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高三模拟考试


★2011-05-30 月 03 日

A.存在一条直线 a,a//?,a//? B.存在一条直线 a,a ? ?,a//?

息县二高 2011 学年下期高三模拟考试(16) 数学试题(理科)
命题人:黄凌华 做题人:张占霞 审题人:程文国

C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a//?,b

//? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a//?,b//? 7. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 A y? ( )

祝同学们考试顺利!
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟.

4 4 1 3 1 4 4 1 4 1 sin( x ? ) B y ? sin(2 x ? ) C y ? sin( x ? ) D y ? sin(2 x ? ) 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5
y
1

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 ......... 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 已知全集 U=R,集合 A ? {x | 0 ? 2x ? 1}, B ? {x | log3 x ? 0}, 则A ? (CU B) ? ( A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 0} ( C. {x | 0 ? x ? 1} ) ) D. {x | x ? 0} O -1

?

2?

x

8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”。现从 1,2, 3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( ) A.120 个 B.80 个 C.40 个 D.20 个 9.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下 列函数:① f ( x) ? sin x ? cos x ;② f ( x) ?

2 (sin x ? cos x) ;

1 ? 2i 2. 在复平面内,复数 z ? 对应的点位于 i ?1

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 3. 三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图(如图所示)的面 积为 8,则侧视图的面积为 ( ) A.8 B.4 C. 4 3 D. 3 ) 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ?1 ?0.5 ,则实数 a 的值为( A.1 5.下列说法正确的有
2

③ f ( x) ? sin x ; ④ f ( x) ? 2 sin x ? 2 其中 “互为生成”函数的是( ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 10.已知数列 {an } 为等差数列, Sn 其前 n 项和,且

a2 ? 3a4 ? 6,则S9 等于





)

A.25 B.27 C.50 D.54 11. 已知实数 x ? [0,10] , 执行如右图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 47 的概率为( )

B. 3 (

C.2 )
2 2

D.4

①命题“若 x -5x+6=0,则 x=3”的否命题为若 x -5x+6=0,则 x≠3” ②“a,b,c 成等比数列”是“ b =ac”的充要条件 ③若“p 或 q”为真命题,则 p,q 均为真命题 ④若命题 p: “存在 x∈R,使得 x<tanx” ,则 ? p “任意 x∈R,均有 x≥tanx” A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.平面 ? // 平面 ? 的一个充分条件是( .... )

39 1 4 C. D. 2 5 80 2 12.已知函数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? ax ? 2 (a>0), 若 ?x1 ?[?1, 2] , ?x2 ?[?1, 2] ,使得 f(x1)= g(x2),则
A. B. 实数 a 的取值范围是 (A) (0, ]

37 80

1 2

(B) [ , 3]

1 2

(C) (0,3]

(D) [3, ??)

高三数学试题 第 3 页(共 4 页) (理科)

高三数学试题 第 4 页(共 4 页)(理科)

息县二高 2011 学年上期高三模拟考试(16)
数学试题(理科) 命题人:黄凌华 做题人:张占霞 审题人:程文国 注意事项: 1.第Ⅱ卷共 4 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在横线上。
3 4 13.已知 21 ?1 ? 2, 22 ? 1? 3 ? 3? 4, 2 ? 1? 3? 5 ? 4? 5? 6, 2 ? 1? 3? 5? 7 ? 5? 6? 7? 8, 依 … 此类推,第 n 个等式为 ;

C?
19.已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, E 是线段 AD 的中点.沿 BD 将△BCD 翻折到 △ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值. A 20.已知抛物线 P:x2=2py (p>0). (Ⅰ)若抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3 . (ⅰ)求抛物线 P 的方程; (ⅱ)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程; (Ⅱ)设过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,连接 AO , BO 并延长分别交抛物 线的准线于 C,D 两点,求证:以 CD 为直径的圆过焦点 F. 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值.

B

C

E

D

?x ? 1 ? 14 . 已 知 x , y 满 足 ? x ? y ? 4 且 z ? 2x ? y 的 最 大 值 为 7 , 最 小 值 为 1 , 则 ?ax ? by ? c ? 0 ?
b?c = a
15.已知双曲线 .
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 2 a b 的一个交点为 P ,若 PF ? 5 ,则双曲线的方程为
1 2

16.设奇函数 y ? f ( x)( x ? R) ,满足对任意 t ? R 都有 f ( t ) ? f (1? t ),且 x ? [0, ]时,

3 f ( x) ? ? x2 ,则 f (3) ? f ( ? ) 的值等于 2



四、选考题(请考生在第 22、23 题中任选一题做答,作答时,请注明题号;若多做,则按 22 题计入总分,满分 10 分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 ) 22.如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,半径 OB ? OP , AB 交 PO 于 点 C , (Ⅰ)求证: PA ? PC ; A (Ⅱ)若圆 O 的半径为 3, OP ? 5 ,求 BC 的长度.
O

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将 答题的过程写在答题卷中指定的位置) ... 17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, an?1 ? 2S n (n ? N ?) , (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和 Tn 。 18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 , 其中第 2 小组的频数为 12 . (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全 省的总体数据,若从全省报考飞行员的 同学中(人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生 人数,求 X 的分布列和数学期望.
高三数学试题 第 3 页(共 4 页) (理科)

C

P
第 22 题图

23.设 f ? x ? ? ln(| x ? 1| ?m | x ? 2 | ?3) ( m ? R ) . (Ⅰ)当 m ? 1 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)若当 1 ? x ?

B

7 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

高三数学试题 第 4 页(共 4 页)(理科)

息县二高 2011 学年上期高三模拟考试(16)参考答案
一.选择题 :1——5 DCCAB
n

证明: (Ⅰ) 平行四边形 ABCD 中, AB=6, AD=10, BD=8, 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8,即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , 故: C ' D ? BD . ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,

二.填空题 13. 2 ?1? 3 ? 5 ? ?? ?2n ? 1? ? ?n ? 1??n ? 2???2n? 14. ? 3 15 . 三.解答题: 17. (1)? a n ?1

6——10 DACBB

11——12 CD

y2 x ? ? 1, 3
2

1 16. ? 4

平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C ?D ? 平面 BC ?D , ∴ C ?D ? 平面 ABD . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD ,

? 数列 ?S n ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, S n ? 3n?1 (n ? N ? ). ? 1, n ? 1 当 n ? 2 时, an ? 2S n?1 ? 2 ? 3n?2 ,? an ? ? n?2 ?2 ? 3 , n ? 2 (2) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1
当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? ? ? 2n ? 3
0 1 n ?2

S ? 2S n ,? S n?1 ? S n ? 2S n ,? n?1 ? 3 。又? S1 ? a1 ? 1 Sn

如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . z

,

① ②

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n?1 ,
①-②得:

? 2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1 ? 2? 2? 3(1 ? 3 ) ? 2n ? 3n?1 ? ?1 ? ?1 ? 2n ? ? 3n ?1. 1? 3
又?T1 也满足上式, Tn ? 故
n?2

??? ? ∵E 是线段 AD 的中点,∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , ? 设平面 BEC ? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? BE ? n ? 0 ??4 x ? 3 y ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? BC ' ? n ? 0 ?
令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .

C?
x B C

A

E y

D

?

1 1 ? (n ? )3 n ?1 (n ? N ? ) 。 2 2 18.解: (1)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可得: ? Tn ?

1 1 ? (n ? )3 n ?1 (n ? 2) 。 2 2

? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? 所成角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? ? ? 设直线 BD 与平面 BEC 41 | n | ? | BD |
∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为

? p 2 ? 2 p1 ? 解得 p1 ? 0.125 p2 ? 0.25, p3 ? 0.375……4 分 , ? p3 ? 3 p 2 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1 12 又因为 p 2 ? 0.25 ? ,故 n ? 48 ……………………………6 分 n
(2) 由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ?
k

3 41 . 41

???8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC ? 的法向量为 n ? (3,4,4) , 而平面 DBE 的法向量为 DC? ? (0,0,6) , ? ???? ? ? ???? ? n? ?D C 4 41 ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? ? , 41 | n | ? | C ?D | 所以二面角 D ? BE ? C ? 的余弦值为

?

???? ?

5 8

因为二面角 D ? BE ? C ? 为锐角,

所以 x 服从二项分布, p( x ? k ) ? C3 ( ) ( )
k

5 8

3 8

3? k

? 随机变量 x 的分布列为:

4 41 . ??????12 分 41 20 解: (Ⅰ) (ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离与到准线距离相
3

x
p

0

1

2

27 135 512 512 27 135 225 125 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? 则 Ex ? 0 ? 512 512 512 512 8
19.(本小题共 13 分)

125 512 5 15 (或: Ex ? 3 ? ? ) 8 8

225 512

p p 的距离为 3;∴ ? ? 2 ? 3 ,解得 p ? 2 . 2 2 2 ∴ 抛物线 P 的方程为 x ? 4 y . ??????4 分 (ⅱ)抛物线焦点 F (0,1) ,抛物线准线与 y 轴交点为 E (0, ?1) ,显然过点 E 的抛物线的切线 斜率存在,设为 k ,切线方程为 y ? kx ? 1 .
等,即 M (m, 2) 到 y ? ?
高三数学试题 第 4 页(共 4 页)(理科)

高三数学试题 第 3 页(共 4 页) (理科)

由?

? x2 ? 4 y

? y ? kx ? 1 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,解得 k ? ?1 .

,消 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0
2

∴切线方程为 y ? ? x ? 1 .

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在, 设 l : y ? kx ?

p ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 2
且? ? 0.

? x 2 ? 2 py ? 由? p ? y ? kx ? ? 2

消 y 得 x2 ? 2 pkx ? p2 ? 0 .

∴ x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p2 ;∵ A( x1 , y1 ) , ∴ 直线 OA : y ? 与y??

y1 x, x1

p px px p p 联立可得 C (? 1 , ? ) , 同理得 D(? 2 , ? ) . 2 2 y1 2 2 y2 2 ??? ? ??? ? p px px ∵ 焦点 F (0, ) ,∴ FC ? (? 1 , ? p) , FD ? (? 2 , ? p) , 2 2 y1 2 y2 ??? ??? ? ? px px px px2 p 2 x1 x2 ∴ FC ? FD ? (? 1 , ? p) ? (? 2 , ? p) ? 1 ? p2 ? ? p2 2 y1 2 y2 2 y1 2 y2 4 y1 y2

1 ? ?a? 2 1 1 2 ? 2 1 ②当 ? ,即 ? a ? 时, f ( x ) 在 ( a , ) 单调递增,在 ( , a ) 单调递减, 2 2 2 2 ?a 2 ? 1 ? ? 2 1 a a?2 a ? ? 1 ? ln 2 ; ∴ f max ( x) ? f ( ) ? ? ln 2 ? ? 2 4 2 4 1 2 2 ③当 ? a ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a2 , a] 单调递减, 2 2 2 ∴ fmax ( x) ? f (a ) ? 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a2 . 1 3 2 综上所述, 0 ? a ? 时, 当 函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a 2 a 1 2 2 当 ?a? 时,函数 y ? f ( x) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 4 2 2 2 5 3 2 当a ? 时,函数 y ? f ( x) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 2ln a ? a ? a ? 2a . A 2
22(Ⅰ)证明:连接 OA ,∵ OA ? OB , O ∴ ?OAB ? ?OBA .∵ PA 与圆 O 相切于点 A , N ∴ ?OAP ? 90? .∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .∵ OB ? OP , C ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA ,∴ ?PCA ? ?PAC . B ∴ PA ? PC . (Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线, ∴ PA2 ? PM ?PN ? (PO ? OM )? PO ? ON ) .∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 , ( ∴ PA2 ? (5 ? 3)? ? 3) ? 16 . PA ? 4 . ∴ (5 在 Rt ?OBC 中, BC 2 ? OB 2 ? OC 2 ? 9 ? 1 ? 10 23.解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 | ?3 ? 0 ,等价于 ∴ BC ? 10 .

?

p 2 x1 x2 p4 p4 ? p2 ? ? p2 ? ? p2 ? 0 2 2 2 x x x1 x2 ?p 4 1 2 2p 2p
∴函数 的定义域为 (0, ??) .

M

P



以 CD 为直径的圆过焦点 F .
2

21、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 2) x , ∴ f ?( x) ?
2

1 1 ? 2ax ? (a ? 2) x ?(2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? . x x x ∵ f ( x) 在 x ? 1 处 取 得 极 值 , 即 f ?(1) ? ?(2 ? 1)(a ? 1) ? 0 , 1 ∴ a ? ?1 . 当 a ? ?1 时,在 ( ,1) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (1, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 2 ∴ x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. ∴ a ? ?1 .
(Ⅱ)∵ a ? a ,∴ 0 ? a ? 1 .
2

∴由 (Ⅰ) PC ? PA ? 4 . OC ? 5 ? 4 ? 1 . 知 ∴

故函数 f ? x ? 的定义域是 {x | x ? 0 或 x ? 3} .
2

?x ? 1 ?1 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? ,解之为 x ? 0 或 x ? ? 或 x ? 3 , ? ?3 ? 2 x ? 3 ?1 ? 3 ?2 x ? 3 ? 3

1 1 ? 2ax ? (a ? 2) x (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (a ? 2) ? ?? x x x 1 1 ∵ x∈ (0, ??) , ∴ ax ? 1 ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增;在 ( , ??) 上单调递减, 2 2 1 2 ① 当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 [a , a] 单调递增, 2 ∴ fmax ( x) ? f (a) ? ln a ? a3 ? a2 ? 2a ; f ?( x) ?
高三数学试题 第 3 页(共 4 页) (理科)

(Ⅱ)当 1 ? x ?

7 时, f ? x ? ? ln[ x ? 4 ? m(2 ? x)] , f ? x ? ? 0 恒成立等价于 4 5? x 7 x ? 4 ? m( 2 ? x ) ?恒成立,即 m ? 1 在 [1, ] 上恒成立, 2? x 4 3 x ?5 7 3 ? 13 , 令t ? 在区间 [1, ] 是增函数,所以 tmax ? 1 ? ?1? 7 x?2 4 x?2 ?2 4 m ? 13 ,故实数 m 的取值范围 [13, ? ?) . 所以,
高三数学试题 第 4 页(共 4 页)(理科)


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