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广东省中山市2012-2013学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)


中山市 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

高三数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分 钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.

第Ⅰ 卷(选择题共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4,6} ,则图中的阴影部分 表示的集合为 ( A. ?2? C. ?1,3,5? ) B. ?4, 6? D. ?4,6,7,8? )

2.等差数列 {an } 的前n项和为 Sn ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30 ,则 S13 的值是( A.130
a b

B.65

C.70 ) B.必要不充分条件

D.75

3.“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形
2

B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ) D. ?

5.直线 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0,

?
4

]

B. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?

6.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个, 则取出的编号互不相同的概率为( A. ) C.

5 21

B.

2 7

1 3

D.

8 21

7.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7

) D.n ? 8

8.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水,将容器底面一 边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;
A1 D1

②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) D.①③④
B C A B1 E F D H G C1

C.②④

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.在二项式 ?x ? 2? 的展开式中,含 x 的项的系数是__________
6
3

10.曲线 C : y ? x 2 、直线 l : x ? 2 与 x 轴所围成的图形面积为_________ 11.已知函数 f ?x ? 的导数 f ? ? x ? ? a ? x ?1?? x ? a ? , 若f ? x ? 在x ? a 处取得极大值,则 a 的 取值范围为__________ 12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ... 13.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A , B 两点,且 AB ?

3, 则

OA? OB 的值是
14.如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”:

1

22

32

3 3
23
3
3

1 3 5

42

1 3 5

5

7 9 11 25 27 29

43

7 13 15 17 19
61 63 65 67

7
24
3
4

9

44

仿此, 6 的“分裂”中最大的数是

2

; 2013

3

的“分裂”中最大的数是



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
? 15.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ) 的部分图象如下图所示, 2 B , C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积 该图象与 y 轴交于点 F (0,1) ,与 x 轴交于点

为?. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ? ) ?
? 6 2 5 ? ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 5 2 4

x

16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的 前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1 ?

(1) 求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

1 bn ( n ? N * ). 2

C1 D

17. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、E 分别为 A1 B1 、AA1 的中点, F 在棱 AB 上, 点 且 AF ?
1 AB . 4

A1

B1

E C

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.
A F

B

18.(本小题满分 14 分)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生 产产量(单位:万盒)的数据如下表所示: 月份 x y (万盒) 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6

? ? ? (Ⅰ)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ,根据表中数据已经正确计算
? ? 出 b ? 0.6 ,试求出 a 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数;

(Ⅱ) 若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒, 小红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊, 后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊 均存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ? ,求 ? 的分布 列和数学期望. 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a, b 是常数. 3

(Ⅰ)已知 a ? ?0,1,2?, b ? ?0,1,2? ,求事件 A :“ f ?1? ? 0 ”发生的概率; (Ⅱ)若 f ?x ? 是 R 上的奇函数, g ?a ? 是 f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值,求当 a ? 1 时

g ?a ? 的解析式;
(Ⅲ) y ? f ?x ? 的导函数为 f ?? x ? , 记 则当 a ? 1 时, 对任意 x1 ? ?0,2?, 总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ln x , f (1) ? 0 . x

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线的斜率为 0 ,且

an?1 ? f ?(

1 ) ? n2 ? 1 ,已知 a1 ? 4 ,求证: an ? 2n ? 2 ; an ? n ? 1
2 1 1 1 1 与 的大小,并说 ? ? ? ... ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 5

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较 明你的理由.

中山市高三级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 B 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D

1 9.160; 10. 8 ; 11. ? 1 ? a ? 0 ; 12. 6 ? 2 3 ; 13. ? ; 3 2
14 . 11 ( 本 空 2 分 ) ; m ( m 为 奇 数 ) 的 “ 分 拆 ” 的 最 大 数 是 m ? m ? 1 , 所 以
3 2 2 2 0 1 3 ? 2 0 1? 2

4 0 5 4 (本空 3 分,写成“ 20132 ? 2012 ”或“ 4054181 ”都给 3 分) 181

三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 1 ?? 解:(I)∵ S?MBC ? ? 2 ? BC ? BC ? ? , ∴周期 T ? 2? ? , ? ? 1 ……….2 分 2 ? 1 由 f (0) ? 2sin ? ? 1 ,得 sin ? ? , ……………………………………3 分 2 ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? , 2 6

? ∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . 6

…………………………………………….6 分
2 5 5 ,得 sin ? ? , 5 5

(Ⅱ)由 f (? ? ) ? 2sin ? ?
? ∵ ? ? (0, ) , 2

? 6

∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

2 5 , 5

3 4 ∴ cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5 ? ? ? ∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin 4 4 4
3 2 4 2 2 ? ? ? ? ?? . 5 2 5 2 10

…………………….12 分

16.(本小题满分 12 分)
2 解:(Ⅰ)∵ a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {an } 的公差 d ? 0 ,

∴ a3 ? 5, a5 ? 9 ,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. 5?3
*

∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. ( n ? N ) 又当 n=1 时,有 b1=S1=1-

………………4 分

1 2 b1 ,? b1 ? . 2 3

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n ?1 ? ∴数列{bn}是等比数列, b1 ?
n ?1 ? ∴ bn ? b1 q

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

2 1 ,q ? . 3 3
*

2 . 3n

( n? N )

…………8 分 …………10 分

2(2n ? 1) 2(2n ? 1) , c n ?1 ? , n 3 3 n ?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) ? ? ? 0. ∴ c n ?1 ? c n ? 3 n ?1 3n 3 n ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n bn ? ∴ cn?1 ? cn .

…………………………12 分

17.(本小题满分 14 分) (I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? 又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M
1 AB ? F 为 AM 的中点, 4
A1 D C1

B1

E C

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD,
? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D

? EF // 平面 BC1 D

…………………….7 分

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 AG 1 AG 3 ? ? ? , ? ? , 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在

1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC
? AG ? 3 AC ? AC 2 ……………………….14 分

18.(本小题满分 14 分) 1 1 解:(Ⅰ) x ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3, y ? (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5 , 5 5 ? 因线性回归方程 y ? bx ? a 过点 ( x, y) , ∴ a ? y ? bx ? 5 ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ,
? ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y ? 0.6 ? 6 ? 3.2 ? 6.8

…………….6 分

(Ⅱ) ? ? 0,1, 2,3,
P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
3 C5 10 5 C1C 2 40 10 ? ? , P(? ? 1) ? 4 3 5 ? ? , 3 84 21 C9 84 42 C9

2 1 C4 C5 30 5 C3 4 1 ? ? , P(? ? 3) ? 4 ? ? . 3 3 84 14 C9 C9 84 21

…………………….10 分

其分布列为
?

0
5 42

1
10 21

2
5 14

3
1 21

P
? E? ?

5 10 5 1 4 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 42 21 14 21 3

…………………….14 分

19.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)当 a ??0,1,2?, b ??0,1,2? 时,等可能发生的基本事件 ( a, b) 共有 9 个:

(0,,,,, ,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2),(1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).
其中事件 A : “ f (1) ?

1 ? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).
6 2 2 ? . 即事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 …………………….4 分 9 3 3 1 3 (Ⅱ) f ( x ) ? x ? ax ? b, 是 R 上的奇函数,得 f (0) ? 0, b ? 0. (5 分) 3 1 3 2 ∴ f ( x ) ? x ? ax, f ?( x) ? x ? a , 3
故 P ( A) ? ① 当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递 减,从而 g ( a ) ? f (1) ?

1 ?a ; 3

② 当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上单调递 增,从而 g (a ) ? f ( ?1) ? ?

1 ?a, 3

? 1 ? a ? 3 , a ? ?1 ? . 综上,知 g (a ) ? ? ??a ? 1 , a ? 1 ? 3 ?
(Ⅲ)当 a ? 1 时,

…………………….9 分

f ?x ? ?

1 3 x ? x ? b,? f ??x ? ? x 2 ? 1 3

当 x ? ?0,1?时f ??x ? ? 0, 当x ? ?1,2?时f ??x ? ? 0

2 ? ? f ?x ?在?0,1?上递减,在1,2?上递增,即 f ? x ?min ? f ?1? ? ? ? b 3
又? f ?0? ? b, f ?2? ?

2 2 ? ? 2 ? b ? f ?0? ,?当x ? ?0,?时,f ?x ? ? ?? ? b, ? b? 2 3 3 ? ? 3

2 而 f ? ? x ? ? x ?1在x ??0,2? 上递增 , f ?( x) ? [?1,3]

? 对任意 x1 ? ?0,2?,总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 )
2 ? ? 2 即 ? f ? x ?的值域 ? f ? ? x ?的值域, ?- ? b, ? b ? ? ? ?1,3? 3 ? ? 3

2 1 7 2 ? - ? b ? ?1 且 ? b ? 3 ,解得 ? ? b ? 3 3 3 3
20.(本小题满分 14 分) 解(Ⅰ)? f (1) ? a ? b ? 0 ? a ? b ,

.…………………….14 分

? f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x , x

? f ? (x ) a ? ?

a 2 ? . x2 x

要使函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,则在定义域 (0, ??) 内, ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ?

2 ? 0 在定义域 (0, ??) 内恒成立, x

此时函数 f ( x ) 在其定义内为单调递减函数,满足题意; ②当 a ? 0 时, 要使 f ?( x) ? a ?

a 2 1 1 1 1 ? ? a( ? ) 2 ? a ? ? 0 恒成立, a ? ? 0 , 则 2 x x x a a a

解得 a ? 1 ;此时函数 f ( x ) 在其定义内为单调递增函数,满足题意; ③ 当 a ? 0 时, f ?( x) ? a ? 减函数,满足题意; 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] ? [1, ??) ; (注: 本问也可采用“分离变量”的方法,酌情给分)
2 (Ⅱ)由题意知 f ?(1) ? 0 ,可得 a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,所以 f ?( x) ? ( ? 1)

a 2 ? ? 0 恒成立;此时函数 f ( x) 在其定义内为单调递 x2 x

…………………….4 分

1 x

于是 an ?1 ? f (
/

1 2 下面用数学归纳法证明 an ? 2n ? 2 ) ? n2 ? 1 ? an ? 2nan ? 1 , an ? n ? 1

成立,数学归纳法证明如下: (i)当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 2 ?1 ? 2 ,不等式成立; (ii)假设当 n ? k 时,不等式 ak ? 2k ? 2 成立,即 ak ? 2k ? 2 成立, 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak (ak ? 2k ) ? 1 ? (2k ? 2) ? 2 ?1 ? 4k ? 5 ? 2(k ?1) ? 2 , 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立, 由(i)(ii)知 ?n ? N 时都有 an ? 2n ? 2 成立
*

. …………………….8 分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得

an ? an?1 (an?1 ? 2n ? 2) ? 1 ? an?1[2(n ?1) ? 2 ? 2n ? 2] ? 1 ? 2an?1 ? 1 ,( ?n ? N * , n ? 2 )
于是 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , ( ?n ? N * , n ? 2 )成立, 所以 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) , a3 ? 1 ? 2(a2 ? 1),... , an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) 成立 累乘可得: an ? 1 ? 2n?1 (a1 ? 1) ,则

1 1 1 成立,( ?n ? N * , n ? 2 ) ? n?1 an ? 1 2 (a1 ? 1)

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n?1 ) ? (1 ? n ) ? . 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 1 ? a1 2 2 2 5 2 5


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