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高中数学必修2(人教A版)第三章直线与方程3.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率

一、学习任务 1. 了解确定直线位置的几何要素(两个点、一点和方向);理解直线的斜率和倾斜角的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式,了解直线的倾斜角的范围;理解直线的斜率和倾斜角之 间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 2. 能根据斜率

判定两条直线平行或垂直. 二、知识清单
直线的基本量与方程

三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述: 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角(angle of inclination).直线倾斜角α 的取值范围为0 ? ≤ α < 180 ? .

直线斜率 直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).斜率常用小写字母k 表示,即k = tan α. 倾斜角是90? 的直线没有斜率.我们得到经过两点P1 (x1 , y 1 ),P2 (x2 , y 2 )(x1 ≠ x2 ) 的直线斜率 公式k = 直线的方程 点斜式:直线 l 经过点P0 (x 0 , y 0 ),且斜率为k ,设点P (x, y) 是直线 l 上不同于点P0 的任意一 点,因为直线 l 的斜率为k ,由斜率公式得k =

y2 ? y1 . x2 ? x1

y ? y0 ,即y ? y 0 = k(x ? x0 ),我们把个方程 x ? x0 叫做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form),当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没
有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 斜截式:如果直线 l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0, b),代入直线的点斜式方程得

y ? b = k(x ? 0)

(0, b)

(0, ) y ? b = k(x ? 0),即y = kx + b,我们把直线 l 与y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做直线 l 在y 轴上
的截距(intercept).此方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式(slope intercept form).当直线 l 的倾斜角为90? 时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示. 两点式:

y 1 ≠ y 2 )的直线方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式(two-point form). y x 截距式: + = 1 ,a ,b 分别是直线在x轴,y 轴上的截距,我们把此方程称之为直线的截距 a b
式方程,简称截距式. 一般式:我们把关于x ,y 的二元一次方程Ax + By + C = 0(其中A ,B 不同时为0 )叫做直线 的一般式方程,简称一般式(general form).

y ? y1 x ? x1 ,这是经过两点P (x1 , y 1 ) ,P (x2 ,y 2 )(其中x1 ≠ x2 , = y2 ? y1 x2 ? x1

例题: 已知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为 45? < α < 135 ? ,则其斜率的取值范围是 . ? ? ? ? ? ? 解:(?∞, ?1) ∪ (1, +∞). 设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45? ,得到直 线 l 1 ,那么 l 1 的倾斜角为( ) ? ? A.α + 45 B.α ? 135 C.135 ? ? α D.当 0 ? ≤ α < 135 ? 时,倾斜角为 α + 45? ;当 135 ? ≤ α < 180 ? 时,倾斜角为 α ? 135 ? . 解:D 根据题意,画出图形,如下图所示.

因为 0 ? ≤ α < 180 ? ,结合图形可知,需按 α 和 135 ? 的大小分成两类. 已知直线经过点 A(?a, 6),B(1, 3a),且斜率为 12,求 a 的值. 解:由题意得

3a ? 6 = 12 ,所以 3a ? 6 = 12 + 12a,解得 a = ?2 . 1+a

求证:A(1, 5)、B(0, 2)、C (2, 8) 三点共线. 证明:利用斜率公式计算出 AB 和 AC 两条直线的斜率.

5?2 8?5 = 3 ,kAC = = 3. 1?0 2?1 因为 kAB = kAC ,又过同一点 A ,所以 A 、B 、C 三点共线. kAB =
已知两点 P (?3, 4) ,Q(3, 2),过点 A(1, 0) 的直线 l 与线段 P Q 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解:如下图:

4?0 2?0 = ?1 ,kAQ = = 1. ?3 ? 1 3?1 (1)要使直线 l 与线段 P Q 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k ≤ ?1 或 k ≥ 1. (2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 P A 与 AQ 的倾斜角之间,又 P A 的倾斜角是 135 ? ,QA 的倾斜角是 45? ,所以 α 的取值范围是 45? ≤ α ≤ 135 ? .
由题意可知 kPA = 给出下列四个命题: ①一条直线必是某个一次函数的图象. ②一次函数 y = kx + b 的图像必是一条不过原点的直线. ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则此方程叫做这条直线的方程. ④以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:A 对于①,一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线,但任意一条直线不一定是某个一次函数的图 像,如直线 x = 2 不是一次函数的图象,故不正确; 对于②,函数 y = kx + b,当 b = 0 时,直线过原点,故不正确; 对于③④,方程是直线的方程和直线是方程的直线应该满足两条:以一个方程的解为坐标的点都 是这条直线上的点,反过来,这条直线上所有点的坐标都是方程的解,这两个条件缺一不可,如 第一、三象限角平分线上的点都是方程 (x + y)(x ? y) = 0 的解,但是此方程不是第一、三象限 角平分线的方程,又如以方程 y = x + 1(x ≥ 0) 的解为坐标的点都在直线 y = x + 1 上,但方 程 y = x + 1(x ≥ 0) 不是直线 y = x + 1 的方程,故不正确. 下列命题中的真命题是( ) A.过定点 P0 (x 0 , y 0 ) 的直线都可用方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) 表示 B.过定点 A(0, b) 的直线都可用方程 y = kx + b 表示 C.过任意两个点 P1 (x 1 , y 1 )、P2 (x2 , y 2 ) 的直线都可用方程 (y ? y 1 )(x2 ? x1 ) = (x ? x1 )(y 2 ? y 1 ) 表示 D.不过原点的直线都可用方程 解:C 点斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线,故A、B错,截距式方程除了不能表示过原 点的直线之外,还不能表示与坐标轴平行的直线,故D错. 直线 ax + by + c = 0 经过第一、二、四象限,则 a 、b 、c 应满足( ) A.ab > 0 ,bc < 0 B.ab < 0 ,bc > 0 C.ab > 0 ,bc > 0 D. ab < 0 ,bc < 0 解:A 直线经过第一、二、四象限,则直线的斜率小于零,纵截距大于零,所以 ab > 0 ,bc < 0 . 根据下列条件,分别写出直线的方程:

y x + = 1 表示 a b

√3 ,与 x 轴交点的横坐标为 ?7; 2 (2)过点 P (?1, 2) 且与 x 轴有相同斜率; (3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) ; (4)过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
(1)斜率为 解:(1)由直线与 x 轴交点的横坐标为 ?7,得直线过点 (?7, 0) ,又斜率为 方程为 y ? 0 =

√3 [x ? (?7)],整理得 2 √3 x ? 2y + 7√3 = 0.

√3 ,所以直线 2

(2)因为 x 轴的斜率为 0 ,而直线与 x 轴有相同的斜率,所以它的斜率 k = 0,故直线方程 为 y ? 2 = 0 × [x ? (?1)],即

y ? 2 = 0. y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

(3)过点 A(?5, 0) 和点 C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0.
(4)设直线与两坐标轴的交点为 (a, 0)、(0, b). (i)当 ab ≠ 0 时,直线方程为

y x + = 1 ,由点 P 在直线上得 a b 2 3 + =1 a b ??①

又由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等得

|a| = |b|

??②

由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = ?1 ,b = 1 ,所以直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0. (ii)当 a = b = 0 时,直线过原点和 P (2, 3) ,所以直线方程为 3x ? 2y = 0 . 综上可知,所求直线方程为 x + y ? 5 = 0 或 x ? y + 1 = 0 或 3x ? 2y = 0 . 已知三角形的顶点是 A(?5, 0) ,B(3, ?3) ,C (0, 2) ,求 AC 边所在直线的方程,以及该边上的 中线所在直线的方程. 解:过点 A(?5, 0) ,C (0, 2) 的两点式方程为

2x ? 5y + 10 = 0 ,这就是 AC 边所在直线的方程. ?5 + 0 5 ? ? ?x = =? , 2 2 即 D(? 5 , ?1). 设边 AC 的中点为 D(x, y),则 ? 0 + 2 2 ? ?y = = 1, 2 y ? (?3) x?3 由两点式得直线 BD 的方程为 ,整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ,这就是 = 1 ? (?3) ? 5 ?3 AC
2

y?0 x ? (?5) ,整理得 = 2?0 0 ? (?5)

AC 边上的中线所在直线的方程.

2

四、课后作业

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1. 若经过 P (?2, m) 和 Q (m, 4) 的直线的斜率为 1 ,则 m = ( A.1
答案: A

)
D.1 或 4

B.4

C.1 或 3

2. 已知直线 l 的倾斜角为 α,且 0 ? ? α < 135 ? ,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( A.[0, +∞)
答案: D 解析:

)

C.[?1, +∞)

B.(?∞, +∞)

D.(?∞, ?1) ∪ [0, +∞)

∵ 0 ? ? α < 135 ? ,∴ tan α ? 0 或 tan α < ?1 ,即斜率 k 的取值范围为 (?∞, ?1) ∪ [0, +∞).

3. 函数 y = f (x) 的图象如图所示,在区间 [a, b] 上可找到 n (n ? 2) 个不同的数 x1 , x2 , ? , xn ,使得

f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n ) ,则 n 的取值范围是 ( = =?= x1 x2 xn

)

A.{3, 4}
答案: B

B.{2, 3, 4}

C.{3, 4, 5}

D.{2, 3}

解析: 可看作过原点的直线与函数图象的交点可能有多少个.

4. 已知 a > 0 ,若平面内三点 A (1, ? a) , B (2, a2 ) , C (3, a3 ) 共线,则 a =
答案: 解析: 由题意知



1 + √2

kAB = kBC ,即 a2 + a = a3 ? a2 ,亦即 2a2 = ?a + a3 ,又 a > 0 ,解得 a = 1 + √2 .

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