当前位置:首页 >> 数学 >>

《解析几何》教案


《解析几何》教案
第一章 向量与坐标
本章教学目的:通过本章学习,使学生掌握向量及其运算的概念,熟练掌握线性运算和非线性运算的基本 性质、运算规律和分量表示,会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题,为以下各章利用 代数方法研究空间图形的性质打下基础. 本章教学重点: (1)向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。(2)向量的线性运算、积运算的定义、

运算规律及分量表示. 本章教学难点: (1)向量及其运算与空间坐标系的联系;(2)向量的数量积与向量积的区别与联系; (3)向量及其运算在平面、立体几何中的应用. 本章教学内容:

§1.1 向量的基本概念
一、定义:既有大小又有方向的量称为向量,如力、速度、位移等. 二、表示:在几何上,用带箭头的线段表示向量,箭头表示向量的方向,线段长度代表向量的大小;向量 的大小又叫向量的模(长度). 始点为 A,终点为 B 的向量,记作 ,其模记做 . 注: 为方便起见, 今后除少数情形用向量的始、 终点字母标记向量外, 我们一般用小写黑体字母 a、 b、 c?? 标记向量,而用希腊字母λ 、μ 、ν ??标记数量. 三、两种特殊向量: 1、零向量:模等于 0 的向量为零向量,简称零向量,以 0 记之. 注:零向量是唯一方向不定的向量. 2、单位向量:模等于 1 的向量称为单位向量.特别地,与非 0 向量 同向的单位向量称为 的单位向量, 记作 . 四、向量间的几种特殊关系: 1、平行(共线):向量 a 平行于向量 b,意即 a 所在直线平行于 b 所在直线,记作 a∥b,规定:零向量 平行于任何向量. 2、相等:向量 a 等于向量 b,意即 a 与 b 同向且模相等,记作 a=b. 注:二向量相等与否,仅取决于它们的模与方向,而与其位置无关,这种与位置无关的向量称为自由向量, 我们以后提到的向量都是指自由向量. 3、 反向量: 与向量 a 模相等但方向相反的向量称为 a 的反向量, 记作-a, 显然 ,

,零向量的反向量还是其自身. 4、共面向量:平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见,任两个向量总是共面的,三向量中若有两 向量共线,则三向量一定共面,零向量与任何共面向量组共面. 注意:应把向量与数量严格区别开来:

①向量不能比较大小,如

没有意义; ②向量没有运算,如类似

的式子没有意义.

§1.2 向量的加法
一 向量的加法: 设 、 为 ,以 与 与 为邻边作一平行四边形 ,取对角线向量 ,记 定义 1

,如图 1-1,称

之和,并记作

(图 1-1) 这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.
1

如果向量 若 与

与向量

在同一直线上,那么,规定它们的和是这样一个向量:

的指向相同时,和向量的方向与原来两向量相同,其模等于两向量的模之和.

若 与 的指向相反时,和向量的模等于两向量的模之差的绝对值, 其方向与模值大的向量方向一 致. 由于平行四边形的对边平行且相等,可以这样来作出两向量的和向量: 定义 2 作 ,以 的终点为起点作 ,联接 (图 1-2)得 (1-2) 该方法称作向量加法的三角形法则.

(图 1-2) 向量加法的三角形法则的实质是: 将两向量的首尾相联,则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量. 据向量的加法的定义,可以证明向量加法具有下列运算规律: 定理 1 向量的加法满足下面的运算律: 1、交换律 , (1.2-2) (1.2-3) 则有

2、结合律 . 证 交换律的证明从向量的加法定义即可得证. 下证结合律 .自空间任一点 O 开始依次作

, 所以 由定理 1 知,对三向量 . 二 向量的减法 定义 3 显然, 特别地, 由三角形法则可看出:要从 减去 四边形法可如下作出向量 对角线向量 . .设 若 ,则我们把 叫做 与 的差,记为 , . ,只要把与 、 长度相同而方向相反的向量 ,以 与 加到向量 上去.由平行 ,则 . 相加,不论其先后顺序和结合顺序如何,结果总是相同的,可以简单的写作

为邻边作一平行四边形

例 1 设互不共线的三向量 、 与 ,试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零向量. 证 必要性 设三向量 、 、 可以构成三角形 (图 1-3),

2

(图 1-3) , 那么, 即 充分性 设 . ,作 那么 ,所以 ,从而 ,所以 、

、 可以构成三角形 . 例 2 用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 证 设四边形 因此从图可看出: 所以, ∥ ,且 ,即四边形 的对角线 、 交于 点且互相平分(图 1-4) , 为平行四边形.

(图 1-4)

§1.3 数量乘向量
定义 1.3.1 设 是一个数量,向量 与 的乘积是一向量,记作 时,向量 的方向相反. . 的方向与 ,其模等于 的方向相同;当 的 倍,即 时,向量 是

;且方向规定如下:当 零向量,当 时,向量 的方向与

特别地,取 ,则向量 的模与 的模相等, 而方向相反, 由负向量的定义知: 据向量与数量乘积的定义,可导出数乘向量运算符合下列运算规律: 定理 1.3.1. 数量与向量的乘法满足下面的运算律: 1) 2)结合律 3)分配律 1? = , , 4) 证 1)据定义显然成立. 2)显然,向量 且 = 或 、 = 、 = . 的方向是一致, . 中至少有一个为 0,等式显然成立; (1.3-1) (1.3-2) (1.3-3)

3)分配律 如果 反之 ⅰ)若
,

显然

同向,且
3

所以 ⅱ)若 若 所以 对 的情形可类似证明. 一个常用的结论: 定理 3. 若 行且 设 由于 即 ,则 是非零向量,用 与 ( 为数量 ),则向量 ( 是数量). 同方向的单位向量. 与 亦同方向,而且 , 与向量 平行,记作 ;反之,若向量 与向量 平 不妨设 则有 由ⅰ)可得


表示与

同方向,从而 .

我们规定:若 , . 于是 . 这表明:一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.

请注意:向量之间并没有定义除法运算,因此决不能将式子 十分显然,这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成. 例 1 设 AM 是三角形 ABC 的中线,求证 .

改写成形式

.

(图 1-5) 证 如图 1-5, 因为 , 所以

但 因而 , 即 . 例 2 用向量法证明:连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 所以 设△ABC 两边 AB,AC 中点分别为 M,N,则 ,且 .

4

§1.4 向量的线性关系与向量的分解
定义 1.4.1 由向量 与数量 所组成的向量 线性表示,或称 可以分解成向量 叫做向量 的

的线性组合,或称 可以用向量 线性组合. 定理 1.4.1 如果向量 使得 并且系数 证 若 存在实数 再证 , 被 , 唯一确定.

, 那么向量 与向量 共线的充要条件是 可用向量 线性表示, 即存在实数 (1.4-1)

成立,那么由定义 1.3.1 知向量 与向量 共线.反之,如果向量 与向量 共线,那么一定 使得 (见 1.3 节中 1.3.5 的证明). ,那么 不共线,那么向量 与 (1.4-2) ,而 ,所以, . 线性表示,即

的唯一性:如果

定理 1.4.2 如果向量 , 并且系数 证: 被

共面的充要条件是 可用向量

, 唯一确定.

(图 1-6) 因 与 不共线,由定义 1.1.4 知 ,其中 ,并设 中有一个为零;如果 与 , 于 , .设 与 都不共线, ,那么经过 的终点 分 ,由定理 1.4.1,可 . 与 共线,因此与 共面. 中之一共线,那么由定理

1.4.1 有

把它们归结共同的始点 别作 设 反之,设 如果 共面. 最后证 那么 如果 ,那么 , 那么

的平行线依次交直线

(图 1-6),因 ,即 ,那么

,所以由平行四边形法则得 ,如果 中有一个为零,如

, 从向量加法的平行四边形法则知 与 = , , ,将有 ,这与假设矛盾,所以

都共面, 因此 与

的唯一性.因为

.同理

,这就证明了唯一性. 定理 1.4.3 数 使得 如果向量 不共面,那么空间任意向量 可以由向量 , 线性表示,即存在一组实 (1.4-3)

5

并且系数 x,y,z 被 , 唯一确定. 证明方法与定理 1.4.2 类似. 定义 1.4.2 对于 个向量 ,若存在不全为零的实数 , 则称向量 线性相关. 线性无关: . 定理 1.4.4 在 组合. 证 设向量 时,向量 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性 (1.4-4) ,使得

不是线性相关的向量叫做线性无关,即向量

线性相关,则存在不全为零的实数 ,且

使得 ,

中至少有一个不等于 0,不妨设

则 反过来,设向量 中有一个向量,不妨设为

; ,它是其余向量的线性组合,即 ,

即 因为数 定理 1.4.5 证 使得 设

. ,-1 不全为 0,所以向量 线性相关. 如果一组向量中的部分向量线性相关,那么这一组向量就线性相关. 中有一部分, 不妨设前 r 个向量线性相关, 即存在不全为零的实数 .则有 ,因为 ,

不全为零,所以 线性相关. 推论 如果一组向量中含有零向量,那么这一组向量就线性相关 类似地可证明下面的定理: 定理 1.4.6 定理 1.4.7 定理 1.4.8 两向量 与 共线 线性相关.

三向量 与 共面 线性相关. 空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的. 在线段 上的充要条件是:存在非负实数 , ,使得 ,且

例 1 试证明:点 ,其中

是任意取定的一点. 在线段 .


证(先证必要性)设 所以 任取一点 所以, 取 , 所以 ,

上,则



同向,且



. ,则 , , , ,使得 . ,且


(充分性)若对任一点 则 所以 与

有非负实数

共线,即

在直线

上.又
6



所以

在线段

上.

例2设 证

为两不共线向量,证明 共线, 线性相关, ,使 ,



共线的充要条件是

.

即存在不全为 0 的实数 即

(1.4-5) .

又因为

不共线 即

线性无关, 故

方程

有非零解

.

§1.5 标架与坐标
一 空间点的直角坐标: 平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组 之间的一一对应关系,沟通了平面图形与 数的研究. 为了沟通空间图形与数的研究, 我们用类似于平面解析几何的方法,通过引进空间直角坐标系来实现. 1、空间直角坐标系 过空间一定点 ,作三条互相垂直的数轴,它们以 为原点,且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别 叫 轴(横轴)、 轴(纵轴)、 轴(竖轴),且统称为坐标轴. 通常把 轴, 轴配置在水平面上,而 轴则是铅垂线,它们的正方向要符合右手规则:

(图 1-7) 右手握住 轴, 当右手的四个指头从 轴的正向以 角度转向 轴与 轴正向时, 大拇指的指向就是 轴正向. 左右.当然,它们的实 三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点 叫做坐标原点. 轴间的夹角画成

注:为使空间直角坐标系画得更富于立体感,通常把

际夹角还是 . 2、坐标面与卦限 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称为坐标面. 由 轴与 轴所决定的坐标面称为 面,另外还有 面与 三个坐标面把空间分成了八个部分,这八个部分称为卦限. 面.

(图 1-8) 3、空间点的直角坐标 取定空间直角坐标系之后,我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.

7



为空间的一已知点,过

点分别作垂直于 点的坐标.

轴、

轴、 轴的三个平面,它们与 轴、

轴、 轴

的交点依次为 了一个有序数组 依次称 , ,

,这三点在 轴、 ,这组数叫 为点

轴、 轴的坐标依次为 . 的点

,于是:空间点就唯一地确定

的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为 , 我们可以在 、 、 轴上取坐标为 轴、

反过来, 若已知一有序数组 在 轴取坐标为 的点

, 在

轴上取坐标为

的点



,然后过

分别作

轴、

轴的垂直平面,这三个平面的交点

就是以有序数组

为坐标的空间点. 和有序数组 之间的一一对应关系. .

这样,通过空间直角坐标系,我们建立了空间点 定义 1 我们把上面有序数组 叫点

在此坐标系下的坐标,记为

二 空间两点间的距离公式 定理 1 设 、 为空间的两点,则两点间的距离为 (1.5-1) 证 过 、 体,如图所示 各作三个分别垂直于三坐标轴的平面,这六个平面围成一个以 为对角线的长方

(图 1-9) 是直角三角形, 故 因为 从而 而 , , , 故 特别地,点 与坐标原点 的距离为 . 三 空间向量的坐标 . 是直角三角形, 故 ; , ,

8

定义 2



是与坐标轴 ,

同向的单位向量,对空间任意向量 都存在唯一的一组实数 ,



使得 标,记为 定理 2 设向量 或

,那么我们把这组有序的实数 . 、 .

叫做向量 在此坐标系下的坐

的始终点坐标分别为

,那么向量 (1.5-2) ,

的坐标为

证 由点及向量坐标的定义知 所以 = 由定义知 定理 3 两向量和的分量等于两向量对应的分量的和. 证 设 , ,那么 . .

= =

+ , . (1.5-3)

所以 类似地可证下面的两定理: 定理 4 定理 5 设 设 ,则 ,

. ,则 共线的充要条件是

. 定理 6 三非零向量 , ,

(1.5-4) 共面的充要

条件是 证 因为

. 不共面,所以存在不全为 0 的实数

(1.5-5) 使得 ,

由此可得

因为

不全为 0,所以

.

9

§1.6 向量在轴上的射影
一、空间点在轴上的投影: 设已知点 及轴 ,过点 作轴 的垂直平面

,则平面

与轴 的交点叫做点

在轴

上的投影.

(图 1-10) 二、向量在轴上的投影: 定义 1 设向量 叫做向量 的始点 在轴 与终点 在轴 的投影分别为 、 ,那么轴 称为投影轴. 上的有向线段 的值

上的投影,记作

,轴

(图 1-11) 这里, (1) 的值 是这样的一个数: 即, 数 的绝对值等于向量 ;当 的模. 的方向与 轴的正向相反时, .

(2)当 的方向与轴 的正向一致时, 三、空间两向量的夹角:

设有两向量 、 交于点 (若 、 不相交,可将其中一个向量平移使之相交),将其中一向量绕 点在 两向量所决定的平面内旋转,使它的正方向与另一向量的正方向重合,这样得到的旋转角度 (限定 )称为 、 间的夹角,记作 .

(图 1-12) 若 、 平行,当它们指向相同时,规定它们之间的夹角为 ;当它们的指向相反时,规定它们的夹 角为 . 类似地,可规定向量与数轴间的夹角. 将向量平行移动到与数轴相交,然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转,使向量的正方向与 数轴的正方向重合,这样得到的旋转角度 四 投影定理: 定理 1.6.1 向量 在轴 上的投影等于向量的模 称为向量与数轴的夹角.

乘以轴

与向量

的夹角

的余弦.即

10

,

(1.6-1)

(图 1-13) 证 过向量 等于轴 的始点 引轴 ,且轴 与轴 平行且具有相同的正方向,那未轴 与向量 的夹角

与向量

的夹角,而且有

故 由上式可知:向量 当非零向量 在轴 上的投影是一个数值,而不是向量. 成锐角时,向量 都有 ,设 , 分别是 的投影为正. . (1.6-2) 在轴 上的投影,那么显然

与投影轴

定理 1.6.2 对于任何向量 证 取 有 因为 所以 即 类似地可证下面的定理: ,那么

, .

定理 1.6.3 对于任何向量 与任何实数



.

(1.6-3)

11

§1.7 两向量的数性积
定义 1.7.1 对于两个向量 a 和 b?把它们的模|a|,|b|及它们的夹角 的余弦的乘积称为向量 和 的数 量积?记作 ab,即 ab=|a||b|cos . 由此定义和投影的关系可得? ab |b|Prjb a=|a|Prjab?. 数量积的性质 ? 2 2 2 2 (1) a?a=|a| ,记 a?a a ,则 a |a| . (2) 对于两个非零向量 a、b?如果 a??b=0?则 a b ? 反之?如果 a b?则 a??b ?0. 定理 1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直?则 a ?b ?a??b ?0. 定理 1.7.2 数量积满足下面运算律:? (1)交换律 ? a??b= b?a ? (2)分配律 (?? ab) c a cb c (?(3) a)??b a?( b?) (a?b)? ( a)?( b?) (a?b)? ? 证 (1)由定义知显然. (2)的证明 因为当 c 0 时 上式显然成立 当c 0时 有 (ab) c |c|Prjc(ab) |c|(PrjcaPrjcb) |c|Prjca|c|Prjcb

a

cb

c

(3)可类似地证明. 例 1 试用向量证明三角形的余弦定理 证 设在Δ ABC 中?∠BCA |
2 2

|=a |

|=b | ?

|=c 要证

c
记 2 |c| 即

2

a +b 2 a b cos

a? c
2

b? c

=c?? 则有 c 2 (ab)(ab) a -2 ?

ab 从而??? ab+b2 |a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

c

2

a +b 22 a b cos

数量积的坐标表示?: 定理 1.7.3 设 a {ax ay az }?b 证

a??b

{bx by bz } 则 a?b axbxaybyazbz ( ax ? i ay j az k)?(bx i by j bz k) ax bx i?i ax by i?j ax bz i?k

ay bx j ?i ay by j ?j ay bz j?k az bx k?i az by k?j az bz k?k ax bx ay by az bz ?
定理 1.7.4 设 a={ |a|= 证 由定理 1.7.2 知 |a| =a =
2 2

},则向量 a 的模 . ,

所以 |a|= . 向量的方向角和方向余弦:向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角,方向角的余弦叫向量的方向余 弦. 定理 1.7.5 设 a={ },则 a 的方向余弦为

cos

=

,
12

cos

,

cos 且 其中

; ,

分别是向量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴的夹角. 证 因为

ai=|a|cos

且 ai= =

, ,

所以

|a|cos

从而

cos

=

.

同理可证

cos

cos 且显然 两向量夹角的余弦的坐标表示 ? 定理 1.7.6 设 (a ^ b) 则当 a

0、b

0 时?有

. 证 ? 因为

a?b

|a||b|cos

,所以

. 例 2 已知三点 M (11?1)?、A (22?1)?和 B (21?2)??求 AMB ? 解 从 M 到 A 的向量记为 a 从 M 到 B 的向量记为 b 则 AMB 就是向量 a 与 b 的夹角?. a {11?0}??b {10?1}?? 因为 a b 1 11 00 1 1? ? ? 所以 从而 . ?

§1.8 两向量的向量积
定义 1.8.1 两个向量 a 与 b 的向量积(也称外积)是一个向量,记做 a

b或

,它的模|a

b|

|a||b|sin ,它的方向与 a 和 b 垂直并且按 a,b, a b 确定这个顺序构成右手标架 {O;a,b,a b}. 从定义知向量积有下列性质: (1) a a 0 (2) 对于两个非零向量 a,b如果 a b 0则 a//b;反之如果 a//b则 a b 0. 定理 1.8.1 两不共线向量 a 与 b 的向量积的模,等于以 a 与 b 为边所构成的平行四边形的面积. 定理 1.8.2 两向量 a 与 b 共线的充要条件是 a b 0.
13

证 当 a 与 b 共线时,由于 sin(a、b)=0,所以|a b|=|a||b| sin(a、b)=0,从而 a b 0;反之, 当 a b 0 时,由定义知,a =0 ,或 b =0,或 a//b,因零向可看成与任向量都共线,所以总有 a//b, 即 a 与 b 共线. 定理 1.8.3 向量积满足下面的运算律 (1) 反交换律 a b b a, (2) 分配律 (ab) c a cb c, (3) 数因子的结合律 ( a) b a ( b) (a b) ( ). 证 (略). 推论: c (ab) c a c b 定理 1.8.4 设 a ax i ay j az kb bx i by j bz k,则 a b (aybz azby)i(azbx axbz)j(axby aybx)

k a
证 由向量积的运算律可得 b (ax iay jaz k) (bx iby j bz k)

axbx i

iaxby i

由于 i i 所以 a b 为了帮助记忆利用三阶行列式符号上式可写成

j axbz i k aybx j iayby j jaybz j kazbx k j j k k 0i j kj k ik i (aybz azby)i(azbx axbz)j(axby aybx)k.

iazby k j

azbz k

k

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi (ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k 例 1 设 a (2 1 1) b (11 2)计算 a

b

解 =2ij2kk4ji i5j 3k 例 2 已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (123)、B (345)、C (247)求三角形 ABC 的面积 解 根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积

由于

(222)

(124)因此

4i6j2k

于是 例 3 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转计算刚体上一点 M 的线速度 解 刚体绕 l 轴旋转时我们可以用在 l 轴上的一个向量 n 表示角速度它的大小等于角速度的大小它 即以右手握住 l 轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的 指向就是 n 的方向 设点 M 到旋转轴 l 的距离为 a 再在 l 轴上任取一点 O 作向量 r 并以 表示 n 与 r 的夹角那么 a |r| sin 设线速度为 v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v 的大小为 |v| |n|a |n||r| sin v 的方向垂直于通过 M 点与 l 轴的平面即 v 垂直于 n 与 r又 v 的指向是使 n、r、v 符合右手规则因此有

v n

r

§1.9 三向量的混合积
14

定义 1.9.1 或 . 定理 1.9.1 且当 右手系时

给定空间的三个向量

, 我们把

叫做三向量

的混合积, 记做

三个不共面向量

的混合积的绝对值等于以

为棱的平行六面体的体积 = 当

, 并 构成

构成右手系时混合积为正; 当 ,当 构成左手系时

构成左手系时混合积为负,也就是 . 可构成以

证 由于向量 的底面是以

不共面, 所以把它们归结到共同的试始点 ,它的高为 ,

为棱的平行六面体, 它 .

为边的平行四边形,面积为

,体积是

根据数性积的定义 其中 是 当 与 的夹角. 构成右手系时, , . 当 构成左手系时, , . 定理 1.9.2 证 若三向量 . 反过来,如果 定义知 定理 1.9.3 ,即 三向量 共面的充要条件是 共面,由定理 1.9.1 知

,因而可得

,因而可得

. ,所以 ,从而

,那么根据定理 1.7.1 有

,另一方面,有向性积的

,所以 共面. 轮换混合积的三个因子,并不改变它的值;对调任何俩因子要改变混合积符号,即 .

证 当

共面时,定理显然成立;当

不共面时,混合积的绝对值等于以

为棱的平行六

面体的体积 ,又因轮换 的顺序时,不改变左右手系,因而混合积不变,而对调任意两个之间的顺 序时,将右手系变为左,而左变右,所以混合积变号. 推论: 定理 1.9.4 设 . , , ,那么

. 证 由向量的向性积的计算知

, 再根据向量的数性积得

=

=

15

= 推论: 三向量

. 共面的充要条件是

. 例1 证明:由 设三向量 满足 ,证明: 两边与 做数量积,得: , 且 所以 例2 已知四面体 ,求它的体积。 , ,即 共面。 , , , 共面。

的顶点坐标

解: , , 所以, ,

§1.10 三向量的双重外积
定义 1.10.1 给定空间三向量,先做其中两个的向量积,再把所得的向量与第三个向量做向量积, 那么,最后的结果仍然是一个向量,叫做三个向量的双重向量积。 就是三向量 也垂直,所以 定理 1.10.1 证 若 定理显然成立。 现设 中有一个是零向量,或 共线,或 与 的一个双重向量积。且 和 共面。 (1.10.1) 都垂直,则(1.10.1)两边都是零向量, 与 都垂直, 与

都为非零向量,且

不共线,为了证明(1.10.1)成立,先证 (1)

由于 (2)式两边分别与

共面,而

不共线,故可设



(2)

作数量积可得 , ,

解得

,即(1)式成立。

16

下证(1.10.1)成立。由于 则有 利用(1)式可得 例 1. 证明: 试证:

不共面,对任意 ,可设





三式相加得 例 2. 证明:



证明:设

,则





知识点回顾: 解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究几何问题,为了把代数运算引到几何中来,最根本的做 法就是把空间的几何结构有系统地代数化,数量化。因此在本章中主要引入了向量及它的运算,并通过向 量了坐标系,从而使得空间中的点都和三元有序数组建立了一一对应的关系,为空间的几何结构代数化打 好了基础。 通过本章的学习,应掌握向量及其各种运算的概念,熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运 算规律和分量表示,会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题,如利用两向量的数量积为 零来判断各种垂直关系,两向量的向量积为零向量来判断各种平行问题,三向量的混合积为零来判断共面 问题,以及在空间直角坐标系下,利用向量积的模求面积,混合积来求体积等问题。 1.向量加法的运算规律: (1) (2) (3) (4) 2.数乘的运算规律: (1) (2) (3) (4) .
17

, .

1?

= ,

3. 两向量的数量积 (1)ab=|a||b|cos . (2)a ?b ?a??b ?0. (3)在空间直角坐标系下,设 a

{ax ay az }?b

{bx by bz } 则

a?b
4.两向量的向量积

axbxaybyazbz b或
,它的模|a

(1) 两个向量 a 与 b 的向量积(也称外积)是一个向量,记做 a

b|

|a||b|sin ,它的方向与 a 和 b 垂直并且按 a,b, a b 确定这个顺序构成右 手标架{O;a,b,a b} (2)两向量 a 与 b 共线的充要条件是 a b 0.. (3)在空间直角坐标系下设 a ax i ay j az k b bx i by j bz k,则 a b (aybz azby)i(azbx axbz)j(axby aybx)k (4)两不共线向量 a 与 b 的向量积的模,等于以 a 与 b 为边所构成的平行四边形的面积 5.三向量的混合积 (1)三个不共面向量 并且当 也就是 . (2)三向量 共面的充要条件是 , . , , 的混合积的绝对值等于以 构成右手系时混合积为正; 当 = 当 构成右手系时 为棱的平行六面体的体积 ,

构成左手系时混合积为负, ,当 构成左手系时

(3)在空间直角坐标系下设 那么

. 典型习题 1. 已知四面体ABCD的顶点坐标A(4,3,0),B(6,0,6), C(0,0,0), D 。

求(1) △BCD的面积。 (2)四面体ABCD的体积。 (3)C到△BCD的距离。 解:(1) , -------2 分 所以 △BCD 的面积

(2)四面体 ABCD 的体积为 (3)设 C 到 BCD 平面的距离为 h,则

18

从而有

。 . , 即

2. 用向量法证明:P 是Δ ABC 重心的充要条件为 证明: 设 P 为△ABC 的重心,D 为 BC 边中点,则

又因为 PD 为△PBC 的中线,所以 所以有 设 D 为 BC 边中点,则 又因为 ,即 , 。

与 共线,即 P 在 BC 边的中线上, 同理可得 P 也在 AB,AC 边的中线上,从而有 P 为△ABC 的重心。 3. 证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三 倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来. [证明]:设四面体 A1A2A3A4,Ai 对面重心为 Gi, 欲证 AiGi 交于一点(i=1, 2, 3, 4). 在 AiGi 上取一点 Pi,使 =3 , 从而 设 Ai (xi, yi, zi)(i=1, 2, 3, 4),则 = ,

G1 G2 G3 G4
所以

,

,

, ,

P1( P1(
同理得 P2 4.在四面体

, ,

,

)

P3

P4

, ). P1,所以 AiGi 交于一点 P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍. 是 的重心(三中线之交点),求矢量 对于矢量

中,设点 的分解式。

解:



的重心。

连接

并延长与 BC 交于 P

19

同理

(1)

(2) (3) 由(1)(2)(3)得



第二章 轨迹与方程
本章教学目的:通过本章学习,使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示,熟 悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程. 本章教学重点:空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义. 本章教学难点:(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面曲线 方程的区别;(2)空间坐标系下,空间曲线一般方程的规范表示. 本章教学内容:

§2.1 平面曲线的方程

在平面上或空间取定了坐标系之后,平面上或空间的点就与有序数组 (坐标): 或 建立了一一对应的关系.曲线、曲面(轨迹) 就与 方程 或

建立一一对应的关系. 1.平面上的曲线: 具有某种特征性质的点的集合(轨迹). 曲线的方程:1 曲线上的点都具有这些性质. 2 具有这些性质的点都在曲线上. 2.曲线的方程, 方程的图形 定义 2.1.1 当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线有着关系:1 满足方程的 必是曲

线上某一点的坐标; 2 曲线上任何一点的坐标 这条曲线叫做这个方程的图形. 例 1. 求圆心在原点,半径为 R 的圆的方程.

满足这个方程,那么这个方程叫做这条曲线的方程,而

20

解: 任意点 类似地, 圆心在 例 2. 已知两点 解: 动点

在圆上 ,半径为 R 的圆的方程为 和 在轨迹上 ,求满足条件

. . 的动点 的轨迹方程.



平方整理得 再平方整理得 . 为所求轨迹方程. 注: 在求曲线的方程时,化简过程中可能造成范围 的变化,得到的方程所代表曲线上的点与条件并不 完全相符,必须补上或除去. 3. 曲线的参数方程 变向量 : 随 的变化而变化的向量 . :对每一个 在坐标系 都唯一确定的一个 . 上,向量函数 = = ( )叫做曲线的向量式

向量函数 = 定义 2.1.2 参数方程.

曲线的坐标式参数方程: 曲线的普通方程: .

21

例 3. 一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一点的轨迹.

(图 2-3)

解:取直角坐标系,设半径为 的圆在 轴上滚动,开始时点 P 恰好在原点 O(图 2-3),经过一段时间的滚动, 圆与直线 轴的切点移到 A 点,圆心移到 C 点,这时有 . 设 为 到 的有向角,则 到 的角为 ,则 . 又 ,

, 这即是 P 点轨迹的向量式参数方程.

其坐标式参数方程为: 取 时,消去参数 ,得其在 的一段的普通方程:

22

这种曲线叫做旋轮线或称为摆线. 例 4. 已知大圆半径为 ,小圆半径为 ,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一点 P 的 轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.

解:

设运动开始时动点 P 与大圆周上的 A 点重合,并取大圆中心 O 为原点,OA 为 x 轴,过 O 与 OA 垂直的直线 为 y 轴建立坐标系,经过某一过程后,小圆与大圆的接触点为 B,小圆中心为 C,则 C 一定在 OB 上,且有 , 设 为 到 则有 又由弧 AB 等于弧 BP 可得 所以 . ,从而有 到 的有向角为 , , 的有向角, 为 到 的有向角,

23

即为 P 点的向量式参数方程,其坐标式参数方程为 (-∞﹤ <+∞) 例 5 把线绕在一个固定的圆周上,将线头拉紧后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来,使放出来的部 分成为圆的切线,求线头的轨迹.

解 设圆的半径为 是圆周上的点,如右图,建立坐标系, 那么 , 设 ,那么 , 且矢量 对 轴所成的有向角为 , 所以 = 从而得 ,

,线头

的最初位置

这就是所求

, 点轨迹的矢量式参数方程.由上式可得该轨迹的坐标式参数方程为

该曲线叫渐伸线或切展线.

§2.2
一、曲面的方程: 1 定义 2.2.1

曲面的方程
为一三元方程,空间中建立了坐标系 ,而且凡坐标满足方程的点

设Σ 为一曲面,F(x,y,z)=0 或

以后,若Σ 上任一点 P(x,y,z)的坐标都满足 F(x,y,z)=0 或 都在曲面Σ 上,则称 F(x,y,z)=0 或

为曲面Σ 的方程,而曲面Σ 叫做方程 F(x,y,z)=0

或 的图形. 不难看出,一点在曲面Σ 上〈═〉该点的坐标满足Σ 的方程,即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应 的 ∴Σ 的方程的代数性质必能反映出Σ 的几何性质. 2 三元方程的表示的几种特殊图形: 空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三元方程也表示空间中的一个曲面呢?一般 而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1° 若 F(x,y,z)=0 的左端可分解成两个(或多个)因式 F1(x,y,z)与 F2(x,y,z)的乘积, 即 F(x,y,z)≡F1(x,y,z)F2(x,y,z),则 F(x,y,z)=0〈═〉F1(x,y,z)=0 或 F2(x,y,z)=0,此时
24

F(x,y,z)=0 表示两叶曲面 与 ,它们分别以 F1(x,y,z)=0,F2(x,y,z)=0 为其方程,此时 称 F(x,y,z)=0 表示的图形为变态曲面.如
即为三坐标面. 2 方程 仅表示坐标原点和点(1,2,3) 3°方程 可能表示若干条曲线,如
0

即表示 z 轴和 x 轴 4°方程 不表示任何实图形,如 , 此时,称 所表示的图形为虚曲面 3 求法: 例 1:求平行于坐标面的平面的方程. 解:设平行于 面的平面为π ,π 与 z 轴的交点为 ∈π 〈═〉 共面 ,则

=0



同理,平行于其他两坐标面的平面的方程为 例 2:求作两定点 A(1,-2,1),B(0,1,3)等距离的点的轨迹. 解:

(图 2.1) 设所求轨迹为Σ ,则 = 〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10 〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0 即所求轨迹为 x-3y-2z+2=0 例 3:求半径为 R 的球面的方程 解:建立直角坐标系{O;i,j,k},并设球心 P(x,y,z) 球面Σ 〈═〉∣ (a,b,c),则

∣=R〈═〉

特别地,若 M.(a,b,c)为坐标原点,则球面Σ 的方程为 x?+y?+z?=R? 综合上述条例,可归纳出求曲面方程的一般步骤如下: 1°建立适当的坐标系;(方程易求且求出的方程简单) 2°设动点Σ 坐标为 P(x,y,z),并根据已知条件,推出曲面上的点的坐标应满足的方程; 3°对方程作同解化简.
25

二、 曲面的参数方程: 定义 2.2.2 设 D R?为有序数对集,若对任意(u,v)∈D,按照某对应规则,有唯一确定的向 量 r 与之对应,称这种对应关系为 D 上的一个二元向量函数,记作 r=r(u,v),(u,v)∈D 定义 2.2.3 设Σ 为一曲面,r=r(u,v),(u,v)∈D 为一二元向量函数,在空间坐标系下, 若对任意(u,v)∈D ,径向 =r(u,v)的终点 P 总在曲面Σ 上,而且对任意 P∈

Σ ,也必能找到(u,v)∈D,使 =r (u,v),则 称 r=r(u,v)为Σ 的向量式参数方程,记作Σ :r=r(u,v),(u,v)∈ D. 若令 r(u,v)={x(u,v),y(u,v),z(u,v)},

则 称

(u,v)∈D

为Σ 的坐标式参数方程,记作Σ :

(u,v)∈D

(图 2.2) (图 2.3) 例:建立球面的参数方程: 解:为简单起见,设坐标原点位于球心,球面半径为 R,如图 对任意 M(x,y,z)∈球面Σ ;令 P 为 M 在 x.y 面上投影,
26

并令 =∠( r= =∣ =∣ =Rsin =

, ),则

∣cos ∣sin cos

i+∣ cos

∣sin i+ ∣ sin

j+∣ ∣sin j +Rcos sin

∣cos j+∣ ∣cos

i+Rsin

∴球面的参数方程 为: 0 π 0 <2π 三、 球坐标系与柱坐标系 定义 2.2.4 空间中建立了直角坐标系之后,对空间中任一点 M(x,y,z),设∣OM∣=ρ 则 M 在以 O 为

中心,以ρ 为半径的球面上,从而存在φ ,θ ,使

(*)

反之,对任意ρ (ρ ?0),φ (0 π ),θ (0 <2π ),通过(*)也能确定空间中一点 M (x,y,z),我们称有序三数组ρ ,φ ,θ 为 M 点 的球坐标(空间极坐标),记作 M (ρ ,φ ,θ ) 注:1°空间中的点与其球坐标间并非一一对应. 2°已知 M 点的球坐标,通过(*)可求其直角坐标,而若已知 M 的直角坐 标,则

(**) 便可求其球坐标. 定义 2.2.5 空间中建立了直角坐标系之后,对 M(x,y,z),设其到 z 轴的距离为ρ ,则 M 落在以 z

轴为中心轴,以ρ 为半径的圆柱面上,从而 θ ,u, 使 (*) 反之,对 给的ρ (ρ ?0),θ (0≦θ <2π ),u(∣u∣< ),依据(*)式 也可确定空间中一点 M(x,y,z),称有序三数组ρ ,θ ,u 为 M 点的柱坐标,记作 M(ρ ,θ , u). 注:1°空间中的点与其柱坐标并非一一对应. 2°由柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱坐标,则需按下式进行.

例:在直角坐标系下,圆柱面 的图形如下:

,双曲柱面

,平面

和抛物柱面

27

(图 2.4)

(图 2.5)

(图 2.6) 一 、空间曲线的一般方程

(图 2.7)

§2.3

空间曲线的方程

1 .定义 2.3.1 设 L 为空间曲线, 为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若 L 上任一点 M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线 L 上,则称

为曲线 L 的一般方程,又称普通方程,记作 L:

28

注:

(图 2.8) 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线(如图 2.8); 3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如

与 均表示 z 轴 2 .用曲线的射影柱面的方程来表达曲线 以曲线 L 为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为 L 的射影柱面,若记 L 的三射影柱面的方程为 (x,y)=0, (y,z)=0, (z,x)=0,则

, , 便是 L 的用射影柱面表达的方程

若已知曲线 L: 的方程 (y,z)=0,

,只需从 L 的方程中,分别消去 x,y,z 便三射影柱面 (z,x)=0, (x,y)=0

例:设有曲线 L: ,试求 L 的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线. 解:从 L 的方程中分别消去 x,y,z 得到 z?-4y=4z,x?+z?=4z,x?+4z=0 它们即为 L 的射影柱面,而

(1), 便均是 L 的用射影柱面表达的方程 注:利用方程(2)即可作出 L 的草图 二 、空间曲线的参数方程: 1.定义 2.3.2

(2),

(3)

设 L 为一空间曲线,r=r(t),t∈A 为一元向函数,在空间坐标系下,若对

P∈L,

t∈A,使 =r(t),而且对 t∈A,必有 P∈L,使 r(t)= ,则称 r=r(t), t∈A 为曲线 L 的向量式参数方程,记作 L=r=r(t),t∈A,t ——参数 若点 r(t)={x(t),y(t),z(t)}

则称

t∈A

为 L 的坐标式参数方程 注:空间曲线的参数方程中,仅有一个参数,而曲面的参数方程中,有两个参数,所以习惯上,称曲 线是单参数的,而曲面是双参数的。 2.求法:
29

例:一质点,在半径=a 的圆柱面上,一方面绕圆柱面的轴作匀速转动,一方面沿圆柱面的母线方向作 匀速直线运动,求质点的运动轨迹。 解:以圆柱面的轴作为 z 轴,建立直角坐标系{O;i,j,k},如图,不妨设质点的起始点在 x 轴上, 质点的角速率与线速率分别为ω 。,ν 。,质点的轨迹为 L,则对 ∈L, 在 x。y 面上的 投影为 ′,

(图 2.9) r= = 若令 + , =acos =b,则 i+asin j+ k

r=acos i+asin j+b k ————L 的向量式参数方程



小结
知识点回顾: 在平面上或空间取定了坐标系后,平面上或空间的点就与有序实数组(x,y)或(x,y,z)建立了一一对 应的关系,在此基础上,把平面上的曲线或空间的曲面都看成具有某种特征性质的点的集合,而其特征性 质在坐标系中反映为它的坐标之间的某种特定关系,把这种关系找出来,就是它的方程,而图形的方程和 图形间有一一对应的关系, 这样就把研究曲线与曲面的几何问题转化为了代数问题。 如曲面的方程为 F (x, y,z)=0,要研究空间中三曲面是否有公共点的问题就可归结为求三曲面方程的公共解,也就是解三元联 立方程组的问题。例如方程组

如果有实数解,则三曲面 点的坐标。若方程组无实数解,三曲面就没有公共点。 平面曲线的普通方程为

就有公共点,方程组的解就是公共 ,参数

,参数方程为单参数的;曲面的普通方程为

方程为双参数的;空间曲线的普通方程为 ,参数方程为单参数的。 参数方程若能消去参数可得到普通方程,普通方程化为参数方程时形式却是不唯一的,但一定要保证 与原方程等价。 典型习题: 1. 有一长度为 段中点的轨迹。 .则 >0)的线段,它的两端点分别在 轴正半轴与 , 为两端点, 为此线段的中点。 . 在 中有
30

轴的正半轴上移动,是求此线 :

解:设



.

∴此线段中点的轨迹为 . 2. 有一质点,沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起,作等速直线运动,另一方面这一条母 线在圆锥面上,过圆锥的顶点绕圆锥的轴(旋转轴)作等速的运动,这时质点在圆锥面上的轨迹叫做 圆锥螺线,试建立圆锥螺线的方程. 解:取圆锥面的顶点为坐标原点,圆锥的轴为 z 轴建立直角坐标系,并设圆锥顶角为 ,旋转角速度为 ,直线运动速度为 V,动点的初始位置在原点,而且动点所在直母线的初始位置在 xoz 面上,t 秒后质 点到达 P 点,P 点在 xoy 面上的射影为 N,N 在 x 轴上的射影为 M,则有



所以,圆锥螺旋线的向量式参数方程为

坐标式参数方程为

(﹣∞<t<∞).

第三章

平面与空间直线

本章教学目的: 通过本章的学习,使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式,掌握确定 平面与直线的条件,熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念. 本章教学重点:(1)空间坐标系下平面方程的点位式和点法式、直线方程点向式与标准式;(2)点、 平面与空间直线间各种位置关系的解析条件;(3)平面与空间直线各种度量关系的量化公式. 本章教学难点: (1)异面直线的公垂线方程;(2)综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直 线方程. 本章教学内容: §3.1 平面的方程 1.平面的点位式方程 在空间给定了一点 M0 与两个不共线的向量 a, b 后, 通过点 M0 且与 a, b 平行的平面? 就惟一被确定. 向 量 a,b 叫平面? 的方位向量. 任意两个与? 平行的不共线的向量都可作为平面? 的方位向量. 取标架 = = ,设点 M0 的向径 ,平面? 上任意一点 M 的向 = {x,y,z}(如图). 点 M 在

径为 r =

平面?上的充要条件为向量 与向量 a,b 共面. 由于 a, b 不共线, 这个共面的条件可以 写成 = ua+vb 而 = r -r0,所以上式可写成 (3.1-1)

r = r0+ua+vb 此方程叫做平面? 的点位式向量参数方程,其中 u,v 为参数.
31

若令 a = {





},b = {





},则由(3.1-1)可得

(3.1-2) 此方程叫做平面? 的点位式坐标参数方程,其中 u,v 为参数. (3.1-1)式两边与 a?b 作内积,消去参数 u,v 得 (r -r0,a,b) = 0 此即

(3.1-3)

=0 这是? 的点位式普通方程. 例 1:已知平面?上三非共线点 (i = 1,2,3).求通过 ={ , ,

(3.1-4) (i = 1,2,3)的平面方程。 },i = 1,2,3. 对动点 M,设 r = ={x,

解: 建立坐标系{O;e1, e2, e3},设 ri =

y,z},取
次为



为方位向量,M1 为定点,则平面?的向量参数方程,坐标参数方程和一般方程依 r = +u( r1) - )+v( - (3.1-5)

(3.1-6)

= 0 (3.1-5),(3.1-6)和(3.1-7)统称为平面的三点式方程. 特别地,若 是? 与三坐标轴的交点,即 ≠0,则平面? 的方程就是 (a,0,0), (0,b,0), (3.1-7) (0,0,c),其中 abc

=0 即 (3.1-9) 此方程叫平面?的截距式方程,其中 a,b,c 称为? 在三坐标轴上的截距. 2.平面的一般方程 在空间,任一平面都可用其上一点 M0(x0,y0,z0)和两个方位向量 a = { }确定,因而任一平面都可用方程(3.1-4)表示. 将(3.1-4)展开就可写成 Ax+By+Cz+D = 0 其中 , ,

(3.1-8)

},b = {





(3.1-10)

A =

,B =

,C =

由于 a = { , , }与 b = { , , }不共线,所以 A,B,C 不全为零,这说明空间任一平 面都可用关于 a,b,c 的一三元一次方程来表示.
32

反之,任给一三元一次方程(3.1-10),不妨设 A≠0,则(3.1-10)可改写成

即 它显然表示由点 M0 (-D / A,0,0)和两个不共线的向量{B,-A,0}和{C,0,-A }所决定的平面. 于 是有 定理 3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数 x,y,z 的三元一次方程;反过来,任一 关于变数 x,y,z 的三元一次方程都表示一个平面. 方程(3.1-10) 称为平面? 的一般方程. 现在先来讨论几种特殊的平面方程(平面对于坐标系来讲具有某种特殊位置): 1.D=0 的平面都通过原点。 2.A、B、C 中有一个为 0,例如 C=0,则平面通过 Z 轴。 3. A、B、C 中有两个为 0,若 D ,B=C=0,平面平行于 yoz 坐标面。. 其余情况同学们自己讨论。 3.平面的法式方程。 若给定一点 M0 和一个非零向量 n, 则过 M0 且与 n 垂直的平面?也被惟一地确定. 称 n 为?的法向量. 在 空间坐标系{O;i,j,k}下,设 ={x,y,z},则因总有 = ={x0,y0,z0},n = {A,B,C},且平面上任一点 M 的向径 r =

⊥n,有

n(r-r0) =
0 也就是 0 (3.1-11)

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) =
(3.1-12)

方程(3.1-11)和(3.1-12)叫平面? 的点法式方程. (3.1-12)中的系数 A,B,C 有简明的几何意义, 它们就是平面? 的一个法向量的分量. 特别地,取 M0 为自 O 向? 所作垂线的垂足,而 n 为单位向量. 当平面不过原点时,取 n 为与 0 0 的单位向量 n ,当平面过原点时取 n 的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个. 设| | = p,则 n0(r-p n0) = 0 = p n ,由点 P 和 n 确定的平面的方程为 ,上式可写成 n0r-p = 0 13) 此方程叫平面的向量式法式方程. 0 若设 r = {x,y,z},n = {cos?,cos?,cos?},则由(3.1-13)得 x cos?+y cos?+z cos?-p = 0
33
0 0

同向

式中 r 是平面的动向径. 由于

(3.1-

(3.1-14)

此为平面的坐标法式方程,简称法式方程. 平面的坐标法式方程有如下特征: 1°一次项系数是单位向量的分量,其平方和等于 1; 2°常数项-p?0(意味着 p ? 0). 3°p 是原点到平面的距离. 例 3: 求通过点 且平行于 z 轴的平面方程。 ,所以有 2A

解:设平行于 z 轴的平面方程为 Ax+By+D = 0,因为它又要通过

-B+D = 0,3A-2B+D = 0,由上两式得 A:B:C= 所以所求平面方程为 x+y-1= 0 4.化一般方程为法式方程 在直角坐标系下,若已知?的一般方程为 Ax+By+Cz+D = 0,则 n = {A,B,C}是?的法向量,Ax+ By+Cz+D = 0 可写为 nr+D = 0 (3.1-15) 与(3.1-13)比较可知,只要以

去乘(3.1-15)就可得法式方程

?Ax+?By+?Cz+?D = 0 (3.1-16) 其中正负号的选取,当 D≠0 时应使(3.1-16)的常数项为负,D=0 时可任意选.
以上过程称为平面方程的法式化,而将 例 2:已知两点 解: 中点坐标为: 平面的点法式方程为: 整理后得: 例 3:把平面 解: : 化为法式方程,并求出原点指向平面的单位法向量。 , , ,求线段 叫做法化因子. 垂直平分面 的方程。

所以

法式方程为:

§3.2

平面与点的相关位置

平面与点的位置关系,有两种情形,就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平 面方程. 点不在平面上时,一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在平面的哪一侧. 1.点到平面的距离 定义 3.2.1 自点 M0 向平面? 引垂线, 垂足为 Q. 向量 面?之间的离差,记作 ? = 射影
n0

在平面?的单位法向量 n0 上的射影叫做 M0 与平

(3.2-1)
34

显然 当 0.
0

? = 射影 n0

=

?n =∣
0

0

∣cos∠(

,n ) =±∣

0



与 n 同向时,离差? > 0;当

与 n 反向时,离差? < 0. 当且仅当 M0 在平面上时,离差? =

显然,离差的绝对值就是点 M0 到平面? 的距离. 定理 3.2.1 点 M0 与平面(3.1-13)之间的离差为 ? = n0r0-p (3.2-2) 证:根据定义 3.2.2 和上图得? = 射影 n0 其中 q= = n (
0 0

-

)= n (r0-q)= n r0-n q
0

0

0

0

,而 Q 在平面(3.1-13)上,因此 n q= p,所以? = n r0-p。 ,则 与?间的离差 (3.2- 3)

推论 1 若平面? 的法式方程为

推论 2 点

与平面 Ax+By+Cz+D = 0 间的距离为 (3.2-

4) 2.平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 设平面 的一般方程为 Ax+By+Cz+D = 0 则空间中任一点 M(x,y,z)与 间的离差为 式中?为平面 = ? (Ax+By+Cz+D) 的法化因子,由此有 Ax+By+Cz+D

= (3.2-5) 对于平面 同侧的点,? 的符号相同;对于在平面 的异侧的点,? 有不同的符号,而?一经取定, 符号就是固定的. 因此,平面 :Ax+By+Cz+D = 0 把空间划分为两部分,对于某一部分的点 M(x,y,z) Ax+By+ Cz+D > 0;而对于另一部分的点,则有 Ax+By+Cz+D < 0,在平面 上的点有 Ax+By+Cz+D = 0.

§3.3

两平面的相关位置

空间两平面的相关位置有 3 种情形,即相交、平行和重合. 设两平面?1 与?2 的方程分别是 (1) ?1: (2) ?2: 则两平面?1 与?2 相交、平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或无 数个解,从而我们可得下面的定理. 定理 3.3.1 两平面(1)与(2)相交的充要条件是 (3.3-1)
35

平行的充要条件是 (3.3-2) 重合的充要条件是 (3.3-3) 由于两平面?1 与?2 的法向量分别为 ,当且仅当 n1 不平行于 n2 时?1 与?2 相交,当且仅当 n1∥n2 时?1 与?2 平行或重合,由此我们同样能得到上面 3 个条件. 下面定义两平面间的夹角. 设两平面的法向量间的夹角为?,称?1 与?2 的二面角∠(?1,?2) =? 或?-?为两平面间的夹角. 显然有 =±cos? =± 定理 3.3.2 两平面(1)与(2)垂直的充要条件是 (3.3-4)

(3.3-5) 例 一平面过两点 和 且垂直于平面 x+y+z = 0,求它的方程. 解 设所求平面的法向量为 n = {A,B,C}, 由于 在所求平面上,有 , 即 . 又 n 垂直于平面 x+y+z = 0 的法线向量{1,1,1},故有 A+B+C = 0 解方程组 得 所求平面的方程为 , 约去非零因子 C 得 , 即 2x-y-z =0 ,

§3.4

空间直线的方程

1.直线的点向式方程 在空间给定了一点 与一个非零向量 v = {X,Y,Z},则过点 M0 且平行于向量 v 的直线 l 就惟一地被确定. 向量 v 叫直线 l 的方向向量. 显然,任一与直线 l 上平行的飞零向量均可作为直线 l 的 方向向量. 下面建立直线 l 的方程. 如图,设 M (x,y,z) 是直线 l 上任意一点,其对 应的向径是 r = { x,y,z },而 对应的 向径是 r0,则因 有 //v,有 t∈R, = t v. 即

r-r0= t v
所以得直线 l 的点向式向量参数方程 r = r0+t v -1) 以诸相关向量的分量代入上式,得 (3.4

根据向量加法的性质就得直线 l 的点向式坐标参数方程为 -∞ < t < +∞ 消去参数 t,就得直线 l 的点向式对称方程为
36

(3.4-2)

(3.4-3) 此方程也叫直线 l 的标准方程. 今后如无特别说明,在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对 称式. 例 1 设直线 L 通过空间两点 M1(x1,y1,z1)和 M2(x2,y2,z2),则取 M1 为定点, 就得到直线的两点式方程为 (3.4-4) 根据前面的分析和直线的方程(3.4-1),可得到 为方位向量,

这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4-1)或(3.4-2)中参数的几何意义:参数 t 的绝对值等于 定点 M0 到动点 M 之间的距离与方向向量的模的比值,表明线段 M0M 的长度是方向向量 v 的长度的 |t| 倍. 0 特别地,若取方向向量为单位向量 v = {cos?,cos?,cos?} 则(3.4-1)、(3.4-2)和(3.4-3)就依次变为 r = r0+t v0 (3.4-5) -∞ < t < +∞ 和 (3.4-7) 此时因 |v| = 1,t 的绝对值恰好等于 l 上两点 M0 与 M 之间的距离. 直线 l 的方向向量的方向角?,?,? cos?,cos?,cos? 分别叫做直线 l 的方向角和方向余弦. 由于任意一个与 v 平行的非零向量 v'都可作为直线 l 的方向向量,而二者的分量是成比例的,我们一 般称 X :Y :Z 为直线 l 的方向数,用来表示直线 l 的方向. 2.直线的一般方程 空间直线 l 可看成两平面?1 和?2 的交线. 事实上,若两个相交的平面?1 和?2 的方程分别为 ?1: (3.4-6)

?2:
那么空间直线 l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组 (3.4-8) 反过来,如果点不在直线 l 上,那么它不可能同时在平面?1 和?2 上,所以它的坐标不满足方程组(3.4-8). 因此,l 可用方程组(3.4-8)表示,方程组(3.4-8)叫做空间直线的一般方程. 一般说来,过空间一直线的平面有无限多个,所以只要在无限多个平面中任选其中的两个,将它们的 方程联立起来,就可得到空间直线的方程. 直线的标准方程(3.4-3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式,得到的是直线的射影式方 程. 将直线的一般方程化为标准式,只需在直线上任取一点,然后取构成直线的两个平面的两个法向量的 向量积为直线的方向向量即可. 例 将直线的一般方程

化为对称式和参数方程. 解 令 y = 0,得这直线上的一点(1,0,-2). 两平面的法向量为 a = {1,1,1},b = {2,-1,3} 因 a?b = {4,-1,-3},取为直线的法向量,即得直线的对称式方程为



,则得所求的参数方程为
37

§3.5

直线与平面的相关位置

直线与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上 3 种情形. 设直线 l 与平面? 的方程分别为

l: ? :Ax+By+Cz+D = 0
(1)也就是 .

(1) (2)

将(2)代入(1),整理可得 (AX+BY+CZ)t = -(Ax0+By0+Cz0+D) 当且仅当 AX+BY+CZ≠0 时,(3)有惟一解

(3)

这时直线 l 与平面? 有惟一公共点;当且仅当 AX+BY+CZ = 0,Ax0+By0+Cz0+D≠0 时,(3)无解,直 线 l 与平面? 没有公共点;当且仅当 AX+BY+CZ = 0,Ax0+By0+Cz0+D = 0 时,(3)有无数多解,直线 l 在平面? 上. 于是有 定理 3.5.1 关于直线(1)与平面(2)的相互位置,有下面的充要条件: 1)相交: AX+BY+CZ≠0 2)平行: AX+BY+CZ = 0,Ax0+By0+Cz0+D≠0 3)直线在平面上: AX+BY+CZ = 0,Ax0+By0+Cz0+D = 0 以上条件的几何解释:就是直线 l 的方向向量 v 与平面? 的法向量 n 之间关系. 1)表示 v 与 n 不垂直; 2)表示 v 与 n 垂直且直线 l 上的点(x0,y0,z0)不在平面? 上; 3)表示 v 与 n 垂直且直线 l 上的点(x0,y0,z0)在平面? 上. 当直线 l 与平面? 相交时,可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时,直线与平面的交角? 是指直 线和它在平面上的射影所构成的锐角; 垂直时规定是直角. 设 v = {X,Y,Z}是直线 l 的方向向量,n = {A,B, C}是平面? 的法向量,则

令 ∠(l,? ) = ,∠(v,n) = ? ,就有 =

? 或

= ?-

(? 为锐角) (3.5-1)

因而,sin =∣cos?∣= = 从这个公式也可直接得到定理 3.5.1 中的条件.

§3.6

空间直线与点的相关位置

任给一条直线 l 的方程和一点 M0,则 l 和 M0 的位置关系只有两种:点在直线上和点不在直线上。从代 数上,这两种情况对应点的坐标满足方程和点的坐标不满足方程. 当点不在直线上时,可求此点到直线的距离. 设空间中有一点 M0(x0,y0,z0),和一条直线 l:

l:

38

此处 M1(x1,y1,z1)是 l 上的一点,v = {X,Y,Z} 是 l 的方向向量. 以 v 和 为邻边作一平行四

变形,则其面积为 | v? |,点 M0 到直线 l 的距离 d 就是此平行四变形的对应于底 | v | 的 高,所以

= (3.7-1) 在实际计算中,记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的. 只需根据公式的前半部分计算 即可.

§3.7 空间两直线的相关位置
1.空间两直线的位置关系: 空间两直线的相关位置有异面与共面,共面时又有相交、平行和重合 3 种情形. 设二直线的方程为 : 此处直线 l1 是由点 和方向向量 v1 = {X1,Y1, Z1}决定的, 而直线 l2 是由点 和方向向量 v2 = {X2, Y2,Z2}决定的. 由图容易看出,两直线的相关位置决定于三 向量 , v1, v2 的相互关系. 当且仅当这三个向量异面时, 两直线异面;当且仅当这三个向量共面时,两直线共面. 共面时, 若 v1, v2 不平行, 则 l1 和 l2 相交, 若 v1∥v2 但不与 平行, 则 l1 和 l2 平行, v1∥v2∥ 则 l1 和 l2 重合. 因此有 定理 3.6.1 空间两直线 l1 和 l2 的相关位置有下面的充要条件 1)异面: (3.6-1) 2)相交: 3)平行: 4)重合: 2.空间两直线的夹角 平行于空间两直线的两向量间的夹角,叫空间两直线的夹角. 显然,若两直线间的夹角是?,则也可认为它们之间的夹角是?-?. 定理 3.6.2 空间两直线 l1 和 l2 的夹角的余弦为 (3.6-2) (3.6-3) (3.6-4) ,

i = 1,2

(3.6-5) 推论 两直线 l1 与 l2 垂直的充要条件是 X1X2+Y1Y2+Z1Z2 = 0 (3.6-6) 3.二异面直线间的距离与公垂线的方程 空间两直线的点之间的最短距离叫这两条直线之间的距离. 两相交或两重合直线间的距离为零;两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的 距离. 与两条异面直线都垂直相交的直线叫两异面直线的公垂线. 两异面直线间的距离就等于它们的公垂 线夹在两异面直线间的线段的长.

39

设两异面直线 l1 和 l2 的方程如前,l1 和 l2 与它 们的公垂线的交点分别为 N1 和 N2,则 l1 和 l2 之间的 距离

也就是

(3.6-6) 现在求两异面直线 l1 和 l2 的公垂线的方程. 如上图,公垂线 l0 的方向向量可取作 = {X,Y,Z},而公垂线 l0 可看作两个平面的交线,这两 个平面一个通过点 M1, 以 v1 和 和为方向向量, 另一个平面通过点 M2, 以 v2 和 和为方向向量. 因

此公垂线 l0 的一般方程可写为

(3.6-7).

例 1 求通过点 方程。 解:设直线方程为: 由条件可得:

而与平面

平行,且与直线

相交的直线的



从而, 且 所以,直线方程为: 例 2 已知两直线:

与 ⑴ 证明它们为异面直线; ⑵ 求它们公垂线的方程

40

解:

⑴ ⑵ 公垂线方向为:

,所以,两直线异面。 公垂线方程为:

,化简得: 即:

§3.8

平面束

1.平面束 定义 3.8.1 空间中过同一直线 l 的所有平面的集合称为有轴平面束,l 称为这平面束的轴. 定义 3.8.2 空间中平行于一定平面?的所有平面的集合称为平行平面束. 有轴和平行平面束统称为平面束. 定理 3.8.1 如果两个平面 ?1: 0 ?2:

x+ x+

y+ y+

z+ z+

= (1) = (2) (3.8-1)

0 交于一条直线 L,那么以直线 L 为轴的有轴平面束的方程是

?(

x+ y+ z+ )+? ( x+ y+ 其中? 和 ? 是不全为零的任意实数. 证 先证(3.8-1)表示过 L 的平面.

z+

) = 0

(3.8-1)即为(? +? )x+(? +? )y+(? +? 上式中 x,y,z 的系数必不全为零,若不然,则有 -?:? = : = : =

)z+? :

+?

= 0

这与 与 相交矛盾. 故表示(3.8-1)一平面?,?显然通过 与 的交线 L. 再证明对于过 L 的任一平面?,必存在不全为零的实数?,?,使?的方程为(3.8-1). 首先,若?是 一般地,若?≠ 件是 ,取? = 1,? = 0;若?是 ,取? = 0,? =1 即可. ,i = 1,2,取?上一点 A(a,b,c) L,则由于(3.8-1)表示的平面要通过 L 的条

? (


a+

b+

c+

)+? (

a+ b+

b+ c+

c+

) = 0

?:? =-(

a+

) :(

a+

b+

c+

)

不妨取 ? =-( a+ b+ c+ ),? = a+ b+ c+ 则由于 A 不在 L 上,? 和 ? 不全为零,因而过 L 且过 A 的平面? 的方程必可写成(3.8-1)的形式. 例 求过二平面 4x-y+3z-1 = 0 与 x+5y-z+2 = 0 的交线,且过原点的平面的方程. 解 略(讲解时实推). 定理 3.8.2 如果两个平面 ?1: 0 ?2: 0 为平行平面,那么方程
41

x+ x+

y+ y+

z+ z+

= (1) = (2)

?( x+ y+ z+ )+? ( x+ y+ z+ ) = 0 (3.8-1) 为平行平面束,平面束中任一平面都和?1 或?2 平行. 式中? 和 ? 是不全为零的任意实数,且 -? :?≠A1 :A2 = B1 :B2 = C1 :C2 定理 3.8. 3 平行于平面?:Ax+By+Cz+D = 0 的所有平面的方程可表为 Ax+By+Cz+? = 0 (3.8-2) 例 求与平面 3x+y-z+4 = 0 平行,且在 z 轴的截距等于-6 的平面的方程. 解 设所求的平面是 3x+y-z+t = 0,则由于点 (0,0,-6) 在平面上,有 t+6 = 0, t =-6 所求的平面方程为 3x+y-z-6 = 0 2.平面把
定义 3.8.3 空间中过一定点 的所有平面的集合称为平面把, 称为把心. (3.8-3) 定理 3.8.4 过定点 ( , , )的所有平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) = 0 其中 A,B,C 是任意不全为零的实数. 更一般地,我们有 定义 3.8.3 空间中过一定点 的所有平面的集合称为平面把,

称为把心. (3.8-4)

定理 3.8. 5 过定点 ( , , )的所有平面的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) = 0 其中 A,B,C 是任意不全为零的实数. 定理 3.8. 6 对任意不全为 0 的? , ?,?,方程 表示过三平面 : 的(惟一)交点 ( , , ?,使? 的方程为(3.8-4). )的一个平面?;反之,对任意过

(3.8-5) , 3 的平面?,必存在不全为零的? , ?,

小结
知识点回顾: 通过本章的学习, 使学生掌握空间坐标系下平面、 直线方程的各种形式, 掌握确定平面与直线的条件, 熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念. (1)空间坐标系下平面方程的点位式和点法式. 在空间取仿射坐标系 则平面 设点 的向量式参数方程为 的坐标分别为 , 并设点 的向径 其中 ,那么 , 平面 为参数。 ;并设 上任意一点 的向径为

则平面

的坐标式参数方程为



为参数。

平面的点位式方程为 空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量 x,y,z 的一次方程;反过来,每一个关于变量 x,y,z 的一次方程都表示一个平面,Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空间直角坐标系,设点 式方程 . (2)空间直线的各种方程. 的向径为 ,平面上的任意一点 的向径为 ,则平面的点法

42

在空间取仿射坐标系 则其向量式参数方程为

, 已知直线上一点 。

, 动点

, 方向向量

.

坐标式参数方程为: 对称式方程或标准方程为:

. 。

设有两个平面的方程为 中的系数行列式

(*) 如果

, 即方程组 (*)

不全为零,那么 相交,它们的交线设为 ,因为 上的任意一点同在这两平面上,所以它的坐标必 满足方程组(*);反过来,坐标满足方程组(*)的点同在两平面上,因而一定在这两平面的交线即直 线 上,因此方程组(*)表示直线 的方程,把它叫做直线的一般方程 (3)点的离差和点到平面的距离; 如果自点 与平面 到平面 引垂线,其垂足为 ,那么向量 在平面 的单位法向量 上的射影叫做点

之间的离差,记做

点到平面距离公式:

(4)点到直线的的距离:

.

(5)异面直线的公垂线方程



两异面直线 典型习题: 1、一平面过两点

和 ,求它的方程.

且垂直于平面 , 在所求平面上, , ,

解 设所求平面的法线向量为 显然, 故 即 又 垂直于平面 故有 . 的法线向量



43

解方程组

得 据点法式方程有 , 约去非零因子 故所求方程为 2、 用对称式方程及其参数方程硎局毕?/span> 得 ,

解 先找出这直线上的一点

,如:取

代入方程组得

解此二元一次方程组得 于是,得到直线上的一点 再找该直线的一个方向向量 都垂直,可取 .



,由于两平面的交线与两平面的法线向量

, 因此,所给直线的对称式方程为 ; 直线的参数方程为

3 分别在下列条件下确定 (1)使 (2)使

的值: 和 与 表示二平行平面; 表示同一平面;

(3)使 与 表示二互相垂直的平面。 解:(1)欲使所给的二方程表示同一平面,则:

44

即:

从而: , , 。 (2)欲使所给的二方程表示二平行平面,则:

所以:



。 所以: : 。 相交,并求出它的交点和交角。

(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面,则: 4. 试验证直线 : 解: 直线与平面相交。 与平面

又直线的坐标式参数方程为: 设交点处对应的参数为 ,

, 从而交点为(1,0,-1)。 又设直线 与平面 的交角为 ,则:

, 5. 给定两异面直线: 解:因为 公垂线方程为: , 与 ,试求它们的公垂线方程。





亦即

45

第四章

柱面、锥面、旋转曲面及常见二次曲面

本章教学目的: 使学生掌握柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法和方程特征;熟练掌握五种常 见二次曲面的定义、标准方程及几何特征,了解它们的性质,会画它们的草图. 本章教学重点: (1)常见二次曲面的定义、标准方程及图形的特征;(2)坐标面上的曲线绕坐标 轴旋转时所产生旋转曲面方程的求法. (3)通过求柱面、锥面和旋转曲面的方程,理解动曲线产生曲面 的思想方法. 本章教学难点 :(1)柱面及锥面方程的求法中消去参数的几何意义的理解;(2)双曲抛物面的几 何性质的分析;(3)二次曲面直纹性的证明. 本章教学内容:

§4.1

柱面

一 柱面 定义 4.1.1 在空间,由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面. 其中定方向叫柱面的方向,定曲呓兄 条都叫柱面的母线. 注:1°一个柱面的准线不惟一(举例). 2°平面和直线也是柱面. 以下建立柱面的方程.

设在给定的坐标系下,柱面 S 的准线为 (1) 母线的方向数为 X,Y,Z. 若 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点,则过 M1 的母线方程为 (2) 且有 (3) 从(2)、(3)4 个等式中消去参数 x1,y1,z1,最后得一个三元方程 F(x,y,z) = 0 就是以(1)为准线,以{X,Y,Z}为方向的柱面的方程. 这里需要特别强调的是, 消去参数的几何意义, 就是让点 M1 遍历准线上的所有位置, 就是让动直线 (1) “扫”出符合要求的柱面. 例 1 已知一个柱面的准线方程为 程. 解 设 M1(x1,y1,z1)是准线上的点,过 M1(x1,y1,z1)的母线为 (1) 且有 (2) (3) 由(1)得 将(4)代入(2)和(3)得 (4) (5) (6) 由(5)和(6)得
46

,其母线的方向数是-1,0,1,求该柱面的方

(7)

将(7)代入(5)(或(6))得所求柱面方程为 即 .

例 2 已知圆柱面的轴为 ,点 M1(1,-2,1)在此柱面上,求这个圆柱面的方程. 解法一 记所求的圆柱面为 S. 因 S 的母线平行于其轴,母线的方向数为 1,-2,-2,若能求得圆柱面的准线圆,则用例 1 的方法 即可解题. 空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线,故圆柱面的准线圆可看成以轴上的点. M0(0,1,-1)为中 心, 为半径的球面 的交线,即准线圆 是 与过已知点 M1(1,-2,1) 且垂直于轴的平面





上的任意点,则 (1) (2)

S 的过

的母线为 (3)

由(1)、(2)、(3)消去参数 x1,y1,z1,得 S 的方程为 . 将圆柱面看成动点到轴线等距离点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径,那么例 2 就有下面的第二 种解法. 解法二 因轴的方向向量为 v = {1,-2,-2},轴上的定点为 M0(0,1,-1),M1(1,-2,1)是 S 上的定点,点 M1 到 l 的距离

. 设 M(x,y,z) 是圆柱面上任意一点,则 M 到轴 l 的距离为 ,即

化简整理就得 S 的方程为 二、柱面的判定定理 定理 4.1.1 在空间直角坐标系中,只含有两个元(坐标)的三元方程所表示的曲面是一个柱面,它的母线平行于 所缺元(坐标)的同名坐标轴。 在空间直角坐标系里,因为这些柱面与 xoy 坐标面的交线分别是椭圆,双曲线与抛物线,所以它们依次 叫做椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,统称为二次柱面.

三、空间曲线的射影柱面
47

空间曲线 L:

(15),如果我们从(15)中依次消去一个元,可得



任取其中两个方程组,比如

(16)那么方成这样(16)和(15)是两个等价的

方程组,也就是(16)表示的曲线和(15)是同一条,从而曲面 都通过已知曲线(15);同理方程 知,曲面 表示的曲面也通过已知曲线(15)。有定理 4.1.1

表示一个母线平行于 z 轴的柱面,在直角坐标系下,起母线垂直于 xoy 坐标面,我

们把曲面 叫做空间曲线(15)对 xoy 坐标面射影的射影柱面,而曲线 曲线(15)在 xoy 坐标面上的射影曲线。 同理, 与

叫做空间

分别叫做曲线(15)对 xoz 坐标面与 yoz 坐标面射影的射影柱面,而曲

线



叫做空间曲线(15)在 xoz 坐标面与 yoz 坐标面上的射影曲线。

§4.2

锥面

定义 4.2.1 在空间,通过一定点且与一条定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面. 这里定点 叫做锥面的顶点,定曲线叫锥面的准线,直线族中的每一条都叫锥面的母线. 注:1°一个锥面的准线不惟一(举例). 2°平面既是柱面也是锥面. 3°一条直线也是锥面. 4°若将柱面的母线看成在无穷远处相交的话,则柱面是一个顶点在无穷远点的锥面. 以下建立锥面的方程.

设锥面 S 的准线为 (1) 顶点为 A(x0,y0,z0). 若 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点,则过 M1 的锥面的母线方程为 (2) 且有 (3) 从(2)、(3)4 个等式中消去参数 x1,y1,z1,最后得一个三元方程 F(x,y,z) = 0 就是以(1)为准线,以 A 为顶点的锥面的方程. 这里消去参数的几何意义与柱面的情形类似,就是让点 M1 跑遍准线上的所有点,从而让动直线(2) “扫”出符合要求的锥面. 下面的定理给出了锥面方程的特征. 先介绍齐次函数的概念. 设 为实数,对于函数 ,若

此处 t 的取值应使 有确定的意义, 则称 为 n 元 次齐次函数, 对应的方程 = 0 为 次齐次方程. 2 2 例 u = x y+2yz +xyz 为三次齐次函数. 定理 4.2.1 一个关于 x,y,z 的齐次方程总表示一个顶点在原点的锥面.
48

证: 由齐次方程的定义有 当 设 直线 的方程为 时有 ,故曲面 S: 为 S 上非原点的任意点, 则

. 过原点. 满足 , 即有 . 而

代入

= 0,得

,即直线

上的所有点的坐标满足曲面 S 的方

程 . 因此直线 在曲面 S: 上,故曲面 S: 是由这种通过坐标 原点的直线组成,因而是以原点为顶点的锥面. 推论 一个关于 x-x0,y-y0,z-z0 的齐次方程总表示一个顶点在(x0, y0, z0)的锥面. 证 设有 x-x0,y-y0,z-z0 的齐次方程 F (x-x0,y-y0,z-z0) =0 (*) 作坐标变换 (**)为齐次方程,故 表示顶点在点 的锥面. 的齐次方程可能只表示原点. 例如 . 这样的曲面, 表示以 ,则(*)化为 (**) 为顶点的锥面. 从而

注 在特殊情况下, 一个关于 一般称为有实顶点的虚锥面.

例 1 锥面的顶点为原点,准线为 解 设

,求锥面的方程.

为准线上任意一点,则过 M1 的母线为: (4)

且有

(5) (6)

将 (6)代入(4)得

(7)

将(7)代入(3)得 (4.2-1) 这就是所求的锥面,称为为二次锥面. 二次锥面的方程(4.2-1)所表示的图形,当 a = b 时就是我们熟悉的圆锥面. 例 2 已知一圆锥面的顶点为 A(1,2,3),轴 l 垂直于平面 30°的角,试求该圆锥面的方程. 解 设 ,母线与轴 l 组成

为所求曲面 S 的任一母线上的任一点,则过 M 的母线的方向向量为

由题,圆锥的轴线的方向向量即为平面 根据题意 v 和 n 的夹角是 30°或 150°,故有

n = {2,2,-1}.

即 化简整理得圆锥面的方程是
49

这是一个关于 x-1,y-2,z-3 的二次齐次方程. 此结果也是对定理 4.2.1 的推论的一个直接验证. 因圆锥面是一种特殊的锥面,上面的解法是一种适合于圆锥面的特殊方法. 我们当然可以先求出圆锥 面的准线,再利用顶点与准线求出该圆锥面的方程.

§4.3 旋转曲面
1.一般的旋转曲面方程 定义 4.3.1 在空间, 一条曲线 绕一定直线 l 旋转一周所产生的曲面 S 叫做旋转曲面 (或回转曲面) . 叫做 S 的母线,l 称为 S 的的旋转轴,简称为轴.

设 为旋转曲面 S 的母线 上的任一点,在 绕轴 l 旋转时, 也绕 l 旋转而形成一个圆,称其 为 S 的纬圆、纬线或平行圆. 以 l 为边界的半平面与 S 的交线称为 S 的经线. S 的纬圆实际上是过母线 上的点且垂直于轴 l 的平面与 S 的交线. S 的所有纬圆构成整个 S. S 的所有经线的形状相同,且都可以作为 S 的母线,而母线不一定是经线. 这里因为母线不一定为平 面曲线,而经线为平面曲线. 在直角坐标系下,设旋转曲面 S 的母线为 : 旋转轴为 (1)

l
这里 为 l 上一点,X,Y,Z 为 l 的方向数. 上的任意点,过 M1 的纬圆总可看成过 设 M1 (x1,y1,z1) 为母线 中心,

(2)

且垂直于轴 l 的平面与以 P0 为

为半径的球面的交线. 故过 M1 的纬圆的方程为 (3)

(4) 当 M1 跑遍整个母线时, 就得出旋转曲面的所有纬圆, 所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的. 由于 M1 (x1,y1,z1) 在母线 上,有

(5) 从(3)、(4)、(5)4 个等式消去参数 x1,y1,z1 得一个方程 F (x,y,z) = 0 即为 S 的方程. 例 1 求直线 : 绕直线 旋转所得的旋转曲面 S 的方程. 解 设 M1 (x1,y1,z1) 为母线 上的任一点,因旋转轴过原点,过 M1 的纬圆方程为

(7)
50

因 M1 在母线上,有 由(8)得 将(9)代入(7)得 且 最后得 ,

(8) (9)

即 S 的方程是 . 2.坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程 任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的. 故今后为了方便,总是取旋转曲面 的一条经线作为母线. 更进一步,在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时,我们常把母线所在的平面取作坐标平面,从而使 旋转曲面的方程具有特殊的形式. 设旋转曲面 S 的母线为 yOz 平面上的曲线

旋转轴为 y 轴 设 M1(0,y1,z1)为母线上任一点,则过 M1 的纬圆为

且有 由以上两个方程组消可得 ,最后得旋转曲面的方程是

实际上,此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出. 设 M1(0,y1,z1)为母线上任一点,M(x,y,z)为过 M1 的纬圆上的任意一点,则由上图中的辅助图可知

y1 = y, z1 = ±|O'M1| =±|O'M| =± (10) 因 M1(0,y1,z1)在母线上,F(y1,z1) = 0,将(10)的结果代入,就得所求的旋转曲面的方程为
. 类似地,母线为 ,旋转轴为 轴的旋转曲面的方程为: . 对于其它坐标平面上的曲线,绕坐标轴旋转所得的旋转曲面,其方程可类似求出. 于是我们得到如下的规律: 当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时,所得旋转曲面的方程可根据下面的方法 直接写出:保持方程的形式不变,将曲线 在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变,而以 其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标.

51

例如,S 为由

面上的

绕 轴所得,则 S 的方程为

.

例 2 让椭圆 分别是:

分别绕其长轴(x 轴)和短轴(y 轴)旋转,所得旋转曲面方程

和 图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面,如下图.

例 3 将圆

绕 z 轴旋转,所得旋转曲面方程是: 化简整理得 此曲面叫环面,如下图所示,其形状象救生圈.

§4.4
定义 4.4.1 在直角坐标系下,由方程

椭球面

(4.4-1) 所表示的曲面叫椭球面,或称椭圆面. 方程(4.4-1)叫做椭球面的标准方程. 其中 a,b,c 为任意的正 常数. 通常假设 a?b?c > 0.
52

椭球面的几何性质 (1)对称性 在方程(4.4-1)中,以-z 代 z,方程不变,故意椭球面(4.4-1)关于 xy 平面对称. 同理椭球面 (4.4-1)关于 yz 平面和 zx 平面都对称. 椭球面的对称平面称为它的主平面. 在方程(4.4-1)中,同时以-y 和-z 代替 y 和 z,方程不变,故椭球面(4.4-1)关于 轴对称. 同 理,椭球面(4.4-1)关于 y 轴和 z 轴也对称. 椭球面的对称轴称为它的主轴. 在方程(4.4-1)中,同时以-x,-y 和-z 代替 x,y 和 z,方程不变,故椭球面(4.4-1)关于坐 标原点对称. 椭球面的对称中心称为它的中心. 在 a,b,c 三个数中,若有两个相等, (4.4-1)表示一个旋转椭球面,而当这三个数都相等时, (4.4 -1)就是一个球面. 所以球面和旋转椭球面都是椭球面的特殊情形. (2)顶点,轴及半轴 椭球面(4.4-1)与其对称轴(即 3 坐标轴)的 6 个交点 (±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 称为椭球面的顶点. 如果 a > b > c >0,则分别称 2a,2b,2c 为椭球面的长轴、中轴和短轴,而依称 a,b,c 为椭球面 的半长轴、半中轴和半短轴. 这里的轴和半轴都是一个长度概念. (3)范围 从椭球面的方程可以看出,有 | x |?a,| y |?b,| z |?c 因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部,此长方体由 6 个平面 x =±a,y = ±b,z = ±c 围成,这 6 个平面都与椭球面相切,切点就是椭球面的 6 个顶点. (4)形状

用平行于坐标面的平面去截曲面,利用截痕分析曲面的形状,叫作平行截割法. 这种截痕类似于表示 地形的等高线. 用平行截割法讨论椭球面,可知其形状大致如上图. 应注意截线中主椭圆的概念以及动椭圆如何在运 动中产生了椭球面的过程分析. 椭球面的参数方程 椭球面的一般写成

, 0? ?

0? ?2

事实上,对

,截线方程为:

表为 令 ,
53



当 h = ±c 时,分别取 例:设动点与点 解:设动点

,就得椭球面(4.4-1)的如上的参数方程. 的距离的一半,试求此动点的轨迹。

的距离等于从这点到平面 ,要求的轨迹为 ,则

即: 此即为

的方程。

§4.5
将 yz 平面上的双曲线

双曲面

为了较为直观地理解双曲面的几何特征,先看一个例子. 分别绕虚轴(z 轴)和实轴(y 轴)旋转,得到两个旋转曲面

和 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示.

图1

图2

1.单叶双曲面 定义 4.5.1 在直角坐标系下,由方程 (a,b,c >0) (4.5-1)

所表示的图形称为单叶双曲面;而方程(4.5-1)称为单叶双曲面的标准方程. 性质与形状 (i)对称性 单叶双曲面(4.5-1)关于三坐标轴,三坐标平面及原点对称. 原点是(4.5-1)的对称 中心. (ii)有界性 由方程(4.5-1)可知,单叶双曲面(4.5-1)是无界曲面 (iii)顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线 单叶双曲面(4.5-1)与 x,y 轴分别交于(±a,0,0),(0,±b,0)而与 z 轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点,而与 z 轴的交点(0,0,±ci)称为它的两个虚交点. (4.5-1)与三坐标平面 z = 0,y = 0 和 x = 0 交于三条曲线

54

(1)

(2)

(3) 其中(1)叫单叶双曲面(4.5-1)的腰椭圆,(2)和(3)均为单叶双曲面上的双曲线. (iv)与平行于坐标面的平面的交线 为考察(4.5-1)的形状,我们先用平行于 xy 平面的平面 z = k 去截它,其截线为 (4)

这是一族椭圆,其顶点为



,其半轴为 b

和a



当∣k∣逐渐增大时,椭圆(4)逐渐变大. 可见,单叶双曲面(4.5-1)是由一系列“平行”椭圆构成的, 这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化. 再用一族平行于 yz 平面的平面 x = k 去截(4.5-1),其截线为 (5)

当∣k∣< a 时, (6) 为一双曲线, 其实轴平行于 y 轴, 虚轴平行于 z 轴, 其顶点为



当∣k∣= a 时,(6)为二相交线,其交点为(k,0,0)当∣k∣>a 时,(6)仍为双曲线,但其实轴平 行于 z 轴,虚轴平行于 y 轴,其顶点 .

最后,若用一组平行于 zx 平面的平面去截(4.5-1),其截线情况与上述相仿. 截线图形如上图所示. 综上,单叶双曲面(4.5-1)的图形如图(1)所示. 图(1)中也画出了腰椭圆和两条主双曲线. 一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在 x 轴方向作一个伸缩变换而得 到. 在直角系下,方程 或 所表示的图形也是单叶双曲面, 绘图时注意须确定其 “虚轴” .

55

二 双叶双曲面: 1 定义:在直角坐标系下,由方程 (a,b,c > 0) (4.5-2)

所表示的图形称为双叶双曲面;而(4.5-2)称为双叶双曲面的标准方程. 几何性质与形状: (i)对称性 双叶双曲面(4.5-2)关于三坐标轴,三坐标面及原点对称,原点为其中心. (ii)有界性 由(4.5-2)可见,双叶双曲面为无界曲面. (iii)与坐标轴的交点及与坐标面的交线 双叶双曲面(4.5-2)与 x 轴、y 轴不交,而与 z 轴交于(0,0,±c),此为其实顶点. 双叶双曲面(4.5-2)与三坐标面交于三条曲线 (5)

(6)

(7) (5)是一个虚椭圆,表明双叶双曲面(4.5-2)与 xy 平面不相交(无实交点). (6)、(7)均为双 曲线,其实轴为 z 轴,虚轴分别为 y 轴和 x 轴,其顶点为(0,0,±c). (iv)与平行于坐标面平面的交线: 为考察双叶双曲面(4.5-2)的形状,先用平行于 xy 面的平面去截(4.5-2),其截线为 (8)

当∣k∣< c 时,(4.5-2)与 z = k 无实交点. 当∣k∣= c 时,(4.5-2)与 z = k 交于(0,0,±c) 当∣k∣> c 时,(8)为椭圆,其顶点为(0,±b ,k),(±a ,0,k),其半轴为

b

,a

.

可见,双叶双曲面(4.5-2)是由 z =±c 外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线(6) 和(7)上变化. 若用平行于 yz 面的平面去截(4.5-2). 其截线为 (9) 对任意实数 k,(9)均为双曲线,其实轴平行于 z 轴,虚轴平行于 y 轴,顶点为 (k,0,±c ).

双叶双曲面(4.5-2)的示意图如前面的图(2),但准确地说,图(2)是双叶双曲面

的示意图. 最后,若用平行于 zx 面的平面去截(4.5-2),其截线情况与上述相仿. 在直角系下,方程

56



所表示的图形也是双叶双曲面.

最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别,这一点上有些学生容易出错. 两种双曲面的方程的左边都是 x,y,z 的平方项,有正有负,右边是 1 或-1. 把方程的右边都化成 1,则左边有两项正,一项负的,就表示单叶双曲面. 而左边有两项负,一项正 的,就表示双叶双曲面. 把方程的左边都化成两项正,一项负,则右边是 1 的就表示单叶双曲面,而右边是-1 的,就表示双 叶双曲面. 绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”,并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则. 例:已知单叶双曲面 的交线是一对相交直线。 解:设所求的平面为 ,试求平面的方程,使这平面平行于 ,则该平面与单叶双曲面的交线为: 面(或 面)且与曲面

(*)

亦即 为使交线(*)为二相交直线,则须: 所以,要求的平面方程为: 同理,平行于 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,则该平面为: ,即

§4.6
将 yz 平面上的抛物线

抛物面

绕 轴旋转,所得旋转面为

可写成 这是一个旋转抛物面,垂直与其对称轴的平面与它的交线是圆. 将该曲面沿着 x 轴或 y 轴的方向进行 伸缩变形,或者说通过一个压缩变换,就得到一般的椭圆抛物面. 1.椭圆抛物面: 定义 4.6.1 在直角坐标系下,由方程 (4.6-1) 所表示的图形称为椭圆抛物面;而(4.6-1)称为椭圆抛物面的标准方程,其中 a,b 是任意的正常数. 几何特征和形状 (i)对称性:椭圆抛物面(4.6-1)关于 z 轴,yOz 平面,zOx 平面对称,无对称中心. (ii)有界性:由(4.6-1)知 z = ?0,∴椭圆抛物面(4.6-1)位于 xy 平面的上方,且在

z 轴的正向无界.
(iii)顶点及与坐标平面的交线 (4.6-1)与三坐标轴均交于原点,此为其顶点,而与三坐标面交于三条曲线

57

(1)

(2)

(3) (2),(3)均为抛物线,其顶点均为原点,其开口方向均指 z 轴 正向,对称轴均为 z 轴. 而(1)为原点. (iv)与平行于坐标面平面的交线 首先,(4.6-1)与平行于 xy 平面的平面交于

(4) 当 时,(4)为原点; 当 时,(4)为椭圆,其顶点为(0,±b ,k),(±a ,0,k). 可见,椭圆抛物面(4.6-1)是由 xy 平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的,这些椭圆的顶点在抛 物线(2)和(3)上变化. 椭圆抛物面(4.6-1)与平行于 yz 平面的平面 x = k 交于抛物线

(5) 这些抛物线是全等的,其顶点为( ,0, ),对称轴平行于 z 轴,开口方向朝 z 轴正向. 最后,若用平行于 zx 平面的平面去截(4.6-1),其截线情况与上述结论类似,由此可得椭圆抛物面 的几何特征如下: 椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹,在移动过程中,动抛物线的顶点始终在 定抛物线上,开口方向与定抛物线开口方向一致,且动抛物线所在的平面始终与定抛物线所在平面保持垂 直,如上图所示. 在直角坐标系下, 由方程 或 确的对称轴,并正确标注坐标轴. 2.双曲抛物面: 定义 4.6.2 在直角坐标系下,由方程 所表示的图形也是椭圆抛物面. 作图时应确定正

(a,b>0) (4.6-2) 所表示的图形称为双曲抛物面,也叫马鞍面,而(4.6-2)称为双曲抛物面的标准方程. 几何特性与形状 (i)对称性 双曲抛物面(4.6-2)关于 z 轴,yz 平面,zx 平面对称,双曲抛物面无对称中心. (ii)有界性 由(4.6-2)知双曲抛物面(4.6-2)是无界曲线. (iii)与坐标轴的交点及与坐标面的交线 (4.6-2)与三坐标轴均交于原点,就是它的顶点;(4.6-2)与三坐标面交于 3 曲线

(6)

(7)

58

(8) (6)为交于原点的二相交直线,(7),(8)均为抛物线,其顶点均为原点,其开口方向一指 z 轴 正向,一朝 z 轴负向. 对称轴均为 z 轴. (iv)与平行于坐标平面的平面的交线: 首先,(4.6-2)与平行于 xy 平面的平面 z = k 交于曲线

(9) 当 当 时,(9)即(6). 时,(9)为双曲线,其顶点为(±a ,0,k).

当 时,(9)仍为双曲线,其顶点为(0,± ,k). 可见,双曲抛物面(4.6-2)由平行于 xy 平面的一族“平行”双曲线构成,这些双曲线的顶点在抛物 线(7)和(8)上变化. 双曲抛物面(4.6-2)的示意图如下.

另外,双曲抛物面(4.6-2)与平行于 yz 平面的平面交于抛物线

(10) 这些均为全等的抛物线,其顶点(k,0, )在抛物线(7)上,对称轴平行于 z 轴,开口方向朝 z 轴负向,(7)的开口方向相反. 最后,若用平行于 zx 平面的平面去截(4.6-2),其截线情况与上类似,由此可得如下结论. 双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹,在移动过程中,动抛物线的顶点始终在 定抛物线上,开口方向与定抛物线开口方向相反,且它们所在平面始终保持垂直,如上图之右图所示意. 在直角坐标系下,由方程 或 所表示的图形也是双曲抛物面. 面,且过点 和 ,求这个椭圆抛

例:已知椭圆抛物面的顶点在原点,对称面为 面与 物面的方程。 解:据题意可设,要求的椭圆抛物面的方程为:

令确定 与 和 均在该曲面上。
59

有: 从而 所以要求的椭圆抛物面的方程为: 即:

§4.7

单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

在前面我们已经注意到,柱面和锥面上都有一族直母线,单叶双曲面与双曲抛物面上也有直线存在。 一个连续族的直线产生的曲面称为直纹面,这个族的直线称为直纹面的直母线。 椭球面,双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。 柱面、锥面、一条空间曲线的切线形成的曲面,主法线形成的曲面等都是直纹面,而且这些直纹面都 是由一族直线构成的。 我们指出,单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面,而且是仅有的两种有两族直线的直纹面。 1.单叶双曲面的直纹性 设有单叶双曲面 (1) 将其改写为 并分解因式,就有 (2)

( ) ( ) = 引进不等于零的参数 u,并考察由(2)得到的方程组

(3) 与两方程组

(4)

(4') 方程组(4)和(4')实际上是(3)中 u→0 和 u→∞时的两种极限情形。 无论 u 取何值,(3)、(4)和(4')都表示直线。我们把(3)、(4)和(4')合起来的一族直线 叫做 u 族直线。 现证明此 u 族直线可以构成单叶双曲面(1),从而它是(1)的一族直母线。 首先,u 族直线中的每一直线均在单叶双曲面(1)上。因为当 u≠0 时,(3)的两式相乘就得(1), 所以(3)表示的直线上的点都在曲面(1)上。而满足(4)和(4')的点显然都满足(2),从而满足(1), 因此直线(4)与(4')上的点都在(1)上。 反过来,设 ( , , )是曲面(1)上任一点,则有 (5)
60

显然 1+

与 1-

不能同时为零,不失一般性,设 1+

≠0。此时



,取

,则由(5)便得

所以点

(





)在直线(3)上。

若 ,则由(5)必有 1- = 0,故 点在直线(4)上。 因此曲面(1)上的任意一点必定在 u 族直线中的某一条上。 这就证明了单叶双曲面(1)由 u 族直线构成。因此单叶双曲面是直纹面,u 族直线是单叶双曲面(1) 的一族直母线,称为 u 族直母线。 同理,由直线

(v≠0 是常数) (6) 与另两条直线

(7)

(7') 合组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线,称其为单叶双曲面(1)的 v 族直母线。 下图表示了单叶双曲面上两族直母线递推大概的分布情况。

推论 对于单叶双曲面上的任一点,两族直母线中各有一条通过这点。 为了避免取极限,常把单叶双曲面的 u 族直母线写成

(4.7-1) 其中 u,w 不同时为零。当 uw≠0 时,各式除以 w,(4.7-1)就化为(3),当 u = 0 时便化为(4),当 w = 0 时便化为(4')。 将 v 族直母线写成
61

(4.7-2) 其中 v,t 不同时为零。 (4.7-1)和(4.7-2)中的直线分别只依赖于 u : w 和 v : t 的值。 2.双曲抛物面的直纹性: 对于双曲抛物面

同样可以证明它有两族直母线,如下图。

它们的方程分别是

(4.7-3)



(4.7-4)

并且也有下面的结论: 推论 对于双曲抛物面上的任一点,两族直母线中各有一条通过这点。 应注意双曲抛物面的两族直母线的方程都不用双参数的原因。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线在建筑上有着重要的应用,人们常用它来构成建筑的骨架。 实例 兰州第二热电厂的冷却水塔的形状是单叶双曲面,可现场向工人了解建筑时钢筋的构假特点。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有如下性质: 定理 4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必 相交。 定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线必是异面直线,而双曲抛物面同族的 全体直母线平行于同一平面。 例:求下列直纹面的直母线族方程: (1) 解:(1)从原方程得: 即: (2)

亦即: 为了避免取极限,将上方程写成:

(1)
62

若将原方程变形为: 若令 ,

,则可得到: ,则(2)便是(1) 不全为零。

(2)

原曲面的直母线族是(1),其中 (2)原方程变形为: 亦即:

(1)

由 得: (1)(2)即这原曲面的两组直母线族方程。

( 2)

小结
知识点回顾: (1) 柱面方程:设在给定的坐标系下,柱面 S 的准线为

(1) 母线的方向数为 X,Y,Z. 若 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点,则过 M1 的母线方程为 (2) 且有 (3) 从(2)、(3)4 个等式中消去参数 x1,y1,z1,最后得一个三元方程 F(x,y,z) = 0 就是以(1)为准线,以{X,Y,Z}为方向的柱面的方程. (2)锥面方程:设锥面 S 的准线为

(1) 顶点为 A(x0,y0,z0). 若 M1(x1,y1,z1) 为准线上任一点,则过 M1 的锥面的母线方程为 (2) 且有 (3) 从(2)、(3)4 个等式中消去参数 x1,y1,z1,最后得一个三元方程 F(x,y,z) = 0 就是以(1)为准线,以 A 为顶点的锥面的方程. (3)旋转曲面方程:在直角坐标系下,设旋转曲面 S 的母线为 : 旋转轴为 (1)

l
这里 为 l 上一点,X,Y,Z 为 l 的方向数.

(2)

63

设 M1 (x1,y1,z1) 为母线 中心,

上的任意点,过 M1 的纬圆总可看成过

且垂直于轴 l 的平面与以 P0 为

为半径的球面的交线. 故过 M1 的纬圆的方程为 (3)

(4) 当 M1 跑遍整个母线时, 就得出旋转曲面的所有纬圆, 所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的. 由于 M1 (x1,y1,z1) 在母线 上,有

(5) 从(3)、(4)、(5)4 个等式消去参数 x1,y1,z1 得一个方程 F (x,y,z) = 0 即为 S 的方程. (4)常见的二次曲面: 1.椭球面标准方程: ;

参数方程: 2. 单叶双曲面标准方程: 双叶双曲面标准方程: 3. 椭圆抛物面标准方程: 双曲抛物面标准方程: 典型习题: 1、已知柱面的准线为:

, 0? ?

0? ?2 (a,b,c >0) (a,b,c > 0)。 ,

(a,b>0)

且(1)母线平行于 轴;(2)母线平行于直线 解:(1)从方程

,试求这些柱面的方程。

中消去 ,得到: 即: 此即为要求的柱面方程。 2. 1、求顶点在原点,准线为 解:设为锥面上任一点 ,过 与 的直线为: 的锥面方程。

设其与准线交于 参数 ,得:

,即存在 ,使

,将它们代入准线方程,并消去

64

即: 此为所要求的锥面方程。 3. 将直线 绕 轴旋转,求这旋转面的方程,并就 解:先求旋转面的方程式: 任取母线上一点 ,过 的纬圆为: 可能的值讨论这是什么曲面?

又 从(1)——(3)消去 此即为所求旋转面的方程。 当 当 当 当 4. 由椭球面 方向余弦分别为

(3) ,得到:

时,旋转面为圆柱面(以 轴为轴); 时,旋转面为圆锥面(以 轴为轴,顶点在原点); 时,旋转面变为 轴; 时,旋转面为单叶旋转双曲面。 的中心(即原点),沿某一定方向到曲面上的一点的距离为 ,设定方向的 ,试证:

证明:沿定方向 该点在曲面上

到曲面上一点,该点的坐标为

即 5. 设动点与 解:设动点 的距离等于这点到平面 ,所求轨迹为 ,则 的距离的两倍,试求这动点的轨迹。

亦即: 此为 的轨迹方程。 6. 已知椭圆抛物面的顶点在原点,对称面为 面与 物面的方程。 解:据题意可设,要求的椭圆抛物面的方程为: 面,且过点 和 ,求这个椭圆抛

令确定 与 和 有:
65

均在该曲面上。

从而 所以要求的椭圆抛物面的方程为: 即 7.在双曲抛物面 解:双曲抛物面 上,求平行于平面 的两族直母线为: 的直母线。

及 第一族直母线的方向矢量为: 第二族直母线的方向矢量为: 据题意,要求的直母线应满足:

要求的直母线方程为:





第五章

二次曲线的一般理论

本章教学目的: 学生在高中已经学习过二次曲线的标准方程和一些简单性质. 通过本章学习,要使 学生在更加深入和系统的层次上掌握二次曲线及其相关的一般概念和各种几何性质,从总体上把握二次曲 线的实质,熟悉化简二次曲线方程的方法,了解二次曲线的分类. 本章教学重点:(1)二次曲线与直线的关系,二次曲线的各种性质的讨论; (2)二次曲线方程的 化简; 本章教学难点: (1)二次曲线的直径与切线的求法;(2)对二次曲线的渐进方向的理解,尤其是共 轭直径的方向间的关系;(3)二次曲线方程的化简、同一二次曲线在新旧坐标系下图形的绘制. 本章教学内容:

§5.0

预备知识

1.绪论 二次曲线是一种重要的平面曲线.在平面直角坐标系或仿射坐标系下,这种曲线的方程总是一个关于 x 和 y 的二元二次方程,故统称其为二次曲线.二次曲线分为退化的和非退化的两大类,其中非退化的实 曲线有椭圆(包括圆)、双曲线和抛物线 3 种.由于这 3 种曲线都可以看成一个平面与一个圆锥面的交线, 人们也称其为圆锥曲线或圆锥截线. 本章的重点是详尽地讨论一般二次曲线的各种性质. 为了后面各章引用和讨论的方便,先对二次曲线的标准方程和一些简单的性质进行复习性的概述. 在复习了用标准方程表示的圆锥曲线之后,我们来讨论一般二次曲线. 在平面直角坐标系下,由二元二次方程 (1) 所表示的曲线,叫做二次曲线.其中二次项系数 、
66



不全为零.

二次曲线中除了椭圆(包括圆)、抛物线和双曲线外,还有其他的曲线.当二次曲线的对称轴不与坐 标轴平行,且二次曲线的中心或顶点不在坐标原点时,其方程一般不是标准的,形式比较复杂,表现为方 程(1)中的各系数全不为零或很少为零.在本章,我们将讨论一般二次曲线的几何性质,给出二次曲线 的中心、渐近线、直径、主直径和主方向等重要概念. 2.虚元素、无穷远元素及若干重要记号的引进 我们需要从研究直线与二次曲线的相交问题入手来认识二次曲线的某些几何性质.为了求直线与二次 曲线的交点,就必须涉及到解二次方程的问题.因为二次方程的根可能是虚数,我们有必要像代数中引进 虚数把实数扩充成复数那样,在平面上引进虚元素. 在平面上建立了笛卡儿坐标系之后,一对有序实数 (x,y) 就表示平面上的一个点,如果 x 和 y 中至少有 一个是虚数,我们仍然认为 (x,y) 表示平面上的一个点,但把这样的点叫做平面上的虚点,而把 x,y 叫做这一虚点的坐标.相应地,我们把坐标是一对实数的点叫做平面上的实点.如果两个虚点的对应坐标 都是共轭复数,那么这两点叫做一对共轭虚点,实点与虚点统称为复点。 当平面上引进了虚点之后,我们仍然可以讨论向量、直线等概念.设 上的两复点, 则称 中至少有一个为虚数,就称 为以 M1 为始点、 M2 为终点的复向量, 并记做 为虚向量;如果点 M (x,y) 的坐标满足表达式 与 , 如果 为平面 与

其中?为复数,我们就说点 M 分 M1M2 为定比?,特别地把点 把

叫做线段 M1M2 的中点.我们

叫做由两点 数t得



决定的直线的参数方程,式中 t 为参数,它可为任意的复数.消去参

Ax + By + C = 0 称此方程为直线的一般方程,如果 A,B,C 与三个实数成比例,那么直线为实直线,否则叫做虚直线.
由于共轭复数之和为实数,所以连结两共轭虚点的线段的中点是实点.有时候,两条相交的虚直线的 交点也是实点. 在平面上引进了虚点之后,曲线的方程中可能会出现虚系数.我们约定以后讨论问题时,只考虑实系 数的曲线方程.但由于引入了虚点,实系数方程所表示的曲线上将可能含有许多虚点,甚至有的实系数方 程所表示的曲线上只有虚点而无实点. 为了讨论某些特殊的问题, 我们需要在平面上引入无穷远点和无穷远直线两个无穷远元素. 我们认为, 任两条平行直线在无穷远点相交,平面上所有的无穷远点构成无穷远直线.设 x, y∈C,则能用坐标(x, y)表示的点称为有穷远点. 为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号: F (x,y ) ≡

F1 (x,y) ≡ F2 (x,y) ≡ F3 (x,y) ≡ ? (x,y) ≡
根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立: F(x, y) ≡ xF1(x, y) + y F2(x, y) + F3(x, y) -1) 称 F (x,y) 的系数所组成的矩阵 (5.0

为二次曲线(1)的系数矩阵,或称 F (x,y) 的矩阵;而用? (x,y) 的系数所排成的矩阵

叫做? (x,y) 的矩阵.显然,二次曲线(1)的系数矩阵 A 的第一、第二与第三行的元素分别是 F1(x,y)、 F2(x,y) 和 F3(x,y) 的系数.
67

A 和 F *都是实对称矩阵. 为了方便今后的讨论,再引进下面的几个行列式:


这里的 I1 是矩阵 F*的迹(主对角线元素的和),I2 = det F*(矩阵 F*的行列式),I3 = det A(矩阵 A 的行列式),而 的两项分别是 I3 中元素 a22 和 a11 的代数余子式.

§5.1
现在我们来讨论二次曲线?

二次曲线与直线的相关位置
(1)

与过点

且具有方向 X︰Y 的直线 l

(2) 的交点.把(2)代入(1),整理可得一个关于 t 的方程

(3) 利用前面的记号,(3)可写成 (5.1-1) 方程(5.2-1)可分以下几种情况来讨论. 1.? (X,Y ) ≠ 0.这时(5.1-1)是关于 t 的二次方程,它的判别式为: 2 ? = [ F1 ( x0, y0 )X + F2 ( x0, y0 )Y ] - ? (X, Y ) F ( x0, y0 ) 这又可分三种情况: 1°?>0.方程(5.1-3)有两个不等的实根 与 ,代入(2)便得直线 l 与二次曲线? 的两个不同 的实交点. 2°? = 0.方程(5.1-3)有两个相等的实根 与 ,这时直线 l 与二次曲线? 有两个相互重合的实 交点. 3°?<0.方程(5.1-3)有两个共轭的虚根,这时直线 l 与二次曲线? 交于两个共轭的虚点. 2.? ( X,Y ) = 0,这时又可分三种情况: 1°F1 ( x0, y0 )X + F2 ( x0, y0 )Y ≠ 0.这时(5.1-3)是关于 t 的一次方程,它有惟一的一个实 根,所以直线 l 与二次曲线? 有惟一的实交点. 2°F1 ( x0, y0 )X + F2 ( x0, y0 )Y = 0,而 F ( x0, y0 ) ≠ 0.这时方程(5.1-3)无解,所以直 线 l 与二次曲线? 没有交点. 3°F1 ( x0, y0 )X + F2 ( x0, y0 )Y = F ( x0, y0 ) = 0.这时方程(5.1-3)成为一个恒等式,它 能被任何(实的或虚的)t 值所满足,所以直线 l 上的一切点都是? 与 l 的公共点,也就是说直线 l 全部 在二次曲线? 上. 注 过点(x0,y0 )且具有方向 X︰Y 的直线 l 的一般方程是

将其写成参数方程,就是(2). X ≠ 0 时,直线 l 的方向是 X︰Y 当且仅当 l 的斜率是 Y︰X.当 X = 0 时,直线 l 的斜率不存在,或 者说是正无穷,但 l 的方向却可以表示成 0 : 1,因而用比 X︰Y 表示直线方向比用斜率表示显得更方便一 些. §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 1.二次曲线的渐近方向 在 5.2 中我们已经看到,当二次曲线(1)和具有方向 X : Y 的直线(2)满足条件 (5.2-1) ? (X,Y) ≡ 时,直线与二次曲线或者只有一个实交点,或者没有交点,或者直线(2)全部在二次曲线(1)上,成为 二次曲线的组成部分. 定义 5.2.1 满足条件? (X,Y ) = 0 的方向叫做二次曲线的渐近方向,否则叫做非渐近方向.
68

因为二次曲线(1)的二次项系数不能全为零,所以渐近方向 X : Y 所满足的方程(5.2-1)总有确 定的解. 若 ,则把(5.2-1)改写成

得 若 ,则把(5.3-1)改写成

得 若 ,则必有 a12 ≠ 0,(5.2-1)变成

所以 X = 0 或 Y = 0.由于任一方向 X : Y 都对应一个非零向量 ,X 和 Y 不能同时为零,此时 的解为 X : Y = 1 : 0 或 X : Y = 0 : 1 此时 从上可得,当且仅当 I2 > 0 时,二次曲线(1)的渐近方向是一对共轭的虚方向;I2 = 0 时,(1)有 一个实渐近方向;I2 < 0 时,(1)有两个实渐近方向.二次曲线的渐近方向最多有两个,而非渐近方向 有无数多个. 二次曲线可以根据其实渐近方向的数目来分类. 定义 5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的, 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的. 因此,二次曲线(1)可按其渐近方向分为 3 类,判定标准是 I2. 1)椭圆型曲线:I2 > 0; 2)抛物型曲线:I2 = 0; 3)双曲型曲线:I2 < 0. 我们前面讨论过的椭圆、抛物线和双曲线分别属于椭圆型、抛物型和双曲型二次曲线,但反过来,这 三种类型的曲线除了包括椭圆、抛物线和双曲线外,还有其他几种曲线. 2.二次曲线的中心和渐近线 我们已经证明了, 当直线 l 的方向 X : Y 为二次曲线? 的非渐近方向时, 即当 时, l 与? 总 交于两个点(两不同实交点、两重合实交点或两共轭虚交点),我们称由这两点确定的线段为二次曲线的 弦. 定义 5.2.3 如果点 C 是二次曲线的通过它的所有弦的中点,那么点 C 叫做二次曲线的中心. 根据定义,C 是二次曲线的对称中心.当点 (x0,y0) 为二次曲线?的中心时,以? 的任意非渐近方向 为方向的直线(2)与? 交于两点 M1 和 M2,点 (x0,y0) 就是弦 M1M2 的中点.把(2)代入? 的方程(1), 就得方程(5.2-1). 设 和 是弦 M1M2 的两端点.对于直线(2)上的这两个点,应有 , 因 (x0,y0) 是 M1M2 的中点,有

于是有 因 X 和 Y 不能同时为零,故必有 由于 t1 和 t2 是方程
69

的两个根,根据韦达定理就有

(4) 因为 X : Y 可以是二次曲线? 的任意非渐近方向,关于 X、Y 的一次齐次方程(4)有无穷多个解,方 程的系数必全为零,即有 , (5) 反过来,如果点 (x0,y0 ) 满足(5)式,则逆推而上,必有 (x0,y0 ) 是二次曲线(1)的中心的结 论. 于是我们已经证明了 命题 5.2.1 点 C (x0,y0) 是二次曲线的中心的充要条件是 (5.2-2) 推论 坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线的方程里不含 x 与 y 的一次项. 根据(5.2-2),二次曲线的中心实际上由方程组 (5.2-3) 确定. 有时为了方便记忆,可利用偏导数的记号将方程组(5.2-3)写成

因为对于二次曲线 F(x, y) = 0,恒有 如果 即为中心的坐标. 如果 没有中心;而当 =





,那么(5.3-3)有惟一解,这时二次曲线(1)有惟一中心,(5.2-3)的解

,即

,那么当

时,(5.3-3)无解,二次曲线(1) 和

时,(5.3-3)有无数多解,这时两条直线

重合,该直线上的所有点都是二次曲线(1)的中心,这条直线叫做二次曲线的中心直 线. 定义 5.2.4 有惟一中心的二次曲线叫做中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线,有 一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线,无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 根据这个定义与确定中心的方程组(5.2-3),我们得到二次曲线按其中心的分类: 1)中心曲线: ; 2)非中心曲线:I2 = 0,即 1°无心曲线: 2°线心曲线: ; . ;

至此,我们已经给出了二次曲线的两种分类,一种是按渐近方向分类,一种是按中心分类.容易看出, 椭圆型曲线和双曲型曲线都是中心曲线,而抛物型曲线是非中心曲线,它包括无心曲线和线心曲线. 定义 5.2.5 通过二次曲线的中心, 且以二次曲线的渐近方向为方向的直线叫做此二次曲线的渐近线. 椭圆型曲线有两条虚渐近线而无实渐近线,双曲型曲线有两条实渐近线.对于抛物型曲线,无心曲线 无渐近线,线心曲线有一条渐近线,就是它的中心直线. 命题 5.2.2 二次曲线的渐近线与此二次曲线或者没有交点,或者整条直线都在这二次曲线上,成为 二次曲线的组成部分. 证 设直线(2)是二次曲线(1)的渐近线,这里 (x0,y0) 为二次曲线(1)的中心,X : Y 为(1) 的渐近方向,则有

? ( X, Y ) = 0
根据直线与二次曲线的相交情况的讨论,即对方程(5.1-1)的解的讨论,当 (x0,y0) 不在二次曲 线上,即 时,(5.1-1)无解,渐近线(2)与二次曲线(1)没有公共点;当 (x0,y0) 在二
70

次曲线上,即 时,(5.1-1)有无穷多解,渐近线(2)上的点全部在二次曲线(1)上,成 为二次曲线的组成部分.(证毕) 特别地,我们指出下面的结论: 命题 5.2.3 设二次曲线?: 是中心型二次曲线, (x0, y0) 是 ? 的中心,则? 的两条渐近线的方程是 (5.2-4) 证 设 X : Y 是? 的渐近方向,则 X : Y 必满足

即 当 (x0,y0) 是? 的中心时,? 的渐近线的方程可写为

由此即得 X : Y =

,代入

,就得(5.2-4),它恰好表示 ,方程可在实数范围内分解成两个 ,方程表示两条虚渐近线.

? 的两条渐近线.当? 为双曲型曲线时,(5.2-4)的
一次方程,表示两条实渐近线;当? 为椭圆型曲线时, 作为命题 5.2.3 的直接推论,我们可以直接写出椭圆和双曲线

的渐近线方程为

§5.3

二次曲线的切线

定义 5.3.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点,那么这条直线就叫做二次曲线的切线,重 合的交点叫做切点.如果直线全部在二次曲线上,也称其为二次曲线的切线,此时直线上的每一点都可以 看作切点. 设 M0 (x0,y0) 是二次曲线(1)上的任一点,则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成(2)的形式:

代入(1)的方程得(5.1-1).欲使 l 成为(1)的切线,当? ( X, Y ) ≠ 0 时,必须使判别式 (6) 因为 M0 (x0,y0) 在二次曲线上,F (x0,y0 ) = 0,因而(6)变为 (7) 当? ( X, Y ) = 0 时,若直线 l 是二次曲线(1)的切线,则必定整条直线都在二次曲线上,因而除 了 F (x0,y0 ) = 0 外,惟一的条件仍然是(7). 于是当方向 X : Y 满足条件(7)时,直线(2)一定是过二次曲线上一点 M 0 (x0,y0 ) 的切线. 如果 和 不全为零,那么由(7)有 : (- )

X : Y = 因此过二次曲线上的点 M0 (x0,y0 ) 的切线方程为

即 亦即

(5.3-1) (5.3-2)

如果 = = 0,那么(7)变为恒等式,任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向, 从而切线不确定,通过点 M0 (x0,y0)的任意直线都是二次曲线的切线. 定义 5.3.2 二次曲线(1)上满足条件 = = 0 的点 (x0,y0) 叫做二次曲线的奇 异点,简称为奇点.二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点.
71

命题 5.3.1

如果 (x0,y0) 是二次曲线(1)的正常点,那么二次曲线通过点( x0,y0 ) 的切线方程

是 ,( x0,y0 ) 是它的切点.如果 ( x0,y0 ) 是二次曲线(1)的 奇点,那么二次曲线通过点 ( x0,y0 ) 的切线不确定,或者说通过点 ( x0,y0 ) 的每一条直线都是二次 曲线(1)的切线. 推论 如果 (x0,y0 ) 是二次曲线(1)的正常点,那么二次曲线通过点 ( x0,y0 ) 的切线方程是 (5.3-3) 证 把方程(5.3-2)改写为 上式就是 (8) 即 整理即得(5.3-3). 公式(5.3-3)具有便于记忆的特点.若确定了点 (x0,y0) 是二次曲线(1)的正常点,在(1)中 把 用 代替,把 用 代替,把 xy 用 ( x0y + xy0 ) / 2 代替,把 x 用 ( x + x0 ) /2,y 用 ( y + y0 ) /2 代替,最后得到的就是二次曲线过正常点 ( x0,y0 ) 的切线方程. 容易证明, 椭圆、 抛物线和双曲线上没有奇点. 因而对于椭圆和双曲线 上的一个正常点 ( x0,y0 ),这几种曲线过 ( x0,y0 )的切线方程是 以及抛物线

, 我们得出的公式(5.3-3)不能解决点 (x0,y0) 不在二次曲线上时的切线的存在性以及切线存在时 直接写出切线方程的问题.这些问题以及与切线和奇点有关的本节没有涉及的其他问题,我们将在后面专 门讨论. 在下例中,我们介绍一种间接的分析方法,以便对于给定的二次曲线?,求? 外一点的切线. 2 2 例 1 求二次曲线 x - xy + y - 1 = 0 通过点 (0,2) 的切线方程. 解法一 因为 F (0,2) = 3,所以点 (0,2) 不在曲线上,因而不能直接应用本节给出的切线公式. 过点 (0,2) 的直线方程可写成

其中 t 为参数,X,Y 为直线的方向数,因为 F1 (0,2) = - 1,F2 (0,2) = 2 根据直线与二次曲线的相切条件(6)就得 - 3( ) = 0

化简得 2 - = 0 即 (2X - Y)(X + Y ) = 0 由此得 X : Y = 1︰2 或 X : Y = 1︰- 1 这两个方向都不是已知二次曲线的渐近方向,所以就是所给二次曲线过点 (0,2) 的切线的方向.于 是所求的切线方程为 或 即 2x - y + 2 = 0 或 x + y - 2 = 0 解法二 设过 (0,2) 的切线与已知二次曲线相切于点 ( ),那么切线方程为

即 (9) 因为它通过点 (0,2),所以 (0,2) 满足方程,将 (0,2) 代入化简得 (10) 另一方面,点 ( ) 在二次曲线上,所以又有
72

(11) 解(10)和(11)联立的方程组,得切点坐标

与 将切点坐标分别代入(9),得所求的切线方程为 2x - y + 2 = 0 和 x + y - 2 = 0 以下给出专著《二次曲线》中关于奇点和切线的几个结论。 命题 5.3.2 二次曲线有奇点的充要条件是中心在曲线上,且此时中心就是奇点。 命题 5.3.3 二次曲线? 有奇点,当且仅当下列情况之一成立: i)I3 = 0,I2 > 0.此时椭圆型二次曲线? 退化为它的惟一中心,变成点椭圆,? 的中心也就是? 的 惟一奇点. ii) I3 = 0, I2 < 0. 此时双曲型二次曲线? 退化为两相交直线, 就是? 的惟一中心—— ? 有惟一奇点, 两条相交直线的交点. iii)I3 = I2 = K1 = 0.此时抛物型二次曲线? 退化为两重合直线,? 有无数多个奇点,这些奇点构成 ? 的中心直线,也就是? 自身,? 上每一点都是奇点. 由命题 5.3.3 可知, =0 是二次曲线有奇点的必要条件。 下面是关于切线的一个重要的统一公式: 命题 5.3.4 对任一实点 ,无论其是否在二次曲线(1)上,(1)的过 M0 的切线方程皆为 (5.4-4) 证 过 M0 的以 X : Y 为方向的直线 的方程总可以写为 - ∞< t < + ∞ 将(12)代入(1)就得 (13) 此方程的根 t 确定直线 l 与二次曲线? 的相关位置. 若定义? 的切线为与?交于相互重合的两点的直线, 不妨假定 ,即 X : Y 不是? 的渐近方向,则 l 与? 相切的充要条件是二次方程(13)的判别式 等于零,即 (14) 这是一个关于 X 和 Y 的二次齐次式方程,其中 X : Y 是切线的方向.由(12)应有 代入(14)即得一个关于 和 的二次齐次式: (12)

(5.3-5) 改写之就得方程(5.3-4). 由于此时直线(12)的方向满足(12)与(1)相切的条件(14),方程(5.3-5),也就是方程(5.3 -4),即表示二次曲线(1)的过点 M0 的切线.(证毕) 当 M0 为(1)上的正常点时,F0 = 0,切线方程(5.3-4)变为 这正是一般解析几何教科书上的结论. 当 M0 不二次曲线? 上时,若(5.3-4)的左边能够在实数域上分解为两个关于 x - x0 和 y - y0 的 一次因式的积,则表示? 的过 M0 的两条实切线,否则就表示两条虚切线.

§5.4

二次曲线的直径

1.二次曲线的直径 我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况.当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时,这条 直线与二次曲线总交于两点(两个不同的实点,两个重合的实点或一对共轭的虚点),这两点决定了二次 曲线的一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹. 命题 5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 证 设 X : Y 是二次曲线的一个非渐近方向,即? (X,Y) ≠ 0,而 (x0,y0 ) 是平行于方向 X : Y 的弦的中点,那么过 ( x0,y0 ) 的弦为
73

它与二次曲线 F (x,y) = 0 的两交点(即弦的两端点)由如下二次方程

? (X,Y)

+ F ( x0, y0 ) = 0

(2)

的两根 与 所决定,因为 ( x0, y0 ) 为弦的中点,根据前面关于中心的有关讨论,必有 + = 0

从而有 这说明平行于方向 X : Y 的弦的中点 ( x0,y0 ) 的坐标满足方程 (3) 即 也就是 (5.4-1) 反过来,如果点 ( x0,y0 ) 满足方程(5.4-1),那么方程(2)将有绝对值相等而符号相反的两个 根,点 ( x0,y0 ) 就是具有方向 X︰Y 的弦的中点,因此方程(5.4-1)为一族平行于某一非渐近方向 X ︰Y 的弦的中点轨迹的方程. 方程(5.4-1)的一次项系数不能全为零,这是因为当 时,将有 这与 X︰Y 是非渐近方向的假设矛盾,所以(5.4-1)是一个二元一次方程,它是一条直线.命题得证. 定义 5.4.1 二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭 于这条直径的共轭弦;而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径. 如前所述,斜率 k = Y / X 对应方向 X : Y,故有 推论 如果二次曲线的一族平行弦的斜率为 k,那么共轭于这族平行弦的直径方程是 (5.4-2) 这里定义的二次曲线的直径是一条实直线而不是一条线段,因为平行于某个非渐近方向的平行弦不论 是两实点的连线还是两虚点的“连线”,它们的中点都是实点,这些实点构成一条实直线而不仅仅是一条 实线段. 认为直径是一条直线,这与以往所说的圆的直径是一条线段是有区别的.在大多数情况下,把包括圆 在内的所有二次曲线的直径都看成直线更便于进行理论讨论. 由于二次曲线的非渐近方向 X : Y 一般有无穷多个,从方程(3)或(5.4-2)可以看出,如果 F1 (x, y) = 0 和 F2 (x,y) = 0 表示两条不同的直线,方程(5.4-1)表示的直线就构成一个平面直线束.记此 直线束为 H,则 H 具有如下的性质: 当 时 H 为中心直线束,当 时 H 为平行直线束;如果 F1(x,y) = 0 和 F2(x,y) ,那么(3)或(5.4-2)只表示一条直线. ,

= 0 表示同一直线,这时

如果 F1(x,y) = 0 和 F2(x,y) = 0 中有一个为矛盾方程,比如 F1(x,y) = 0 中 a11= a12 = 0, 这时

成立且(3)或(5.4-2)仍表示一平行直线束;若 F1 (x, y) = 0 和 F2 (x, y) = 0 中 成立,(3)或(5.4-2)只

有一个为恒等式,比如 F1 (x, y) = 0 中 a11 = a12 = a13= 0,则 表示一条直线. 因此当

,即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束,这个直线束的中心 ,即二次曲线为无心曲线时,它的全部直径属于一个平行直线束,

就是二次曲线的中心;当

74

它的方向为二次曲线的渐近方向 X︰Y = 二次曲线只有一条直径,它的方程是

:

=

: (或

; 当

, 即二次曲线为线心曲线时, )

即线心二次曲线的中心直线,因此我们有: 命题 5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心,无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线 心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线. 图 5.4.1 给出了三种二次曲线的直径的情形,图中直径用粗线画出.

(a)中心曲线,直径是 中心直线束

(b)无心曲线,直径 (c)线心曲线,直径是 是平行直线束 一条直线 图 5.4.1 的直径. , F2(x,y)=

例 1 求椭圆或双曲线

解 F (x,y)≡ , F1(x,y)= 根据(3),共轭于非渐近方向 X︰Y 的直径方程是

显然,直径通过曲线的中心(0,0). 例 2 求抛物线 解 =2px 的直径.

F (x,y)≡2px - =0 F1(x,y)=p,F2(x,y)=- y 共轭于非渐近方向 X︰Y 的直径为 X p - Y y=0


y=
=2px 的直径平行于它的渐近方向 1︰0.

所以抛物线

注 这里的 X︰Y 是抛物线 =2px 的任一非渐近方向. 抛物线 =2px 的渐近方向是满足齐次方程 = 0 的解.当 Y' = 0 时,X' ≠ 0,因而解是 1 : 0.而直径 y = pX / Y 的方向恰是 1︰0,这也是 x 轴的 方向. 例 3 求二次曲线 F (x,y)≡ 的共轭于非渐近方向 X︰Y 的直径 解 ∵ F1 (x,y)=x - y + 1,F2 (x,y)=- x + y - 1 ∴ 直径方程为 X (x - y + 1) + Y (- x + y - 1)=0 即 (X - Y )(x - y + 1)=0 因为已知曲线 F (x,y)=0 的渐近方向为 X '︰Y '=1︰1,所以对于非渐近方向 X︰Y 一定有 X ≠ Y, 因此曲线的共轭于非渐近方向 X︰Y 的直径为 x - y + 1=0 它只有一条直径. 事实上,所给的曲线是线心二次曲线,所以只有一条直径. 2.共轭方向与共轭直径 二次曲线的与非渐近方向 X︰Y 共轭的直径方程总可以写成(5.4-1)的形式,而(5.4-1)的方向 是 X'︰Y'=- ︰ (5.4-3)
75

我们称这个方向为非渐近方向 X︰Y 的共轭方向. 根据(5.4-3),存在非零实数 t,使得

X'=-
因此有

t,Y'=

t

因 X︰Y 为非渐近方向,? (X, Y ) ≠ 0,而由所设 t ≠ 0,因此当 I2 ≠ 0,即二次曲线为中心二 次曲线时,? (X ', Y ' ) ≠ 0;当 I2=0,即二次曲线为非中心二次曲线时,? (X', Y' )=0.因此有 命题 5.4.3 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向,而非中心二次曲线的非渐近 方向的共轭方向是渐近方向. 由(5.4-3)得二次曲线的非渐近方向 X︰Y 与它的共轭方向 X'︰Y' 之间的关系是 (5.4-4) 从(5.4-4)式看出,两个方向 X︰Y 与 X'︰Y' 是对称的,因此对中心曲线来说,非渐近方向 X︰Y 的共轭方向为非渐近方向 X' : Y',而 : Y' 的共轭方向就是 X︰Y. 任意给定一个非渐近方向 X︰Y,作一组平行于这个方向的平行弦,它们的中点就确定一条共轭于非渐 近方向 X︰Y 的直径 l',设其方向为 X' : Y'.若 X' : Y'也是非渐近方向,则同样由 X' : Y' 也确定一 条直径 l,l 的方向必然是 X︰Y. 定义 5.4.2 中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径. 设 ,代入(5.4-4),得 (5.4-5) 这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式. 例如椭圆 即 的一对共轭直径的斜率 k 与 k' 有关系 (4)

而双曲线

的一对共轭直径的斜率 k 与 k' 有关系 (5)

在(5.4-4)中,如果设

X'︰Y'=X︰Y
那么有 显然此时 X︰Y 为二次曲线的渐近方向.因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.4-4)作代数的推广, 那么渐近方向可以看成自共轭方向,从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径. 从(14)看出,椭圆 的任何一对共轭直径的斜率 k 与 k' 都具有相反的符号(假定 k 与 k' 皆不为零),所以这一对共轭直径不能在同一象限里(图 5.4.2).并且当 k > 0 而 k 值增大时,k' < 0 而绝对值跟着减小.这表示当椭圆的一条直径绕中心逆时针方向转动时,它的共轭直径也绕着中心逆时针 方向转动. 从(15)看出,双曲线 的任何一对共轭直径的斜率 k 与 k' 都具有相同的符号(假定 k 与 时 , 时

k' 皆不为零),所以这一对共轭直径位于同一象限里(图 5.4. 3).因为当

,所以双曲线的一对共轭直径位于渐近线的异侧.其次,当 k > 0 而 k 值增大时,k' > 0 而绝对 值跟着减小.这表示当双曲线的一条直径绕中心逆时针方向旋转时,它的共轭直径绕着中心顺时针方向旋 转.此外,如果一条直径的斜率趋近于 (或 - ),其共轭直径的斜率也趋近于 (或 - .因此, 双曲线的渐近线是它的一对共轭直径的极限位置.这就更详尽地说明了可以把双曲线的渐近线看成它的直 径,即两条重合的自共轭直径.
76

图 5.4.2

图 5.4.3

由于例子中的讨论是在标准坐标系中进行的,若 k 与 k' 中有一个为零,则另一个必为无穷大,实际 上此时一对共轭直径是中心二次曲线的对称轴,也就是坐标轴.若根据极限的观点考虑,对于椭圆,可以 认为 时 k? +∞,对应于图 5.4.2 中的直径 l' 趋于 x 轴而共轭直径 l 趋于 y 轴,即两条不在同 一象限的共轭直径向同一象限趋近,极限为同一象限的边界;对于双曲线,可以认为 时 k' ? + ∞,对应于图 5.4.3 中的直径 l 趋于 x 轴而共轭直径 l' 趋于 y 轴,两条在同一象限的共轭直径向不同的 象限趋近,极限为不同象限的边界. x - y + 1=0 它只有一条直径. 事实上,所给的曲线是线心二次曲线,所以只有一条直径. 2.共轭方向与共轭直径 二次曲线的与非渐近方向 X︰Y 共轭的直径方程总可以写成(5.4-1)的形式,而(5.4-1)的方向 是 X'︰Y'=- ︰ (5.4-3) 我们称这个方向为非渐近方向 X︰Y 的共轭方向. 根据(5.4-3),存在非零实数 t,使得

X'=-
因此有

t,Y'=

t

因 X︰Y 为非渐近方向,? (X, Y ) ≠ 0,而由所设 t ≠ 0,因此当 I2 ≠ 0,即二次曲线为中心二 次曲线时,? (X ', Y ' ) ≠ 0;当 I2=0,即二次曲线为非中心二次曲线时,? (X', Y' )=0.因此有 命题 5.4.3 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向,而非中心二次曲线的非渐近 方向的共轭方向是渐近方向. 由(5.4-3)得二次曲线的非渐近方向 X︰Y 与它的共轭方向 X'︰Y' 之间的关系是 (5.4-4) 从(5.4-4)式看出,两个方向 X︰Y 与 X'︰Y' 是对称的,因此对中心曲线来说,非渐近方向 X︰Y 的共轭方向为非渐近方向 X' : Y',而 : Y' 的共轭方向就是 X︰Y. 任意给定一个非渐近方向 X︰Y,作一组平行于这个方向的平行弦,它们的中点就确定一条共轭于非渐 近方向 X︰Y 的直径 l',设其方向为 X' : Y'.若 X' : Y'也是非渐近方向,则同样由 X' : Y' 也确定一 条直径 l,l 的方向必然是 X︰Y. 定义 5.4.2 中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径. 设 ,代入(5.4-4),得 (5.4-5) 这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式. 例如椭圆 即 的一对共轭直径的斜率 k 与 k' 有关系 (4)

而双曲线

的一对共轭直径的斜率 k 与 k' 有关系
77

(5) 在(5.4-4)中,如果设

X'︰Y'=X︰Y
那么有 显然此时 X︰Y 为二次曲线的渐近方向.因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.4-4)作代数的推广, 那么渐近方向可以看成自共轭方向,从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径. 从(14)看出,椭圆 的任何一对共轭直径的斜率 k 与 k' 都具有相反的符号(假定 k 与 k' 皆不为零),所以这一对共轭直径不能在同一象限里(图 5.4.2).并且当 k > 0 而 k 值增大时,k' < 0 而绝对值跟着减小.这表示当椭圆的一条直径绕中心逆时针方向转动时,它的共轭直径也绕着中心逆时针 方向转动. 从(15)看出,双曲线 的任何一对共轭直径的斜率 k 与 k' 都具有相同的符号(假定 k 与 时 , 时

k' 皆不为零),所以这一对共轭直径位于同一象限里(图 5.4. 3).因为当

,所以双曲线的一对共轭直径位于渐近线的异侧.其次,当 k > 0 而 k 值增大时,k' > 0 而绝对 值跟着减小.这表示当双曲线的一条直径绕中心逆时针方向旋转时,它的共轭直径绕着中心顺时针方向旋 转.此外,如果一条直径的斜率趋近于 (或 - ),其共轭直径的斜率也趋近于 (或 - .因此, 双曲线的渐近线是它的一对共轭直径的极限位置.这就更详尽地说明了可以把双曲线的渐近线看成它的直 径,即两条重合的自共轭直径.

图 5.4.2

图 5.4.3

由于例子中的讨论是在标准坐标系中进行的,若 k 与 k' 中有一个为零,则另一个必为无穷大,实际 上此时一对共轭直径是中心二次曲线的对称轴,也就是坐标轴.若根据极限的观点考虑,对于椭圆,可以 认为 时 k? +∞,对应于图 5.4.2 中的直径 l' 趋于 x 轴而共轭直径 l 趋于 y 轴,即两条不在同 一象限的共轭直径向同一象限趋近,极限为同一象限的边界;对于双曲线,可以认为 时 k' ? + ∞,对应于图 5.4.3 中的直径 l 趋于 x 轴而共轭直径 l' 趋于 y 轴,两条在同一象限的共轭直径向不同的 象限趋近,极限为不同象限的边界.

§5.5

二次曲线的主直径与主方向

定义 5.5.1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径, 主直径的方向与垂直于主直 径的方向都叫做二次曲线的主方向. 我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向. 显然,主直径是二次曲线的对称轴,因此主直径也叫做二次曲线的轴,轴与曲线的交点叫做曲线的顶 点. 现在我们来求二次曲线 F(x,y)≡ (1) 的主方向与主直径. 如果二次曲线(1)为中心曲线,那么与二次曲线(1)的非渐近方向 X︰Y 共轭的直径为(5.4-1) 或(5.4-2).设直径的方向为 X '︰Y ',则由于两方向共轭,有 X'︰Y'= ︰ (16)

78

由于方向 X︰Y 和 X'︰Y' 垂直,在直角坐标系下,两向量{X︰Y}和{ X'︰Y' }垂直,故其内积为零, 即 XX' + YY' = 0,或写成 X'︰Y'=- Y︰X (17) 将(17)代入(16)就得

X︰Y= ︰ (18) 因此 X︰Y 成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是
(5.5-1) 成立,其中? ≠ 0.(5.5-1)可改写成 (5.5-1') 这是一个关于 X,Y 的齐次线性方程组.因为 X,Y 不能全为零,此齐次线性方程组有非零解,所以其系数 行列式 (19) 即 (5.5-2) 因此对于中心二次曲线来说,只要由(5.5-2)解出?,再代入(5.5-1)或(5.5-1'),就能得到 它的主方向. 如果二次曲线(1)为非中心二次曲线,那么它的任何直径的方向总是它的惟一的渐近方向

X1 : Y1=
而垂直于它的方向显然为

X2 : Y2= = 所以非中心二次曲线(1)的主方向有下面两种: 渐近主方向 X1 : Y1=- a12 : a11 = a22 : (- a12) (20) 非渐近主方向 X2 : Y2=a11 : a12 = a12 : a22 (21) 在方程(5.5-2)中令 I2 = 0,得其两根为
将这两个根代入(5.5-1)或(5.5-1'),得到的主方向恰好为非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近 主方向. 这样,我们就把根据方程(5.5-2)的根和(5.5-1')求二次曲线的主方向的方法推广到了非中心 二次曲线. 因此,一个方向 X︰Y 成为二次曲线(1)的主方向的条件是(5.5-1')成立,这里的?是方程(5.5 -2)的根. 定义 5.5.2 方程(19)或(5.5-2)叫做二次曲线(1)的特征方程,特征方程的根叫做二次曲线的 特征根. 从二次曲线(1)的特征方程(5.5-2)求出特征根?,把它代入(5.5-1)或(5.5-1'),就得到 相应的主方向.如果主方向为非渐近方向, 那么根据 直径. 至此,我们需要解决特征根的存在问题,这有下面的命题保证. 命题 5.5.1 二次曲线的特征根都是实数. 证 因为特征方程的判别式 就能得到共轭于此主方向的主

?= ?0 所以二次曲线的特征根都是实数. 命题 5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零. 证 如果二次曲线的特征根 ?1= ?2= 0,那么由(5.5-2)及韦达定理得 即 与 从而得 a11=a12=a22=0 这与二次曲线的定义矛盾,所以二次曲线的特征根不能全为零.
79

命题 5.5.3 由二次曲线(1)的特征根?确定的主方向 X︰Y,当? ≠ 0 时,为二次曲线的非渐近主方 向;当?=0 时,为二次曲线的渐近主方向. 证 首先 所以由(5.5-1)得 因 X、Y 不全为零,故当? ≠ 0 时, ≠ 0,X︰Y 为二次曲线(1)的非渐近主方向;当?=0

时, =0,X︰Y 为二次曲线(1)的渐近主方向. 命题 5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径,非中心二次曲线只有一条主直径. 证 由二次曲线(1)的特征方程(5.5-2)解得两特征根为

1°当二次曲线 (1) 为中心曲线时, I2 ≠ 0.如果特征方程的判别式 ?= 0,那么 = ,



=0,这时的中心曲线为圆(包括点圆和虚圆),它的特征根为一对二重根 ?=a11=a22 (≠ 0) 把它代入(5.5-1)或(5.5-1'),则得到两个恒等式,它被任何方向 X︰Y 所满足,所以任何实方 向都是圆的非渐近主方向,从而通过圆心的任何直线不仅都是直径,而且都是圆的主直径,于是圆有无数 多条对称轴. 如果特征方程的判别式 ?= >0,那么特征根为两不等的非零实根? 1,? 2,将它们分 别代入(5.5-1'),得到相应的两个非渐近主方向 X1 : Y1=a12 : (?1 - a11)=(?1 - a22) : a12 (22) X2 : Y2=a12 : (?2 - a11)=(?2 - a22) : a12 (23) 这两个主方向是共轭的,现证明它们也是垂直的. 由(22)和(23),存在非零实数 t 使 {X1,Y1}?{X2,Y2}={a12 t,(?1 - a11) t}?{a12 t,(?2 - a11) t} = = = = = 0 所以这两个主方向也相互垂直,因此非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径. 2°当二次曲线(1)为非中心曲线时,I2=0,这时两特征根为 = 所以它只有一个非渐近的主方向,即与?1= 径. 例 1 求二次曲线 + + , =0

对应的主方向,从而非中心二次曲线只有一条主直 的主方向与主直径.

解 ∴

∵ I1=1 + 1=2,I2= = 曲线为中心曲线,它的特征方程为

≠ 0

解此方程得到的两特征根为: , 将 代入方程(5.5-1'),得

80

,即 此方程组的解就是由特征根 将 确定的主方向 X1 : Y1 = 1 : 1.

代入方程(5.5-1'),得

故由特征根 又因为

确定的主方向为 X2 : Y2 = - 1 : 1. , ,所以所给二次曲线共轭于主方向 1 : 1 的主直径为



x + y=0
所给二次曲线共轭于主方向 - 1 : 1 的主直径为 -



x - y=0
例 2 求二次曲线 解 的主方向与主直径.

∵ I1=1 + 1=2,I2= =0 ∴ 曲线为非中心曲线,它的特征方程为

两特征根为 ?1=2,?2=0 因为?1=2 是非中心二次曲线的非零特征根,它确定二次曲线的非渐近主方向: X1 : Y1=- 1︰(2 - 1) = - 1︰1 而特征根?2=0 确定二次曲线的渐近主方向:

X2 : Y2=- 1︰

1︰1

因 , , 所以曲线的惟一主直径只能由非渐近主方向- 1︰1 确定: -( x - y - 2 ) + (- x + y )=0 即 x - y - 1=0

§5.6

二次曲线方程的化简与分类

设在平面上给出了由两个标架 {O;i, j } 和 {O';i', j' } 所决定的右手直角坐标系,这里 i 和 j 以及 i' 和 j' 是两组坐标基向量,它们是平面上的两个标准正交基,我们依次称这两个坐标系为旧 坐标系和新坐标系. 由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定, 所以新坐标系与旧坐标系之间的关系, 就由 O' 在 {O;i, j } 中的坐标以及 i' 和 j' 在 {O;i, j } 中的分量所决定. 任一直角坐标变换总可以分解成移轴(也叫坐标平移)和转轴(也叫坐标旋转)两个步骤. 1.移轴 如果两个标架 {O; i, j } 和 {O'; i, j' } 的原点 O 与 O' 不同, O' 在{O; i, j }中的坐标为 (x0, y0),但两标架的坐标基向量相同,即有 i' = i, j' = j 那么标架 {O';i', j'} 可以看成是由标架 {O;i, j } 将原点平移到 O'点而得来的(图 5.7.1).这 种坐标变换叫做移轴(坐标平移). 设 P 是平面内任意一点, 它对标架 {O; i, j} 和 {O'; i', j'} 的坐标分别为 (x, y) 与 ( 则有 ),

81



, ,

于是有



{x,y} = {x0,y0} + {x',y' } 根据向量相等的定义得移轴公式为

图 5.6.1

(5.6-1) 从中解出 x' 和 y',就得逆变换公式为 (5.6-2) 2.转轴 若两个标架 {O;i, j } 和 {O';i', j'} 的原点相同,即 O = O',但坐标基向量不同,且有∠(i, i' ) = ?,则标架 {O';i',j'} 可以看成是由标架 {O;i,j } 绕 O 点旋转? 角而得来的(图 5.6.2).这 种由标架 {O;i,j } 到标架 {O';i',j'}的坐标变换叫做转轴(坐标旋转). 下面推导转轴公式. 设 P 是平面内任意一点,它对 {O; i, j } 和 {O';i', j'} 的坐标分别为 (x,y) 与 ( ),即有

因为∠(i,i' ) = ?,新旧坐标基本向量之 间有关系 图 5.6.2

于是有

因为 O 和 O'是同一点,

,故可直接得到转轴公式:

(5.6-3) 从(5.7-3)中解出 x' 和 y ',就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式: (5.6-4) 式中的? 为坐标轴的旋转角. (5.6-4)式也可看成是由标架 {O;i',j'} 绕 O 旋转- ? 角变到 {O;i,j} 的转轴公式.

82

* 根据线性代数的理论,(5.6-3)可写为

,这里的坐标变换的矩阵

是一个正交矩阵,因而其逆矩阵 ,逆变换公式可以直接由 写出. 3.一般坐标变换公式 在一般情况下,由旧坐标系 O-xy 变成新坐标系 O'-x'y',总可以分两步来完成.即先移轴使坐标原 点与新坐标系的原点 O' 重合,变成坐标系 O'- ,然后再由辅助坐标系 O'-x"y" 转轴而成新坐标系 O'-x'y'(图 5.6.3). 设平面上任一点 P 的旧坐标与新坐标分别为 (x,y) 与 (x',y' ),而在辅助坐标系 O'-x"y" 中的 坐标为 (x",y" ),那么由(5.6-1)与(5.6-4)分别得

与 由上两式得一般坐标变换公式为 图 5.6.3

(5.6-5) 由(5.6-5)解出 x',y' 便得逆变换公式 (5.6-6) 平面直角坐标变换公式(5.6-5)是由新坐标系原点的坐标 (x0, y0) 与坐标轴的旋转角 ? 决定的. 4.由给定的新坐标轴确定的坐标变换 确定坐标变换公式,除了坐标平移和旋转外,还可以有其它方法. 假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程,并规定了一个轴的正方向,就可以确定又一 种坐标变换公式. 设在直角坐标系 xOy 里给定了两条相互垂直的直线

l1: l2:
其中



.如果取直线 l1 为新

坐标系中的横轴 O'x',而直线 l2 为纵轴 O'y',并设平面上任意点 M 的旧坐标与新 坐标分别是(x,y)与(x',y').因为 | x' | 是点 M(x,y)到 O'y' 轴的距离, 也就是 M 点到 l2 的距离(图 5.6.4),所 以有

图 5.6.4

同理可得 于是在去掉绝对值符号以后,便得到一个坐标变换公式

83

(5.6-7) 为了使新坐标系仍然是右手坐标系,可将(5.6-7)式与公式(5.6-4)比较来决定(5.6-7)中的 符号.因

因此(5.6-7)中的第一式右端的 x 的系数应与第二式的右端的 y 的系数相等,所以(5.6-7)的符号选 取要使得这两项的系数是同号的. 这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下,用两条主直径作为新坐标 轴,把二次曲线的方程化为标准方程. 5.坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律 设二次曲线? 的方程为

F (x, y)≡ (1) 为了选择适当的坐标变换以使曲线?在新坐标系下的方程最为简单,我们必须先了解在坐标变换下二 次曲线方程的系数的变化规律.因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的,我们首先分别考 察在移轴与转轴下,二次曲线? 的方程(1)的系数是怎样变化的. 在移轴(5.6-1)

下,设二次曲线? 的新方程为

化简整理得:

这里 (2) 因此可得 命题 5.6.1 在移轴(5.6-1)下,二次曲线方程(1)的系数的变换规律为: 1°二次项系数不变; 2°一次项系数变为 3°常数项变为 . 与 ;

因为当(x0,y0)为二次曲线(1)的中心时,有 = 0, ,所以当二次曲线有中 心时,作移轴使新原点与二次曲线的中心重合,则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项. 把转轴公式(5.6-3),即

代入(1),得在转轴(5.6-3)下二次曲线(1)的新方程为 这里

84

(3) 于是有 命题 5.6.2 在转轴(5.6-3)下,二次曲线方程(1)的系数的变换规律为: 1°二次项系数一般要改变.新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关,而与一次 项系数及常数项无关. 2°一次项系数一般要改变.新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关,与二次项 系数及常数项无关. 3°常数项不变. 从(3)中的

中解出

,得

则可看到,在转轴下,二次曲线方程(1)的一次项系数 的变换规律与点的坐标 x,y 的变换规律 完全一致.当原方程有一次项时,通过转轴不能完全消去一次项;当原方程无一次项时,通过转轴也不会 产生一次项. 二次曲线方程(1)里,若 使 令 得 (5.6-8) 因为余切的值可以是任意实数, 所以总有? 满足 (5.6-8) , 也就是说总可以经过适当的转轴消去 (1) 中的 xy 项. 2.确定坐标变换步骤的基本原则 对任何一条二次曲线的方程,我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换,也可以先转轴、后移轴进行 坐标变换,两种方法都可以将方程化简. 如果决定先转轴,则根据(5.6-8)可以确定坐标系的旋转角.因而无论对于何种类型的二次曲线, 先转轴总是可行的. 如果决定先平移,就得先确定把旧坐标系的原点移到何处.对于中心二次曲线,我们一般把新坐标系 的中心定为曲线的中心,而中心可以先求出.但对于无心二次曲线,为了得到曲线的标准方程,应该把新 坐标系的中心定为曲线的顶点,而顶点却不易先求出. 于是,我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时,一般都按照下面的原则进行: 先根据 I2 判断曲线的类型. 如果 I2 ≠ 0,说明曲线是中心型的.应先求出中心,再移轴,然后转轴. 如果 I2=0,说明曲线是非中心型的,先转轴,消去交叉项 xy 后把所得的方程配方,一般就可以确定 新坐标系的原点,再移轴. 经验证明,这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量. 3.二次曲线方程的化简实例与方法分析 以下通过对几个例题的分析,说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简. 例 1 化简二次曲线方程 ,并画出它的图形. 2 解 I2 = 1 ? 4 - 2 = 0,曲线是抛物型(非中心型)的,应先转轴. 设旋转角为?,则应有: ,我们往往使用转轴使新方程中的 即可. .为此,只要取旋转角?,

85

即 所以 从而得 或 tan?=2 取 tan?=2(若取 tan?=- 1 / 2,同样可将原方程化简),则有

所以得转轴公式为

代入原方程化简整理得转轴后的新方程为

配方得

再作移轴 曲线方程就化为最简形式 或写成标准方程为

这是一条抛物线.它的顶点是新坐标系 O"-x"y" 的原点,原方程的图形可以根 据它在坐标系 O"-x"y" 中的标准方程 作出,如图 5.6.1 所示. 作图要点:坐标系 O-xy 旋转角度 ,成 O'-x'y',再 把坐标系 O'-x'y' 平移到( , 图 5.6.4

0), 得 O"-x"y".在新坐标系 O"-x"y" 中可 根据抛物线的标准方程 作图. 为了看出曲线在原坐标系中的位置,作图时需要将新旧坐标系同时画出. 例 2 化简二次曲线方程 并画出它的图形. 2 解 因 I2=5 ? 2 - 2 =6≠0,所以曲线为中心二次曲线.解方程组

得中心为 (2,1).取 (2,1) 为新原点,作移轴

原方程变为 ① 这里实际上只需计算 F (2,1)=- 4,因为移轴时二次项系数不变.
86

再转轴消去

项.令

即 所以 从而得 或 tan?=- 2 ,用转轴公式

取 tan?=1 / 2,可得

代入 ①,可将方程化简为

标准方程是

这是一个椭圆,它的图形如图 图 5.6.5 5.6.5 所示. 要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转 角.本题中坐标轴的旋转角 注 本题转轴时若取 tan?=- 2,则可得 ),所得的转轴公式是 . (旋转角是

得到的标准方程为 ,图形相对于原坐标系的位置不变.此时 O"x"轴的正向恰好是图 5.6.2 中 y" 轴的反向. 利用转轴消去二次曲线方程的 xy 项的几何意义,就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位 置.这是因为,如果二次曲线的特征根?确定的主方向为 X︰Y,那么有

由此可得平行于主方向的斜率为



87

因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法,实际上是把坐标轴变换到与二次曲线 的主直径(即对称轴)重合的位置.如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合;如果是无心曲线,坐 标原点与曲线的顶点重合;如果是线心曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合. 根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义,我们在化简二次曲线(1)的方程时,也可以先求出曲 线的主直径,然后以它作为新坐标轴,作坐标变换. 例 3 化简二次曲线方程 并作出它的图形. 解法 1 I2=1 ? 1 - 令 解得中心坐标为 (- 2,2) . 作坐标平移 < 0,所给的二次曲线是双曲型的.

就将原方程化为

令 得转轴应取的旋转角为 ? / 4.故转轴

图 5.6.6

就把二次曲线的方程化简为

即 这是一条双曲线,其图形如图 5.6.3 所示. 解法 2

I1=1 + 1=2, I2=1 ? 1 -
于是曲线的特征方程是

解得两特征根为 因而曲线的两个主方向为 ︰ ︰ 曲线的两条主直径为 ︰ ︰ ︰1 ︰1

88

与 即

x + y=0 与 x - y + 4=0 取 x - y + 4=0 为 x' 轴,x + y=0 为 y' 轴,根据(5.7-7)可取坐标变换公式为

反解出 x 与 y 得

代入已知曲线方程,经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为

这是一条双曲线. 在作图时,必须首先确定 x' 轴的正向.在变换公式的 x' 表达式的右端,x 项的系数为 系数为 把这些系数与公式(5.7-7)比较就知道

y 项的

,因此 x' 轴与 x 轴的交角为

,同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (- 2,2).当新坐标系确定之 后,曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出,其图形还是图 3-7,可认为移轴和转轴是一次完成的. 两种解法相比,解法 1 显得简便一些,其计算量小,步骤也比较规范,具有较强的“可操作性”.但 解法 2 强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式,在理论上有一定的价值. 无心二次曲线只有一条主直径,若按解法 2 选其为坐标轴后,另一条坐标轴如何确定呢?我们可以求 出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点,然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条 坐标轴,则可写出一般坐标变换公式,进而将二次曲线的方程化简. 例 4 化简二次曲线方程 . 2 解 由于 I1 = 1 + 1 = 2,I2 = 1 ? 1 - 1 = 0,曲线是非中心型的. 解特征方程 ,得特征根为 ? 1 = 2, ? 2 = 0. 曲线的非渐近主方向为对应于? 1 = 2 的主方向 X︰Y=1︰1,所以曲线的主直径为



x + y +

= 0 联立,即求得曲线的顶点为(3 / 16,-

将此主直径的方程与原曲线的方程 15 / 16).过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为

即 x - y - = 0 这也是过顶点垂直于主直径的直线. 取主直径 为 为新坐标系的 x' 轴,取直线 为 y' 轴,作坐标变换,则变换公式

89

解出 x 与 y 得到 代入已知方程,经过整理得 ,化为标准方程就是

这是一条抛物线.若要画出这条抛物线,必须确定代表 x' 轴的直线的正向.设 x' 轴与 x 轴的交角 为?,则根据变换公式有 , ,因此 ,于是 轴的正向就能确定了.新坐标 轴作出后,就能在新坐标系下,根据抛物线的标准方程来作出它的图形(图形略). 例 5 化简二次曲线的方程 解 所给二次曲线的矩阵为 .

A = A 的第一行和第二行的元素成比例,这表示 F1 (x,y) = 0 和 F2 (x,y) = 0 是同一条直线,曲线为线 心曲线,它的惟一的一条直径即曲线的中心直线,也就是曲线的主直径,其方程就是 F1 (x, y) = 0: x - y + 1 = 0 取其为新坐标系的 x' 轴,再取任意垂直于此中心直线的直线,比如 x + y=0 为新坐标系的 y' 轴
作坐标变换,则变换公式为

解出 x 与 y,得

代入已知方程,经过整理得



= 2 或 y'=

这是两条平行直线(图 5.6.4). 对于线心曲线,我们可以直接从原 方程分解为两个一次因式,从而可立即 作出它的图形.如例 5 的方程可以改写 为 就是 因此原方程表示两条直线 图 5.6.7

x - y + 3 = 0 与 x - y - 1 = 0
它们的图象如图 5.6.4 所示. 当二次曲线的方程表示两条实直线时,直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法,因 为这样可避免进行坐标变换. 除了线心曲线外, 中心二次曲线是两条相交直线时, 也可对原方程直接分解. 例 6 化简二次曲线方程
90



解 计算得 I2 < 0,I3 = 0,可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线,表示两条相交直线.直接将原 方程左边分解因式,得 (x - y + 3)(2x + 3y - 7) = 0 故原二次曲线的方程表示两条相交直线 x - y + 3 = 0 和 2x + 3y - 7 = 0 4.二次曲线的简化方程 通过上面的例子,我们可以得出下面的一般结论. 命题 5.6.3 通过适当的坐标变换,二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个: ( = 1 \* ROMAN I) ( = 2 \* ROMAN II) ; ;

( = 3 \* ROMAN III) . 证 二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类,现按这三种情况来讨论. 1°当已知二次曲线为中心曲线时,取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标 系.设二次曲线在这样的坐标系下的方程为 因为这时原点就是曲线的中心,所以方程中没有一次项,即

其次,二次曲线的两条主直径(即坐标轴)的方向为 1︰0 与 0︰1,它们互相共轭,因此必有 所以曲线的方程为 (I) 又因为它是中心曲线,所以又有



2°当已知二次曲线为无心曲线时,取它的惟一主直径为 x 轴,取过顶点(即主直径与曲线的交点) 且以非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直于主直径的直线)为 y 轴建立坐标系,这时假设曲线的方 程为 因为这时主直径的共轭方向为 X︰Y=0︰1,所以主直径的方程为 它就是 x 轴,即与直线 y=0 重合,所以有 又因为顶点与坐标原点重合,所以 (0,0) 满足曲线方程,从而又有 a33 = 0. 其次,由于曲线为无心曲线,所以 ,而 所以有 . 因而曲线的方程为 (II) 3°当已知二次曲线为线心曲线时,取它的中心直线(即曲线的惟一直径,也是主直径)为 x 轴,任 意垂直于中心直线的直线为 y 轴建立坐标系,设曲线的方程为 因为线心曲线的中心直线的方程是 与 中的任何一个,而第二个方程表示 x 轴的条件为 , 但第一个方程在 的条件下,不可能再表示 x 轴,所以它必须是恒等式,因而有 , 所以线心曲线的简化方程为: (III) 命题证毕. 5.二次曲线的分类 根据命题 5.6.3 中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况,我们可以写出二次曲线的各种标准 方程,从而得出二次曲线的分类. (I)中心曲线
91



时,方程可化为

其中 . 如果 A > 0,B > 0,那么设

就得方程 [1] (椭圆) 如果 A < 0,B < 0,那么设

就得方程 [2] (虚椭圆) 若 A 与 B 异号,不失一般性,可设 A>0,B<0(在相反情况下,只要把两坐标轴 Ox 和 Oy 对调).设

则得方程 [3] 当 再设 (双曲线) 时,如果 a11 与 a22 同号,可以假设 a11>0,a22>0(在相反情况只要在方程两边同乘 - 1),

就得方程 [4] (点椭圆,也可看作相交于实点的二共轭虚直线) 如果 a11 与 a22 异号,那么类似地有 [5] (II)无心曲线 (两相交直线)

不妨设 a13 与 a22 异号(同号时令 x = - x',y = y'即异号),令 [6] (III)线心曲线 方程可以改写为: (抛物线) ,a22≠0

,即得

当 a33 与 a22 异号时,设 [7] 若 a33 与 a22 同号,设 [8]

,则得方程 (两平行实直线) ,则得方程 (两平行共轭虚直线)
92

当 a33=0 时,得方程为 [9] (两重合实直线) 于是我们就得到了下面的命题: 命题 5.6.4 通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面 9 种标准方程中的一种形式: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (椭圆); (虚椭圆); (双曲线); (点椭圆,或看成相交于实点的两共轭虚直线); (两相交直线); (抛物线); (两平行直线); (两平行共轭虚直线);

[9] (两重合直线). 根据此命题,二次曲线共分为 9 类.其中,把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中

§5.7

应用不变量化简二次曲线的方程

在许多情况下,我们并不需要确定二次曲线在原坐标系下的位置,而只需要确定其形状与类型.应用 不变量化简二次曲线的方程就可以简单地做到这一点.同一二次曲线在不同的坐标系下有不同的方程,但 是,由方程的系数确定的几何量(如圆锥曲线的焦参数、长短轴、离心率等)却不因坐标系的改变而改变, 或者说不因坐标变换而改变,这些量就是不变量. 我们研究的不变量和半不变量是方程的某些系数的函数,它们与这些不变的几何量具有密切的关 系.下面给出不变量和半不变量的确切定义. 1.不变量与半不变量 设二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为 (1) 设在直角坐标变换 T: 下,曲线方程(1)的左端变为

那么多项式 F (x',y' ) 也是二元二次多项式,它的每一个系数都可以用多项式 F (x, y ) 的系数和坐 标变换 T 的系数表出. 定义 5.7.1 设 F (x,y) 的系数组成一个非常值函数 f,如果经过直角坐标变换 T,F (x,y) 变为 F (x',y' ) 时,有 那么这个函数 f 叫做二次曲线(1)在直角坐标变换 T 下的不变量.如果这个函数 f 的值只是经过转轴变 换不变,那么这个函数叫做二次曲线(1)在直角坐标变换下的半不变量. 命题 5.7.1 二次曲线(1)在直角坐标变换下,有三个不变量 I1,I2,I3,与一个半不变量 K1:

,

证 因为直角坐标变换 T 总可以通过移轴(5.6-1)和转轴(5.6-3)两步完成,因此证明也分移轴 与转轴两种情况. 先证明在移轴(5.7-1)下,I1,I2,I3 不变,而 K1 一般要改变.
93

由于在移轴下,二次曲线(1)的二次项系数不变,所以 ,



K1 在移轴下一般是要改变的,例如 F (x,y)≡2xy,它的 K1=0,而通过移轴(5.7-1),F (x,y)
变为 ,而这时

?0 ≠K1 现证明在转轴(5.7-3)下,I1,I2,I3 与 K1 都不变.对于 I1 与 I2 只要考虑方程的二次项系数就够了, 根据(3),在转轴下有: 故

(4) 利用三角函数关系

可将(4)化为:

(5) 故

94

现证 I3 在转轴下也不变.因为

= 而在转轴下,已证得 变,所以又有 ,因此 不变,即 ,且在转轴下二次曲线方程的常数项不



将(3)代入

,化简整理得

= 同理可得

=- 所以

最后证明 K1 在转轴下也是不变的.因为

K1
而 可得 所以 和二次曲线(1)的常数项 在转轴下都是不变的,由(3)中 和 的表达式直接计算

95

命题证毕. 命题 5.7.2 当二次曲线(1)为线心曲线时,K1 是直角坐标变换下的不变量. 证 首先证明当线心曲线的方程具有简化方程 (III) 时,K1 在直角坐标变换下不变.因 K1 是半不变量,所以只要证明它在移轴下不变即可. 在移轴(5.6-1)下,(III)的左端变为

此时 而 故 = 其次,如果 F (x,y) = 0 经过移轴(5.6-1)变成(III),则反过来(III)经过移轴(5.6-2) 就变成 F (x,y) = 0,所以当线心二次曲线通过移轴其方程能化成(III)时,K1 不变. 现设线心二次曲线 F (x,y) = 0 经过任意的直角坐标变换 t 变成 F (x',y' ) = 0,我们来证明 K'1 =K1.因为 F (x,y) = 0 为线心二次曲线,因此总存在直角坐标变换 把 F (x,y) = 0 变成(III)的左 端, 因此反过来也一定可以通过直角坐标变换 把 (III) 的左端变成 F (x, y), 再通过坐标变换 t 把 F (x,

y) 变成 F' (x',y' ),也就是存在一个直角坐标变换 把(III)的左端变成 F' (x',y' ). 因此,根据前面已证明的,当通过直角坐标变换 t1 把 F (x,y) = 0 变成(III)的左端时 K1 不变,所
以有 K1= . 把( = 3 \* ROMAN III)的左端变为 F' (x',y' ) = 0 时,又有 =

而通过直角坐标变换

,所以 =K1. 命题证毕. 2.应用不变量化简二次曲线的方程 我们已经证明了,任何一个二次曲线的方程总可以化成三个简化方程(I)、(II)、(III)中的一 个.现在我们应用二次曲线的三个不变量 I1,I2,I3 与一个半不变量 K1 来化简二次曲线的方程.这种方法 的特点是可以不必求出具体的坐标变换公式,只要计算一下这些不变量与半不变量就可以决定二次曲线的 简化方程,进而写出它的标准方程.为了方便,仍然分中心曲线、无心曲线与线心曲线三种情况来讨论. 1°中心曲线 这时 I2≠0,它的简化方程为 (I) 因此有

根据二次方程的根与系数的关系知道, 的两个根,即 其次又有 =?1,



是特征方程

=?2 分别是二次曲线的特征根.



96

所以 这样我们就得到: 命题 5.7.3 如果二次曲线(1)是中心二次曲线,那么它的简化方程为 (5.7-1) 其中?1,?2 是二次曲线的特征方程的两个根(方程中的撇号已略去). 例 1 求二次曲线 的简化方程与标准方程. 解 因为

,I1 = 1 + 1 = 2,I2 = 1 ? 1 - 3 = - 8 < 0 故所给的曲线是双曲线.其特征方程为 ?2 - 2? - 8=0 解得特征根为 ?1=4,?2= - 2,所以曲线的简化方程为:

2

化成标准方程就是

2°无心曲线 这时 I2=0,I3≠0,它的简化方程为 (II) 因此有

而 所以 因 ,故 I1 I 3< 0.由此得到 命题 5.7.4 如果二次曲线(1)是无心曲线,那么它的简化方程为

(5.7-2) 这里根号前的正负号可以任意选取(方程中的撇号已略去). 例 2 求二次曲线 的简化方程与标准方程. 解 由题,显然有 a?0,且 x 和 y 均非负. 当 a = 0 时,原方程表示坐标原点.此时须注意不可将原方程写成 得出原方程表示两条相交实直线的错误结论. 当 a > 0 时,原方程可变形为 (x?0,y?0) 再两边平方,因这样会

因有 I1 = 2,I2 = 0, ,原方程表示仅在第一象限有实图形的一段抛物 线,其对称轴是直线 y = x,顶点是(a / 4, a / 4),曲线的两个端点的坐标是 (0,a) 和 (a,0).
97

简化方程为

标准方程为 3°线心曲线 这时 (III) 因此有 ,即

或 ,它的简化方程为

而 所以 因此有: 命题 5.7.5

=K1

如果二次曲线(1)是线心曲线,那么它的简化方程为

(5.7-3) (方程中的撇号已略去) 从(5.7-1)、(5.7-2)与(5.7-3)可得: 命题 5.7.6 如果给出了二次曲线(1),那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的 条件是: [1] 椭圆:I2>0,I1I3<0; [2] 虚椭圆:I2>0,I1I3>0; [3] 点椭圆(或称一对交于实点的共轭虚直线):I2>0,I3=0; [4] 双曲线:I2<0,I3 ≠ 0; [5] 一对相交直线:I2<0,I3=0; [6] 抛物线:I2=0,I3 ≠ 0; [7] 一对平行直线:I2=I3=0,K1<0; [8] 一对平行的虚直线:I2=I3=0,K1>0; [9] 一对重合的直线:I2=I3=K1=0 . 这个命题的证明与命题 5.8.3 的证明十分类似,此处略去. 推论 二次曲线(1)表示两条直线(实的或虚的,不同的或重合的)的充要条件为 I3=0. 二次曲线的直角坐标变换下的不变量是一个十分重要的概念.解析几何的主要目的是通过曲线的方程 来研究曲线的几何性质,而由二次曲线方程的系数所构成的不变量 I1,I2,I3 以及 K1 完全可以刻画二次曲 线的形状与其他特征.不变量能够深刻地反映方程与曲线的关系,它把我们对数形结合的认识提高到了一 个新的高度.

小结
知识点回顾 这一章,我们从研究直线与二次曲线的相交问题入手,讨论了一般二次曲线的渐方向、中心、渐近线、 切线、直径与主直径等重要的概念和他们的性质,也导出了二次曲线按不同的角度进行分类例如,按将近 方向的分类和按中心的分类。也讨论二一般二次曲线的代数理论,就是从坐标变换开始介绍了一般二次曲 线方程的化简与判别问题。特别的,用二次曲线的主直径作为新做标注来简化二次曲线的方程,使二次曲 线的几何理论与代数理论联系在一起,加强了学科间的联系,突出了用代数作为工具研究几何的目的。 同时,在本章提出了二次曲线在直角坐标变换下得“不变量”这一十分重要的概念,有定理 5.7.6 可 知,由二次曲线方程的系数所构成的不变量 完全可以刻画二次曲线的形状和大小,不仅深刻反 映了方程与曲线的关系,也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识。 通过对本章的学习,应该掌握以下知识点: 1. 二次曲线与直线位置关系的讨论,主要转化为一元二次方程 根的情况进行讨论;

98

2. 二次曲线按照渐近方向和中心从不同的角度进行分类。

的方向

为渐近方向,

按照渐近方向的不同, 把二次曲线分为三类: 椭圆型曲线、 抛物型曲线和双曲型曲线。 满足 的点为二次曲线的中心,按照中心的不同,又把二次曲线分为中心曲线和非中心曲线,其中,非中心曲线 有分为无心曲线和线心曲线; 3. 二次曲线的直径与方向,这是本章的难点,比较抽象。在学习的过程中,要认真掌握直径、共轭 方向、共轭直径、主直径和主方向的概念,为二次曲线的分类和方程的化简奠定基础; 4. 二次曲线方程的化简与分类。通过坐标变换可以把二次曲线的方程化简,把任意一个二次曲线的 方程化简为 9 个简单形式之一。同时,也可以构造二次曲线的不变量,作对对二次曲线的进一步研究 典型例题

例 1 试确定 的值,使得 与二次曲线 ⑴ 两个不同的实点; ⑵ 一个不实点; ⑶ 两个共轭虚点。 解:把直线方程带入二次曲线方程可得:

交于

所以,当 当 当

时,有两个不同的实点; 时,有两个不同的实点; 时,有两个不同的实点;

例2 当 满足什么条件时,二次曲线 (1)有唯一中心;(2)没有中心;(3)有一条中心直线.

解:(1)由 (2)当

知,当

时方程有唯一的解,此时曲线有唯一中心;

时方程无解,此时曲线没有中心;

(3)当 时方程有无数个解,此时曲线是线心曲线. 例 3 试证如果二次曲线 有渐进线,那么它的两个渐进线方程是 Φ 式中 证明: 设 所以Φ 例4 证明: 设以 为渐进线的二次曲线为 ,
99

=

为二次曲线的中心. 为渐进线上任意一点,则曲线的的渐进方向为 = 证明以直线 为渐进线的二次曲线方程总能写成 . . ,

则它的渐进线为Φ 曲线的中心,从而有Φ

= =

, 其中



而Φ 因为 因此Φ 令 即

= 为曲线的中心,所以有 , ,代入上式得 ,所以以 . 为渐进线的二次曲线可写为 ,

例5

设有共焦点的曲线族 ,这里 是一个变动的参数,作平行于已知直线 的曲线的切线,求这些切线切点的轨迹方程. ,则由(5.3-4)得曲线的切线为 ,因为它平行与 ,

解:设切点坐标为

所以有 所以切点的轨迹为 例6 证明:设

,代入

整理得 ,

证明二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直. 分别曲线的两不同特征根,由它们确定的主方向分别为 与 则

与 所以



从而有 因为 ,所以 例 7 试证方程

, ,由此两主方向 与 相互垂直.

确定一个实圆必须且只须 证明:当曲线 表示一个实圆的充要条件是其特征方程

.

有相等实根且 .

,即



,从而方程确定一个实圆必须且只须

100


相关文章:
解析几何教案
解析几何中的最值问题教... 4页 免费 《解析几何的产生》教案 2页 免费喜欢...熟悉它们的几何性质,并掌握它们的运算规律; 3、利用矢量建立坐标系概念,并给出...
《解析几何》教案
《解析几何》教案_数学_高中教育_教育专区。蛮好的《解析几何》教案第一章 向量与坐标本章教学目的:通过本章学习,使学生掌握向量及其运算的概念,熟练掌握线性运算和...
解析几何教案
解析几何教案_理学_高等教育_教育专区。本文档是2011年数学高考二轮复习解析几何部分...高考数学专题复习解析几... 3页 免费 《解析几何的产生》教案 2页 免费喜欢...
平面解析几何教案
平面解析几何教案_英语学习_外语学习_教育专区。数学教案 第十章 平面解析几何 10.1 直线方程 教学内容及其要求:一、教学内容 1. 直线的倾斜角与斜率 2. 直线的...
解析几何教案
专题讲座之三 简化解几运算八招 解析几何的本质特征是几何问题代数化,就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代 数问题,这提供了许多便利;但也不可避免地造成许多...
第二章解析几何初步教案
第二章解析几何初步教案_数学_高中教育_教育专区。§2、1 直线与直线的方程 ...《空间直角坐标系教学设计 教学目标 ① 通过具体情境, 使学生感受建立空间直角...
高考解析几何复习教案
高考解析几何复习教案_数学_高中教育_教育专区。高考复习-解析几何一、直线与方程 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴...
平面解析几何教案
平面解析几何教案_职业规划_求职/职场_实用文档。平面解析几何教案 第十章 平面解析几何 10.1 直线方程 教学内容及其要求: 一、教学内容 1. 直线的倾斜角与斜率...
二轮复习第九章解析几何全套教案教案
二轮复习第九章解析几何全套教案教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。富县高级中学集体备课教案年级:高三 课题 科目:数学 直线与直线方程 1.在平面直角坐标系中,...
更多相关标签:
空间解析几何教案 | 解析几何 | 解析几何第四版答案 | 空间解析几何 | 解析几何解题技巧 | 素描几何体教案 | 解析几何 pdf | 平面解析几何 |