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2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案 1


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设 f1 ( x) ? ?

2x ? 7 , f n ?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) , x ? ?2, x ? ?3 ,则 f 2013 (2014) ? ______. x?3

2. 设 A =

(-2, 4) , B = {x | x 2 + ax + 4 = 0, x ? R} .若 A ? B 的非空子集个数为 1, . 则实数 a 的取值范围是 ? x ? 0, ? 3.设 R 是满足 ? y ? 0, 的点 ? x, y ? 构成的区域, 则区域 R 的面积为_______. (其中 ? x ? 表示不超过实 ? x ? y ? [ x] ? [ y ] ? 5 ? 数 x 的最大整数).

4.二元函数 f ( x, y ) ? cos 4 x ? 7 ? cos 4 y ? 7 ? cos 4 x ? cos 4 y ? 8sin 2 x sin 2 y ? 6 的最大值为___ 5. 已知 B 是双曲线 C : 2 x 2 - 4 y 2 + 1 = 0 上靠近点 A (0, m) (m > 1) 的一个顶点.若以点 A 为圆心, AB 长为 半径的圆与双曲线 C 交于 3 个点,则 m 的取值范围是 . 3 3 6.甲、乙两人玩游戏,规则如下:第奇数局,甲赢的概率为 ,第偶数局,乙赢的概率为 .每一局没有平局, 4 4 规定:当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多 2 次时游戏结束.则游戏结束时,甲乙两人玩的局数的数学期 望为________. 7.设五边形 ABCDE 满足 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? 120 ,则
?

AC ? BD 的最小值为 AE ? ED 0 8.过正四面体 ABCD 的顶点 A 作一个形状为等腰三角形的截面, 且使截面与底面 BCD 所成的角为 75 .这样
的截面共可作出 个 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.(本小题满分 16 分).试求实数 a 的取值范围,使得 2 是不等式

x ? log 2 (2 x ? 3a) ? 2 的最小整数解. 1 ? log 2 a

10.(本小题满分 20 分) 、数列 ?an ?n?1 定义为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an ?

an ?1an ?1 ? 1 ? n ? 2 ? .

⑴ 求证:数列 ?an ?n ?1 为整数列;⑵ 求证: 2an an ?1 ? 1 ? n ? 1? 是完全平方数.

11.(本小题满分 20 分)已知 S,P(非原点)是抛物线 y=x 上不同的两点,点 P 处的切线分别交 x,y 轴于 Q,R.

2

(1)若 PQ ? ? PR ,求 ? 的值;(2)若 SP ? PR ,求ΔPSR 面积的最小值.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 加试 一、 (本小题满分 40 分)一、如图,设 A 为 ?O1 , ?O2 的一个交点,直线 l 切 ?O1 , ?O2 分别于 B, C ,O3 为 ?ABC 的外心, O3 关于 A 的对称点为 D , M 为 O1O2 的中点. 求证: ?O1 DM ? ?O2 DA .
B O3 C

A M O2 O1 D

二、 (本小题满分 40 分) 设 Sn ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ( n ? N * ) .证明:对任意 m∈N*,存在 n∈N*,使得[Sn]=m. n 2 3

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n ? 互不相同,且模 4 意义下各余数出现的次数相同.

三、 (本小题满分 50 分)试求所有的正整数 n ,使得存在正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ,使得和

四、 (本小题满分 50 分)集合 S 是由空间内 2014 个点构成,满足任意四点不共面.正整数 m 满足下列条 件:将任意两点连成一条线段,并且在此线段上标上一个 ? m 的非负整数,使得由 S 中顶点构成的任何一个 三角形,一定有两边上的数字是相同的,且这个数字小于第三边上的数字. 试求 m 的最小值.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 01 第一试 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1.设 f1 ( x) ? ?

2x ? 7 , f n ?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) , x ? ?2, x ? ?3 ,则 f 2013 (2014) ? ______. x?3 1 1 1 ? ?3 ? , f 2 ( x) ? ?2 ? , 解: 2014 .注意到 f1 ( x) ? ?2 ? 1 ? x?3 x 2 ?2 ? ?3 x?3 1 f3 ( x) ? ?3 ? ? x .故 f 2013 (2014) ? f3 (2014) ? 2014 . 1 ?2 ? ?2 x?3

2. 设 A = (-2, 4) , B = {x | x 2 + ax + 4 = 0, x ? R} .若 A ? B 的非空子集个数为 1, . 则实数 a 的取值范围是 解:由已知得 A ? B 恰含一个元素.设 f ( x) = x 2 + ax + 4 ,分以下情况讨论: (1)若 D = a 2 -16 = 0 ,则 a = ?4 ,但是当 a = 4 时, f ( x) 的零点 -2 ? A ,故应舍去,而 a = -4 经验证 满足条件; (2)若 D > 0 ,则根据二次函数图像性质,必有 f (-2) f (4) ? 0 ,即 (8 - 2a )(20 + 4a) ? 0 ,解得 a ? 4 或 a ? -5 ,但 a = 4 应舍去,而 a = -5 经验证满足条件. 综上所述,有 a ? (-?, - 5] ? {-4} ? (4, + ?) . ? x ? 0, ? 的点 ? x, y ? 构成的区域, 则区域 R 的面积为_______. (其中 ? x ? 表示不超过实 3.设 R 是满足 ? y ? 0, ? x ? y ? [ x] ? [ y ] ? 5 ? 数 x 的最大整数).

9 .一方面,当 x ? y ? 3 时,有 ? x ? ? ? y ? ? x ? y ? 3 ,则 ? x ? ? ? y ? ? 2 ,满足 x ? y ? ? x ? ? ? y ? ? 5 ;另 2 一方面,当 x ? y ? 3 时,有 ? x ? ? ? y ? ? ? x? ? ? y? ? 3 ,而 ? x? ? ? y? ? 2 ,则 ? x ? ? ? y ? ? 1 ,从而 ? x ? ? ? y ? ? 2 ,
解: 于是 x ? y ? ? x ? ? ? y ? ? 5 ,这与条件矛盾.故区域 R 的面积为

9 . 2

4.二元函数 f ( x, y ) ? cos 4 x ? 7 ? cos 4 y ? 7 ? cos 4 x ? cos 4 y ? 8sin 2 x sin 2 y ? 6 的最大值为___. 解: 6 2 .设 cos x ? a , cos y ? b ,则 0 ? a, b ? 1 . f ? 2 2
2
2

?

a 2 ? a ? 1 ? b 2 ? b ? 1 ? a 2 ? ab ? b 2

?

由 0 ? a, b ? 1 , a ? a ,
2

a 2 ? a ? 1 ? 1 ,同理 b 2 ? b ? 1 ? 1 ,

a 2 ? ab ? b 2 ? a ? ab ? b ? 1 ? ?1 ? a ??1 ? b ? ? 1 , 故 f ? 6 2 . 当 a ? b ? 1 , 或 a ? 0, b ? 1 或

a ? 1, b ? 0 时, f 取到最大值 6 2 .
5. 已知 B 是双曲线 C : 2 x 2 - 4 y 2 + 1 = 0 上靠近点 A (0, m) (m > 1) 的一个顶点.若以点 A 为圆心, AB 长为 . 半径的圆与双曲线 C 交于 3 个点,则 m 的取值范围是 2 2 ? 1? 1 y x 解:双曲线 C 的标准方程为 , AB = m - ,再由 - = 1 ,其顶点为 ? 0, ? ÷ ÷ ? ÷ ? 1 1 è 2 2? 4 2 2 2 2 ì ? x + ( y - m) = AB , ? 3 1 ?? 2 1? ? ? 得: 6 y 2 - 4my + 2m - = 0 ,即 6 ? y- ÷ y- m+ ÷ ÷ ÷= 0 . í 2 ? ? ÷ ? ? 2 ? è ? 2 2 ?è 3 2÷ 2 x 4 y 1 0 + = ? ? ? 1 1 圆与双曲线交点的纵坐标 y 应满足上述方程,并要求 y ? ,因此当交点有 3 个时,应使 y1 = 对应一个交 2 2 2 1 1 3 点,而 y2 = m - > 对应两个交点,从而 m > . 3 2 2 2

6.甲、乙两人玩游戏,规则如下:第奇数局,甲赢的概率为

3 3 ,第偶数局,乙赢的概率为 .每一局没有平局, 4 4 规定:当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多 2 次时游戏结束.则游戏结束时,甲乙两人玩的局数的数学期 望为________.
解:

16 3 5 16 .设游戏结束时,甲乙两人玩的局数的数学期望为 E ,则 E ? ? 2 ? ? ? E ? 2 ? ,解得 E ? . 3 8 8 3 AC ? BD ? 的最小值为 7.设五边形 ABCDE 满足 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? 120 ,则 AE ? ED 3 解: 延长 AB 与 DC 相交于点 H ,延长 EA 与 CB 相交于点 F ,延长 ED 与 BC 相交于点 G . 4 则 ?AFB, ?DCG, ?BCH 均为正三角形.设 AB ? x , BC ? y , CD ? z .容易得到四边形 EAHD 为平行四边
AC 形,则 EA ? HD ? y ? z .在 ?ABC 中,由余弦定理, AC ? x ? y ? xy ,于是 ? AE
2 2

x 2 ? y 2 ? xy . y?z

同理,

BD ? ED
2

y 2 ? z 2 ? yz AC ? BD ? .故 x? y AE ? ED
2

x 2 ? y 2 ? xy y 2 ? z 2 ? yz ? . y?z x? y

x 2 ? y 2 ? xy y 2 ? z 2 ? yz 3 AC ? BD 3 2 注意到, x ? y ? xy ? ? ? ? . ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 0 .有 2 AE ? ED x? y y?z 4 3 等号当且仅当 x ? y ? z 成立故最小值为 . 4 0 8.过正四面体 ABCD 的顶点 A 作一个形状为等腰三角形的截面, 且使截面与底面 BCD 所成的角为 75 .这样
的截面共可作出 个 .

6 cot 75? 为半径作圆.则圆 O 在 ?BCD 的内部,且所求截 3 面与平面 BCD 的交线是该圆的切线.有三种情况:(1) 切线与 ?BCD 的一边平行时,有 6 个这样的截面; (2) 切线 B1C1 (其中 B1 在边 BC 上, C1 在边 CD 上)且 CB1 ? C1 D ,则截面 ?AB1C1 为等腰三角形.这样的 截面有 6 个;(3) 作 BE 切圆 O ,交 CD 于 E ,由 ?BCE ? ?ACE ,有 BE ? AE ,对应 ?ABE 是等腰三角
答案:18.设正 ?BCD 中心为 O ,以 O 为圆心, 形,这样的截面共有 6 个.故满足条件的截面共有 18 个. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

x ? log 2 (2 x ? 3a) 9.(本小题满分 16 分).试求实数 a 的取值范围,使得 2 是不等式 ? 2 的最小整数解. 1 ? log 2 a
解:首先 2 ? 3a ? 0 , a ? 0 ,且 a ?
x

1 .原不等式等价于 2

log 2

2 x ? 3a ? x?2 a2 ? 0. 1 ? log 2 a

(1)当 1 ? log 2 a ? 0 ,即 a ?

1 2 x ? 3a 时,有 log 2 ? x ? 2 ? 0 ,整理有 22 x ? 3a ? 2 x ? 4a 2 ? 0 . 2 2 a 1 x x 解得 2 ? 4a , 2 ? ? a (舍去).从而 x ? log 2 4a .注意到当 a ? 时, log 2 4a ? 1 . 2 x x ? log 2 (2 ? 3a) 1 故要使 2 是不等式 ? 2 的最小整数解,有 log 2 4a ? 2 ,解得 a ? 1 ,于是 ? a ? 1 . 2 1 ? log 2 a

2 ? log 2 (22 ? 3a ) 1 3 时,注意到 4 ? 3a ? 4 ? ? 2 ,有 ? 0 不合题设条件. 2 2 1 ? log 2 a 1 1 即 0 ? a ? 不满足条件.综上所述, a 的取值范围为 ( ,1) . 2 2 10.(本小题满分 20 分) 、数列 ?an ?n?1 定义为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an ? an ?1an ?1 ? 1 ? n ? 2 ? .
(2)当 1 ? log 2 a ? 0 ,即 0 ? a ? ⑴ 求证:数列 ?an ?n?1 为整数列;⑵ 求证: 2an an ?1 ? 1 ? n ? 1? 是完全平方数.

证 明 : ⑴ 定 义 a0 ? 0 . 当 n ? 1 时 , an ? an ?1 an ?1 ? 1 , an ?1 ? an an ? 2 ? 1 , 两 式 相 减 , 整 理 得 :
2 2

an ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? ? an ? an ? 2 ? an ? ,即
因此

由此二阶递推式及 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,容易得到数列 ?an ?n ?1 为整数列. ⑵ 对 n ? 1 , 0 ? an ?1 ? an ?1 ? 4an ? an ?1 ? ? an ?1 ? 4an ?1 an ? an ?1 an ?1
2 2
2

an ? 2 ? an an ?1 ? an ?1 ? an ?1 an

an ? 2 ? an an ?1 ? an ?1 ? ? ?n ? 1, an ? 0 ? . an ?1 an a ? an ? 2 a ? a0 ? n ?? ? 2 ? 4 .故 an ? 2 ? 4an ?1 ? an .( n ? 1 ) an ?1 a1

2 2 ? an ?1 ? 4an ?1 an ? an ? 1 ? ? an ?1 ? an ? ? ? 2an an ?1 ? 1? .因此 2an an ?1 ? 1 ? ? an ?1 ? an ? .故命题得证! 2

11.(本小题满分 20 分)已知 S,P(非原点)是抛物线 y=x 上不同的两点,点 P 处的切线分别交 x,y 轴于 Q,R.

(1)若 PQ ? ? PR ,求 ? 的值;(2)若 SP ? PR ,求ΔPSR 面积的最小值. 解: (1)设过 P(x1,y1),则 P 处的切线 2x1x=y1+y, Q(

y1 ,0 ), 2 x1 ? y1 ? x1 ? ?? x1 1 y1 ? ?? ? . PQ ? ( ? x1 ,? y1 ) ? ? PR ? ? ( ? x1 ,?2 y1 ) ? ? 2 x1 2 x1 2 ? ? y ? ?2 ? y 1 ? 1

(2)设 S(x2,y2),则 SP

? PR ? ( x1 ? x2 , x1 ? x2 )(? x1 ,?2 x1 ) ? 0
2 2 2

2

2

2

? x1 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 ( x1 ? x 2 ) ? 0 ? x1 ( x1 ? x 2 ) ? ?
| SP |?| x1 ? x 2 | 1 ?
2

1 1 . ? x 2 ? ? x1 ? 2 2 x1

1 4 x1
2

?| 2 x1 ?

1 1 | 1? , | PR |? 2 2 x1 4 x1

x1 ? 4 x1 ?| x1 | 1 ? 4 x1

2

2

2

,

1 (4 x1 ? 1) 2 1 1 1 3 ? 2 x1 ? x1 ? , 令 S= 2 x 3 ? x ? ( x ? 0), 则 S/= 6 x 2 ? 1 ? 2 >0 所以, S ? ? 2 4 x1 8 x1 8x 8x

? x2 ?

1 / 1 4 3 3 , S ? 0 ? x 2 ? , 所以,当 x ? 时, S min ? . 12 12 9 6

加试 一、 (本小题满分 40 分)一、如图,设 A 为 ?O1 , ?O2 的一个交点,直线 l 切 ?O1 , ?O2 分别于 B, C ,O3 为 ?ABC 的外心, O3 关于 A 的对称点为 D , M 为 O1O2 的中点.求证: ?O1 DM ? O? 3 O2 DA .C 证明:易得 O3O1 是 AB 的中垂线, O3O2 是 AC 的中垂线.连接 AO1 , AO2 .

1 1 B ?BO1 A ? ?CBA , ?O1O3 A ? ?BO3 A ? ?BCA , A 2 2 M 故 ?O3O1 A ? ?CBA .同理, ?O3O2 A ? ?BCA ? ?O1O3 A . O2 O1 做 ?O3O1O2 的外接圆 ? ,设 O3 A 交 ?? 于另一点 E , D 则 ?EO1O2 ? ?AO3O2 ? ?AO1O3 , ?EO2O1 ? ?AO3O1 ? ?AO2O3 , OO OA OO OA 故 ?O1 EO2 ? ?O1 AO3 ? ?O3 AO2 .从而 1 3 ? 3 , 2 3 ? 3 , O1O2 EO2 O1O2 EO1 因此 O3 A ? O1O2 ? O1O3 ? EO2 ? O3O2 ? EO1 , 1 1 1 由托勒密定理, O3 A ? O1O2 ? ? O1O3 ? EO2 ? O3O2 ? EO1 ? ? O3 E ? O1O2 ,所以 O3 A ? O3 E ,从而 E 与 D 2 2 2 1 重合.再由 MO2 ? O3 D ? ? O1O3 ? EO2 ? O3O2 ? O1 E ? ? O1O3 ? O2 D ,知道 ?O3O1 D ? ?O2 MD . 2 所以, ?O2 DM ? ?O1 DO3 .故 ?O1 DM ? ?O2 DA .
则 ?O3O1 A ?

1 1 1 ? ? ? ? ( n ? N * ) .证明:对任意 m∈N*,存在 n∈N*,使得[Sn]=m. 2 3 n ? 1 ? 证明:当 m=1 时,[S1]=1;当 m=2 时,[S4]=2;当 m≥3 时,对满足 0≤a<b≤1 的任意实数 a,b,令 N 0 ? ? ? 1, ? ?b ? a ? 1 则 N0 ? .对 ? 正整数 m> S N 0 和 ? 正整数 k>N0,若都 S k ?1 ? m ? a , S k ? m ? b ,则 S k ? S k ?1 ? b ? a .但 b?a 1 1 ? b ? a ,矛盾!.故对任意正整数 m> S N 0 总存在正整数 n,使得 n>N0 时有 k>N0 时 S k ? S k ?1 ? ? k N0 m ? m ? a ? S n ? m ? b ? m ? 1 .所以[Sn]=m. 三、 (本小题满分 50 分)试求所有的正整数 n ,使得存在正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ,使得和
二、 (本小题满分 40 分) 设 Sn ? 1 ?

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n ? 互不相同,且模 4 意义下各余数出现的次数相同.
4

解:所求的 n 为 k ,其中 k 为正整数.我们用 mi 表示 a1 , a2 ,? , an 中模 4 余 i 的个数, i ? 1, 2,3, 4 .注意到,若

a1 , a2 ,? , an 满足题设条件,则 a1 ? 1, a2 ? 1,? , an ? 1 也满足题设条件,故可不妨设 m1 ? m3 ? m2 ? m4 .
2 2 ?Cm ? Cm ? m2 m4 ? T 1 3 ? 2 2 1 2 ?C ? Cm4 ? m1m3 ? T 记 T ? Cn ,考察 ai ? a j ? i ? j ? 模 4 不同类中的项数,有 ? m2 4 ? m1m4 ? m2 m3 ? T ? mm ?m m ?T 3 4 ? 1 2

……(*)

所以 2T ? ? m1 ? m3 ?? m2 ? m4 ? ? Cm1 ? m3 ? Cm2 ? m4 故
2 2

? m1 ? m3 ? ? ? m2 ? m4 ? ? ? ? m1 ? m3 ? ? ? m2 ? m4 ? ?

2

.

令 k ? ? m1 ? m3 ? ? ? m2 ? m4 ? ? 0 ,则有 m1 ? m3 ? 知,? m1 ? m3 ? ? m2 ? m4 ? ? 0 ,? m1 ? m3 ? 且
2

k2 ? k k2 ? k 2 , m2 ? m4 ? , n ? k .另一方面,由(*) 2 2 2 ? ? m2 ? m4 ? ? k ,由于 n 为正整数,则 k ? 1 ,从而 m2 ? m4 ? 0 ,
? l 4 ? l 2 ? 2l l 4 ? l 2 ? 2l ? l4 ? l2 , , ? m1 , m3 ? ? ? ? 4 4 4 ? ?

? m1 ? m3 ?

2

? k ,令 l ? m1 ? m3 ,则 k ? l 2 , m2 ? m4 ?

或?

? l 4 ? l 2 ? 2l l 4 ? l 2 ? 2l ? 2 4 , ? ,满足条件(*).故 n ? k ? l 满足题设条件. 4 4 ? ?
4

综上所述,所求的 n 为 k ,其中 k 为正整数. 四、解:考虑一般情形,集合 S 由 n ? 4 个点构成,满足任意四点不共面.正整数 m 满足条件:在任意线 段上标上一个 ? m 的非负整数,使得由 S 中顶点构成的任何一个三角形,一定有两边上的数字是相同的,且 这个数字小于第三边上的数字.记 r 为线段上被标数字不同的数目,则 r ? m ? 1 .下面我们用数学归纳法证明: r ? log 2 n .当 n ? 4 时, 结论平凡; 对n ? 4, 取标上数字最小的边 AB , 记为数字 d .任取异于 A, B 的点 C ? S , 则 AC 或 BC 边上的数字恰有一个为 d .记 P ? ?C | AC ? d , C ? S ? ? ? A? , Q ? ?C | BC ? d , C ? S ? ? ? B? .

n n .由归纳假设知,对 P 中被标数字的数目 ? log 2 ? log 2 n ? 1 ,因为 d 是被标记数字中最小的, 2 2 故 r ? ? log 2 n ? 1? ? 1 ? log 2 n .故结论成立.特别地,当 n ? 2014 时,有 r ? log 2 2014 ,从而 r ? 11 . 从而 m ? 10 .下证,m 的最小值为 10.记这 2014 个点分别为 1, 2,? , 2014 ,我们标记线段 ij (i ? j ) 上的数字为 t ,其中 t 为满足 2t | i ? j 的最大非负整数.因为 i, j ? 2014 ,所以 t ? 10 .现设 i, j , k 为任意不同的三点,若线 s s 段 ij , ik 被 标 记 为 同 一 数 字 s , 则 i ? j ? 2 a , i ? k ? 2 b , 这 里 a, b 均 为 奇 数 , 于 是 j ? k ? ? i ? k ? ? ? j ? k ? ? 2 s (b ? a ) ,由于 b ? a 为偶数,知线段 jk 上标记的数字大于 s ,满足题设条件;若
不妨设 P ? 线 段 ij , ik 标 记 为 不 同 的 数 字 t , s (t ? s ) , 则 i ? j ? 2 a , i ? k ? 2 b , 这 里 a, b 均 为 奇 数 , 于 是
t

s

j ? k ? ? i ? k ? ? ? j ? k ? ? 2t (2 s ?t b ? a ) ,由于 2s ?t b ? a 为奇数,知线段 jk 上标记的数字为 t ,满足题设条件. 综上所述, m 的最小值为 10.


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