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江苏省清江中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


清江中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷
参考公式:若样本数据 x1,x1,?,xn 的平均数为 x ,

s2 ?
则它的方差

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

它的标准差为

s ?

s2

一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分。请将正确答案填入答题纸相应的空 格上) 1.某班级共有学生 52 人,现将所有学生按 01,02,03,?,52 随机编号,若用系统抽样的方 法抽取一个容量为 4 的样本.已知 04 号,17 号,43 号同学在样本中,那么样本中还有一个 同学的学号是 ▲ . 2. 某单位招聘员工,有 200 名应聘者参加笔试,随机抽查了其中 20 名应聘者的笔试试卷, 统计他们的成绩如下表: 分数段 人数
[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95)

1

3

6

6

2

1

1

由此可以估计 200 名应聘者中达到 80 分及以上的有 人. 3. 交通管理部门为了了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、 丙、 丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N, 其中甲社区有驾驶员96
[Z-XK]

人.若在甲、 乙、 丙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 16,21,24,39, 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 .
9 5 x 0 6 7 8 9

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到 ? 0,1? 的距离为 1 ,则点 P 到 4. 已知椭圆 3 4

? 0, ?1? 的距离是

.

5. 某中学高三(1)班中选出 5 名学生参加数学竞赛,他们取得的成

第 5题图

绩(满分 100 分)的茎叶图如图, 这 5 名学生成绩的众数是 85, 则这组数据的方差为 _______. 6. 右面程序执行后输出的结果是 ▲ .
n ?1

x2 y 2 7. 已知双曲线 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合, 4 b2
则该双曲线的渐近线方程是________. 8. 已 知 m ???1, 0 , ??? ?1n ,

s ?1
While s ? 24

s ? s ?n
n ? n ?1

1,, 1 若 随 机 选 取 m, n ?

,则直线

End Print

While n
第 6 题图

mx ? ny ? 1 ? 0 恰好不经过第二象限的概率是________.
? ?0≤x≤2, 9. 不等式组? 表示的平面区域为 D, 在区域 D 内随机取一 ?0≤y≤2 ?

个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是________.

第 10 题图

10. 如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽_____米. 11. 已知命题“ ?x ?[1, 2] ,使 x ? 2 x ? a ? 0 ”为假命题,则 a 的取值范围是 ▲ 12. 下面给出的四个命题中: ①命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”;
2

.

“若 x ? 2, 则 x ? 4 ”的否命题是真命题. x2 y2 ③方程 + =1 表示双曲线的充要条件是 k∈(-1,5). k+1 k-5
2

④命题“在 ?ABC 中,若 A ? 45 ,则 sin A ? 其中是真命题的有

?

2 ”的逆否命题是真命题; 2

(将你认为正确的序号都填上)

13. 设命题 p : 4x ? 3 ? 1 ;命题: q : x2 ? ? 2a ? 1? x ? a2 ? a ≤0.若 ? p 是 ? q 的必要而不 充分条件,则实数 a 的取值范围是 14. 已知椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 a 2 b2 ? π π? AF ? BF , 设 ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ?12 4 ? 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,分值依次为 14+14+15+15+16+16。请将答案写在 答题纸相应的矩形区域内,要写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的标准方程; (2)已知双曲线中心在坐标原点, 左顶点为 A,右焦点 F 坐标为 (2, 0) , 一条渐近线方程为

??? ? ??? ? y ? 3x ,P 为双曲线右支上一点,求 PA ? PF 的最小值 16.(本小题满分 14 分)在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ? BD , E,F 分别是 AB,BD 上的点,且 AD // 平面 CEF . (1)求证: EF // AD ; (2)若 E 是 AB 的中点,求证: BD ? 面EFC 。

B F D E

C
(第16题图)

A

17.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生, 将其数学成绩(均为整数)分成六组 [90,100),[100,110),?,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图.图中从左到右各小长 方形的高之比是 2 : 3 : 3 : x : 5 :1 ,最后一组的频数 3,观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数落在 ?120,130? 的频率及抽取学生的总数;

100+110 (2)若在同一组数据中, 将该组区间的中点值(如: 组区间[100,110)的中点值为 =105.) 2 作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成 一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

频率/组距

0.015

90 100

110

120 130 140 150

分数

第 17 题图

18. 一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字. (1) 若抛掷一次,求能看到的三个面上数字之和大于 6 的概率; (2)若抛掷两次,以第一次朝下面的数字为横坐标 a ,第二次朝下面的数字为纵坐标 b , 求点( a , b )落在直线 x ? y ? 1 下方的概率. (3)若抛掷两次,记朝下面的点数分别为 m,n,向量 a ? (m, n) 与向量 b ? ?1, 0 ? 的夹角记 为 ? ,求 ? ? ? 0,

?

?

? ?? ? 的概率. ? 4?

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆; 19.已知命题 p : 方程 a?5 7?a 2 命题 q :集合 A ? ? x | x ? ? a ? 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R? , B ? ?x | x ? 0? 且 A ? B ? ? .
若 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 15 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,短轴两个端点为 A 、 B , a b
且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C 、D 分别是椭圆长轴的左、 右端点, 动点 M 满 足 MD ? CD ,连结 CM ,交椭圆于点 P .证明:
A P C F1 B O F2 D x y M

???? ? ??? ? OM ×OP 为定值;
(3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的

定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若 不存在,说明理由.

江苏省清江中学 2015-2016 学年度第一学期期中试卷

高二数学试卷答题纸
一.填空题 1. 5. 10. 二.解答题 ; 2. ; 6. ; 11. ; 7. ; 12. ; 3. ; 8. ; 13. ; 4. ; 9. ; 14. ; ; ;

15. (本小题满分 14 分)

16. (本小题满分 14 分)

B F D C E A
(第16题图)

17. (本小题满分 15 分)

18. (本小题满分 15 分))

19. (本小题满分 16 分))

20. (本小题满分 16 分))
A

y M P C F1 B O F2 D x

参考答案与评分标准
一.填空题 1.30;2.40;3.600;4.3;5.36.4;6.6;7. y ? ?

1 2 5 ; x ;8. ;9. 6 ? 2

2 6 ? 1? , ]; 10.2 6;11. [?3, ??) ;12.①_③;13. ?0, ? ;14. [ 2 3 ? 2?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,分值依次为 14+14+15+15+16+16.) 15.(1)解析 设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,代入点 ( ? 2 , ? 2 ) , b2 ? 5 4 ? b2 b2
??????5 分

x2 y 2 则椭圆方程是 8 ? 4 ? 1 .

y2 (2)解析 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A(-1,0),F(2,0),则有 3 =x2-1,?9 分 → → y2=3(x2-1),PA1· PF2=(-1-x,-y)· (2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2= → → ? 1? 81 4x2-x-5=4 x-8 2-16,其中 x≥1.因此,当 x=1 时,PA1· PF2取得最小-2. ……14 分 ? ? 16.解:(1)? AD//面 CEF,AD ? 面 ABD,面 CEF ? 面 ABD=EF,? EF // AD ......6 分 (2)? EF / / AB, AB ? BD,? EF ? BD ......8 分 ......9 分 若 E 是中点,因为 EF//AD,所以 F 为 BD 中点,又 CB=CD,? CF ? BD

? ? EF ? BD ? CF ? EF ? F ? ? ......14 分 ? ? BD ? CEF , CF ? CEF ? EF ? CEF ? ? ? 17. 解 (1) 从左到右各小长方形的高之比是 2 : 3 : 3 : x : 5 :1 ,第二组的小长方形 的高为 0.015, 则第二组的频率为 0.015 ?10 ? 0.15 ,所以第一组、第三组、第五组、 第六组的频率分别为 0.1 、 0.15 、 0.25 、 0.05 ,所以 分数落在 ?120,130? 的频率为
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=0.3, 最 后 一 组 的 频 率 为 0.05 , 抽 取 学 生 的 总 数 为

CF ? BD

3 ? 60 人. ......4 分 0.005 (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
......8 分

(3)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人). [120,130)分数段的人数为 60×0.3=18(人).
......10 分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴ 需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,则基本事件共有(m,n),(m, a),?,(m,d),(n,a),?,(n,d),(a,b),?,(c,d)共 15 种......12 分 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a), (n,b),(n,c),(n,d)共 9 种. ......14 分 9 3 ∴P(A)=15=5.

......15 分

18.解: (1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于 6”为 A,抛掷这颗正四面体骰子,抛掷 后能看到的数字构成的集合有{2,3,4},{1,3,4}, {1,2,4},{1,2,3},共有 4 种 情形,其中,能看到的三面数字之和大于 6 的有 3 种, 3 则 P ( A) ? ; ......4 分 4 (2) 记事件 “抛掷后点 ( a, b ) 在直线 x ? y ? 1 的下方” 为 C, 要使点 ( a, b ) 在直线` x ? y ? 1 的下方,则须 b ? a ? 1 , 当 b ? 1 时, a ? 3 或 4;当 b ? 2 时, a ? 4 , 则所求的概率 P(C)=

? ? a ?b m ? ?? ? ?? (3)记事件“抛掷两次,? ? ? 0, ? ”为 B, cos ? ? ? ? ? ? ? ? 0, ? 时, 2 2 ? 4? ? 4? a b m ?n

3 . 16

......9 分

2 ? cos ? ? 1 ,?m ? n ,两次朝下面上的数字构成的数对有共有 16 种情况,其中能够 2
使得 m ? n 的为 (2, 1) , (3, 2) (3, 1) , (4, 3) , ( 4, 2) , (4, 1) 共 6 种,则 P (B) = 19.解:对 p:若命题 p 为真,则有 a ? 5 ? 0,7 ? a ? 0,7 ? a ? a ? 5 即 ?5 ? a ? 1 ;.....................2 分 对 q:∵ B ? {x | x ? 0}且 A ? B ? ? ∴若命题 q 为真,则方程 g(x) ? x ? (a ? 2)x ? 1 ? 0 无解或只有非正根.
2

6 3 ? . 16 8

......15 分

? ? ??0 ? 2 ∴ ? ? (a ? 2) ? 4 ? 0 或 ? g (0) ? 0 , ∴ a ? ?4 ......................8 分 ? a?2 ?? ?0 ? 2
∵p, q 中有且只有一个为真命题

??5 ? a ? 1 ,即有 ?5 ? a ? ?4 ;.............11 分 ?a ? ?4 ?a ? 1, a ? ?5 (2) p 假,q 真:则有 ? ,即有 a ? 1 ;.............14 分 ?a ? ?4
∴ (1) p 真,q 假:则有 ? ∴ ? 5 ? a ? ?4 或 a ? 1 . ....................16 分

20. 解: (1)如图,由题意得, 2b ? 2c ? 2 2 .? b ? c ?
?

2 ,a ? 2.
………3 分

所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)由(Ⅰ)知, C ( ?2 ,0) , D (2,0) .

………………4 分

由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2) , P ( x1 , y1 ) . . ? MD ? CD ,? M (2, 4k ) ……5 分
y A P C F1 B O F2 D x M

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?4 整理 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 .

8k 2 ? 4 , ? ?2x1 ? 1 ? 2k 2
? x1 ?

2 ? 4k 2 . 1 ? 2k 2

……7 分

y1 ? k ( x1 ? 2) ?

2 ? 4k 2 4k 4k P ( , ). , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 ? 2k

……9 分

???? ? ??? ? 2 ? 4k 2 4k 4(1 ? 2k 2 ) ? 4k ? ? ? 4 .……10 分 ? OM ? OP ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ???? ? ??? ? 即 OM ? OP 为定值. (3)设 Q ( x0 , 0) ,则 x0 ? ?2 .
若以 MP 为直径的圆恒过 DP , MQ 的交点,则 MQ ? DP ,……12 分

???? ? ??? ? ? MQ ? DP ? 0 恒成立. ???? ? ??? ? ?8k 2 4k , ). 由(Ⅱ)可知 QM ? (2 ? x0 , 4k ) , DP ? ( 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

???? ? ??? ? ?8k 2 4k ? 4k ? ? 0. ? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

……14 分



8k 2 x0 ? 0 恒成立. ? x0 ? 0 . 1 ? 2k 2

……16 分

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