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导数的几何意义导学案


学校: 陵水中学 学科:数学 编写人: 李顺美

审稿人: 赵李三

3.1.3 导 数 的 几 何 意 义 学习目标
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并能运用导数的几何意义解决相关问题

学习重难点
1.发现和理解导数的几何意义 2.应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题

学习过程
(一) 、复习引入 1.平均变化率、割线的斜率

2.

导数的概念、求导数的步骤

提出问题 我们知道,导数表示函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率,反映了函数 y ? f (x) 在

x ? x0 附近的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么呢?
(二) 、自学探究 如图 3.1-2,观察当 Pn ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割 线 PPn 的变化趋势是什么?

图 3.1-2

(1)如何定义曲线在点 P 处的切线?

( 2 )割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系?

(3)切线 PT 的斜率 k 为多少?

说明: 当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (三) 、小组交流 导数的几何意义 (1)函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数的几何意义是什么?

(2)将上述意义用数学式表达出来。

(3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?

(四) 、展示成果 例 1 如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5x ? 10 ,
2

根据图像,请描述、比较曲线 h (t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解: 我们用曲线 h (t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线, 刻画曲线 h (t ) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t0 时,曲线 h (t ) 在 t 0 处的切线 l0 的斜率 所以,在 t ? t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当 t ? t1 时,曲线 h (t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 所以,在 t ? t1 附近曲线下降, 即函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 在 t ? t1 附近单调递减.
2

, ,

(3)当 t ? t2 时,曲线 h (t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的 斜率 所以,在 t ? t2 附近曲线下降, ,

2 即函数 h( x) ? ?4.9 x ? 6.5 x ? 10 在 t ? t2 附近单调递减.

从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度, 这说明曲线在 t1 附近比在 t 2 附近下降的缓慢.

变式
根据图 3.1-3,请描述、比较曲线 h (t ) 在 t3、t 4 附近的变化情况

结论: 根据导数的几何意义, ? 当某点处导数大于零时,说明在这点的附近曲线是 的,即函数在这点附近是单调递 ;?当某点处导数小于零时,说明在这点的附近
曲线是 的,即函数在这点附近是单调递 ;

例 2 (1)若曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0,

则 f ?( x0 ) ? (2)求曲线 f ( x) ? x 2 ? 1 在点 P (1,2) 处的切线方程.

(五)反馈

(达标训练)

1、已知函数y ? f ( x)的图象如图所示 则f ?( x A )与f ?( xB )的大小关系是? ?

y B

A

A. f ?( x A ) ? f ?( xB )

B. f ?( x A ) ? f ?( xB )

x
0 xB
xA

C. f ?( x A ) ? f ?( xB )
D.不能确定

2、已知点P和点Q是曲线y ? x 2 ? 3上的两点,且点 P的横坐标是1, 点Q的横坐标是 2,求: (1 )割线PQ的斜率;(2)点P处的切线方程

(六) 、总结

课后作业
1、习题 3.1 A 组 第5题

2、曲线y ? ? x在点(? 1,1 )处的切线方程是
3、曲线f ( x) ? 2 x 2在点A(2,8)处的切线斜率为?

?


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