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施甸第二中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题


施甸第二中学 2013-2014 学年高二下学期期末考试数学(理)试题
(注意:在答题卡上答题,满分:150 分,考试时间:120 分钟)

第Ⅰ卷
一.选择题(每题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确选项)
1. 已知集合 A ={x∈R|3x+2>0},B ={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则 A ∩B

=( A .(-∞,-1)
2? B. ? ??1,- ? 3? ?

).

C. ? ? 2 ,3 ? ? ? ? 3 ?

D.(3,+∞)

2.若函数 y ? x 3 ? log2 x ? e ? x ,则 y ? ? ( A.

) .

1 4 1 x ? ? e ?x 4 x ln 2
2

B.

1 4 1 x ? ? e ?x 4 x ln 2
2

C. 3 x ?

1 ? e?x x ln 2

D. 3 x ?

1 ? e?x x ln 2
)∥ ,则 λ =( )

3. 已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) .若 λ 为实数, ( +λ A. B. C.1 D.2

4. 数列 {an } 满足: a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2(n ? N * ) ,则其前 10 项的和 S10 ? ( A.100 B.101 C.110 D.111



5.某几何体的三视图如下图所示,它的体积为(

)

A.

B.

C.

D.

6.右图是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 值的一个程序框图, 2 4 6 8 10
) B. k ? 5

其中判断框内应填入的条件是 ( A. k ? 5

C. k ? 5

D. k ? 6

?x ? 1 ? 7 .已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,记目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 B.2 C.7 D.8

8.将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移

?
6

个单位,那么所得的图像的函数解析式是(



? A. y ? sin(2 x ? ) 6 ? C. y ? sin(2 x ? ) 3
A. a ? b ? c ? d C. b ? a ? c ? d
10.设 x ? ?0, ? ? ,则函数 y ? A. 2 B.

? B. y ? sin(2 x ? ) 6 ? D. y ? sin(2 x ? ) 3
)

9.设 a ? log 0.2 2, b ? log 0.2 3, c ? 20.2 , d ? 0.2 2 ,则这四个数的大小关系是(

B. d ? c ? a ? b D. b ? a ? d ? c
sin x 2 的最小值是( ? 2 sin x 5 C. D. 3 2


9 4

11.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? 12. 设 A. (B) ? ??, ?1? (C)? 2, ?? ? ) D. 15 5

)

(D)?1, ?? ?

5? 1 θ <θ<3π,且|cosθ|= ,那么 sin 的值为( 5 2 2
10 5 B.- 10 5 C.- 15 5

二.

填空题(每题 5 分,共 20 分)

13.已知某拍卖行组织拍卖的 6 幅名画中,有 2 幅是赝品.某人在这次拍卖中随机买入了两幅画,则此人 买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为________. 14.如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育 测试成绩的茎叶图,则甲 5 次测试成绩的平均 数与乙 5 次测试成绩的中位数之差是____.

15.函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________ 16.若 f ( x ? 2) ? ?

x ? 0, ?sin x, 21? ? 2) ? f (?14) = ,则 f ( 4 ?log 2 (? x), x ? 0.



第Ⅱ卷
三.解答题(写出必要解题步骤,在答题卡上答题, 17 题 10 分,18--22 每题 12 分,共 70 分)
17. (本小题满分 12 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙 两个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等。 (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率。

18. (12 分)已知锐角 ?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2sin B, 3),

n ? (2 cos 2

B ? 1, cos 2 B) ,且 m ? n 2

(Ⅰ)求 B 的大小, (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

19. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90o ,∠BCD=45o , E 为对角线 BD 中点.现将△ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位置,使平面 PBD⊥平面 BCD,如图 2. (Ⅰ)若点 F 为 BC 中点,证明:EF∥平面 PCD;
A D E E B 图1 C B 图2 C

(Ⅱ)证明:平面 PBC⊥平面 PCD.

P D

20. (12 分)已知单调递增的等比数列{a n }满足:a2 +a 3 +a 4 =28,且a3 +2 是a2 ,a 4 的等差中项.
B B B B B B B B B B B B B B

(1)求数列{a n }的通项公式;
B B

(2)若 bn ? an ? log 1 an ,S n =b 1 +b 2 +…+b n ,求使Sn +n· 2n +1 >50 成立的正整数n的最小值.
B B B B B B B B B B P P

2

21. (12 分)已知抛物线 D:y =4x 的焦点与椭圆 Q: 且点 P ( 2 ,

2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 重合, a2 b2

6 ) 在椭圆 Q 上。 2

(Ⅰ)求椭圆 Q 的方程及其离心率; (Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 过椭圆 Q 的左焦点 F1 ,且与椭圆相交于 A、B 两点, 求△ABF2 的面积。

22.已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 ex

切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值,并求 f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

施甸第二中学 2013-2014 学年高二下学期期末考试数学(理科答案)
一、选择题(每题 5 分,合计 60 分,每题只有一个正确选项)

二、 13.

填空题(每题 5 分,合计 20 分)
8 15

14.2 15. 1

16. ? 2 2 三、解答题(写出必要解题步骤,在答题卡上答题,17 题 10 分,18--22 每题 12 分 ,合计 70 分) 17.(本小题满分 10 分)设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 示抽取结果,则所有可能有 , , , , , , , , , , , , , ……4 分 , , , , ,用 , 表 ,

,共 16 种. ,

(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ,共 6 种. 故所求概率 .

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . (Ⅱ) 所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 共 5 种. 故所求概率为 . , , ,

……7 分 , ,

……10 分



0?B?

?
2

? 2B ?

?
3

??

?B ?

?
3

………………………6

(Ⅱ)由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

? 22 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ∴ ac ? 4 (当且仅当 a=c 时取到等号)
∴ ac 的最大值为 4

? s?ABC ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 2 4

??ABC 的面积 S ?ABC 的最大值为 3

…………………………….12 19. (本小题满分 12 分)
解析:(Ⅰ)在△BCD 中,点 E、F 分别为 BD、BC 的中点 ∴EF∥CD 又 EF ....................2 分

?

PCD

CD ?

PCD
....................4 分

∴EF∥平面 PCD

(Ⅱ) 在直角梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AD=AB=1,∠BAD=90o ,∠BCD=45o , ∴CD⊥BD ....................6 分 因为平面 PBD⊥平面 BCD,且平面 PBD∩平面 BCD=BD, CD ∴CD⊥平面 PBD ∴CD⊥PB ∵PB⊥PD

? 平面BCD ,

....................7 分 ....................9 分

PD∩CD=D
....................10 分
[ 来源 :]

∴PB⊥平面 PCD 又 PB ? 平面PBC

∴平面 PBC⊥平面 PCD

....................12 分

20. (本小题满分 12 分)
.(1)设等比数列{an }的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 +2)=a2 +a4 ,代入 a2 +a3 +a4 =28, 可得 a3 =8,∴a2 +a4 =20, …………………………2 分

? ? ? ?q= , ?a1 q =8, ?q=2, 2 ? ? 所以 解之得 或? 3 ? a1 q+a1 q =20, ? ? ?a1 =2 ? ?
2

1

…………………………4 分

a1 =32.

又∵数列{an }单调递增,所以 q=2,a1 =2, ∴数列{an }的通项公式为 an =2n . (2)因为 b ? 2n log …………………………6 分

n

1 2

2n ? ?n ? 2n ,

所以 Sn =-(1× 2+2× 2 +…+n· 2 ), 2Sn =-[1× 22 +2× 23 +…+(n-1)· 2n +n· 2n +1 ], 两式相减,得 Sn =2+2 +2 +…+2 -n· 2
2 3 n n +1

2

n

=2

n +1

-2-n· 2

n +1



…………………………10 分

要使 Sn +n· 2n +1 >50,即 2n +1 -2>50,即 2n +1 >52. 易知:当 n≤4 时,2n +1 ≤25 =32<52;当 n≥5 时,2n +1 ≥26 =64>52.故使 Sn +n·2
n +1

>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

…………………………12 分

| AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
又点 F2 到直线 l 的距离 d ? ∴ S ?ABF1 ?

24 7 |1?1|

1 ? (?1) 2

? 2

…………………………10

1 1 24 12 2 | AB | d ? ? ? 2 ? 2 2 7 7

…………………………….12

22.(本小题满分 12 分)
1 ? ln x ? k (1) f ?( x) ? x , ex

由已知, f ?(1) ? 1 ? k ? 0 ,∴ k ? 1 .
e
1 ? ln x ? 1 由 f ?( x) ? x x , e

设 k ( x) ? 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 12 ? 1 ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,
x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (2)由(1)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立, 当 0 ? x ? 1时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?
1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x , ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 , 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 , 综上,对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2


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