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高考数学二轮专题复习


象山县数学教研组高考资料内部交流资料

高考数学二轮专题复习之专题 8 解析几何
【高考考纲解读与考点链接】 1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等. 2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置 关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.掌握椭圆的定义、 标准方程

和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的 简单应用. 4.了解双曲线的定义、 几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、 标准方程和几何性质 解决一些简单的问题. 5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性 质解决一些简单的问题. 6.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【考点预测】 本章知识的高考命题热点有以下两个方面: 1.直线与圆是历年高考的重点考查内容,在客观题中出现,一般只有一个选择或填空, 考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系,难度较低;在解答题中出现,经常与圆锥曲线相 结合。 2.圆锥曲线是高考的一个热点内容,多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。在客观题 中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等,所以要熟练它们基本量之间的关系,掌握它们 之间转化的技巧与方法。 解答题多对圆锥曲线方程、 直线与圆锥曲线的位置关系 (包括弦长、 中点弦、曲线方程求法等)综合考查,多在与其它知识的交汇点处(如平面向量等)命题, 组成探索性及综合性大题,考查学生分析问题、解决问题的能力,难度较大。 【要点梳理】 1.直线的倾斜角与斜率: k ? tan ? (? ? 9 0 ) , k ?
?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 ) .

2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式,注意其各自的适 应条件. 3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围. 4.距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式. 5.熟记圆的标准方程与一般方程. 6.位置关系:点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系. 7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质. 8.熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】 考点一 两条直线的位置关系(平行与垂直) 例 1.(2010 年高考安徽卷文科 4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0 练习 1:(2011 年高考浙江卷文科 12)若直线与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? m y ? 6 ? 0 互 相垂直,则实数 m =_______ 考点二 圆的方程

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例 2.(2010 年高考山东卷文科 16) 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直 线 l: y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .

练习 2: (2010 年高考广东卷文科 6)若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是( A. ( x ?
5) ? y ? 5
2 2
2 2

)
2

B. ( x ?

5) ? y ? 5
2
2 2

w

C. ( x ? 5) ? y ? 5 考点三

D. ( x ? 5) ? y ? 5

圆锥曲线的定义、方程、几何性质

例 3. (2011 年高考福建卷文科 11)设圆锥曲线 I’的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 I’上存 在点 P 满足 P F1 : F1 F 2 : P F 2 = 4:3:2,则曲线 I’的离心率等于 A. C.
1 2 1 2 或 3 2 或2
2

B. D.
x y
2

2 3 2 3

或2 或 3 2

练习 3: (2011 年高考海南卷文科 4)椭圆

?

? 1 的离心率为(

)

16

8

A.

1 3

B. 考点四

1 2

C.

3 3

D.

2 2

直线与圆锥曲线的综合应用
x
2

例 4. (2011 年高考山东卷理科 22)已知动直线 l 与椭圆 C:

?

y

2

3
6 2

2

? 1 交于 P ? x1 , y 1 ? 、

Q ? x 2 , y 2 ? 两不同点,且△OPQ 的面积 S ? O P Q = (Ⅰ)证明 x1 ? x 2 和 y 1 ? y 2 均为定值;
2 2 2 2

,其中 O 为坐标原点.

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | O M | ? | P Q | 的最大值;
6 2

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S ? O D E ? S ? O D G ? S ? O E G ? DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 练习 3: (2010 年高考天津卷文科 21)已知椭圆
x a
2 2

?若存在,判断△

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率 e=

3 2

,连

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1. (2011 年高考安徽卷文科 4)若直线 ? x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为( (A) ? 1 ) (B) 1 (C) 3 (D) ? 3

?

?

2.(2011 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆 错误!未找到引用源。 外切,与直线 y ? 0 错 误!未找到引用源。相切.则 C 的圆心轨迹为( A. 抛物线 B. 双曲线
2 2

) D. 圆 )

C. 椭圆

3. (2011 年高考四川卷文科 3)圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 的圆心坐标是( (A) (-2,3) (C) (-2,-3) (B) (-2,-3) (D)(2,-3)

4.(2011 年高考全国卷文科 11)设两圆 C 1 、 C 2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则 两圆心的距离 C 1 C 2 =( (A)4 (B) 4 2 (C)8 ) (D) 8 2
2 2

5.(2011 年高考江西卷理科 9)若曲线 C 1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C 2 : y ( y ? m x ? m ) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( )

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A.( ?

3 3 3 3



3 3 3 3

)

B.( ?

3 3

,0)∪(0,

3 3

)

c.[ ?



]

D.( ? ? , ?
2

3 3

)∪(

3 3

,+ ? )

6.(2011 年高考重庆卷理科 8)在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E ? 0 ,1 ? 的最长弦和最短
2

弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( (A) 5 2 (C) 1 5 2 (B) 1 0 2 (D) 2 0 2



7. (2011 年高考海南卷文科 9)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则 ? A B P 的面积为( A.18 B.24 C.36 D.48
2

)

8. (2011 年高考山东卷文科 9)设 M( x 0 , y 0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点, F 为圆心、F M 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, y 0 的取值范围是( 以 则 (A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞)
x a
2 2

)

(D)[2,+∞)
y b
2 2

2 2

9. (2011 年高考山东卷理科 8)已知双曲线

?

? 1( a> 0, b > 0 ) 的两条渐近线均和圆

C: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( (A)
x
2

)
? y
2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

5

4

4

5

3

6

6

3

10. (2011 年高考辽宁卷理科 3)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,
A F ? B F = 3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为(

) (D)
7 4

(A)

3 4

(B) 1

(C)

5 4

11. (2011 年高考全国新课标卷理科 7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称 轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, A B 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 )

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13. (2011 年高考湖北卷文科 14)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x 2 ? 弦长为
2

y ? 2x ? 2y ?1? 0
2

截得的

,则直线 l 的斜率为



14.(2011 年高考辽宁卷文科 13)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上.则 C 的方程为___________. 15. (2011 年高考山东卷文科 22)在平面直角坐标系 xO y 中,已知椭圆 C :
x
2

? y ? 1 .如
2

3

图所示, 斜率为 k ( k> 0 ) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ,B 两点, 线段 A B 的中点为 E , 射线 O E 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ? 3 于点 D ( ? 3, m ) .
2 2 (Ⅰ)求 m ? k 的最小值;

(Ⅱ)若 O G

2

? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点;

(ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时
? A B G 的外接圆方程;若不能,请说明理由.

16.(2011 年高考辽宁卷理科 20)如图,已知椭圆 C1 的中心在 原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B, C,D.

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(I)设 e ?

1 2

,求 B C 与 A D 的比值;

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由 【高考冲策演练】 一、选择题: 1. (2011 年高考安徽卷文科 3) 双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是(
? ?



(A)2

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ?

2. (2011 年高考陕西卷文科 2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ? 2 ,则抛物线的 方程是(
2

) (B)
y ? ? 4 x (C) y ? 8 x
2 2

(A) y ? ? 8 x

(D) y ? 4 x
2

3. (2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线
a 的值为(

x a

2 2

?

y

2

? 1( a ? 0 ) 的渐近线方程为 3 x ? 2 y ? 0, 则

9

) C.2 D.1
2

A.4

B.3

4. (2010 年高考山东卷文科 9)已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,过其焦点且斜率为 1 的直线
B 交抛物线与 A 、 两点, 若线段 A B 的中点的纵坐标为 2, 则该抛物线的准线方程为 ( (A) x ? 1 (B) x ? ? 1 (C) x ? 2 (D) x ? ? 2
2 2



5.(2010 年高考江西卷文科 10)直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两

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点,若 M N ≥ 2 3 ,则 k 的取值范围是(
? ? 3 4 ? ? ?
? ? 3 3? , ? 3 3?


? ? 2 3 ? ? ?

A. ? ?

,0

B. ? ?

C. ? ? 3 , 3 ?
? ?

D. ? ?

,0

6. (2010 年高考重庆卷文科 8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围为( (A) ( 2 ?
2 ,1) 2 ) ? (2 ? 2 , ?? )

? x ? 2 ? cos ? , ? y ? sin ?

( ? ? [0, 2 ? ) )有

) (B) [ 2 ? (D) ( 2 ?
2,2 ? 2,2 ? 2] 2)

(C) ( ? ? , 2 ?

7. (2010 年高考陕西卷文科 9)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( ) (A)
1 2

(B)1

(C)2
4x ? x

(D)4
2

8. (2010 年高考湖北卷文科 9)若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 的取值范围是( A.[ 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 ] C.[-1, 1 ? 2 2 ] ) B.[ 1 ?
2 ,3]

有公共点,则 b

D.[ 1 ? 2 2 ,3]
2

9. (2010 年高考辽宁卷文科 7)设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一 点, P A ? l , A 为垂足,如果直线 A F 斜率为 ? 3 ,那么 P F ? ( (A) 4 3 (B) 8 (C) 8 3 (D) 16 )

10. (2010 年高考辽宁卷文科 9)设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直 线 F B 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( (A) 2 (B) 3 (C)
3 ?1 2



(D)

5 ?1 2

11. (2010 年高考宁夏卷文科 5)中心在远点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,2) ,则它的离心率为( ) (A) 6
6 2

(B) 5
5 2

(C)

(D)

12. (2010 年高考广东卷文科 7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,

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则该椭圆的离心率是( A.
4 5

) C.
2 5

B.

3 5

D.

1 5

二.填空题: 13. (2011 年高考重庆卷文科 13)过原点的直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交所得弦的
2 2

长为 2,则该直线的方程为 14.(2011 年高考重庆卷理科 15)设圆 C 位于抛物线 y ? 2 x 与直线 x ? 3 所组成的封闭区域
2

(包含边界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为 15. (2011 年高考山东卷文科 15)已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a> 0, b > 0 ) 和椭圆

x

2

?

y

2

=1

16

9

有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 16. (2011 年高考江西卷文科 12)若双曲线 三.解答题: 17.(2011 年高考安徽卷文科 17) 设直线 l1 : y ? k 1 x +1, l 2 : y= k 2 x ? 1, 其 中 实 数 k 1 ? k 2 满 足 k 1 k 2 + 2 ? 0, (I)证明 l1 与 l 2 相交; (II)证明 l1 与 l 2 的交点在椭圆 2 x + y =1 上.
2 2

.

y

2

?

x

2

? 1 的离心率 e=2,则 m=____.

16

m

18. (2011 年高考福建卷文科 18) 如图,直线 l :y=x+b 与抛 物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方 程.

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19. (2011 年高考全国新课标卷文科 20)在平面直角坐标系中,曲线 y ? x ? 6 x ? 1与 坐标
2

轴的交点都在圆 C 上, (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值。

20. (2011 年高考陕西卷文科 17)设椭圆 C:
3 5

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率
4 5



(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

的直线被 C 所截线段的中点坐标

21. (2011 年高考四川卷文科 21)过点 C ( 0 ,1) 的椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

,椭圆与 x 轴交于两点 A ? a , 0 ? 、 B ( ? a , 0 ) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并

与 x 轴交于点 P ,直线 A C 与直线 B D 交于点 Q . (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 C D 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: O P ? O Q 为定值.
??? ? ????

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22.(2011 年高考全国卷文科 22) 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y

2

? 1 在 y 轴正半

2

轴上的焦点, F 且斜率为 ? 2 的直线 l 与 C 交与 A、 两点, P 满足 O A ? O B ? O P ? 0 . (Ⅰ) 过 B 点 证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

??? ?

??? ?

??? ?


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