以原点 O 为圆心,分别以 a,b(a>b>0)为半 径作两个圆。设 A 为大圆上的任意一点,连接 OA,与小圆交于点 B。过点 A 作 AN⊥ox,垂足为 N,过点 B 作 BM⊥AN,垂足为 M,求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解:设以 Ox 为始边,OA 为终边的角为 ? ,点 M 的坐标是(x, y)。 那么点 A 的横坐标为 x, B 的纵坐标为 y。 点 由于点 A,B 均在角 ? 的终边上,由三角函数的定义有

x ?| OA | cos ? ? a cos ? ,

y ?| OB | sin ? ? b cos ? 。

当半径 OA 绕点 O 旋转一周时,就得到了点 M 的轨迹,它的参数方程是

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?

(?为参数)

这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。

1

在椭圆的参数方程中,通常规定参数 ? 的范围为 ? ? [0, 2? ) 。 思考:椭圆的参数方程中参数 ? 的意义与圆的参数方程 ?

? x ? r cos ? ? y ? r sin ?

(? 为参数)

中参数 ? 的意义类似吗? 由图可以看出,参数 ? 是点 M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角) ,不是 OM 的旋转角。参数 ? 是半径 OM 的旋转角。 3. 焦点在 y 轴上的椭圆的参数方程

x 2 y2 ? ? 1, b2 a 2

? x ? b cos ? ? ? y ? a sin ?

三、例题分析 例 1.把下列普通方程化为参数方程.

x2 y 2 (1) ? ?1 4 9

y2 (2) x ? ?1 16
2

(3)

x2 9

?

y2 25

?1

(4)

x2 64

y ? 100 ? 1

2

变式: 把下列参数方程化为普通方程

(1) x ? 2cos ? y ? 3sin ?

?

(2) x ? cos ? y ? 4sin ?

?

? x ? 8cos ? (3) ? ? y ? 10sin ?

? x ? 3 cos ? (4) ? ? y ? 5 sin ?

例 2. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,求椭圆内接矩形面积的最大值. a 2 b2

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(a cos? , b sin ? )

? S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ? ? 2ab sin 2? ? 2ab
?当? ? k? ? ? (k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。 2 4

所以椭圆内接矩形面积的最大值为 2ab

2

x2 y 2 ? ? 1上求一点M ,使点M 到直线x ? 2 y ? 10 ? 0 9 4 的距离最小,并求出最小距离 例3、在椭圆
解:因为椭圆的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2sin ?

所以可设点 M 的坐标为 (3cos ? , 2sin ? ) 。 由点到直线的距离公式,得到点 M 到直线的距离为

变式2、设P( x, y)是椭圆2 x 2 ? 3 y 2 ? 12上的一个动点,求x ? 2 y的取值范围。

解:椭圆的方程可化为 它的一个参数方程为 { x ? 6 cos ? y ? 2sin ?

x2 y 2 ? ? 1, 6 4

(? 为参数, ? ? ? 2? ) 0

? x ? 2 y ? 6 cos ? ? 4sin ? ? 22 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? [ ?1,1] ? x ? 2 y ? [? 22, 22]

四、课堂练习 3

1、P是椭圆{

x ? 4 cos ? y ? 2 3 sin ?

(? 为参数)上一点,且在第一象限,

OP (O为原点)的倾斜角为 ,则点P的坐标为 3
4 4 A、 (2,3), B、 5, 15) ( 5 5
答案:B

?

C、2 3 , (

3D、 ( 4 , 3 ) ),

? ? y 2 3 sin ? 解: OP的倾斜角为 ? kOP ? tan ? 3又kOP ? ? ? ? 3 3 3 x 4 cos ? ? sin ? ? 2 cos ?
又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 且点P在第一象限 ? cos ? ? 从而有x ? 4 cos ? ? 4 5 4 15 , y ? 2 3 sin ? ? 5 5 5 2 5 ,sin ? ? 5 5

2.已知圆的方程为x 2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos 2 ? ? 0, (? 为参数), 那么圆心的轨迹的普通方程为 ____________________?

解:方程x 2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos 2 ? ? 0,可以化为( x ? 2 cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 1 x2 所以圆心的参数方程为{ (? 为参数),化为普通方程是 ? y 2 ? 1 y ? sin ? 4
五、课堂小结: 本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义,通过推导椭圆的参数方程,体会求曲线的参数方 程方法和步骤,对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握,并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求 解最值问题,

x ? 2 cos ?

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的最大面积是__________________. 1. 椭圆 16 9
2. 已知 A、B 是椭圆 OAPB 的面积最大 . 3、 已知实数 x、y 满足

x2 y2 ? ? 1 与坐标轴正半轴的两交点,在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 9 4

x2 y2 ? ? 1,求z=x+2y 的最大值与最小值 25 16

4


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