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第5节 对数函数


第 5 节 对数函数 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 对数的基本运算 对数函数的图象及应用 对数函数的性质及应用 综合问题 题号 2、7、11 3、6、10 1、4、5、13 8、9、12、13 练题感 提知能

一、选择题 1.(2012 年高考大纲全国卷)已知 x=ln π ,y=log52,z= ,则( (A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x 解析:∵x=ln π >ln e=1,∴x>1, y=log52<log5 = ,∴0<y< , z= = > = ,∴ <z<1, ∴x>z>y,故选 D. 2.(2013 厦门市高中毕业班适应性考试)已知函数 f(x)=2x,g(x)=log2x,h(x)=x2,则( (A)它们在定义域内都是增函数 C ) D )

(B)它们的值域都是(0,+∞) (C)函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y=x 对称 (D)直线 y=x- 是曲线 y=h(x)的切线 解析:f(x)=2x 与 g(x)=log2x 互为反函数,其图象关于 y=x 对称. 故选 C. 3.(2013 厦门市期末质检)函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是( B )

解析:当 x>1 时,f(x)=ln(x-1), 又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 故选 B. 4.(2013 泉州五中模拟)若 0<a<1,且函数 f(x)=|loga x|,则下列各式 中成立的是( A )

(A)f(2)<f( )<f( ) (B)f( )<f(2)<f( ) (C)f( )<f(2)<f( ) (D)f( )<f( )<f(2)

解析:依题意得 f(2)=-loga 2=loga ,f( )=loga , F( )=loga ;又 > > ,因此 f(2)<f( )<f( ),故选 A. 5.(2013 泉州五中模拟)设 0<b<a<1,则下列不等式恒成立的是 ( D ) (B)2b<2a<1 b<0 (D)loga 2<logb 2<0

(A)ab<b2<1 (C)lo a<lo

解析:依题意,取 b= ,a= ,逐一检验只有 D 选项成立,选 D. 6.(2013 宁德 5 月质检)已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解 析式可以是( A )

(A)f(x)= (B)f(x)= (C)f(x)= -1 (D)f(x)=x解析:从图象可知,函数是奇函数,可排除选项 B、C,

又 x=2 时,y<1, 对 D 中,函数 f(2)=2- >1, 故排除 D,选 A. 二、填空题 7.(2012 年高考北京卷)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)= .

解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1, ∴lg(ab)=1, ∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2. 答案:2 8.(2013 陕西渭南二模)函数 f(x)= 解析:由 lo (x-1)≥0,得 0<x-1≤1, 解得 1<x≤2. 故函数的定义域为(1,2]. 答案:(1,2] 9.设函数 f(x)= 是 . 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 的定义域是 .

解析:由 f(a)>f(-a)得 或





解得 a>1 或-1<a<0. 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 10.(2013 四川省宜宾市高三一诊)若函数 y=lg|ax-1|的图象关于 x=2 对称,则非零实数 a= .

解析:由于函数图象关于 x=2 对称, 则 lg|ax-1|=lg|a(4-x)-1|, 即 ax-1=-ax+4a-1 或 ax-1=ax-4a+1 恒成立, 所以 a=0 或 a= ,即非零实数 a= . 答案: 三、解答题 11.计算: (1)(lg -lg 25)÷10 ; (2) .

解:(1)(lg -lg 25)÷10 =-2× =-2×lg 10÷ =-20. (2)原式= = =1.

12.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.

(1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a·2x)有且只有一个实根,求实数 a 的取值范 围. 解:(1)∵f(x)为偶函数, 且 f(-x)=log4(4-x+1)-kx =log4 -kx

=log4(4x+1)-log44x-kx =log4(4x+1)-x-kx, ∴log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx, ∴-1-k=k,即 k=- . (2)由(1)知 f(x)=log4(4x+1)- x

=log4(4x+1)-log4 =log4(4x+1)-log42x =log4(2x+2-x), 方程 log4(2x+2-x)=log4(a·2x)有且只有一个实根, 即方程 2x+2-x=a·2x 有且只有一个实根. 令 2x=t,则(a-1)t2-1=0 只有一个正根. 则 a-1>0, 即 a>1, ∴a 的取值范围是(1,+∞).

13.若函数 y=f(x)=alog2 ·log2(4x)在区间 实数 a 的值.

上的最大值是 25,求

解:f(x)=alog2 ·log2(4x)=a[(log2x-3)(log2x+2)] =a[(log2x)2-log2x-6], 令 t=log2x,则 y=a(t2-t-6),且 t∈[-3,2]. 由于 h(t)=t2-t-6= - ,

所以当 t= 时,h(t)取最小值- ; 当 t=-3 时,h(t)取最大值 6. 若 a=0,显然不合题意; 若 a>0,则 f(x)的最大值为 6a, 即 6a=25, ∴a= ; 若 a<0,则 f(x)的最大值为- a, 即- a=25,∴a=-4. 综上,实数 a 的值为 或-4.


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