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2015年11月北京东直门中学高三上期中数学(理)


北京市东直门中学 2015 ~ 2016 学年 高三上学期期中考试数学(理)
一.选择题:(共 8 题,每小题 5 分,共 40 分)

1.设集合 A = {x | x ?2},m = sin 40?,则下列关系中正确的是 A.m ? A B.m ? A C.{m} ? A D.{m}? A

1

2.在

?ABC 中,sin (A + B) = sin (A – B),则 ?ABC 一定是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

3.已知函数① y = sin x + cos x,② y = 2 2sin x cos x,则下列结论正确的是 A.两个函数的图象均关于点 ? 4 , 0 成中心对称 B.两个函数的图象均关于直线 x = ? 4 对称 C.两个函数在区间 ? 4 , 4 上都是单调递增函数 D.两个函数的最小正周期相同 4.在 ?ABC 中, “AB ? AC > 0”是“?ABC 为锐角三角形”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
π π π π

5.已知向量a = (1 , 1),b = (2 , n),若 a + b = a ? b,则 n = A.–3 B.–1 C.1 D.3

6.已知函数 f (x) = log 2 (x + a) + log 2 (x – a) (a ? R). 命题 p: ?a ? R, 函数 f (x)是偶函数; 命题 q:?a ? R,函数 f (x)在定义域内是增函数.那么下列命题为真命题的是 A.?q 7.设函数 f (x) =
11 3

B.p ? q

C.(?p) ? q

D.p ? (?q)

x 2 ? 6x + 6, x ≥ 0 ,若存在互不相等的实数 x1,x2,x3 满足 3x + 4, x<0 f (x1) = f (x2) = f (x3),则 x1 + x2 + x3 的取值范围是 ,6 B.
20 26 3

A.

,

3

C.

20 26 3

,

3

D.
1/4

11 3

,6

高三上期中考试数学(理)

8.设?为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从?中的任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足 分别为 M,N,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?),点 N 的纵坐标的 最大值与最小值之差为 y (?).若?是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论: ① x (?)的最大值为 2; ③ x (?) – y (?)恒等于 0. A.① B.②③ ② x (?) + y (?)的取值范围是 2,2 2 : 其中所有正确结论的序号是 C.①② D.①②③

二.填空题:(共 6 题,每小题 5 分,共 30 分)

9.已知命题 p:?x ? (1 , +?),log 3 x > 0,则?p 为 10.满足 cos (? + ?) = cos ? + cos ?的?,?的一组值是

. .(写出一组值即可) D E C

11.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,?BAD = 60?, E 为 CD 中点,则AE ? BD = . A

B

12.已知 f (x)是奇函数,满足 f (x + 2) = f (x),当 x ? [0 , 1]时,f (x) = 2x– 1, 则 f (2) = ,f log2 24 的值是.
1

13.已知函数 f (x) = ax3 – 3x2 + 1,若 f (x)存在唯一的零点 x0,且 x0< 0,则 a 的取值范围为 . 14.若存在实常数 k 和 b,使得函数 f (x)和 g (x)对其定义域上的任意实数 x 分别满足: f (x) ? kx + b 和 g (x) ? kx + b,则称直线 l:y = kx + b 为 f (x)和 g (x)的“隔离直线”.
2 已知函数 f (x) = x – 1 和函数 g (x) = 2 ln x,那么函数 f (x)和函数 g (x)的隔离直线方程





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三.解答题:(共 6 题,共 80 分)

15.已知函数 f (x) = (cos x + sin x)2 + (I) (III) (II) 求 f (x)的单调递减区间;

3cos 2x – 1.

求 f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程; 求 f (x)在区间[0 , ]上的最大值和最小值.
2 π

16.某市规定,高中学生三年在校期间参加 不少于 80 小时的社区服务才合格. 教育 部门在全市随机抽取 200 位学生参加社 区服务的数据,按时间段[75 , 80), [80 , 85),[80 , 90),[90 , 95),[95 , 100] (单位:小时)进行统计,其频率分布直 方图如图所示. (I) 求抽取的 200 位学生中, 参加社区 服务时间不少于 90 小时的学生人 数, 并估计从全市高中学生中任意
0.020 0.005 0.075 0.060 0.040

频率 组距

O

75

80

85

90

95

服务时间/小时

100

选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (II) 从全市高中学生(人数很多)中任意选取 3 位学生,记 X 为 3 位学生中参加社区服 务时间不少于 90 小时的人数.试求随机变量 X 的分布列和数学期望 EX.

17.设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且(3b – c)cos A = a cos C. (I) 求 cos A 的值; (II) 若 ?ABC 的面积 S = 2 2,求 ?ABC 的周长的最小值.

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18.设函数 f (x) = (I)
3

e ax x 2 +1

,a ? R .

当 a = 5时,求函数 f (x)的单调区间;
1

(II) 设 g (x)为 f (x)的导函数,当 x ? e , 2 时,函数 f (x)的图象总在 g (x)的图象的 上方,求 a 的取值范围.

19.已知椭圆 C:x2 + 3y2 = 3,过点 D (1 , 0)且不过点 E (2 , 1)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x = 3 交于点 M. (I) (III) 求椭圆 C 的离心率; 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. (II) 若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率;

20.对于正整数 a,b,存在唯一一对整数 q 和 r,使得 a = bq + r,0 ? r < b. 特别地,当 r = 0 时,称 b 能整除 a,记作 b | a,已知 A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ? , 23}, 若 M? A,且存在 a,b ?M,b < a,b | a,则称 M 为集合 A 的“和谐集” . (I) 存在 q ? A,使得 2011 = 91q + r (0 ? r < 91),试求 q,r 的值; 试写出所有满足条件的 t 值; (III) 已知集合 C 为集合 A 的有 12 个元素的子集,又 m ? A,当 m ? C 时,无论 C 中 其它元素取何值,C 都为集合 A 的“和谐集” ,试求满足条件的 m 的最大值, 并简要说明理由. (II) 已知集合 B = {5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 12 , t}满足 B ? A,但 B 不 为“和谐集” , .

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