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福建省莆田四中2014-2015学年高一下学期期末考试数学理试题


2014-2015 学年莆田四中高一下学期期末试卷 理科数学试题
命题 黄雄林 审核 翁建新 2015.7.9
一、选择题: (共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x,6? ,且 p // q ,则 x 的值为 A.4 B. -4 C. 9 D.-9

>2. 设数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, a n ? 1 ?

1 (n ? 1) ,则 a3 ? a n?1

A.

8 5

B.

5 3

C.

3 2

D.2

3. 已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 A.2 B.4 C.6 D.8

4.数列 ?an ? 的前项 n 和 S n ? 3n 2 ? 5n, 则 a6 的值为 A. 78 B. 58 C. 50 D. 28

5. 已知角 ? 的终边射线与单位圆交于点 P ( , ) ,那么 tan 2? 的值是 A.
4 3

3 4 5 5

B.

3 4

C. ?

24 7

D.

24 7

6. 已知 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6, S3 ? 12 ,则公差 d 等于

A.1

B.

5 3

C.2

D.3
2

7.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点为 2 和 3,那么不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集 为 A. {x | 2 ? x ? 3} B. {x | ?3 ? x ? ?2} C. {x |

1 1 ?x? } 3 2

D. {x | ?

1 1 ?x?? } 2 3

1 sin 2a ? sin 2 a 8.若 sin a ? ,且 a 是第二象限角,则 的值为 5 cos 2 a
A.

6 4

B.

?

6 4

C.

6 1 ? 6 24

D.

?

6 1 ? 6 24

? y ?1 ? 0 9.若 x , y 满足 ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? x ? y 的最小值为-2,则实数 m 的值为 ? x? y ?m ?

A.0

B.2

C .8

D.-1

10.正项等比数列 ?an ? 满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在 am , an ,使得 am ? an ? 16a12 ,则 的最小值为

1 9 ? m n

8 3 D. 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 11.在边长为 1的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? ? CE ,若 AD ? BE ? ? ,则 ? 4
A. 2 B. 16 C. 的值为 A.

1 2

B. 2

C.

1 3

D. 3

12. 已知函数 f ( x) = ?

?2 x ? 1, ( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺序 f ( x ? 1 ) ? 1 , ( x ? 0 ) ?

排列成一个数列,则该数列的通项公式为 A. a n ?

n(n ? 1) 2

B. an ? n ? 1

C. an ? n(n ? 1)

D. an ? 2 n ? 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像可以由 g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移 14. 已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? ______.

1 2

个单位得到.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

15.已知数列 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 首项 a1 ? ?2015, 且 则 S2015 ? .

S2014 S2012 ? ? 2, 2014 2012

16. ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,则下列命题正确的是 ①若 A ? B , 则 cos 2 A ? cos 2 B ③ 若 a ? b ? 2c , 则 C ?
2 ②若 ab ? c , 则 C ?

.

?
3

?
3

④若 (a ? b)c ? 2ab , 则 C ?

?
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 在等比数列 {an } 中, a2

? 3, a5 ? 81 .

(Ⅰ)求 an 及其前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn ? 1 ? log3 an ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前10 项和 T10 . ? bn ? bn?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90° ,且 a= 2 ,求△ ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分)

如图,函数 y=2sin(

? ? x+φ ) x∈R , 其中 0≤φ ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1). 2 2

(Ⅰ)求φ 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角的余弦值.

???? ? ??? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ?

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) , ? 6 ?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点

??? ? ??? ? 1 ( A, ) , b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. 2

21. (本小题满分 12 分) 某房地产开发商投资 810 万元建一座写字楼,第一年装修费为 10 万元,以后每年增加 20 万 元,把写字楼出租,每年收入租金 300 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费 ,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①纯利润总和最大时,以 100 万 元出售该楼; ②年平均利润最大时以 460 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

22. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 及 fn ( x) ? a1x ? a2 x2 ? .... ? an xn , f n (?1) ? (?1)n n , n ? N .
*

(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an ?10 ,求数列 {| bn |} 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 ( ) ? an ?
n

1 2

1 2 3 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 2

2014-2015 学年莆田四中高一下学期期末试卷理科数学试题答案
一、 选择题

BCCDC
13、

CBDCC
14、9

DB
15、 ? 2015 16. ②③

二、填空题 三、解答题

1 4

17.解: (1)设 {an } 的公比为 q,依题意得

1?1 ? 3n ? 3n ? 1 ? a1q ? 3 ?a1 ? 1 n ?1 ,解得 ,因此, , .………5 分 ? an ? 3 Sn ? ? ? 4 q ? 3 a q ? 81 1 ? 3 2 ? ? 1
(2)由(1)知 bn ? 1 ? log3 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,则 所以 T10 ?

1 1 1 1 ? ? ? bn bn?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ? ??? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? …10 分 1? 2 2 ? 3 10 ? 11 2 2 3 10 11 11 11

2 18. 解: (Ⅰ)由题设及正弦定理可得 b ? 2ac ,又 a ? b ,可得 b ? 2c, a ? 2c ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ;--------------------6 分 由余弦定理可得 cos B ? 2ac 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b ? 2ac ,因为 B=90° ,由勾股定理知 b ? a ? c ,
2 2 2 2

故 a ? c ? 2ac ,得 a ? c ?
2 2

2 ,所以△ ABC 的面积为 1.---- -------------12 分.
1 . 2

19. 解: (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

?
2

6 1 5 2 (II)由函数及其图像,得 M ( ? ,0), N ( ,0), P ( ,2) 3 3 3
所以 PM ? (?1,?2), PN ? (1,?2)

,所以 ? ?

?

.……………6 分

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 3 PM ? PN ? ??? ? ? …………12 分 从而 cos ? PM , PN ?? ???? 5 | PM | ? | PN |
法二:正余弦定理照样给分;法三:利用二倍角关系求解按步给分。 20.解: f ( x) ? sin(
7? 1 3 ? 2 x) ? 2 sin2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 2 2

?

1 3 ? co2 sx ? sin 2 x ? s i n (x2? 2 2 6

) … …………………………3 分

(1)最小正周期: T ? 由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ?? , 2 ? 2 k? ?

………… …………………4 分

?
2

6

(k ? Z ) 可解得: k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

所以 f ( x ) 的单调递增区间为: [k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? 所以 A ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ;

………6 分

?
6

)?

?
3

1 ? ? 5? ? 2 k? ( k ? Z ) 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6

,

………………………………………8 分 …………9 分 ……………10 分

又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , 而 AB ? AC ? bc cos A ?

??? ? ????

1 bc ? 9,? bc ? 18 2

? cos A ?

1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 , ?a ? 3 2 . 2 2bc 36 12

……12 分

21.解:(1)设第 n 年获取利润为 y 万 元, n 年共收入租金 300 n 万元,付出装修费构成一个 以 10 为首项,20 为公差的等差数列,…………1 分 共 10 n ?

n(n ? 1) ? 20 ? 10 n 2 …………3 分 2

因此利润 y ? 300n ? (810? 10n 2 ) ,令 y ? 0 ,解得: 3 ? n ? 27 ……5 分 所以从第 4 年开始获取纯利润.………………… 6 分 (2)方案①:纯利润 y ? 300n ? (810? 10n ) ? ?10(n ? 15) ? 1440
2 2

所以 15 年后共获利润:1440+100=1540(万元)…………8 分 方案②:年平均利润 W ?

300n ? (810 ? 10n 2 ) 810 ? 300 ? ( ? 10n) ……9 分 n n

? 300 ? 2
当且仅 当

810 ? 10n ? 120 n

810 ? 10 n ,即 n=9 时取等号 n 所以 9 年后共获利润: 120 ? 9 ? 460 ? 1540 (万元)…………11 分
综上:两种方案获利一样多,而方案②时间比较短,所以选择方案②.… 12 分 22、解: (Ⅰ)由已知 f1 ?? 1? ? ?a1 ? ?1 ,所以 a1 ? 1 .

f 2 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? 2 ,所以 a2 ? 3 .

f 3 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,所以 a3 ? 5 .………1 分
因为 (?1)
n?1

? an?1 ? fn?1 ? ?1? ? fn ? ?1? ? (?1)n?1 ? ? n ?1? ? (?1)n ? n ,…………3 分

所以 an?1 ? (n ? 1) ? n ,即 an?1 ? 2n ? 1. 所以 an ? 2n ? 1 .………………………4 分 注意:若根据 a1 , a 2 , a 3 猜想出通项公式,理科给 1 分,文科给 4 分。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? an ? 10 ? 2n ? 11,故数列 {bn } 的前 n 项和:

n(?9 ? 2n ? 11) ? n 2 ? 10 n , 2 11 由 bn ? 0 得 n ? , 2 Sn ?

…………………5 分

则当 1 ? n ? 5 , (n ? N * ) 时, Tn ?| b1 | ? | b2 | ??? | bn |? ?(b1 ? b2 ? ? ? bn ) = ? S n ? ?n 2 ? 10n ; 当 n ? 6 , (n ? N * ) 时, ………………6 分

Tn ?| b1 | ? | b2 | ??? | bn |? ?(b1 ? b2 ? ? ? b5 ) ? b6 ? ? ? bn
= S n ? 2S5 ? n 2 ? 10n ? 2(52 ? 10? 5) ? n 2 ? 10n ? 50 ;…………………7 分

?? n 2 ? 10 (1 ? n ? 5, n ? N * ) ? 综上, Tn ? ? ?n 2 ? 10n ? 50 (n ? 6, n ? N * ) ?
(Ⅲ)令 cn ? ( ) (2n ? 1) ,
n

…………………8 分

1 2

1 1 1 cn ?1 ? cn ? ( ) n ?1 (2n ? 1) ? ( ) n (2n ? 1) ? ( ) n ?1 (3 ? 2n) ……………………9 分 2 2 2 1 3 ∴当 n=1 时, c1 ? ;当 n=2 时, c2 ? ; 2 4
当 n ? 2时,cn?1 ? cn . ∴当 n=2 时, cn 取最大值 又 ( ) ? an ?
n

3 4

………………10 分

1 2 3 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,………………………11 分 4 2 1 2 3 3 即 m ? m ?1 ? 对一切正整数 n 恒成立,得 m ? 1或m ? ?7 …………12 分 4 2 4

1 2


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