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2015学年高三第一学期期中联考数学(理科)试卷


2015-2016 学年高三第一学期期中联考试卷

数学(理科)试卷
时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、设 a,b∈R,集合 A.1 B.﹣1 ,则 b﹣a=( C.2 的方向相反的单位向量是( C. ( ,﹣ )

) D.﹣2 ) D. ( , ﹣ )

2、已知点 A(1,3) ,B(4,﹣1) ,则与向量 A. (﹣ , ) B. (﹣ , )

3、函数 f(x)=

的定义域为(

) D. (﹣1, 3)

A. (2,3) B. (2,4] C. (2,3)∪(3,4] ∪(3,6] 4、已知△ABC 中,A=30°,C=105°,b=8,a 等于( ) A.4 B.4 C.4 5、已知幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ) ,则它的单调增区间为( )

D.

A. (0,+∞) B.[0,+∞) C. (﹣∞,0) D. (﹣∞, +∞) x 6、函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,满足 f(3+x)=f(3﹣x) ,当 x∈(0,3)时 f(x)=2 , 则当 x∈(﹣6,﹣3)时,f(x)=( ) x+6 x+6 x﹣6 x﹣6 A.2 B.﹣2 C.2 D.﹣2 7、如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别 是 a m(0<a<12) 、4m,不考虑树的粗细.现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围 成一个矩形的花圃 ABCD. 设此矩形花圃的最大面积为 S, 若将这棵树围在花圃内, 则函数 S=f(a) (单位 m )的图象大致是(
2



A.

B.

C.

D.

8、如图所示,等边△ABC 的边长为 2,D 为 AC 中点,且△ADE 也是等边三角形, 在△ADE 以点 A 为中心向下转动到稳定位置的过程中, ( ) ? 的取值范围是

A.[ , ] D. ( , )

B.[ , ]

C. ( , )

二、填空题:本大题有 7 小题 9-12 题每题 6 分 13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答题 卷的相应位置. 9、计算:0.04 ﹣(﹣0.3) +16
0

=

,2

=



10、 函数 f (x) =sinx+cosx 的单调增区间为 则 f(α ﹣ )= .

, 已知 sinα = , 且α ∈ (0, ) ,

11、在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若 a=3,∠B=2∠A,cosA= 则 sinA= b= . 12、 已知函数 y=f (x) 为 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, ( f x) =log( ﹣3, 则( f 6) = 2 x+2) f(f(0) )= .





13、已知向量 , 满足| |=1,| |=3,且 在 方向上的投影与 在 方向上的投影相等, 则| ﹣ |等于 .
2

14、设定义在 R 上的函数

,若关于 x 的方程 f (x)+af(x)+b=0 .

有 5 个不同实数解,则实数 a 的取值范围是 15、给出如下五个结论: ①若△ABC 为钝角三角形,则 sinA<cosB. ②存在区间(a,b)使 y=cosx 为减函数而 sinx<0 3 ③函数 y=2x ﹣3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称 ④y=cos2x+sin( ⑤y=|sin(2x+

﹣x)既有最大、最小值,又是偶函数 )|最小正周期为 π

其中正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 14 分) 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax ﹣x+
2

a)定义域为 R;命题 q:不等式 3 ﹣9 <a 对任意 x∈R

x

x

恒成立. (1)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

17、 (本题满分 15 分) 已知 , , 函数 ( f x) = .

(Ⅰ)求函数 g(x)的零点的集合; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及其单调增区间.

18、 (本题满分 15 分) 已知 f(x)=mx +(1﹣3m)x+2m﹣1. (Ⅰ)设 m=2 时,f(x)≤0 的解集为 A,集合 B=(a,2a+1](a>0) .若 A?B,求 a 的取 值范围; (Ⅱ)求关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集 S; (Ⅲ)若存在 x>0,使得 f(x)>﹣3mx+m﹣1 成立,求实数 m 的取值范围.
2

19、 (本题满分 15 分) 已知△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,a +b <c ,且 sin(2C﹣ (I)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的取值范围.
2 2 2

)=

20、 (本题满分 15 分) 2 已知关于 x 的函数 f(x)=x +2ax+b(其中 a,b∈R) . (1)求函数|f(x)|的单调区间; (2)对于一切 a∈[0,1],若存在实数 m,使得 同时成立, 与 能

求 b﹣a 的取值范围.


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