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三角函数单元检测题


三角函数单元检测题
一、填空题
1、 sin 210 =
o

?

2.函数 y = 8 sin(

1 π x ? ) 的最小正周期为 4 8

1 2

________ 8π 4 cm
2

3、若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4、已知角 α 的终边过点 P (-5,12),则 cos α =______________ ? 5、已知 sin α =
5 4 4 ,则 sin α ? cos α 的值为 5

5 . 13 3 _______ ? 5

6、 若θ在第二象限,则 sin(cos θ )的符号是 ____________ 7、函数 y = 3sin( ?2 x +

π
6

) 的单调递减区间为_______________ [?

π
6

+ kπ ,

π
3

+ kπ ], k ∈ Z

o 8、若 f (cos x) = cos 2 x ,则 f (sin15 ) = ______________ ?

3 2

9、 函数y = cos x的图像向左平移

π
2

个单位后,得到y = g ( x)的图像,则g ( x)的解析

式为__________________________ g ( x) = ? sin x 10、若 ?ABC 中,A、B 位其中两个内角,若 sin 2 A = sin 2 B ,则三角形为__________等腰 等腰 或直角三角形 11、函数 y = 3 cos x ? 4 cos x + 1 , x ∈ (
2

π 2π
3 ,

1 15 ) 的值域为___________ (? , ) 3 4 4

12、f ( x ) = ?3sin(ω x + ? ), 对于任意的 x 都有 f (

π

+ x) = f ( ? x) , f ( ) = ______ ±3 则 3 3 3

π

π

13、已知函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0 , ω > 0 )为偶函数,则 ? = ______ kπ + 14、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 是最小正周期位 π 的周期函数,且当 x ∈ ? 0,

π

2

? π? 时, ? 2? ?

f ( x) = sin x ,则 f (
二、解答题

5π 3 ) 的值是________ 3 2

15、已知 tan α = 3, 求下列各式的值.

4 sin(α ? π ) ? sin(
(1)

3 cos(α ?

π
2

3π ?α) 2

(2)

) ? 5 cos(α ? 5π )

sin 2 α ? 2 sin α cos α ? cos 2 α 4 cos 2 α ? 3 sin 2 α
爱心 专心

用心

16、已知函数 y = A sin(ω x + ? ) ( A > 0 ,ω > 0 )一个周期内的函数图象, 如下图所示,求函数的一个解析式。
y
3

解:由图知:函数最大值为 3 ,最小值为 ? 3 ,
T 5π π π 由图知 = ? = 2 6 3 2 2π ∴ T = π = ,∴ ω = 2 ,

又∵ A > 0 ,∴ A = 3 ,

O

π
3

5π 6

x

又∵ ( +

7π , 3) , 12 7π 7π 2π ∴ 3 = 3 sin(2 × + ? ) ,即 sin( + ? ) = 1 ,可取 ? = ? , 12 6 3 2π 所以,函数的一个解析式为 y = 3 sin(2 x ? ). 3 1 o o o 17、已知 cos(75 + α ) = , 其中 ? 180 < α < ?90 ,求 sin(105o ? α ) + cos(375o ? α ) 的值. 3

1 π 2 3

ω

? 3

5π 7π )= , 6 12

∴图象上最高点为 (

原式= sin(75° + α ) + cos(15° ? α ) = 2 sin(75° + α )

Q cos(75° + α ) =

1 ,且 ? 105° < 75° + α < ?15° ,∴ sin(75° + α ) < 0 3

∴ sin(75° + α ) = ? 1 ? sin(75° + α ) = ?
18、已知 sin θ + cos θ =

2 2 4 故原式= ? 2 3 3

1 π ,θ ∈ ( ,π ) , 5 2
3 3 4 4

求(1) sin θ ? cos θ (2) sin θ ? cos θ (3) sin θ + cos θ (1) sin θ ? cos θ =

7 91 337 (2) sin 3 θ ? cos3 θ = (3) sin 4 θ + cos 4 θ = 5 125 625

19、已知函数 y = ln sin 2 x ,(1)求它的定义域和值域;(2)讨论他的周期和单调性。 20.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x sin θ ? 1 , x ∈ [ ? (1)当 θ =

3 1 , ] 2 2

π
6

时,求 f ( x ) 的最大值和最小值

(2)若 f ( x ) 在 x ∈ [ ?

3 1 , ] 上是单调函数,且 θ ∈ [0, 2π ) ,求 θ 的取值范围 2 2

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(1)当 θ =

π
6

时, f ( x ) = x + x ? 1 = ( x +
2

1 2 5 ) ? 2 4

∴ f (x) 在 [?

3 1 1 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增 2 2 2 2

1 5 ∴ 当 x = ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x = 时,函数 f ( x ) 有最小值 ? 2 4
(2)要使 f ( x ) 在 x ∈ [ ?

3 1 , ] 上是单调函数,则 2 2

? sin ? ≤ ?

3 1 或 ? sin θ ≥ 2 2

即 sin θ ≥

3 1 或 sin θ ≤ ? ,又Q θ ∈ [0,2π ) 2 2

解得: θ ∈ [

π 2

7 11 , π ]U[ π, π] 3 3 6 6

已知函数 f ( x) = cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x . (1)求 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ∈ [0, ] 时,求 f (x) 的最小值以及取得最小值时 x 的集合. 2 解 f ( x) = cos 4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x

π

= (cos 2 x + sin 2 x)(cos 2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x = cos 2 x ? sin 2 x = 2 cos(2 x + (1) f (x) 的最小正周期是 T =

π
4

).

2π =π ; 2

π π 2 (2)当 x ∈ [0, ] 时, cos(2 x + ) ∈ [?1, ] ,则 f ( x) ∈ [? 2 ,1] ,故 f (x) 的最 2 4 2
? 3π ? 小值为 ? 2 ,这时 x 的集合为 ? ? . ?8 ?

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