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2012年全国高中数学联赛模拟卷(5)(一试+二试,附详细解答)


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________
1. 正八边形 A1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 边长为

1,任取两点 A i A j ,则 A i A j ? A1 A 2 最大值为__________
2007 2007 k 2007

2. 若 f ( x ) ?

? ( ? 1) C
k k ?0

k

(3 ? x ) 2007
2 2

?

?a
i?0

i

x

2007 ? i

,则 ? a k =_________
k ?1

3. 若关于 x 的方程 x ? ( a ? b ? 6 b ) x ? a ? b ? 2 a ? 4 b ? 1 ? 0 的两个实数根 x 1 , x 2 满足
2 2 2

x 1 ? 0 ? x 2 ? 1, 则 a
2 2

2

? b ? 4 a ? 4 的最小值为______________, 最大值分别为____________
2

x y 4. 设 P 双曲线 2- 2=1 右支上一动点,过 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为点 A , B ,若点 A , B 始 a b 终在第一、第四象限内,则双曲线离心率 e 的取值范围是___________. 5. 对于实数 x ,? x ? 表示不超过 x 的最大整数。 对于某个整数 k , 恰存在 2008 个正整数 n 1 , n 2 , ? , n 2008 , 满足 k ?

?

3

n1 ?

? ?

3

n2 ? ? ?

?

?

3

n 2008 ,并且 k 整除 n i ( i ? 1, 2 , ? 2008 ) ,则 k =___________.

?

6. A、 两队进行乒乓球团体对抗赛, B 每队各三名队员, 每名队员出场一次。 队的三名队员是 A1 , A 2 , A 3 , A i B 队三名队员是 B1, B2, B3,, A i 对 B j 的胜率为 (1≤i, j≤3), 队得分期望的最大可能值是________. 且 A i+j 7. △ABC 的三边长分别为 13, 14, 15, 有 4 个半径同为 r 的圆 O, O1, O2, O3 放在△ABC 内,并且⊙O1 与 边 AB、AC 相切,⊙O2 与边 BA、BC 相切,⊙O3 与边 CB、CA 相切,⊙O 与⊙O1, O2, O3 相切, 则 r =_________. 8. 设 a , b 都是正整数,且 a ? b 2 ? 1 ?

?

2

?

100

,则 a b 的个位数字是__________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.已知:实数 a i ( i ? 1, 2 , ? , n ) 满足 a ? ( i ? 1, 2, ? , n ) ,证明:
i

1 i

( a ? 1)( a ?
1 2

1 2

)? (a ?
n

1 n

)?

2

n

( n ? 1) !

(1 ? a ? 2 a ? ? ? n a )
1 2 n

10. 已知数列 { a n } 由 a ?
1

2 3

,a

n ?1

? a ?a
2 n

2 n ?1

? ? a , ( n ? N ) 确定, 若对于任意 n ? N ,
2 *

*

1

1 a ?1
1

?

1 a ?1
2

??

1 a ?1
n

? M 恒成立。求 M 得最小值。

x2 y2 11. 在双曲线 C:4 - 5 =1 中, F1 , F2 分别为双曲线 C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内 的点, ? P F1 F2 的重心为 G,内心为 I. (1) 是否存在一点 P, 使得 IG|| F1 F 2 ; (2) 已知 A 为双曲线 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的斜 1 率 k 1 , k 2 满足 k 1 ? k 2 ? - ,求直线 l 的方程. 2

2012 模拟卷(5)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(5)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)如图⊙O 切△ABC 的边 AB 于 D,切边 AC 于 C,M 是 BC 上一点,
AM 交 DC 于点 N,求证:M 是 BC 中点的充要条件是 O N ? B C D N B M O C A

二、 (本题满分 40 分) 有一个 m ? n ? p 的长方体盒子, 另有一个 ( m ? 2) ? ( n ? 2) ? ( p ? 2) 的长方体
盒子, 其中 m , n , p 均为正整数( m ? n ? p ), 并且前者的体积是后者一半, 求 p 的最大值.

三、 (本题满分 50 分)求方程 x2+x=y4+y3+y2+y 的整数解.

四、 (本题满分 50 分)设 n∈N*,把集合{1, 2, …, n}分拆为两个非空集合 A 与 B(即有 A∩B=Φ ,
A∪B={1, 2, …, n}) ,使得对 A 中任意两个不同的元素 a、b,有 a ? b ? A ;对 B 中任意两个不同 的元素 c、d,有 cd ? B .求 n 的最大可能值,使得存在满足题意的分拆.

2012 模拟卷(5)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解:根据向量内积的几何意义,只要看向量在 A1 A 2 方向上的投影即可。最大值为 2+1 2、令 x ? 1 得 ? a k = ? ( ? 1)
k ?0 k ?0 2007 2007 k

C
k

2 =? 2007
k k

2007

k ?0

C

k 2007

(? 2)

k

? (1 ? 2 )

2007

? ?1 ,

又 a 0 为 ? ( ? 1)
k ?0

2007

k

C
2 2

( 3 ? x ) 展开式中最高次项的系数 ? 1 ,则 ? a k ? ? 2 2007
k k ?1

2007

3、解:设 f ( x ) ? x ? ( a ? b ? 6 b ) x ? a ? b ? 2 a ? 4 b ? 1 ? 0 ,则 f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? 0 ,整理得
2 2 2 2

( a ? 1) ? ( b ? 2 ) ? 4 ,且 a ? b ? 1 ? 0 ,在以 a , b 分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等
2

式所表示的规划区域。则 a ? b ? 4 a ? 4 ? ( a ? 2 ) ? b ,点 ( ? 2 , 0 ) 到规划区域最小值即为到直线 1 1 2 2 a ? b ? 1 ? 0 的距离 ,则 a ? b ? 4 a ? 4 的最小值为距离的平方 ;点 ( ? 2 , 0 ) 到规划区域最大值 2 2
2 2 2 2
2 2 为 ( ? 2 , 0 ) 的圆心 ( ? 1, 2 ) 的距离与半径 2 的和 5 ? 2 ,则 a ? b ? 4 a ? 4 的最大值为 ( 5 ? 2 ) 2 = 9 ? 4 5

4、解:由对称性,我们只讨论 A 在第一象限情形.设 P ( x 0 , y 0 ) , A ( x A , y A ) ,则直线 PA 的方程为
y ? y0 ? ? a b ( x ? x 0 ) ,与 y ? b a x 联立,得: ( b a ? a b )xA ? a b x0 ? y0 ? 0 ? b a x0 ? ? y0 .
2 0

若 P 在第一象限显然满足,若 P 在第四象限或坐标轴上,则 y 0 ? 0 ? 所以 (
a b
3
2 2

b a

2 2

x

2 0

? y

? b (
2

x0 a

2 2

? 1) ,

?

b a

2 2

) x 0 ? ? b ,只须
2 2

a b
3

2 2

?

b a

2 2

? 0 ,? a ? b ,1 ? e ?
3

2

5、解:若 3 n ? 1 ? k ?
k ,k
3

3 2

n ,则 k

? n , ( k ? 1) ? n ,满足 k 整除 n ,则 n 可取

? k ,? k

3

? 3k

? 3 k ,共 3 k ? 4 个,所以 3 k ? 4 ? 2008 , k ? 668

6、解:讨论可知, A1 : B 3 ; A 2 : B 1 ; A 3 : B 2 ,最大期望 E ? ?

91 60
12 13 33 65 , sin B ? 56 65

7、解:不妨设 a ? 13 , b ? 14 , c ? 15 。可知 ? ABC 与 ? O 1 O 2 O 3 相似,且 O 为 ? O 1 O 2 O 3 的外心, 外接圆半径为 2 r ,则 cos ? O 1 O 3 O 2 ? cos C ?
O 1 O 2 ? 4 r sin ? O 1 O 3 O 2 ? 48 r 13
1 ? cos A sin A ?r

5 13

, sin ? O 1 O 3 O 2 ?
3 , sin A ?
? 15 ? 15 4

,由正弦定理 ,
260 129

,同理可得 cos A ?

4 5

, co s B ?
48 r 13

又 O 1 O 2 ? 15 ? r cot

A 2

? r cot

B 2

= 15 ? r

5 1 ? cos B

r ,所以

? 15 ?

15 r 4

,r ?

8、由二项式定理: a ? b 2 ? 1 ?
b ? ? ? 1? ? 2 2 ? 1 1

?

2

?

100

sin B 1 ? 1? ,a ? ? 2?

?

2

?

100

? 1?

?

2

?

100

? , ? ?

?

2

? ?

100

? 1?

?

2

?

100

1 ? ? 1? ,故 a b ? ? ? ? 4 2 ?

?

2

?

200

? 1?
n

?

2

?

200

? ? ?
n

? 3? 2 2 ? 4 2 ?

?

100

? 3?2 2
n

?

?

100

1 ? ? 3? 2 2 ,设 x n ? ? ? ? 4 2 ?
n ?1

?

? ? ?3 ? 2 2 ?
n?2

? , ? ?

则 x1 ? 1, x 2 ? 6 ,由恒等式 x ? y ? ? x ? y ? ? x
n

? y

n ?1

? ? xy ? x

? y

n?2

? 得:

x n ? 6 x n ? 1 ? x n ? 2 ? n ? 3 ? , ? x n ? 的个位数字依次为 1,6,5,4,9,0,1,6,5,4,9,

0,…,所以 x n ? 6 ≡ x n ? m od 10 ? , x1 0 0 ≡ x 6 ?1 6 ? 4 ≡ x 4 ? 4 ? m od 10 ?

2012 模拟卷(5)

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9、证明:原不等式等价于 ( n ? 1)( a 1 ? 1)( 2 a 2 ? 1) ? ( na n ? 1) ? 2 (1 ? a 1 ? 2 a 2 ? ? na n ) ,
n

设 x i ? ia i ? 1, ( i ? 1, 2 , ? n ) ,则 x i ? 2 , ( i ? 1, 2 , ? n ) ,原不等式即为
( n ? 1) x 1 x 2 ? x n ? 2 ( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? n ? 1) ,等价于
n

n ?1 2
n

?

x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? ( n ? 1) x1 x 2 ? x n

(*)

1?

x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? ( n ? 1) x1 x2 x3 ? xn

若令 x 2 , x 3 , ? , x n 不变,则(*)式右边为

,由 x i ? 2 , ( i ? 1, 2 , ? n ) 知 x 1 ? 2 时
n ?1 2
n

(*)式右边取最大值。同理知 x i ? 2 , ( i ? 1, 2 , ? n ) 时,(*)式右边取最大值为 10、解:由题可知 n ? 2 时, a n ? 1 ? a n ? a n ,又 a 2 ? a 12 ? 则 b n ? 1 ? b n ? b n ( n ? N ) ,∴
* 2

,即原不等式成立

2

1 2 1 1 ? ( ) ? ,不妨设 b1 ? , b n ? a n ( n ? 2 ) , 9 3 3 3

4

1 bn ? 1
1 b1 ?

?
1 b2
1

bn b n ?1
)?(

?
1 b2 ?

bn
1 b3
1

2

?

b n ?1 ? b n b n ?1 b n
1 bn ?
?

?
1

1 bn

?

1 b n ?1
1 b n ?1 ? 3bn ?1 ? 1 b n ?1

b n ?1 b n

∴ 则

1 b1 ? 1
1 a1 ? 1

?
?

1 b2 ? 1
1 a2 ? 1

?? ?
??

1 bn ? 1
1

?(
1

)?? ? (
? 1

) ? 3?

b n ?1
1 1 ? b1

an ? 1

=

b1 ? 1
2

?

b2 ? 1

?? ?

bn ? 1

1 ? a1



3b n ?1 ? 1 b n ?1

?

3 20

?

57 20

?

1 b n ?1
57 20

2 易知 b n ? 1 为正数,且 b n ? 1 ? b n ? b n ? b1 ?

1 9

, n 趋于无穷大时, b n ? 1 趋于无穷大,则 M 的最小值为
x0 3 , y0 3 ).

11、解:(1)假设存在点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 0 ) ,而 G 为 ? P F1 F2 的重心, 故 G ( 而 I 为 ? P F1 F2 的内心, 设 ? P F1 F2 的内切圆半径为 r , 则
S ?PF F ?
1 2

1 2

| F1 F 2 | ? | y 0 |?

1 2

(| P F1 | ? | P F 2 | ? | F1 F 2 |) ? r , 于是

1 2

? 2 c ? | y 0 |?
? y0 3

1 2

(| P F1 | ? | P F 2 | ? 2 c ) ? r .

r ?

2 cy 0 | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 c

.

由 IG∥ F1 F 2 知,

2 cy 0 | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 c

, 即 | P F1 | ? | P F2 | ? 4 c .

又a ? 2 ,e ?

c a

. 由焦半径公式知, | P F1 |? ex 0 ? a , | P F 2 |? ex 0 ? a , 则 | P F1 | ? | P F2 |? 2 ex 0 .
2c e ? 2?3 3 2 ? 4 . 又点 P ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 0 ) 在双曲线上, 则

故 2 ex 0 ? 4 c , 即 x 0 ?

x0 4

2

?

y0 5

2

? 1.

解得 y 0 ?

1 5 (舍负).

故存在 P ( 4, 1 5 ) , 使得 IG∥ F1 F 2 .
2 2

(2) 若直线 l 斜率不存在, 显然 k 1 ? k 2 ? 0 不合题意. 若直线 l 斜率存在, 设过 F2 (3, 0 ) 的直线方程 为 y ? k ( x ? 3) , 直线和椭圆交于 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) .将 y ? k ( x ? 3) 代入 5 x ? 4 y ? 2 0 中,
2 ? 24k x1 ? x 2 ? , ? 2 ? 4k ? 5 2 2 2 2 得到 (5 ? 4 k ) x ? 2 4 k x ? 3 6 k ? 2 0 ? 0 . 由韦达定理可知: ? 2 ? x x ? 36k ? 20 . 2 ? 1 2 4k ? 5 ? y1 y2 x ?3 x ?3 1 1 ? ? k( 1 ? 2 ) ? k [ 2 ? 5( ? )] , 又 k AM ? k AN ? x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? 2

2012 模拟卷(5)

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1 x1 ? 2

?

1 x2 ? 2

?

x1 ? x 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4
2k ? 1
2 2

?

2 4 k ? 4 ( 4 k ? 5)
2 2

3 6 k ? 2 0 ? 4 8 k ? 4 ( 4 k ? 5)
2 2 2

?

2k ?1
2

5k

2

,

从而 k A M ? k A N ? k ( 2 ? 5 ?

)?

1 k

? ?

1 2

, 即 k ? ?2 .

故所求直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 3) .

5k

二试
一、证明:充分性:过点 N 作 EF∥BC,分别交 AB,AC 于 E,F。 连结 OC,OD,OE,OF,因为 ON⊥BC,则 ON⊥EF,又 OC⊥AC, 则 N,O,C,F 四点共圆,故∠NFO=∠NCO, 同理由 N,O,E,D 四点共圆,∠NDO=∠NEO,因∠NCO=∠NDO, 则∠NFO=∠NEO,故 OE=OF,从而 EN=FN,所以 BM=CM 必要性:用同一法,作 O N ? ? B C 交 CD 于 N ? , 连 A N ? 并延长交 BC 于 M ? ,类似充分性的证明可得 B M ? =C M ? , 而 BM=CM,则点 M ? 与 M 重合,因此,点 N ? 是 CD 与 AM 的交点, 故点 N ? 与 N 重合, O N ? B C 二、解:由题意 2 m np ? ( m ? 2)( n ? 2)( p ? 2) , 得 (1 ? (1) 当 m ? 8 时, 由 m ? n ? p , 则 (1 ? (2) 当 m ? 2 时, (1 ?
2 m )(1 ? 2 n )(1 ? 2 p 2 m )(1 ? 2 n )(1 ? 2 p 2 m ) ? (1 ? )(1 ? 2 n 2 8
3

A E D N F C O

B

M

)(1 ?

2 p

) ? 2.

) ? 2 , 矛盾!

) ? 2 , 矛盾!

(3 ) 当 m ? 3 时, 则 6 np ? 5( n ? 2)( p ? 2) , 即 ( n ? 1 0 )( p ? 1 0 ) ? 1 2 0 . 所以 p 的最大值为 130 (4) 当 m ? 4 时, 则 4 np ? 3( n ? 2)( p ? 2) , 即 ( n ? 6)( p ? 6) ? 48 . 所以 p 的最大值为 54 (5) 当 m ? 5 时, (1 ?
2 p )? (1 ? 2 2 m )(1 ? 2 n ) ? (1 ? 2 2 5 )(1 ? 2 5 )

, 得 p ? 98 .

综上所述: p 的最大值为 130. 三、解:原方程可变形为 4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1. ∴(2x+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2× 2+y)+1+(-y2+2y)=(2y2+y+1)2+(-y2+2y) (2y (1)当 ?
?3 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ? ? y
2

? 2y ? 0

,即当 y<-1 或 y>2 时,(2y2+y)2<(2x+1)2<(2y2+y+1)2

而 2y2+y 与 2y2+y+1 为两相邻整数,所以此时原方程没有整数解. (2)当 y=-1 时,x2+x=0,所以 x=0 或-1. (3)当 y=0 时,x2+x=0,所以 x=0 或-1. (4)当 y=1 时,x2+x=4,此时 x 无整数解. (5)当 y=2 时,x2+x=30,所以 x=-6 或 5. 综上所述: ?
? x?0 ? y ? ?1

,?

? x ? ?1 ? y ? ?1

,?

?x ? 0 ?y ? 0

,?

? x ? ?1 ? y ?0

,?

? x ? ?6 ? y ? 2

,?

?x ? 5 ?y ? 2



2012 模拟卷(5)

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四、 (1)若 1∈B,∵1×2=2,1× 3=3,1× 5=5,∴2,3,5∈A 或 n≤4. 假设 n≥5,则∴2,3,5∈A,2+3=5,与题意矛盾! (2)当 1∈A,2∈B,不防假定 n≥4. 当 3∈A 时,∵1+3=4,∴4∈B. ∵2,4∈B,2×4=8,∴8∈A 或 n≤7. 当 n≥8 时,∵1,3,8∈A,3+5=8,1+8=9,∴5,9∈B 或 n≤8. 当 n≥9 时,∵2,5∈B,2×5=10,∴10∈A 或 n≤9. 当 n≥10 时,∵8,10∈A,8+10=18,∴18∈B 或 n≤17. 设 n≥18 时,由于 2,9,18∈B,2×9=18,所以产生矛盾! ∵3∈A 时,n≤17.当 n≥6 时,∵1,6∈A,1+5=6,1+6=7,∴5,7∈B 或 n≤6. 当 n≥7 时,∵2,5,7∈B,2×5=10,2×7=14. ∴10,14∈A 或 n≤13.当 n≥14 时,∵6,14∈A,6+8=14,∴8∈B. ∵2,8∈B,2×4=8,∴4∈A.但 4,6,10∈A,4+6=10,矛盾! ∴当 3∈B 时,n≤13. (3)若 1∈A,2∈A,不防假设 n≥18,则由 1+2=3 知 3∈B. 当 4∈B 时,∵3,4∈B,3×4=12,∴12∈A. ∵2,12∈A,2+10=12, ∴10∈B ∴3, 10∈B,3×10=30, ∴30∈A 或 n≤29. 当 n≥30 时,∵2,12,30∈A,2+28=30,12+18=30, ∴18,28∈B. ∵3,18∈B,3×6=18,∴6∈A.∵4,28∈B,4×7=28,∴7∈A. 但 1,6,7∈A,1+6=7,矛盾!故 n≤29. 当 4∈A 时,∵1+4=5,2+4=6,∴5,6∈B. ∵3,5,6∈B,3×5=15,3×6=18,∴15,18∈A. ∵4,15∈A,∵4+11=15,∴11∈B. 若 n≥33,∵15,18∈A,15+18=33,∴33∈B. ∵3,11∈B,3×11=33,∴33∈A,与 33∈B 矛盾!故 n≤32. (1)(2)(3)说明:nmax≤32. 、 、 (4)使 n=32 成立的例子有:A={1,2,4,15,18,21,24,27,30},B={1,2,3,…,32}/A. 其中,A 中 1+2=3,1+4=5,2+4=6,而任意一个不小于 15 的数加上另一个数,或者大于 30, 或者大于 15 且不是 3 的倍数,这些都不属于 A. 再考虑 B 中,若取出的两数的积在 33 以内,则两数中必有 3 或 6(否则,若 3 与 6 均不在其中, 则两数之积不小于 5×7>32) ,易知此积必为不小于 15 的 3 的整倍数,但这些都不在 B 中. 由此上述例子成立.综上可知:nmax=32.

2012 模拟卷(5)

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