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等差数列练习题及答案


等差数列练习
一、选择题 1、等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 ) )

2、已知等差数列 ?an ? , an ? 2n ? 19 ,那么这个数列的前 n 项和 s n ( A.有最小值且是整数 C. 有最大值且是整数 3、已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? A.80 B.120 B. 有最小值且是分数 D. 有最大值且是分数

1 , a2 ? a4 ? ? ? a100 ? 80 ,那么 S100 ? 2
D.160.

C.135

4、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a9 ? a12 ? 60 ,那么 S13 ? A.390 B.195 C.180 D.120 5、从前 180 个正偶数的和中减去前 180 个正奇数的和,其差为( A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 )

6、等差数列 ?an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 ) 7、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?6 , a8 ? 6 ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则( A. S 4 ? S5 B. S 4 ? S5 C. S 6 ? S5 D. S 6 ? S5

)

8、一个等差数列前 3 项和为 34 ,后 3 项和为 146 ,所有项和为 390 ,则这个数列的项数为 ( ) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前 n 项之和 n 为,且前 n 个偶数项的和为 n (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和
3

2

为(

) B. n 2 (4n ? 3) C. ? 3n
2

A. ? 3n 2 (n ? 1)

D.

1 3 n 2

10 若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为 100°,最大角为 140°,这个凸多边 形的边比为( ) A.6 B. 8 C.10 D.12 二.填空题 1、等差数列 ?an ? 中,若 a6 ? a3 ? a8 ,则 s 9 ? 2、等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? 3n2 ? 2n ,则公差 d ? 3、在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 . .

1

4、 已知等差数列 {an } 的公差是正整数, 且 a 3 ?a7 ? ?12, a4 ? a6 ? ?4 , 则前 10 项的和 S 10 = 5、一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为 项是 *6、两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若 三.解答题 1、 在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ? ? ? a80 .

25 ,偶数项的和为 15,则这个数列的第 6 2

S n 7n ? 3 a ,则 8 ? ? Tn n?3 b8

.

2、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 > 0 , S13 < 0 , ①求公差 d 的取值范围; ② S1 , S2 ,?, S12 中哪一个值最大?并说明理由.

3、己知 {an } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数 列的数构成一个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2) 新数列的第 29 项是原数列的第几项?

2

4、设等差数列 {an } 的前n项的和为 S 式a
n

n

,且 S
2

4

=-62, S
3

6

=-75,求: (1) {an } 的通项公
14

及前n项的和 S

n

; (2)|a

1

|+|a

|+|a

|+??+|a

|.

5、某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元, (Ⅰ)问第几年开始获利? (Ⅱ)若干年后,有两种处理方案: (1)年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; (2)总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船. 问哪种方案合算.

参考答案 一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A 二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 三.1、 an ? 0.2n , a51 ? a52 ? ? ? a80 ? 393 .

6、6

12 ? ? 2a1 ? 11d ? 0 S12 ? (a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ? ?a6 ? a7 ? 0 ? ? 2 ?? 2、①∵ ? ,∴ ? a1 ? 6 d ? 0 ?a7 ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? S ? 13 (a ? a ) ? 13?a ? 0 13 1 13 7 ? 1 ? ? 2
解得, ?

? a6 ? a7 ? 0 ? a6 ? 0 24 24 ?? ? d ? ?3 ,②由 ? ? d ? ?3 ,又∵ ? 7 7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0

3

∴ ?an ? 是递减数列, ∴ S1 , S2 ,?, S12 中 S6 最大. 3、解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,∴ d ?

1 1 n?7 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? 4 4 4
(4n ? 3) ? 7 ,∴ a n 4

又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ?

? b4n?3

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4×12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。
4a1 ? 6d ? ?62 4、解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ? ? ?6a1 ? 15d ? ?75

解得:a1=-20,d=3。

3 43 ⑴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ? (a1 ? a n )n ? n(?20 ? 3n ? 23) ? n 2 ? n; 2 2 2 2
⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3

∴ | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ?? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ?? a14 )

? S14 ? 2S7 ? 147 .
5、 .解: (Ⅰ)由题设知每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯收入与年数 的关系为 f(n) ∴ f (n) ? 50n ? ?12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)? ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 ∴ 40n ? 2n ? 98 ? 0,即n ? 20n ? 49 ? 0
2 2

获利即为 f(n)>0

解之得: 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 即2.2 ? n ? 17.1 ∴当 n=3 时即第 3 年开始获利

又 n∈N,∴n=3,4,?,17

(Ⅱ) (1) 年平均收入= f (n) ? 40 ? 2(n ? 49 ) ∵ n ? 49 ≥ 2 n ? 49 ? 14 , 当且仅当 n=7 时取 “=” n n n n ∴

f (n) ≤40-2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为 12×7+26=110 万元,此时 n=7 ; n

(2)f (n) ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 ∴当 n ? 10, f (n) max ? 102总收益为 102+8=110 万元, 此时 n=10 比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择 第一种。

4


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