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等差数列前n项和的性质解题


等差数列前n项和的性质解题

等差数列及其前 n 项和 基础知识
要点梳理 1.等差数列的定义 如果一个数列
差等于同一个常数 从第二项起,每一项与它的前一项的

自主学习

, 那么这个数列就叫做等差数列,
d

这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的 通项公式是 an=a1+(n-1)d .

3.等差中项 a+b 如果 A= 2 ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广: an=am+ (n-m)d , (n, m∈N*). (2)若{an}为等差数列, 且 k+l=m+n, ( k, l, m, n∈N*), ak+al=am+an . 则 (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数 列,公差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差 数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m, ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为
md 的等差数列.

5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn= . 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 ? d? d Sn=2n2+?a1-2?n. ? ? 数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn,A、 B 为常数. 7.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最 大 若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最 小 值. 值;
n(n-1) na1+ d 2
n(a1+an) 2

[难点正本

疑点清源]

1.等差数列的判定 (1)定义法:an-an-1=d (n≥2); (2)等差中项法:2an+1=an+an+2. 2.等差数列与等差数列各项的和的有关性质 (1)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (3)S2n-1=(2n-1)an. (4)若 n 为偶数,则 S 若 n 为奇数,则 S
奇 偶

-S




n =2d.


-S

=a

(中间项).

变式训练 1 设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 且满足 b1=1, ?1? 2bn ?是等差数列,并求 2=1 (n≥2).证明:数列? bnSn-Sn ?Sn? 数列{bn}的通项公式.
2bn 由已知 2=1 (n≥2), bnSn-Sn 又 bn=Sn-Sn-1 (n≥2), 2(Sn-Sn-1) 2(Sn-Sn-1) 所以 =1, 2=1,即 (Sn-Sn-1)Sn-Sn -SnSn-1 1 1 1 所以S - =2,又 b1=S1=1, Sn-1 n 证明

?1? 1 所以数列?S ?是首项为 1,公差为2的等差数列,由上可 ? n?

n+1 1 知S = 2 ,即 Sn=
n

2 , n+1

2 所以当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=- , n(n+1) ?1, ? 2 因此 bn=? - , ? ? n(n+1) n=1, n≥2.

变式训练 2

等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a10

=30,a20=50. (1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n.
解 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, ? ?a1+9d=30, 得方程组? ?a1+19d=50, ? 解得 a1=12,d=2.所以 an=2n+10. n(n-1) (2)由 Sn=na1+ d,Sn=242, 2 n(n-1) 得方程 12n+ ×2=242. 2 解得 n=11 或 n=-22(舍去),即 n=11.


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