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随机事件的概率与古典概型


新航标教育·清溪分校
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新航标个性化一对一辅导学案
学生姓名: 罗煜杰 日期:2014 年 5 月 2 日 课次:第 1 次 上课时段:8:00-10:00 课时: ( 2 )小时 辅导科目:高二数学

上课地点:北京新航标教育清溪分校

导学目标

1. 掌握随机事件发生的不确定性和频率的稳定性以及概率的意义以及频率与概 率的区别; 2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式; 3.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件 所含的基本事件数及事件发生的概率

导学内容 导学重难点

随机事件的概率与古典概型
重点:事件概率的计算 难点:随机事件与古典事件的判断

教学过程
一、主要内容
1.随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。 2.随机事件的概率 事件 A 的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3.事件间的关系 (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事件 A) ; 4.事件间的运算

m 总接近于某个常数,在它附近摆动, n

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(1)并事件(和事件) 若某事件的发生是事件 A 发生或事件 B 发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的并事件。 注:当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) (A、B 互斥) ;且有 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1。 (2)交事件(积事件) 若某事件的发生是事件 A 发生和事件 B 同时发生,则此事件称为事件 A 与事件 B 的交事件。 5.古典概型 (1)古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的 可能性相等; (2)古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 ; 总的基本事件个数

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事 件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性 都相等,那么每一基本事件的概率都是

1 m 。 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P (A) = 。 n n

例题精讲:
例 1.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1) “抛一石块,下落”. (2) “在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化” ; (3) “某人射击一次,中靶” ; (4) “如果 a>b,那么 a-b>0”; (5) “掷一枚硬币,出现正面” ; (6) “导体通电后,发热” ; (7) “从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签” ; (8) “某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫” ; (9) “没有水份,种子能发芽” ; (10) “在常温下,焊锡熔化 变式题 1: 一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件, 则下列各组事件中: ① 恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; ② 至少有 1 件次品和全是次品; ③ 至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; ④ 至少有 1 件次品和全是正品. 其中是互斥事件的有_____________,是对立事件的有_______________. 变式题 2:一批产品共有 100 件,其中 5 件是次品,95 件是正品,从这批产品中任意抽 5 件,现给以下四个事件:A.恰有 1 件次品;B.至少有 2 件次品;C.至少有 1 件次品;D.至多有 1 件次品;并 给出以下结论: ①A+B=C; ②B+D 是必然事件; ③B 与 D 互为对立事件; ④A+D=C. 其中正确的结论有_______.
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例 2:某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( (A)至多有一次中靶 (B)两次都中靶 (C)两次都不中靶 (D)只有一次中靶



变式题:把标号为 1,2,3,4 的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个。事件 “甲分得 1 号球”与事件“乙分得 1 号球”是( ) (A)互斥但非对立事件 (B)对立事件 (C)相互独立事件 (D)以上都不对 例 3:某战士射击一次,设中靶的概率为 0.95,令事件 A 为“射击一次,中靶” ,求: (1) A 的概率为_____; (2) 若事件 B(中靶环数大于 5)的概率为 0.75, 则事件 C(中靶环数小于 6)的概率为_____. 事件 D(中靶环数大于 0, 小于 6)的概率为______. 变式题 1: .抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为 8 的概率_____

变式题 2:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( )

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

例 4:某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击 中不够 8 环的概率为________. 1 1 变式题 1:甲射手击中靶心的概率为 ,乙射手击中靶心的概率为 ,甲、乙两人各射击一次,那么,甲、 3 2 乙不全击中靶心的概率为________.

例 5:如图矩形 ABCD,AB= 3 ,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径作圆弧 DE,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率是(
1 A. 2
1 B. 3

) D.
3? 12

2 C. 3

变式题 1:a,b 表示甲、乙两颗骰子先后各抛掷一次所掷出的点数,设“M(a,b)落在不等式 x2+y2≤m 所 表示的区域内”为事件 C,若 P(C)=1, 则常数 m 的最小值为( ) A. 6 B. 36 C. 72 D. 2

变式题 2:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,

cos

?x

2 的值介于 0 到 2 之间的概率为(

1



1 A. 3

2 B. ?

1 C. 2

2 D. 3
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5 变式题 3:在区间(0, 1)内随机地取出两个数, 则两数之和小于 6 的概率是________.

注意: 1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每个 事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来 模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数 )有关, 然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 例 6. 现有 8 名大运会志愿者, 其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1,B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语. 从 中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. (1)求

A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

课堂检测: 1. 在 40 根纤维中, 有 12 根的长度超过 30mm, 从中任取一根, 取到长度超过 30mm 的纤维的概率是 (
30 40 12 40


A.

B.

C.

12 30

D.以上都不对 )

2.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是(

A.

1 5

B.

1 4
B.随机事件 )

C.

4 5

D.

1 10
) D.无法确定

3.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 4.下列说法正确的是( C.不可能事件

A.任一事件的概率总在(0.1)内

B.不可能事件的概率不一定为 0

C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对 5.某商店购进 12 件同品牌的衣服,其中 10 件是正品,其余 2 件是次品,从中无放回地 任取 2 件,则取出的 2 件衣服中,至少有 1 件是次品的概率是( )
1 A. 3 5 33 B. 10 C. 33 7 22 D.

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6. 在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球,若从中任取 2 个,则所取的 2 个球中至少有一个红 球的概率是 。

7. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球 的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是________. 8.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现 向上的点数之和为 4 的概率是___. 9. 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投 中的概率是多少?

10. 某人欲从某车站乘车出差, 已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于 10 分钟的 概率. 11.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答题。 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 (1)完成上面表格: (2)该油菜子发芽的概率约是多少? 2 2 5 4 10 9 70 60 130 116 700 282 1500 639 2000 1339 3000 2715

12. 一商家在商贸交易会上开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去参与抽奖. (1) 若抽奖规则是从一个装有 3 个红球和 2 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球同色时则中奖, 求中奖概率;(2) 若甲计划在 9:00~10:00 之间赶到,乙计划在 9:30~10:30 之间赶到,求甲比乙提前到达 的概率.

13.在数学考试中,小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.12,在 80~89 分的概率为 0.55,在 70~79 分的概率 为 0.15,在 60~69 分的概率为 0.08.计算小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率与考试不及格的概 率?

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班主任签字: 日 期:2014 年 月 日

一、学生对于本次课的评价 ○ 特别满意 ○ 满意

○ 一般

○ 差

课后 评价

二、教师评定 1、学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般

○ 差 ○ 差

作业 布置

教师 留言

教师签字:

家长 意见 家长签字: 日
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