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必修4平面向量数量积考点归纳


“平面向量”误区警示
“平面向量”概念繁多容易混淆,对于初学者更是一头雾水.现将与平面向量基本概念相关的误区整理如下.

⑴向量就是有向线段
解析:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. 有向线段是向量的一种表示方法,不能说向量就是有向线段. ????? ???? ?

??? ??? 解析:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.因此,若 AB = CD ,则有向线段 AB 与 CD 长度相等且方向 相同,但它们可以不重合. ????? ???? ? ??? ??? ? 解析:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 故由 AB 与 CD 平行, 只能得到线段 AB 与 CD 方向相同或相反, 它们可能平行也可能共线. ????? ???? ?

⑵若向量 AB 与 CD 相等,则有向线段 AB 与 CD 重合 ⑶若向量 AB ∥ CD ,则线段 AB∥CD

⑷若向量 AB 与 CD 共线,则线段 AB 与 CD 共线

解析:平行向量也叫做共线向量,共线向量就是方向相同或相反的非零向量. ??? ??? ? 故由 AB 与 CD 共线,只能得到线段 AB 与 CD 方向相同或相反,它们可能平行也可能共线. ?? ?? ? ? ? ? ? ? ⑸若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ?? ? ? ? ? ? 解析:由于零向量与任一向量平行,故当 b = 0 时,向量 a 、 c 不一定平行. ? ? ?? ? ? ? ? 当且仅当 a 、 b 、 c 都为非零向量时,才有 a ∥ c . ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ? ? ?? 解析:由| a |=| b |,只能确定向量 a 与 b 的长度相等,不能确定其方向有何关系. ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 当 a 与 b 不共线时, a = b 或 a =- b 都不能成立.

⑹若| a |=| b |,则 a = b 或 a =- b

⑺单位向量都相等
解析:长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量,由于单位向量的方向不一定相同,故单位向量也不一定相等. ? ? ? ? ⑻若| a |=0,则 a =0 解析:向量和实数是两个截然不同的概念,向量组成的集合与实数集合的交集是空集. ? ? ? ? ? ? ? ? 故若| a |=0,则 a = 0 ,不能够说 a =0.

平面向量数量积四大考点解析
考点一. 考查概念型问题 例 1.已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数( ⑴ a ? b ? a ? b ? a // b ; ⑵ a, b 反向 ? a ? b ? ? a ? b ⑶a ? b ? a ?b ? a ?b ; A.1 B.2 C.3 ⑷ a = b ? a ?b ? b?c D.4 )

评注:两向量同向时,夹角为 0(或 0°);而反向时,夹角为π (或 180°);两向量垂直时,夹角为 90°, 因此当两向量共线时,夹角为 0 或π ,反过来若两向量的夹角为 0 或π ,则两向量共线. 考点二、考查求模问题 例 2.已知向量 a ? ?? 2,2?, b ? ?5, k ? ,若 a ? b 不超过 5,则 k 的取值范围是__________。

评注:本题是已知模的逆向题,运用定义即可求参数的取值范围。

例 3.(1)已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 a ? 3b =( ) A.

7

B.

10

C. 13

D. 4

(2)已知向量 a ? ?cos? , sin ? ? ,向量 b ?

? 3,?1?,则 2a ? b 的最大值是___________。

评注:模的问题采用平方法能使过程简化。 考点三、考查求角问题 例 4.已知向量 a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b ,向量 a -4 b 垂直于向量 7 a -2 b ,求向量 a 与 b 的夹角.

练习一:数量积(内积)的意义及运算 1. 已知向量 | a |? 4 , 当它们之间的夹角为 e 为单位向量,

?

?

? ? ? ? ? 时, ( a 在 e 方向上的投影与 e 在 a 方向上的投影分别为 3



A. 2 3 , 

3 2
?

B. 2  ,  C.

1 2

3 1  , 2 3  D.  ,  2 2 2


练习目的:区别 a 在 e 方向上的投影与 e 在 a 方向上的投影,达到正确理解投影的概念. 2.在边长为 2 的等边 ?ABC 中, AB ? BC 的值是( A.2 B.-2 C. 4 D.-4

?

?

?

??? ? ??? ?

) . B C 图1

练习目的:结合图形1,根据投影的意义,理解 AB ? BC 的几何意义. 3.已知 | a | ? 3,| b |? 2, a与b 的夹角为 60 , c=3a ? 5b, d ? ma ? 3b .
?

??? ? ??? ?
?

?? ?

?

? ?

?

?? ?

?

?

(1) 求 | a ? b | 的值; (2) 当 m 为何值时, c与d 垂直?

? ?

? ?

练习目的:结合以前所学向量垂直的等价关系,类比数量积的运算与实数多项式的运算关系,达到巩固数量积的运算 目的.

练习二:数量积的坐标运算、模及夹角 ? ? 4.直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中, 若 AB ? 2 i ? j , A.1

??? ?

? ?

??? ? ? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
B.2 C.3 D.4



练习目的:结合向量垂直的等价关系,练习数量积的坐标运算,体会分类讨论的数学思想方法. 5. 已知向量 | a |? 2 , | b |? 2 3 , a ? b ? (2 3, 2) 求(1) | a ? b | ; (2) a ? b 与 a ? b 的夹角

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

练习目的:巩固平面向量的模以及夹角公式,类比向量的运算与实数多项式的运算的关系. 6.设向量 a, b 满足 | a |? 2,| b |? 1 , a, b 的夹角为 60 ,若向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 夹角为钝角,
?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

求实数 t 的取值范围。

练习目的:综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题,在解题时要特别注意特殊情况, 才能不遗漏地正确解题. 练习三.平面向量的综合应用 7. (1)已知 ?ABC 中, AB ? a, BC ? b ,B是 ?ABC 中的最大角,若 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 的形状为__________.

??? ?

? ??? ?

?

? ?

练习目的:体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.

平面向量巩固检测 ? ? 1 已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;
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(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数)

?

?

?

?

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2.已知 a 、 b 是两个不共线的向量,且 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ) (Ⅰ)求证: a + b 与 a - b 垂直; (Ⅱ)若 ? ∈( ?

? ?
4 4 ,

) ,? =

? ,且| a + b | = 4

16 ,求 sin ? . 5

3.设 a ?

?

e1 ? 2 e2 , b ? ?3 e1? 2 e2 ,其中 e1 ? e2 且 e1? e1 ? e2 ? e2 ? 1.
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(1)计算| a ? b | 的值;

(2)当k为何值时 k a ? b 与 a ? 3 b 互相垂直?

?

?

?

?

3 3 x x π 4. 已知向量→ a =(cos x,sin x),→ b =(cos ,-sin ),其中 x∈[0, ] 2 2 2 2 2 3 (1)求→ a ·→ b 及| → a +→ b |;(2)若 f(x)=→ a ·→ b -2λ |→ a +→ b |的最小值为- ,求 λ 的值 2

平面向量数量积四大考点解析
考点一. 考查概念型问题 例 1.已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数( ⑴ a ? b ? a ? b ? a // b ; ⑵ a, b 反向 ? a ? b ? ? a ? b ⑶a ? b ? a ?b ? a ?b ; ⑷ a = b ? a ?b ? b?c )

A.1 B.2 C.3 D.4 分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一仍是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形 法则. 解:(1)∵ a · b =| a |·| b |cosθ ∴由| a · b |=| a |·| b |及 a 、 b 为非零向量可得|cosθ |=1 ∴θ =0 或π ,∴ a ∥ b 且以上各步均可逆,故命题(1)是真命题. (2)若 a , b 反向,则 a 、 b 的夹有为π ,∴ a · b =| a |·| b |cosπ =-| a |·| b |且以上各步可逆,故命 题(2)是真命题. (3)当 a ⊥ b 时,将向量 a , b 的起点确定在同一点,则以向量 a , b 为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为 矩形,于是它的两对角线长相等,即有| a + b |=| a - b |.反过来,若| a + b |=| a - b |,则以 a , b 为邻边的 四边形为矩形,所以有 a ⊥ b ,因此命题(3)是真命题. (4)当| a |=| b |但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时, 就有| a ·c |≠| b ·c |, 反过来由| a · |c | =| b · c |也推不出| a |=| b |.故(4)是假命题. 综上所述,在四个命题中,前 3 个是真命题,而第 4 个是假命题,应选择(C). 评注:两向量同向时,夹角为 0(或 0°);而反向时,夹角为π (或 180°);两向量垂直时,夹角为 90°,因此当 两向量共线时,夹角为 0 或π ,反过来若两向量的夹角为 0 或π ,则两向量共线. 考点二、考查求模问题 例 2.已知向量 a ? ?? 2,2?, b ? ?5, k ? ,若 a ? b 不超过 5,则 k 的取值范围是__________。 分析:若 a ? ?x, y ? 则 a
2

? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 ,对于求模有时还运用平方法。
2

解:由 a ? b ? ?3,2 ? k ?,又 a ? b ? 5 ,由模的定义,得: 9 ? ?2 ? k ? ? 25 解得: ? 6 ? k ? 2 ,故填 ?? 6,2? 。 评注:本题是已知模的逆向题,运用定义即可求参数的取值范围。 例 3.(1)已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 a ? 3b =( ) A.

7

B.

10
2 2

C. 13

D. 4

(2)已知向量 a ? ?cos? , sin ? ? ,向量 b ? 解:(1) a ? 3b

? 3,?1?,则 2a ? b 的最大值是___________。
2

? a ? 6 a b cos60? ? 9 b ? 1 ? 3 ? 9 ? 13

所以 a ? 3b ? 13 ,故选 C。

?? ? ?? ? ?3 ? 2 2 2 ?? ? 又 2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 8 ? 8 sin? ? ? ? ? 16 ?3 ?
(2)由题意,知 a ? 1, b ? 2 , a ? b ? 2 sin ? 则 2a ? b 的最大值为 4。 评注:模的问题采用平方法能使过程简化。 考点三、考查求角问题 例 4.已知向量 a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b ,向量 a -4 b 垂直于向量 7 a -2 b ,求向量 a 与 b 的夹角. 分析:要求 a 与 b 的夹角,首先要求出 a 与 b 的夹角的余弦值,即要求出| a |及| b |、 a · b ,而本题中很难求 出| a |、| b |及 a ·b ,但由公式 cosθ =

a?b ab

可知,若能把 a ·b ,| a |及| b |中的两个用另一个表示出来,

即可求出余弦值,从而可求得 a 与 b 的夹角θ . 解:设 a 与 b 的夹角为θ . ∵ a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b , a -4 b 垂直于 7 a -2 b ,

? ? a ? 3b ? 7a ? 5b ? 0 ?? ? ? a ? 4b ? 7a ? 2b ? 0
解之得 b =2 a · b
2

? ?

?? ??

? ?

?7 a 2 ? 16a ? b ? 15b 2 ? 0 ? 即 ? 2 2 ? ?7 a ? 30a ? b ? 8b ? 0
∴a =b
2 2

a 2=2 a · b

∴| a |=| b |

1 2 b 1 a?b 2 ∴cosθ = = = ab a?b 2

∴θ =

? 3

因此 a 与 b 的夹角为

? . 3

练习一:数量积(内积)的意义及运算 1.已知向量 | a |? 4 , e 为单位向量,当它们之间的夹角为 为( )A. 2 3 , 

?

?

? ? ? ? ? 时, a 在 e 方向上的投影与 e 在 a 方向上的投影分别 3

3 2

B. 2  ,  C.

1 2

3 1  , 2 3  D.  ,  2 2 2

1.答案 B

1 ?2 3 2 ? ? ? ? 1 1 e 在 a 方向上的投影 | e | cos ? 1? ? 3 2 2 ? ? ? ? 练习目的:区别 a 在 e 方向上的投影与 e 在 a 方向上的投影,达到正确理解投影的概念.
解答: a 在 e 方向上的投影 | a | cos

?

?

?

?

? 4?

2.在边长为 2 的等边 ?ABC 中, AB ? BC 的值是( A.2 B.-2 C. 4 2.答案B 解答:由平面向量数量积公式得: D.-4

??? ? ??? ?

) .



? ? ? ? ? ???? ?? ? ??? ? 1 AB ? B= C| AB | ? | BC | COS120? = 2 ? 2 ? (? ) ? ?2 2 ??? ? ??? ? 因此 AB ? BC 的值为-2.

B C 图1

练习目的:结合图形1,根据投影的意义,理解 AB ? BC 的几何意义. 3.已知 | a | ? 3,| b |? 2, a与b 的夹角为 60 , c=3a ? 5b, d ? ma ? 3b .
?

??? ? ??? ?
?

?? ?

?

? ?

?

?? ?

?

?

(1) 求 | a ? b | 的值 (2) 当 m 为何值时, c与d 垂直? 3.解答 (1)a ? b ?| a | | ?b | cos 60 ? 3 ? 2 ?
?

? ?

? ?

? ?

?? ? ?

1 ? 3. 2

? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ?| a |2 ? | b |2 ?2a ? b ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 19
所以 | a ? b | = 19 (2) 由 c与d 垂直,得 c ? d ? 0 ,即

? ?

? ?

? ?

? ? ? ? (3a ? 5b) ? (ma ? 3b) ? 0
? ? ? ? ? ? 3m | a |2 ?15| b |2 ?9a ? b ? 5ma ? b ? 0 ①
又因为 | a | ? 3,| b |? 2, a与b 的夹角为 60 所以 a ? b ? | a | | ?b | cos 60 ? 3 ?2 ?
?

?? ?

?

? ?

?

? ?

?? ? ?

1 ?3 2

29 14 ? ? 29 因此当 m ? 时, c与d 垂直. 14
代入①得 m ? 练习目的:结合以前所学向量垂直的等价关系,类比数量积的运算与实数多项式的运算关系,达到巩固数量 积的运算目的. 练习二:数量积的坐标运算、模及夹角 ? ? 4 . 直 角 坐 标 系 xOy 中 , i ,j 分 别 是 与 x,y 轴 正 方 向 同 向 的 单 位 向 量 . 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 若

???? ? ? AB ? 2 i ? j ,
A.1 4.答案 B

???? ? ? AC? 3 i? k,则 j k 的可能值个数是(
B.2 C.3



D.4

提示:由题设 BC ? i ? (k ?1) j , 转化为坐标表示: AB ? (2,1),

??? ? ?
??? ?

?

??? ? ??? ? AC ? (3, k ) , BC ? (1, k ?1)

?ABC 是直角三角形可以分为三种情况: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? AC, AB?AC ? 2 ? 3 ?1? k ? 0 得 k ? ?6
(2) AB ? BC, AB? BC ? 2 ?1 ?1? (k ?1) ? 0 得 k ? ?1 (3) AC ? BC, AC? BC ? 3?1 ? k (k ?1) ? 0 即 k ? k ? 3 ? 0 ,无解
2

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

故 k 的可能有两个值-1,-6, 练习目的:结合向量垂直的等价关系,练习数量积的坐标运算,体会分类讨论的数学思想方法. 5. 已知向量 | a |? 2 , | b |? 2 3 , a ? b ? (2 3, 2)

?

?

? ?

求(1) | a ? b | ; (2) a ? b 与 a ? b 的夹角 5.解答:由题设 | a | ? 2,| b |? 2 3, (1)由 a ? b ? (2 3,2) 得 | a ? b |2 ? 16 即 | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? a ? b ? 2a? b ? 16 解得: a? b?0 所以 | a ? b |2 ? (a ? b)2 ? a ? b ? 2a? b

? ?

? ?

? ?

?? ?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? 2 ?2

??

??

? ?

? ?

? 2 ?2

??

?? ? 22 ? (2 3)2 ? 2a? b ? 16
因此 | a ? b | =4 (2)设夹角为 ? ,又 (a ? b)? (a ? b) ? a ? b ? 22 ? (2 3)2 ? ?8

? ?

? ?

? ?

? 2 ?2

? ? ? ? (a ? b) ( ? a ?b ) -8 1 ? ? = 所以 cos ? ? ? ? ?? 2 | a+b | ? | a ? b | 4 ? 4
练习目的:巩固平面向量的模以及夹角公式,类比向量的运算与实数多项式的运算的关系. 6.设向量 a, b 满足 | a |? 2,| b |? 1 , a, b 的夹角为 60 ,若向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 夹角为钝角,求实数 t 的取
?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

值范围。 6.解答:由题设 a ? b ?| a | | ?b | cos 60 ? 2 ?1?
?

? ?

?? ? ?

1 ?1 2

因为向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 夹角为钝角,

?

?

?

?

? ? ? ? (2ta ? 7b)? (a ? tb) ? ? ? ? ?0 所以 | 2ta ? 7b | ? | a ? tb |

? ? ? ? (2ta ? 7b)? (a ? tb) ? 0
??

由 2t | a |2 ?7t | b |2 ?(2t 2 ? 7)a? b ? 2t 2 ?15t ? 7 ? 0 解得 ?7 ? t ? ?

?

?

1 2
2

另一方面,当夹角为 ? 时,也有 2t ? 15t ? 7 ? 0 ,所以由向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 同方向得:

?

?

?

?

? ? ? ? 2ta ? 7b = ? ( a ? tb ) ( ? ? 0 )
因此 2t ? ?,7 ? ?t 解得: t ? ?

14 , ? = ? 14 2 14 2

由于 ? ? 0 ,所以 t ? 0 ,得 t ? ?

14 时,两向量的夹角为0不合题意. 2 ? ? ? ? 所以,若向量 2ta ? 7b 与向量 a ? tb 的夹角为锐角,实数 t 的取值范围是: 14 14 1 (?7, ? ) ? (? ,? ) 2 2 2
因此,当 t ? ? 练习目的:综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题,在解题时要特别注意特殊情况,才能 不遗漏地正确解题. 练习三.平面向量的综合应用 7. (1)已知 ?ABC 中, AB ? a, BC ? b ,B是 ?ABC 中的最大角,若 a ? b ? 0 ,则

??? ?

? ??? ?

?

? ?

?ABC 的形状为__________.
7.答案:锐角三角形

? ? a?b ? ?0 提示:由 cos ? ? ? |a|?|b|
可得 cos ? ? 0 ,即 AB与BC 的夹角为钝角,所以, ?ABC 为锐角, 因此 ?ABC 为锐角三角形. 练习目的:体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状.

??? ? ??? ?

平面向量巩固检测 ? ? 1 已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; ? ? ? ? ?2 ?2 证明:?(a ? b )? (a ? b ) ? a ? b ? (cos2 ? ? sin2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 0 ? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
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(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数) 解析: k a ? b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ;
?
?

?

?

?

?

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?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? ) ? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
?

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos(? ? ? ) ? 0 , ? ? ? ?

?
2

2.已知 a 、 b 是两个不共线的向量,且 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ) (Ⅰ)求证: a + b 与 a - b 垂直; (Ⅱ)若 ? ∈( ?

? ?
4 4 ,

) ,? =

? ,且| a + b | = 4

16 ,求 sin ? . 5

解: (1)∵ a =(4cos ? ,3sin ? ) , b =(3cos ? ,4sin ? ) ∴| a | = | b | =1 又∵( a + b )·( a - b )= a - b =| a | -| b | = 0 ∴( a + b )⊥( a - b ) (2)| a + b | =( a + b ) = | a | +| b | +2 a · b = 2 + 2· a · b = 又 a · b =(cos ? cos ? ? sin? sin ? )=
2 2 2 2 2 2 2 2

16 5

3 5

∴ cos(? ? ? ) ?

3 5

∵ ? ? (?

? ?

, ) 4 4

∴?

? < ? ? ? <0 2

∴sin( ? ? ? )= ?

4 ∴sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] 5 = sin( ? ? ? )·cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ?
4 2 3 2 2 ? ? ?? =? ? 5 2 5 2 10

3.设 a ?

?

e1 ? 2 e2 , b ? ?3 e1? 2 e2 ,其中 e1 ? e2 且 e1? e1 ? e2 ? e2 ? 1.
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(1)计算| a ? b | 的值;

(2)当k为何值时 k a ? b 与 a ? 3 b 互相垂直?
解:
2 ( 1 ) ? | a ? b |2 ? ( ? 2 e1 ? 4 e 2 ) ? 4 e1 2 ? 16 e1? e2 ? 16 e 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

又 e 1 ? e 2 , e 1? e 2 ? e 2 ? e 2 ? 1 . ? e 1? e 2 ? 0 . ? | a ? b | 2 ? 20
? ? ? ? ? ? ?

| e1 | ? | e2 | ? 1 . ? | a ? b | ? 20 ? 2 5 .
? ? 2 ? ? ? ? ?

(2)?(k a ? b ) ( ? a ?3 b) ?ka 又 a
? 2 2 ? ( e1 ? 2 e 2 ) ?5 ? ? ? ?

? ( 1 ? 3k) a? b?3 b

2

?

2 b 2? ( ? 3 e1 ? 2 e 2 ) ? 13

? ?

a? b ? ( e1 ? 2 e 2 ) ( ? ? 3 e1 ? 2 e 2 ) ? ?3 ? 4 ? 1
? ? ? ?

?

?

?

?

? 由(k a ? b ) ( ? a ?3 b) ?0 即 5k ? ( 1 ? 3k) ? 3 ? 13 ? 0 得 k ? 19 .
3 3 x x π 4. 已知向量→ a =(cos x,sin x),→ b =(cos ,-sin ),其中 x∈[0, ] 2 2 2 2 2 3 (1)求→ a ·→ b 及| → a +→ b |;(2)若 f(x)=→ a ·→ b -2λ |→ a +→ b |的最小值为- ,求 λ 的值 2 3 x 3 x 解:(1)→ a ·→ b =cos xcos -sin xsin =cos2x,|→ a +→ b |= 2+2cos2x=2cosx 2 2 2 2 2 2 2 (2)f(x)=→ a ·→ b -2λ |→ a +→ b |=cos2x-4λ cosx=2cos x-1-4λ cosx=2(cosx-λ ) -2λ -1 π 注意到 x∈[0, ],故 cosx∈[0,1],若 λ <0,当 cosx=0 时 f(x)取最小值-1。不合条件,舍去. 若 0≤λ ≤1, 2 3 1 2 2 当 cosx=λ 时,f(x)取最小值-2λ -1,令-2λ -1=- 且 0≤λ ≤1,解得 λ = , 若 λ >1,当 cosx=1 时, 2 2 3 1 f(x)取最小值 1-4λ , 令 1-4λ =- 且 λ >1,无解综上:λ = 为所求. 2 2


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