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点线面复习讲义


点线面位置关系
知识梳理 一、直线与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:直线与平面无公共点。

(2)判定定理 (3)性质

a ?? a??

? ??

a ?? (2)判定定理: b ? ? a / /b

? ?? ①性质定理 ? ? ? ? l a ??
a?l

? ?? ? ?? ?l P ?? P A? ? 垂足为 A

? ??

a / /? a / /?
a / /b


A?l

? / /? a?? a / /? 2.性质定理: a ? ? ? ?? ?b
(3)其他方法:

二、平面与平面平行 1.判定方法 (1)定义法:两平面无公共点。 a / /?

? ?? ? ?? ?l P ?? PA ? ?

PA ? ?

b / /? (2)判定定理: a ? ? b ?? a ?b ? P

? / /?

“转化思想” 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 ? 求二面角 1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条 交线,它们所成的角就是二面角的平面角.

a ?? (3) 其他方法: a??
? / /? 2.性质定理: ? ? ? ? a ? ?? ?b

? / /? ;

a / /? ? / /?

2.在二面角

的棱上任取一点 O,在两半平面

? / /?

内分别作射线 OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB 叫做二面角 的平面角

a / /b

三、直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都 垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ① 用定义.
a?b

例 1.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA? 底面 ABC,AB?BC,DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC 于 D,交 SC 于 E,又 SA=AB, SB=BC, 求以 BD 为棱, 以 BDE 和 BDC 为面的二面角的度数。 解:

② 判定定理: a ? c

b?c ? A b ?? c ??

a ??

③ 推论:

a ?? a / /b

b ??

(3)性质

a ?? ① b ??

a?b

a ?? ② b ??

a / /b

在 RtΔSAC 中,SA=1,SC=2,∴∠ECA=30?, 在 RtΔDEC 中,∠DEC=90?, ∴∠EDC=60?, ∴ 所求的二面角为 60?。

四、平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直线二面角,就说这两个平面互相垂直。
1

? 求线面夹角 定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平 面所成的角(或斜线和平面的夹角) 方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相 连,利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就 是该线与平面的夹角。 例:在棱长都为 1 的正三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA 与 底面 ABC 所成的角是________. 证法 1:连结 CG 交 DE 于点 H , ∵ DE 是 ?ABC 的中位线, ∴ DE // AB . 在 ?ACG 中, D 是 AC 的中点,且 DH // AG , ∴ H 为 CG 的中点. 求线线距离 说明:求异面直线距离的方法有: (1) (直接法) 当公垂线段能直接作出时, 直接求. 此 时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线 距离的关键. (2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求 异面直线 a 、 b 距离,先作出过 a 且平行于 b 的平面 (线面转化法) . ? ,则 b 与 ? 距离就是 a 、 b 距离. 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距 离. (面面转化法) . (3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用 何种公式来求. (4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二 次函数,利用求二次函数最值来解. 两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要 求会计算已给出公垂线时的距离) , 这方面的问题的其 他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同 学探求. 例: 在棱长为 a 的正方体中, 求异面直线 BD 和 B1C 之 间的距离。 线面平行(包括线面距离) 例: 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点, 且 SA ? SB ? SC ,SG 为 ?SAB 上的高,D 、E 、F 分 别是 AC 、BC 、SC 的中点, 试判断 SG 与平面 DEF 内的位置关系,并给予证明 ∵ FH 是 ?SCG 的中位线,∴ FH // SG . 又 SG ? 平面 DEF , FH ? 平面 DEF , ∴ SG // 平面 DEF . 证法 2:∵ EF 为 ?SBC 的中位线, ∴ EF // SB . ∵ EF ? 平面 SAB , SB ? 平面 SAB , ∴ EF // 平面 SAB . 同理: DF // 平面 SAB , EF ? DF ? F , ∴平面 SAB // 平面 DEF ,又∵ SG ? 平面 SAB , ∴ SG // 平面 DEF . 面面平行(包括面面距离) 例: 在棱长为 a 的正方体中, 求异 面直线 BD 和 B1C 之间的距离. 解:根据正方体的性质,易证:
BD // B1D1 ? ? ? 平面A1BD // 平面CB1D1 A1B // D1C ?

连结

AC1 ,分别交平面 A1BD 和平面
和N

CB1D1 于 M

2

因为 平面

CC1 和 AC1 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线, AC 在
ABCD 内, AC ? BD

点线面检测
一、选择题 1.互不同线 l、m、n 和面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? α,m ? β,则 α∥β; ②若 α∥β,l ? α,m ? β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个 不同的平面.考查下列命题,其中正确的命 题是( ) A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ?

由三垂线定理: ∴

AC1 ? BD ,同理: AC1 ? A1D

AC1 ? 平面 A1BD ,同理可证: AC1 ? 平面 CB1D1 A1BD 和平面 CB1D1 间的距离为线段 MN
长度.

∴平面

如图所示:

在对角面 AC1 中, O1 为 A1C1 的中点, O 为 AC 的中 点
1 3 AM ? MN ? NC1 ? AC1 ? a 3 3 . ∴

B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? m ? n ? ? 3.下列四个命题: ① 若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ② 若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③ 若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ④ 若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n 。 其中真命题的序号式( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 4.如图, 已知矩形 ABCD 中,AB ? 10 ,BC ? 6 , 将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起,使 A 移到
A1 点, 且 A1O ? 平面BCD . (1) 求证: BC ? A1 D ;

∴ BD 和 B1C 的距离等于两平行平面 A1BD 和 CB1D1

3 a 的距离为 3 .
面面垂直 例 1:已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面 PAC?平面 PBD。

例 2: 已知直线 PA 垂直于?O 所在的平面,A 为垂足,AB 为 ?O 的直径,C 是圆周上异于 A、B 的一点。求证:平 面 PAC?平面 PBC。
? ? ? BC ? AC ?
PA ? 平面ABC ? ? ? BC ? PA BC ? 平面ABC ? AC ? 平面PAC,PA ? 平面PAC
AC PA ? A

(2)求证: 平面A1 BC ? 平面A1 BD ; ( 3 ) 求 三 棱 锥 A1 ? BCD 的 体
A1

? ? ? BC ? 平面PAC ? ? BC ? 平面PBC ? ? ?

D

O

C

积. A

B

3

求角(线线角、线面角、二面角) 。 例:如图,在三棱锥

?PAB ? 60 , ABC 。 (Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的余弦值。
解: (1)作 PQ⊥AB 于 Q,连 CQ。

P ? ABC 中 , ?APB ? 90 , AB ? BC ? CA , 平 面 PAB ? 平 面

PQ ? AB ? ? ? PQ ? 面ABC 面PAB ? 面ABC?

(证明)

所以直线 PC 与平面 ABC 所成的角即为∠PCQ(定角)

令 AB=2,在△PAB 中,PQ=

3 13 ,在△ABC 中,CQ= , 2 2

所以 sin∠PCQ=

3 (计算) 4

2)取 AB 中点 O,连 CO、PO。过 O 作 ORAP 于 R,连 CR(作 图)
? ? AB ? BC ? CA? ? ? ? CO ? AB ? ? CO ? 面 PAB ? CO ? AP O为AB中点? ? ? ? ? AP ? COR ? AP ? CR ? 面PAB ? 面ABC? ? OR ? AP ? ?

(证明)所以二面角 B ? 所以由 CO=

AP ? C 的平面角∠CRO, (定角)
。 (计算。

3 ,OR=

3 5 ,得 cos∠CRO= 2 5

P

A

B

C

4


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