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第10讲 算术平均数与几何平均数(一)


算术平均数与几何平均数( 算术平均数与几何平均数(一)
旧知要点: 1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:a>b,c>d,是同向不等式 异 向不等式:两个不等号方向相反的不等式 例如:a>b,c<d,是异向不等式 2.不等式的性质: 定理 1:如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b.(对称性) 即:a>b ? b<a;b<a ? a>b 定理 2:如果 a>b,且 b>c,那么 a>c.(传递性) 即 a>b,b>c ? a>c 定理 3:如果 a>b,那么 a+c>b+c. 即 a>b ? a+c>b+c 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d.(相加法则) 即 a>b, c>d ? a+c>b+d. 定理 4:如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc; 如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. 推论 1 如果 a>b >0,且 c>d>0,那么 ac>bd.(相乘法则)
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推论 2 若 a > b > 0, 则a n > b n (n ∈ N 且n > 1)
定理 5 若 a > b > 0, 则 n a > 一、讲解新课: 讲解新课: 1.重要不等式: 如果 a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号) 2.定理:如果 a,b 是正数,那么 说明:ⅰ)我们称
n

b (n ∈ N 且n > 1)

a+b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数,因而,此 2
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a+b ≥ ab (当且仅当a = b时取" =" 号). 2

定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ⅱ) a
2

+ b 2 ≥ 2ab和
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a+b 2

≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,
D ab a C D' b B

而后者要求 a,b 都是正数 ⅲ) “当且仅当”的含义是充要条件 A 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦” 以长为 a+b 的线段为直径作圆, 在直径 AB 上取点 C, AC=a,CB=b 使
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过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′,那么 CD = CA ? CB ,即 CD =
2

ab

这个圆的半径为

a+b a+b ,显然,它不小于 CD,即 ≥ ab ,其中当且仅当点 C 与 2 2
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圆心重合;即 a=b 时,等号成立

二、讲解范例: 讲解范例: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值

1 2 S . 4

( ( ,求证: 例 2 已知: a+b) x+y)>2(ay+bx)

x? y a?b + ≥2 a?b x? y

三、课堂练习: 课堂练习 1 已知 a、b、c 都是正数,求证(a+b) b+c) c+a)≥8abc ( (
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2 已知 x、y 都是正数,
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求证:(1)

y x + ≥2; x y
2 2 3 3 3 3
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(2)(x+y) x +y ) x +y )≥8x y ( (

3 求证: (
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a + b 2 a 2 + b2 )≤ 2 2

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六、课后作业: 课后作业 (1)“a+b≥2 ab ”是“a∈R ,b∈R ”的( R R
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)
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A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件 (2)设 b>a>0,且 a+b=1,则此四个数 Ab
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B a +b
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2

2

C 2ab
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1 2 2 ,2ab,a +b ,b 中最大的是( 2 1 D 2
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)

(3)设 a,b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( R A 1≤ab≤
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)

a2 + b2 2


B ab<1<
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a2 +b2 a2 + b2 a2 +b2 C ab< <1 D <ab<1 2 2 2
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(4)已知 a,b∈R 且 a+b=4,则下列各式恒成立的是( R A
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)

1 1 ≥ ab 2

B

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1 1 + ≥1 a b
B



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ab ≥2
)

D

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1 1 ≤ 2 a +b 4
2

(5)若 a>b>0,则下面不等式正确的是( A

2ab a + b < < ab a+b 2 2ab a+b C < ab < a+b 2
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a + b 2ab < < ab 2 a+b 2ab a + b D ab < < a+b 2
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(6)若 a,b∈R 且 a≠b,在下列式子中,恒成立的个数为( R ①a +3ab>2b A4
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2

2

②a +b >a b +a b B3
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3 2

2 3

③a +b ≥2(a-b-1) ④ C2
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2

2

a b + >2 b a

D1
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(7)已知 x>y>0,xy=1,求证:

x2 + y2 ≥2 2 x? y

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(8)已知 a,b∈R,证明:log2(2 +2 )≥ R

a

b

a+b+2 2

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(9)若 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1, R 求证:



1 1 1 9 + + ≥ a+b b+c c+a 2

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(10)已知方程 ax +bx+c=0 有一根 x1>0,求证:方程 cx +bx+a=0 必有一根 x2,使得 x1+x2≥2
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2

2


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