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9-5椭圆


高考调研 · 新课标高考总复习

第九章 ·第5课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

第5课时 椭圆

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第九章 ·第5课时

课 前 自 助

餐 授 人 以 渔

2011·考纲下载 2011 考纲下载
1.了解椭圆的实际背景. .了解椭圆的实际背景. 2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质. .掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质

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请注意! 请注意!

椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线, 椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线,在高考中出现的次 数也最多,主要考查椭圆的定义、性质、方程,在解答题中 数也最多,主要考查椭圆的定义、性质、方程, 多与直线、向量、轨迹等综合出题 多与直线、向量、轨迹等综合出题.

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课前自助餐
课本导读
1.椭圆的定义 在平面内到两定点F 的距离的和等于常数 大于|F |)的点的轨迹叫椭 等于常数( 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭 圆. 集合P a}, 其中a> a>0 c>0 集合 P = {M||MF1| + |MF2| = 2a} , |F1F2| = 2c , 其中 a>0 , c>0 , 且 a , c 为常 数; (1)若a>c,则集合P为椭圆; a>c,则集合P为椭圆; (2)若a=c,则集合P为线段; 则集合P为线段; (3)若a<c,则集合P为空集. a<c,则集合P为空集. 2.椭圆的两种标准方程: 椭圆的两种标准方程:
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x y y x 1.(其中 其中a>b>0) + 2=1, 2+ 2=1.(其中a>b>0) 2 a b a b 3.椭圆的几何性质

2

2

2

2

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2 2

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x y 4.方程:Ax +By =1或 + =1(A>0,B>0,A≠B)也表 1(A>0,B>0, B)也表 .方程: A B
2 2

示椭圆. 示椭圆.

教材回归
x 2 已知△ABC的顶点 的顶点B 顶点A 1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 +y =1上,顶点A 3 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上, 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上, BC边上 则△ABC的周长是( ABC的周长是( 的周长是 A.2 3 C.4 3 解析 ∵a =3,∴a= 3
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2 2

) B.6 D. D.12

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如图所示, ABC的周长为: 如图所示,△ABC的周长为: 的周长为 |AC|+|AB|+ |AC|+|AB|+|BC| |AB|+ 2a+ =|AC|+|CF2|+|AB|+|BF2|=2a+2a |AC|+ =4a=4 3 4a=

答案 C
讲评 (1)椭圆定义式: (1)椭圆定义式: 椭圆定义式

|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) (2)如此类的三角形周长恒为4a. (2)如此类的三角形周长恒为4a. 如此类的三角形周长恒为 个焦点是(0 (0, 2.椭圆3x +ky =3的一个焦点是(0, 椭圆3x ________.
2 2

2

),则k=

答案 1

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2

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解析

y 3 2 2 2 方程3x 可化为x >1= 方程3x +ky =3可化为x + =1.a = >1=b ,c = 3 k k
2 2 2

3 2 2 2.解得 解得k a -b = -1=2.解得k=1. k x y (2011·苏北四市调研)已知F 3.(2011·苏北四市调研)已知F1、F2是椭圆 + = k+2 k+1 的周长为8 1的左、 的左、右焦点, AB过F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆 右焦点,弦AB过 的离心率为________. 的离心率为________. ________
2 2

答案

1 2

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解析

由题意△ 的周长为8 根据椭圆的定义得4a 由题意△ABF2的周长为8,根据椭圆的定义得4a
2 2 2

所以椭圆的离心率e =8,即a=2.又c =a -b =1,所以椭圆的离心率e= 2.又 1 . 2

c = a

x y (2011·金华十校) 1(a>b>0)的椭圆 4.(2011·金华十校)方程为 2 + 2 =1(a>b>0)的椭圆 a b 的左顶点为A 的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的 右焦点分别为F → → → , 一个端点 若3 DF1 = DA +2 DF2 ,则该椭圆的离心率为 ( ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 5

2

2

答案 D
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解析

→ → 设点D(0,b), ,-b) b), 设点D(0,b),则 DF1 =(-c,-b), DA =(- D(0

→ → → → 3c=- =-a a,-b),DF2=(c,-b),由3DF1=DA+2DF2得-3c=-a ,-b), b) (c,-b), ,-b) 1 +2c,即a=5c,故e= . 2c, 5c, 5 5.(09·广东)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在 (09·广东)已知椭圆G的中心在坐标原点, x轴上,离心率为 轴上, 3 点到G ,且G上一点到G的两个焦点的距离之 2

和为12,则椭圆G的方程为______________. 和为12,则椭圆G的方程为______________. 12 ______________

x y 答案 + =1 36 9

2

2

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2 2

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x y 依题意设椭圆G 1(a>b>0), 解析 依题意设椭圆G的方程为 2 + 2 =1(a>b>0),∵椭 a b 圆上一点到其两个焦点的距离之和为12, 圆上一点到其两个焦点的距离之和为12, 12 ∴2a=12?a=6, 2a=12? 36- a -b 36-b 3 3 3 ∵椭圆的离心率为 ,∴ = ,∴ = , 2 a 2 6 2 x y 2 解得b 椭圆G 解得b =9,∴椭圆G的方程为 + =1. 36 9
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2 2 2 2 2

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授人以渔
题型一 例1 椭圆定义的应用 外切, (1)一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=

81内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 81内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 内切 思路分析】 【 思路分析 】 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关, 两圆相切时, 圆心之间的距离与两圆的半径有关 , 据此可

以找到动圆圆心满足的条件. 以找到动圆圆心满足的条件. 解析】 【解析】 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.

设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. 则由题设条件可得| 10. ∴|MO1|+|MO2|=10.

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25- 16, ∴b =a -c =25-9=16, x y 故动圆圆心的轨迹方程为 + =1. 25 16 x y (2)椭圆 到左焦点距离为6 (2)椭圆 + =1上一点P到左焦点距离为6,F是该 25 16 → 1 → → 椭圆的左焦点,若点M满足OM 椭圆的左焦点,若点M满足OM= (OP+OF),则|→| OM 2 =________.
2 2 2 2

2

2

2

【答案】 2 答案】
【解析】 解析】 → 1 → → 设右焦点为F 设右焦点为F′,由OM= (OP+OF)知M为 2

1 → 1 → 线段PF中点, (10-6)= 线段PF中点,∴|OM|= |PF|= (10-6)=2. PF中点 2 2

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探究1 探究1

涉及到动点到两定点距离之和为常数的问

题,可直接用椭圆定义求解. 可直接用椭圆定义求解. 思考题1 思考题1 1 1 2 2 已知A( A(- 0), 是圆:(x- 已知A(- ,0),B是圆:(x- ) +y = 2 2

4(F为圆心) 4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点 为圆心 动点,线段AB的垂直平分线交BF于点 AB的垂直平分线交BF P,则动点P的轨迹方程为________. 则动点P的轨迹方程为________. ________

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】 【解析

如图,由题意知|PA|=|PB|,|PF|+|BP|= 如图,由题意知|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2. |PA|

所以|PA|+|PF|= 所以|PA|+|PF|=2且|PA|+|PF|>|AF|,即动点P的轨迹 |PA| |PA|+|PF|>|AF|,即动点P 3 1 2 是以A 是以A、F为焦点的椭圆,a=1,c= ,b = ,所以动点 为焦点的椭圆, 4 2 4 2 2 P的轨迹方程为x + y =1. 的轨迹方程为x 3
【答案】 答案】 4 x2+ y2= 1 3

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题型二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: 求满足下列各条件的椭圆的标准方程:

1) ( 长轴是短轴的3倍且经过点A ( 0) 长轴是短轴的3倍且经过点A 3, ; 2) ( 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形, 侧顶点的距离为 3; 3) - ,-2) 两点; ( 经过点P( 2 3,1) Q ( 3,-2) 经过点P( , 两点; x y 有相同离心率且经过点( 2,- . ( 与椭圆 + =1有相同离心率且经过点( ,- 3) 4) 2 4 3
2 2

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【分析】 分析】

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定标准方程
2 2

x y 要分类讨论, 1(m>0,n>0, 时,要分类讨论,或设方程为 + =1(m>0,n>0,m≠n) m n 可避免讨论, 也可以设为Ax +By =1(A>0,B>0,A≠0), 1(A>0,B>0, 0), 可避免讨论, 也可以设为Ax 这种形式会更简便. 这种形式会更简便. 【解析】 解析】 (1)若焦点在x轴上, (1)若焦点在x轴上,设方程为 若焦点在 x 2 a
2 2 2



y 2 b

2



1(a>b>0). 1(a>b>0). ∵椭圆过点A(3,0) 椭圆过点A(3,0) 9 ∴ 2=1,∴a=3,∵2a=3×2b, 2a= 2b, a x 2 1.∴ ∴b=1.∴方程为 +y =1. 9
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2

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y x 若焦点在y轴上, 1(a>b>0). 若焦点在y轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点A(3,0),∴ 2=1,∴b=3, 椭圆过点A(3,0), A(3,0) b 又2a=3×2b,∴a=9, 2a= 2b, y x ∴方程为 + =1. 81 9 x y x 2 综上所述, 综上所述,椭圆方程为 +y =1或 + =1. 9 81 9 2c, ?a=2c, (2)由已知 由已知, (2)由已知,有? ?a-c= 3,
2 2 2 2 2

?a=2 3, 解得? ?c= 3,
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2 2 从而b2 从而b =a -c =9, 2 2 2 2 x y x y ∴所求椭圆方程为 + =1,或 + =1. 12 9 9 12 2 1(m>0,n>0, n), (3)设椭圆方程为mx2 (3)设椭圆方程为mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n), 设椭圆方程为 2 2 2 2 2 2

2

2

2

1), ,-2)在椭圆上, 2)在椭圆上 ∵点P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上, P(- ?12m+n=1, 12m+ ∴? 3m+4n= ?3m+4n=1,
2 2 x y 为所求. 故 + =1为所求. 15 5 2 2

1 1 解得m 解得m= ,n= . 15 5

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2 2 2

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a -b c (4)法 (4)法一:∵e= = = a a
2 2

b 1- 2 = a

3 1- = 4

1 x y n 2 1(m>n>0), ,设所求椭圆方程为 2 + 2 =1(m>n>0),则1-( ) m n 2 m 1 = , 4 n 2 3 n 3 从而( ) = , = , 从而( m 4 m 2 4 3 2 2 又 2+ 2=1,∴m =8,n =6, m n x y ∴方程为 + =1. 8 6
2 2

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y x 若焦点在y轴上, 若焦点在y轴上,设方程为 2+ 2=1(m>n>0) m n 4 n 3 3 则 2+ 2=1,且 = , n m 2 m 25 25 y x 2 解得m 解得m = ,n = .故所求方程为 + =1. 3 4 25 25 3 4
2 2 2

x y 法二:若焦点在x轴上, 法二:若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为 + 4 3
2

2

2



2 (- 3) 2 t(t>0),将点(2,- 3)代入,得t= + t(t>0),将点(2,- 代入, =2, (2 4 3

y x 故所求方程为 + =1. 8 6

2

2

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y x 若焦点在y轴上, >0)代入点 若焦点在y轴上,设方程为 + =λ(λ>0)代入点 4 3 25 y x (2,- (2,- 3),得λ= ,∴ + =1. 12 25 25 3 4
2 2

探究2 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: 探究2 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: (1)作判断:根据条件判断焦点的位置. 作判断:根据条件判断焦点的位置. (2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为mx2+ny2= 1(m>0, 设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论, n>0,m≠n). 的方程组. (3)找关系:根据已知条件,建立关于a、b、c或m、n的方程组. 找关系:根据已知条件,

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(4)求解,得方程. (4)求解,得方程. 求解 x y x y (1)方程 >0)有相同的离心 2.(1)方程 2 + 2 =1与 2 + 2 =λ(λ>0)有相同的离心 a b a b 率. x y (2)与椭圆 1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为 (2)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为 a b y x 2 1(a>b>0, >0)恰当运用椭圆系方程 恰当运用椭圆系方程, + 2 =1(a>b>0,k+b >0)恰当运用椭圆系方程, 2 a +k b +k 可使运算简便. 可使运算简便.
2 2 2 2 2 2 2 2

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思考题2 思考题2

已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P

4 5 2 5 到两焦点的距离分别为 和 ,过P作长轴的垂线恰 3 3 好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】 解析】 x y y x 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1或 2+ 2=1, a b a b
2 2 2 2

则由题意知2a= 则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2 5,∴a= 5. 2a x y b |y|= 在椭圆方程 2+ 2=1,令x=±c,得|y|= ; a b a y x 在椭圆方程 2+ 2=1中,令y=±c, a b
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2 2 2 2 2

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b b 2 10 2 |x|= 得|x|= ,依题意可知 = 5,∴b = . a a 3 3 x 3y y 3x ∴椭圆的标准方程为 + =1或 + =1. 5 10 5 10
2 2 2 2

2

2

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题型三

椭圆的几何性质

是椭圆的两个焦点, 为椭圆上一点, 60° 例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; 求椭圆离心率的范围; 的面积只与椭圆的短轴长有关. (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 求证: 【分析】 用余 定理 (1) 在 △ PF1F2 中 , 使 用 余 弦 定 理 和 |PF1| + |PF2| = 2a , 可求

|PF1|·|PF2|与a,c的关系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求出e | 的关系, 然后利用基本不等式找出不等关系, 的范围; 的范围;

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1 (2)利用 利用S |sin60°可证. (2)利用S△F1PF2= |PF1|·|PF2|sin60°可证. 2 【解析】 解析】 x y (1)设椭圆方程为 1(a>b>0), (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
2 2

|PF1|=m,|PF2|=n. 由余弦定理可知, 在△PF1F2中,由余弦定理可知, 2mncos60° 4c =m +n -2mncos60°. ∵m+n=2a, 2a, (m+ 2mn= 2mn, ∴m +n =(m+n) -2mn=4a -2mn, 3mn.即3mn= ∴4c =4a -3mn.即3mn=4a -4c .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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m+n 2 2 mn≤ 当且仅当m 时取等号) 又mn≤( ) =a (当且仅当m=n时取等号), 2 c 1 1 ∴4a -4c ≤3a ,∴ 2≥ ,即e≥ . a 4 2
2 2 2 2

1 1). ∴e的取值范围是[ ,1). 的取值范围是[ 2 4 2 (2)由(1)知mn= b , (2)由(1)知mn= 3 1 3 2 mnsin60° ∴S△PF1F2= mnsin60°= b , 2 3 的面积只与短轴长有关. 即△PF1F2的面积只与短轴长有关.

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探究3 探究3

(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形, (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆 椭圆上

的焦点三角形, 的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定 2a,得到a 的关系. 理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的关系. 余弦定理、

?定义式的平方 ?余弦定理 (2)对 (2)对△F PF 的处理方法? ?面积公式 ?
1 2

?4c =|PF | +|PF | -2|PF ||PF |cosθ |cosθ ?? ||PF |sinθ ?S =1|PF ||PF |sinθ 2 ?
2 2 2 1 2 1 2 △ 1 2

2a) ?(|PF1|+|PF2|) =(2a)

2

2

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2 2

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例4

x y 如图, 1(a>b>0)上 如图,从椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上一点M向x轴作垂 a b

且它的长轴端点A 线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴端点A与短轴端点 恰好通过椭圆的左焦点F B的连线AB∥OM. 的连线AB∥ AB

(1)求椭圆的离心率e (1)求椭圆的离心率e; 求椭圆的离心率 的右焦点, 是左焦点, (2)设 是椭圆上任一点 (2)设Q是椭圆上任一 ,F2的右焦点,F1是左焦点,求∠F1QF2 的取值范围; 的取值范围;

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(3)设 是椭圆上任一 AB时 延长QF (3)设Q是椭圆上任一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆 交于另一 PQ的面积为 的面积为20 交于另一点P,若△F1PQ的面积为20 3 ,求此时椭圆的 方程. 方程. 【解析】 解析】 (1)∵ =-c. (1)∵MF1⊥x轴,∴xM=-c.
2 2

b b 代入椭圆方程, 代入椭圆方程,得yM= ,∴kOM=- . a ac b OM∥AB, 又∵kAB=- 且OM∥AB, a b b 2 从而e ∴- =- .故b=c,从而e= . ac a 2
2

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第九章 ·第5课时

课 前 自 助 餐 授 人 以 渔

(2)设 (2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ. 2a, 2c, ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c, r1+r2-4c cosθ ∴cosθ= 2r1r2
2 2 2 2

2 (r1+r2) -2r1r2-4c 4b = = -1= 2r1r2 2r1r2

2

a a 0.(当且仅当 当且仅当r -1≥ -1=0.(当且仅当r1=r2时, r1r2 r1+r2 2 ? ? 2 等号成立) 等号成立) π cosθ [0, ∵0≤cosθ≤1,故θ∈[0, ]. 2

2

2

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(3)∵ (3)∵b=c.a= 2c, c.a= y x ∴设椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c ∵PQ⊥AB,kAB=- PQ⊥AB, 2 ,kPQ= 2, 2
2 2

∴直线PQ的方程为y= 2(x-c). (x-c). 直线PQ的方程为y PQ的方程为 联立可得5x 8cx+ 联立可得5x -8cx+2c =0 ∴|PQ|= |PQ|= 8c 2 4×2c 6 2c [( ) - ](1+2)= . 5 5 5
2 2 2

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2 6 又点F PQ的距离 的距离d 又点F1到PQ的距离d= c, 3 1 1 2 6 6 2 4 3 2 PQ= d|PQ|= ∴S△F1PQ= d|PQ|= × c× c= c. 2 2 3 5 5 4 3 2 2 2 25, 由 c =20 3,得c =25,故2c =50. 5 x y ∴所求椭圆方程为 + =1. 50 25
探究4 ①在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 和a的值,而 在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出c和 的值 的值, 探究 是根据题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数 、 、 的方程或不等式 的方程或不等式, 是根据题目给出的椭圆的几何特征,建立关于参数c、a、b的方程或不等式, 通过解方程或不等式求得离心率的值或范围. 通过解方程或不等式求得离心率的值或范围. ②焦点三角形是考查定义,余弦定理、离心率等问题的一个常见载体. 焦点三角形是考查定义,余弦定理、离心率等问题的一个常见载体.
2 2

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思考题3 思考题3

x y (1)(09·北京卷) 的焦点为F (1)(09·北京卷)椭圆 + =1的焦点为F1、F2, 9 2

2

2

________, 点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2的 在椭圆上. 大小为________. 大小为________. ________ 【解析】 解析】 2a= ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,

∴|PF2|=6-|PF1|=2. 在△F1PF2中, 16+ |PF1| +|PF2| -|F1F2| 16+4-28 1 cos∠ = =- , cos∠F1PF2= 2 2×4×2 2|PF1|·|PF2| ∴∠F1PF2=120°. ∴∠F 120°
2 2 2

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2 2

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x y 1(a>b>0)的左 右焦点, 的左、 (2)F1、F2是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,若 a b 椭圆上存在点P 90° 椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率的 取值范围是________. 取值范围是________. ________ 【解析】 解析】 x0 y0 设P(x0,y0)为椭圆上一点,则 2+ 2=1. 为椭圆上一 a b
2 2

→ → ,-y (c- ,-y PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0) → → 2 2 2 90° 若∠F1PF2=90°,则PF1·PF2=x0+y0-c =0
2 a (c -b ) x0 2 2 2 2 (1- ∴x0+b (1- 2)=c ,∴x0= 2 a c 2 2 2

120° 【答案】 2;120° 答案】
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c -b 2 2 ∵0≤x0≤a ,∴0≤ 2 ≤1 c ∴b ≤c ,∴a ≤2c ,∴
2 2 2 2

2

2

2 ≤e<1. 2

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本课总结
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涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2 1.涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a” 这个特征.充分利用定义. 回到定义中去”是一个很重要的思想方法. 这个特征.充分利用定义.“回到定义中去”是一个很重要的思想方法. 2.求椭圆方程的方法 直接法:根据所给条件判断焦点位置, 的值, (1)直接法:根据所给条件判断焦点位置,并确定a、b的值,按标准方程写 出方程, 的值. 出方程,其中难点为确定a、b的值. (2)待定系数法:先设出字母系数的方程,根据条件建立字母系数的方程并 待定系数法:先设出字母系数的方程, 求解,然后代入所设方程而得方程,其中难点是建立字母系数的方程. 求解,然后代入所设方程而得方程,其中难点是建立字母系数的方程.

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