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等比数列专项训练


等比数列专项训练 一、选择题 1.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( A.11 B.5 C.-8

S5 S2

)

D.-11 )

2.等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“对于任意正整数 n,都有 an+1>an”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则 S8 等于( ) A.21 B.42 C.135 D.170 4.在等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 等于( ) A.3 B.-3 C.-1 D.1 7 77 5.在 14 与 之间插入 n 个数组成等比数列,若各项总和为 ,则此数列的项数( ) 8 8 A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 5 ,则 S5=( ) 4 A.35 B.33 C.31 D.29 n * 7.数列{an}的前 n 项和为 Sn=4 +b(b 是常数,n∈N ),如果这个数列是等比数列,则 b 等 于( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 8.一正等比数列前 11 项的几何平均数为 32,从这 11 项中抽去一项后所余下的 10 项的几 何平均数为 32,那么抽去的这一项是( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 9 项 D.第 11 项 9.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6=( ) A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 10. 设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和. 已知 a2a4=1, S3=7, 则 S5=( ) 15 31 33 17 A. B. C. D. 2 4 4 2 二、填空题 11.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an= ________. 12.设项数为 8 的等比数列的中间两项与 2x +7x+4=0 的两根相等,则数列的各项相乘的 积为________. 2 13.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a2·a2n+2=2an+1,a2=2,则 a1=________. 1 14.已知数列{an},如果 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?是首项为 1,公比为 的等比 3 数列,那么 an=________. 15.数列{an}为等比数列,已知 an>0,且 an=an+1+an+2,则该数列的公比 q 是__________ 16.设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn 分别为数 列{lgan}与{lgbn}的前 n 项和, 且 =
2

Sn n ,则 logb5 a5 =__________. Tn 2n+1
13 364 ,S6= ,求 an. 9 9

17.在等比数列{an}中,S3=

18.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 19.已知数列{an}满足 an+1-2an=0,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式 an; 20. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn)均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; n+1 * (2)当 b=2 时,记 bn= (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 4an (2)若 bn=13+2log 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求 Sn 的最大值
2
*

x

1.解析:设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),依题意知 8a1q+a1q =0,

4

a1≠0,则 q3=-8,故 q=-2,
所以 = 答案:D 2.解析:当 a1<0 时,条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案:D 3.解析 q =
2

S5 1-q5 =-11. S2 1-q2

a3 ? a4 =4,又 q>0,∴q=2, a1 ? a2
2 3

a1(1+q)=a1(1+2)=2,∴a1= ,
2 3 S8= 4.答案 A 解析 两等式相减得 a4-a3=2a3,从而求得 =3=q. 7 14- q 8 a ? an q 7 77 5.答案 B 解析 ∵q≠1(14≠ )∴Sn= 1 ,∴ = 8 8 1 - q 1? q 1 7 1 n+2-1 解得 q=- , =14×(- ) , 2 8 2 ∴n=3,故该数列共 5 项. 6.答案 C 解析 设数列{an}的公比为 q,a2·a3=a1·a4=2a1? a4=2,a4+2a7=a4+ 5 1 a4 a1 -q5 3 3 2a4q =2+4q =2× ? q= ,故 a1= 3=16,S5= =31. 4 2 q 1-q 7.答案 A 解析 等比数列{an}中,q≠1 时
8

- =170.

2-1

a4 a3

Sn=

a1 (1 ? q n ) a a ? 1 q n ? 1 ? 4n ? b ∴b=-1 1? q q ?1 q ?1

8.答案 A 11 55 解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32,所以该数列的前 11 项之积为 32 =2 , 10 50 当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 32 =2 , 55 50 5 ∴抽去的一项为 2 ÷2 =2 , 2 11 又因 a1·a11=a2·a10=a3·a9=a4·a8=a5·a7=a6,所以 a1·a2·?·a11=a6 , 11 55 5 故有 a6 =2 ,即 a6=2 , ∴抽出的应是第 6 项 9.答案 C n-1 解析 因为 1+2an=(1+2a1)·2 ,则 n-1 5·2 -1 1 n-2 an= ,an=5·2 - , 2 2 1 1 1 a6=5×24- =5×16- =80- =79.5 2 2 2

a1q·a1q =1 ? ? 10.答案 B 解析 显然公比 q≠1, 由题意得, ?a1 -q3 =7 ? ? 1-q

3

a1=4 ? ? , 解得? 1 q= , ? ? 2

1 - 5 2 a1 -q 31 ∴S5= = = . 1-q 1 4 1- 2 11.解析:∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21,
5



a1

-4 1-4
n-1

3

=21,∴a1=1,∴an=4

n-1

.

答案:4

12.答案 16 解析 设此数列为{an},由题设 a4a5=2, 4 从而 a1a2?a8=(a4a5) =16 2 2 13.解 ∵a2·a2n+2=an+2=2an+1

an+2 = 2,∴q= 2 an+1 a2 ∵a2=2,∴a1= = 2. q
∴ 14.答案 3 1 (1- n) 2 3

1 1 2 1 n-1 解析 a1=1,a2-a1= ,a3-a2=( ) ,?,an-an-1=( ) , 3 3 3 1 1 1 n-1 3 1 累加得 an=1+ + 2+?+( ) = (1- n) 3 3 3 2 3 15.答案 5-1 2

-1± 5 2 2 解析 由已知可得 an=an·q+an·q ∵an>0 ∴q +q-1=0 q= 2 ∵q>0 ∴q= 5-1 2
9 a1·a2·?·a9 lga5 lga5 9 = 9= = logb5 a5 = . b1·b2·?·b9 lgb5 lgb5 19

9 S9 16 .答案: 解析:由题意知 = 19 T9 三、解答题 17.解析 由已知,S6≠2S3,则 q≠1. 13 364 又 S3= ,S6= , 9 9

? ? 即? a ? ?

a1
1

-q 1-q

3

13 = 9 =
3

① ②

-q 1- q

6

364 9

②÷①,得 1+q =28,∴q=3. 1 n-1 n-3 可求得 a1= .因此 an=a1q =3 . 9 18.解:(1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+2d 解得 d=1,d=0(舍去),

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2 , 由等比数列的前 n 项和公式得
n

Sn=2+22+23+?+2n=

-2 1-2

n

=2

n+1

-2.

19.解:(1)∵an+1-2an=0,即 an+1=2an, ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列. ∵a3+2 是 a2,a4 的等差中项,∴a2+a4=2a3+4, ∴2a1+8a1=8a1+4,∴a1=2, ∴数列{an}的通项公式 an=2 . (2)由(1)及 bn=13+2 log 1 an,得 bn=13-2n,
2
n

令 13-2n≥0,则 n≤6.5, ∴当 1≤n≤6 时,bn>0, 当 n≥7 时,bn<0, ∴当 n=6 时,Sn 有最大值,S6=36. 20.解析 (1)由题意,Sn=b +r, n-1 当 n≥2 时,Sn-1=b +r, n-1 所以 an=Sn-Sn-1=b (b-1), 由于 b>0 且 b≠1, 所以当 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列. a2 b b- 又 a1=b+r,a2=b(b-1), =b,即 =b, a1 b+r 解得 r=-1. * n-1 n-1 (2)由(1)知,n∈N ,an=(b-1)b ,当 b=2 时,an=2 , n+1 n+1 所以 bn= n-1= n+1 4×2 2 2 3 4 n+1 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1 , 2 2 2 2 1 2 3 n n+1 Tn= 3+ 4+?+ n+1+ n+2 , 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n+1 两式相减得 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1- n+2 2 2 2 2 2 2 1 1 - n-1 3 2 1 2 n+1 3 1 n+1 = + - n+2 = - n+1- n+2 , 2 1 2 4 2 2 1- 2 3 1 n+1 3 n+3 故 Tn= - n- n+1 = - n+1 . 2 2 2 2 2
n


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