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2016年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x| ≥1},N={y|y=1﹣x2},则 M∩N=( A. (﹣∞,2] 2.复数 B. (0,1] ) D. =( D.1 ) C. (0,2] D.[0,1] )


的虚部为( C.﹣

A.﹣l B.﹣i 3.

A. B.﹣1 C. 4.给出下列三个命题

(1)“若 x2+2x﹣3≠0,则 x≠1”为假命题; (2)命题 p:? x∈R,2x>0,则¬p:? x0∈R,2x0≤0 (3)“φ= +kπ(k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶数”的充要条件.

其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π) ,它们的图象有一个横坐标为 则 φ 的值为( A. B. ) C. D. 的交点,

6.如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中 空白框内应填入( )

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A.q=

B.q=

C.q=

D.q=

7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其 理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*) ,则 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道 π=3.14159…,若令 则第一次用“调日法”后得 是 π 的更为精确的过剩近似值, 即 ) , , 若每次都取

最简分数,那么第三次用“调日法”后可得 π 的近似分数为( A. B. C. D.

8.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

9.某几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面与底面的面积之比 为( )

A.

B.

C.

D.

10.如图,已知双曲线

上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,

点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 离心率 e 的取值范围为( )

,则该双曲线

A.

B.

C.
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D.

11.如图,正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转 过程中的一个图形,下列说法中,错误的是( )

A.动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.异面直线 A′E 与 BD 不可能垂直 C.三棱锥 A′﹣FED 的体积有最大值 D.恒有平面 A′GF⊥平面 BCED 12.已知函数 f(x)的图象在点(x0,f(x0) )处的切线方程 l:y=g(x) ,若函数 f(x)满 足? x∈l(其中 I 为函数 f(x)的定义域) ,当 x≠x0 时,[f(x)﹣g(x)](x﹣x0)>0 恒成立,则称 x0 为函数 f(x)的“转折点”,若函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x 在(0,e]上存在一 个“转折点”,则 a 的取值范围为( ) A. B. C. D.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知幂函数 y=f(x)图象过点(9,3) ,则 14.二项式 f(x)dx 等于_______.

的展开式中,x4y4 与 x2y6 项的系数之和是_______(用数字作答) .

15.如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,则这两名同学的植树总棵树为 20 棵的概率是_______.

16. 在△ABC 中, =2 , 则 λμ 的最大值为_______.

=3 , 设 P 为△ABC 内部及边界上任意一点, 若

=λ +μ ,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=1﹣an(n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各 一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学
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8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= . (Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=t?MC,试确定 t 的值.

20.在直角坐标系 xOy,椭圆 C1:

的左、右焦点分别为 F1,F2,其

中 F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= . (1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(4,0)的直线 l 与 C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求△AOD 与△BOD 面积之比的取值范围. 21.已知函数 f(x)= 满足 f(x)的图象与直线 x+y﹣1=0 相切于点(0,

1) . (1)求 f(x)的解析式; (2)对任意 n∈N,定义 f0(x)=x,fn+1(x)=f(f(xn) ) ,Fn(x)=f0(x)+f1(x)+f2 (x)+…+fn(x) .证明:对任意 x>y>0,均有 Fn(x)>Fn(y) . [选修 4-1:几何证明选讲] 22. AB 是⊙O 的一条弦, 如图, 延长 AB 到点 C, 使得 AB=BC, 过点 B 作 BD⊥AC 且 DB=AB, 连接 AD 与⊙O 交于点 E,连接 CE 与⊙O 交于点 F. (Ⅰ)求证:D,F,B,C 四点共圆; (Ⅱ)若 AB= ,DF= ,求 BE2.
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[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,以坐标原点为

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0. (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|. (Ⅰ)若不等式 f(x﹣1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断 与 的大小,并说明理由.

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2016 年湖南省衡阳市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x| ≥1},N={y|y=1﹣x2},则 M∩N=( )

A. B. (﹣∞,2] (0,1] C. (0,2] D.[0,1] 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的 交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式 ≥1,解得:0<x≤2,即 M=(0,2], 由 N 中 y=1﹣x2≤1,得到 N=(﹣∞,1], 则 M∩N=(0,1], 故选:B.

2.复数

的虚部为( C.﹣

) D.

A.﹣l B.﹣i

【考点】复数的基本概念. 【分析】把给出的复数采用复数的除法运算化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,则虚部可求. 【解答】解: 所以,复数 故选 C. 的虚部为 . .

3. A. B.﹣1 C.

=( D.1



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子,求得结果. 【解答】解: =2? =2sin30°=1, 故选:D. 4.给出下列三个命题
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=

(1)“若 x2+2x﹣3≠0,则 x≠1”为假命题; (2)命题 p:? x∈R,2x>0,则¬p:? x0∈R,2x0≤0 (3)“φ= +kπ(k∈Z)”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶数”的充要条件.

其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】 (1)根据逆否命题的等价性进行判断. (2)根据含有量词的命题的否定进行判断. (3)根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解: (1)若命题“若 x=1,则 x2+2x﹣3=0”是真命题,所以其逆否命题亦为真命题, 因此(1)不正确; (2)根据含量词的命题否定方式,可知命题(2)正确. (3)当 为偶函数;反之也成立.故“ 要条件;综上可知:真命题的个数 2. 故选:C 时,则函数 ) ”是“函数 y=sin(2x+φ)为偶函数”的充

5.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π) ,它们的图象有一个横坐标为 则 φ 的值为( A. B. ) C. D.

的交点,

【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【分析】由题意可得 sin( +φ) ,把四个选择支的值代入此式,检验,可得结论. 的

【解答】解:∵函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π) ,它们的图象有一个横坐标为 交点, 可得 cos =sin( +φ)= ,把四个选项中的值代入此式,

检验只有 A 中的数值适合, 故选:A. 6.如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的程序框图,则图中 空白框内应填入( )

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A.q=

B.q=

C.q=

D.q=

【考点】循环结构. 【分析】通过题意与框图的作用,即可判断空白框内应填入的表达式. 【解答】解:由题意以及框图可知,计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格 率 q 的程序框图, 所以输出的结果是及格率,所以图中空白框内应填入 故选 D. 7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其 理论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*) ,则 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值,我们知道 π=3.14159…,若令 则第一次用“调日法”后得 是 π 的更为精确的过剩近似值, 即 ) , , 若每次都取 .

最简分数,那么第三次用“调日法”后可得 π 的近似分数为( A. B. C. D.

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论. 【解答】解:由调日法运算方法可知, 第一次用“调日法”后得 第二次用调日法后得 第三次用调日法后得 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 是 π 更为精确的不足近似值,即 是 π 更为精确的过剩近似值,即
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, , ,

故第三次调日法后得到 故选 B.

为 π 的近似分数.

8.已知变量 x,y 满足

,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出可行域,变形目标函数可得 连线的斜率与 1 的和,数形结合可得. =1+ 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)

【解答】解:作出满足

所对应的区域(如图阴影) ,

变形目标函数可得

=

=1+



表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1 的和, 由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+ 当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+ 故答案为:[ , ]. = ; = ;

9.某几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面与底面的面积之比 为( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知,该几何体是高为 4 的四棱锥,计算出最小面的面积与最大面是底面的 面积,求出比值即可. 【解答】解:由三视图可知,该几何体是高为 4 的四棱锥, 计算可得最小面的面积为 ×1×4=2, 最大的是底面面积为 (2+4)×2﹣ ×2×1=5, 所以它们的比是 . 故选:C.

10.如图,已知双曲线

上有一点 A,它关于原点的对称点为 B,

点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 离心率 e 的取值范围为( )

,则该双曲线

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】运用锐角三角函数的定义可得,|AF|=2csinα,|BF|=2ccosα,取左焦点 F',连接 AF', BF', 可得四边形 AFBF'为矩形, 由双曲线的定义和矩形的性质, 可得 2c|cosα﹣sinα|=2a, 由离心率公式和三角函数的辅助角公式,结合余弦函数的性质,即可得到所求范围. 【解答】解:在 Rt△ABF 中,|OF|=c, ∴|AB|=2c, 在直角三角形 ABF 中,∠ABF=α,可得|AF|=2csinα,|BF|=2ccosα, 取左焦点 F',连接 AF',BF',可得四边形 AFBF'为矩形,
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∴||BF|﹣|AF||=|AF'|﹣|AF|=2c|cosα﹣sinα|=2a, ∴ ,

∵ ∴ ∴ 故选:A. ,

, ,

11.如图,正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转 过程中的一个图形,下列说法中,错误的是( )

A.动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.异面直线 A′E 与 BD 不可能垂直 C.三棱锥 A′﹣FED 的体积有最大值 D.恒有平面 A′GF⊥平面 BCED 【考点】平面与平面之间的位置关系;异面直线及其所成的角. 【分析】由斜线的射影定理可判断 A 正确;由异面直线所成的角的概念可判断 B 不正确; 由三棱锥的体积计算公式,可判断 C 正确;由面面垂直的判定定理,可判断 D 正确; 【解答】 解: : ∵A′D=A′E, ∴DE⊥A′G, ∵△ABC 是正三角形, ∴DE⊥AG, 又 A′G∩AG=G, ∴DE⊥平面 A′GF,从而平面 ABC⊥平面 A′AF,且两平面的交线为 AF,∴A'在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上,故 A 正确; ∵E、F 为线段 AC、BC 的中点,∴EF∥AB,∴∠A′EF 就是异面直线 A′E 与 BD 所成的角, 当(A'E)2+EF2=(A'F)2 时,直线 A'E 与 BD 垂直,故 B 不正确; ∵三棱锥 A′﹣FED 的底面面积 S△ FED 的面积为定值,由(1)知,A′到 AF 的距离即为此三 棱锥的高,故当平面 ADE⊥平面 DEF 时,三棱锥的高最大为 A′G,从而三棱锥体积最大, 故 C 正确 由 A 知,平面 A'GF 一定过平面 BCED 的垂线, ∴恒有平面 A'GF⊥平面 BCED, 故 D 正确; 故选 B 12.已知函数 f(x)的图象在点(x0,f(x0) )处的切线方程 l:y=g(x) ,若函数 f(x)满 足? x∈l(其中 I 为函数 f(x)的定义域) ,当 x≠x0 时,[f(x)﹣g(x)](x﹣x0)>0 恒成立,则称 x0 为函数 f(x)的“转折点”,若函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x 在(0,e]上存在一 个“转折点”,则 a 的取值范围为( ) A. B. C. D.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
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【分析】根据已知函数,求出切线方程,构造 h(x)=f(x)﹣g(x) ,求导,根据导数判 断单调性,找到其转折点,并讨论 a 的取值范围. = ﹣2ax﹣1, = 【解答】 解: 设 f′ (x) 则在该切点的切线的斜率 k 切=f′ (x0) 所以切线方程为 y=g(x)=( 记 显然 h(x0)=0; 当 a>0 时,h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以 h(x)<h (x0)=0 因此,当 x∈(0,x0)时[f(x)﹣g(x)](x﹣x0)>0;当当 x∈(x0,+∞)时[f(x) ﹣g(x)](x﹣x0)<0 所以当 a>0 时函数 f(x)在(0,+∞)上不存在“转折点”.排除选项 A、B、C,故选 D. (本题也可以利用二阶导函数为 0,求解: 解,其解就为“转折点”横坐标, 故 故选:D 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知幂函数 y=f(x)图象过点(9,3) ,则 f(x)dx 等于 . ,由题意 ,所以 ,故 . ,显然只有当 a<0 时有 ) (x﹣x0)+lnx0﹣a ﹣x0

【考点】定积分;幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】根据根据幂函数 f(x)=xn 可求得 n 的值,再求定积分的值. 【解答】解:设 f(x)=xn,则 则 ,



f(x)dx=

dx=

= ,

故答案为:

14.二项式

的展开式中,x4y4 与 x2y6 项的系数之和是

(用数字作答) .

【考点】二项式定理的应用. 【分析】写出二项式的通项公式,利用幂指数求解 x4y4 与 x2y6 项的系数之和. 【解答】解: 的展开式的通项为

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当 r=4 时,可得 x4y4 的系数为



当 r=6 时,可得 x2y6 的系数为 所以 x4y4 与 x2y6 的系数之和是 故答案为: .





15.如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树,分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,则这两名同学的植树总棵树为 20 棵的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 【分析】记甲组四名同学为 a,b,c,d,乙组四名同学为 E,F,G,H,写出他们植树的棵 树,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率值即可. 【解答】解:记甲组四名同学为 a,b,c,d,他们植树的棵树依次为 9,9,11,11: 乙组四名同学为 E,F,G,H,他们植树的棵树依次为 9,8,9,10, 分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是 (a,E) (a,F) (a,G) (a,H) (b,E) (b,F) (b,G) (b,H) (c,E) (c,F) (c,G) (c,H) (d,E) (d,F) (d,G) (d,H) . 设选出的两名同学的植树总棵数为 20 为事件 C,则 C 中的结果有 4 个, 它们是(c,E) (d,E) (c,G) (d,G) , 故所求概率为 P(C)= .

16. 在△ABC 中, 则 λμ 的最大值为

=2 , .

=3 , 设 P 为△ABC 内部及边界上任意一点, 若

=λ +μ ,

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】可作出图形,过点 P 作 BC 的平行线,并分别交 AB,AC 于 M,N,可设 0≤t≤1,从而可以得到 这样即可得出 ,而可设 ,从而得到 ,从而



,0≤m≤1,

,从而有 λ≥0,μ≥0,

3λ+2μ=6≤6,由基本不等式即可得到 ,从而便可得出 λμ 的最大值. 【解答】解:如图,过点 P 作 BC 的平行线交 AB、AC 于点 M、N; 设 ,则: ,0≤t≤1;
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设 ∴ ∴

,则

,0≤m≤1; ; ;

又 ; ∴λ=2tm,μ=3(1﹣t)m; ∴λ≥0,μ≥0,3λ+2μ=6m≤6; ∴由 ∴ ; 得, ;

∴λμ 的最大值为 . 故答案为: .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=1﹣an(n∈N*) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)由已知得 导出 . .当 n≥2 时,2Sn=1﹣an,2Sn﹣1=1﹣an﹣1,两式相减,能推

(Ⅱ)由

= .得

=

.由此能求

出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)当 n=1 时,由 2S1=1﹣a1 得: 当 n≥2 时,2Sn=1﹣an①;2Sn﹣1=1﹣an﹣1②, 上面两式相减,得: .
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所以数列{an}是以首项为 ,公比为 的等比数列. ∴ .…

(Ⅱ)

= .

= ∴Tn=(1﹣ =1﹣ . )+(

. … )+( )+…+( )

18.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从 兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20) ,给所有同学几何题和代数题各 一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表: (单位:人) 几何题 代数题 总计 22 8 30 男同学 8 12 20 女同学 30 20 50 总计 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5~7 分钟,乙每次解答一道几 何题所用的时间在 6~8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (3) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX. 附表及公式 P(k2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= .

【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出 观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到结论; (2)利用面积比,求出乙比甲先解答完的概率; (3)确定 X 的可能值有 0,1,2.依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可. 【解答】解: (1)由表中数据得 K2 的观测值 , 所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关;

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y 分钟, (2) 设甲、 乙解答一道几何题的时间分别为 x、 则基本事件满足的区域为 (如图所示)

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为 x>y, ∴由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为 ;

(3)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 甲、乙两人没有一个人被抽到有 被抽到有 种, , , 种;恰有一人被抽到有

种,其中 种;两人都

∴X 可能取值为 0,1,2, X 的分布列为: X P ∴ . 0 1 2

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= . (Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=t?MC,试确定 t 的值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.

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【分析】 (Ⅰ)法一:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四 边形,故 CD∥BQ.由∠ADC=90°,知 QB⊥AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,知 BQ⊥平面 PAD.由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD. 法二:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四边形,故 CD ∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由 PA=PD,知 PQ⊥AD,故 AD⊥平面 PBQ.由此 证明平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)由 PA=PD,Q 为 AD 的中点,知 PQ⊥AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,知 PQ⊥平面 ABCD.以 Q 为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能够 求出 t=3. 【解答】证明: (Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC=1,AD=2,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. … 证法二:AD∥BC,BC=1,AD=2,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD.… (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 Q(0,0,0) , 设 M(x,y,z) ,则 ∵ , , , ; , . ,

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,∴



在平面 MBQ 中, ∴平面 MBQ 法向量为 ∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°, ∴ ∴t=3.…

, .…





20.在直角坐标系 xOy,椭圆 C1:

的左、右焦点分别为 F1,F2,其

中 F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= . (1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(4,0)的直线 l 与 C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求△AOD 与△BOD 面积之比的取值范围. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【分析】 (1)求出 F2(1,0) ,设 M(x1,y1) .利用抛物线定义得到 x1,求出 M 坐标,代 2 2 入椭圆方程,结合 a ﹣b =1,解得 a,b.即可得到椭圆 C1 的方程.

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(2)设 l 的方程为 x=my+4 代入

,由△>0,解得 m2>4,设 A(x1,y1) ,B(x2,

y2) , 利用韦达定理, 通过令

, 则

且 0<λ<1, 将 y1=λy2

代入韦达定理,利用

,求出△ODA 与△ODB 面积之比的取值范围.

【解答】解: (1)依题意知 F2(1,0) ,设 M(x1,y1) . 由抛物线定义得|MF2|= 将 代入抛物线方程得 ,即 ,… .…

进而由

及 a2﹣b2=1,解得 a2=4,b2=3.

故椭圆 C1 的方程为

.…

(2)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x=my+4 代入 整理得(3m2+4)y2+24my+36=0, 由△>0,解得 m2>4.…



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则





,则

且 0<λ<1.…

将 y1=λy2 代入①②得

,消去 y2 得





.…

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由 m2>4 得

,所以 λ≠1 且 3λ2﹣10λ+3<0,

解得

或 1<λ<3.

又∵0<λ<1,∴ 故△ODA 与△ODB 面积之比的取值范围为 .…

21.已知函数 f(x)= 1) . (1)求 f(x)的解析式;

满足 f(x)的图象与直线 x+y﹣1=0 相切于点(0,

(2)对任意 n∈N,定义 f0(x)=x,fn+1(x)=f(f(xn) ) ,Fn(x)=f0(x)+f1(x)+f2 (x)+…+fn(x) .证明:对任意 x>y>0,均有 Fn(x)>Fn(y) . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】 (1)利用切点在函数图象上和在切点处的导数值等于切线的斜率得出 a=b=c,进而 求出函数的表达式; (2)根据函数的迭代关系,猜想函数的单调性,再利用数学归纳法证明函数的单调性. 【解答】解: (1)因为 y=f(x)的图象过(0,1)点, ∴f(0)=1,所以 又 ∵f'(0)=﹣1,即 ∴a=c② 由①②可得 (2)∵f(x)的定义域为(0,+∞) ,且 f0(x)=x 在(0,+∞)上为增函数 而 在(0,+∞)上为减函数, 在(0,+∞)上为减函数,… 猜想 f2k(x)在(0,+∞)上为增函数,f2k+1(x)在(0,+∞)上为减函数, 用数学归纳法证明 f2k(x)在(0,+∞)上为增函数如下: 当 n=0 时,f0(x)=x 在(0,+∞)上为增函数 假设当 n=2k 时,f2k(x)在(0,+∞)上为增函数 在(0,+∞)上为增函数 .故 c≠0 且 b=c① , ,∴

=

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由假设可知 f2k(x)在(0,+∞)上为增函数,所以 f2k+2(x)在(0,+∞)上为增函数. 所以命题对于 n=2(k+1)时也成立.故对于任意自然数 k,f2k(x)在(0,+∞)上为增函 数 同理可证 f2k+1(x)在(0,+∞)上为减函数 当 k=0 时 在(0,+∞)上为增函数.

∵f0(x)=x;f1(x)=f(x) ,又由 fn+1(x)=f(fn(x) ) 当 k=1 时 f2(x)+f3(x)=f0[f2(x)]+f1[f2(x)]由复合函数单调性可知 f2(x)+f3(x) 在(0,+∞)上也为增函数. 类似:f2k(x)+f2k+1(x)=f0[f2k(x)]+f1[f2k(x)]由复合函数单调性可知 f2k(x)+f2k+1 (x)在(0,+∞)上也为增函数. 当 n=2m+1(m∈N)时,Fn(x)=[f0(x)+f1(x)]+[f2(x)+f3(x)]+…+[f2m(x)+f2m+1 (x)] 易知此时 F2m+1(x)在(0,+∞)上为增函数 所以对任意 x>y>0,F2m+1(x)>F2m+1(y) 当 n=2m(m∈N)时,Fn(x)=[f0(x)+f1(x)]+[f2(x)+f3(x)]+…+[f2m﹣2(x)+f2m﹣
1(x)]+f2m(x)

易知此时 F2m(x)在(0,+∞)上也为增函数 所以对任意 x>y>0,F2m(x)>F2m(y) 综上所述:对任意 x>y>0,Fn(x)>Fn(y) [选修 4-1:几何证明选讲] 22. AB 是⊙O 的一条弦, 如图, 延长 AB 到点 C, 使得 AB=BC, 过点 B 作 BD⊥AC 且 DB=AB, 连接 AD 与⊙O 交于点 E,连接 CE 与⊙O 交于点 F. (Ⅰ)求证:D,F,B,C 四点共圆; (Ⅱ)若 AB= ,DF= ,求 BE2.

【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (Ⅰ)先由割线定理得 CA?CB=CF?CE,再由图中的等量关系,得 CA?CB=2CB2=DC2=CF?CE, 再通证明△CDE 和△CFD 相似, 从而得出∠CFD=∠CDE=90°, 即 DF⊥CE,再由 BD⊥AC,即可得证; (Ⅱ)在等腰 Rt△CDB 中,CD=2 ,在 Rt△DFC 中,∠DCF=30°,在 Rt△CDE 中,求 出 CE=4,最后在△BCE 中,利用余弦定理求出 BE2 的值. 【解答】 (1)证明:如图所示, ∵CA 与⊙O 交于点 B,CE 与⊙O 交于点 F, ∴由割线定理,得 CA?CB=CF?CE, ∵AB=BC=DB,DB⊥AC,
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∴DA=DC= CB,∠CDB=∠ADB=45°, ∴△CDA 是等腰直角三角形,即∠CDA=90°, ∴CA?CB=2CB2=DC2=CF?CE,即 = ,

又∵∠DCE=∠DCF,∴△CDE∽△CFD, ∴∠CFD=∠CDE=90°,即 DF⊥CE. 又 DB⊥AC, 可得 D,F,B,C 四点共圆; (2)解:在等腰 Rt△CDB 中,AB=BC=DB= ∴CD=2 . 在 Rt△DFC 中,DF=



,∴sin∠DCF= ,∴∠DCF=30°,

∴在 Rt△CDE 中,CE=4, ∵∠ECB=∠DCB﹣∠DCE=15° ∴cos∠ECB=cos15°=cos(45°﹣30°)= , .

∴在△BCE 中,BE2=BC2+CE2﹣2BC?CE?cos∠BCE=10﹣4

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,以坐标原点为

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0. (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)直接根据直线的参数方程中,消去参数,即可得到其普通方程;再利用极坐 标方程和直角坐标方程互化公式求解即可; (Ⅱ)首先设点 P(2+cosθ,sinθ) (θ∈R) ,然后,构造距离关系式,然后,求解其范围即 可. 【解答】解: (I)根据直线 l 的参数方程为 消去 t, 得 , 故直线 l 的普通方程为: , (t 为参数) ,


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依据曲线 C 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρcosθ+3=0. 结合互化公式 ,得到:

曲线的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ ( II)设点 P(2+cosθ,sinθ) (θ∈R) , 则

所以 d 的取值范围是 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣3|. (Ⅰ)若不等式 f(x﹣1)+f(x)<a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<3,且 a≠0,判断 与 的大小,并说明理由.

【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)根据绝对值的几何意义求出 f(x﹣1)+f(x)的最小值,从而求出 a 的范围; (Ⅱ)根据分析法证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x﹣1)+f(x)=|x﹣4|+|x﹣3|≥|x﹣4+3﹣x|=1, 不等式 f(x﹣1)+f(x)<a 的解集为空集, 则 1≥a 即可,所以实数 a 的取值范围是(﹣∞,1].… (Ⅱ) 证明:要证 , ,

只需证|ab﹣3|>|b﹣3a|, 即证(ab﹣3)2>(b﹣3a)2, 又(ab﹣3)2﹣(b﹣3a)2=a2b2﹣9a2﹣b2+9=(a2﹣1) (b2﹣9) . 因为|a|<1,|b|<3, 所以(ab﹣3)2﹣(b﹣3a)2>0, 所以原不等式成立.…

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2016 年 9 月 12 日

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