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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第8炼 函数方程问题的分析


第二章

第 8 炼 函数方程问题的分析

函数及其性质

第 8 炼 函数方程问题的分析
一、基础知识: 1 、 函 数 方 程 : 含 有 未 知 函 数 的 等 式 叫 做 函 数 方 程 , 例 如 :

f ? x ? ? ? f ? ? x ? , f ?1 ? x ? ? f

?1 ? x ? 都可称为函数方程。在高中阶段,涉及到函数方程
有以下几个类型: ( 1 ) 表 示 函 数 f ? x? 的 某 种 性 质 : 例 如 f

x 体 现 f ? x? 是 偶 函 数 ; ? x? ? f? ? ?

f ? x ? 1? ? f ? x ? 体现 f ? x ? 是周期为 1 的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节)
(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:例如: f ? x ? ? 2 f ?

?1? ? ? 3x ,可 ? x?

? ?f 1 3 ? ?1? 用 代替 x 得 f ? ? ? 2 f ? x ? ? ,即 ? x x ? x? ?f ? ?
2、双变量函数方程的赋值方法:

? x? ? 2 f ? ?

1? ? ? 3x ? x?

3 ?1? ? ? ? 2 f ? x? ? x ?x?

? f ? x? ?

2 ?x x

(3)函数方程也是关于变量的恒等式,所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值

(1)对 x, y 均赋特殊值,以得到某些点的函数值,其中有些函数值会对性质的推导起到关 键作用, 比如 f ? 0? , f ?1? , f ? ?1? , 在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。 (2)其中某一个变量不变,另一个赋特殊值,可得到单变量的恒等式,通常用于推断函数 的性质 3、常见函数所符合的函数方程:在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理,但是在解答 题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 (1) f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? : f ? x ? ? kx (2) f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? : f ? x ? ? a
x

?a ? 0, a ? 1?

(3)① 当 x ? ?0, ??? 时, f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? : f ? x ? ? loga x ②当 x ??x | x ? 0?时, f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? : f ? x ? ? loga x 二、典型例题 例 1:已知函数 f ? x ? 对任意的 m, n ? R 均有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n? ,且当 x ? 0 时,

f ? x? ? 0
(1)求证: f ? x ? 为奇函数 (2)求证: f ? x ? 为 R 上的增函数

第二章

第 8 炼 函数方程问题的分析

函数及其性质

( 1 ) 思 路 : 要 证 明 奇 函 数 , 则 需 要 f ? x ? , f ? ?x ? 出 现 在 同 一 等 式 中 , 所 以 考 虑 令

m ? x, n ? ? x ,则有 f ? 0? ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,再通过代入特殊值计算出 f ? 0? ? 0 即可
解: (1)令 m ? x, n ? ? x ,则 f ? 0? ? f ? x ? ? f ? ?x ? 令 m ? 0, n ? 0 ,则 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? 解得 f ? 0 ? ? 0

? f ? x ? ? ? f ? ?x ? ? f ? x? 为奇函数
(2)思路:要证明单调递增,则需任取 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,去证明 f ? x1 ? 与 f ? x2 ? 的 大小,结合等式,则需要让 f ? x1 ? 与 f ? x2 ? 分居等号的两侧,才能进行作差。所以考虑

x2 ? ? x2 ? x1 ? ? x1 ,进而 m ? n ? x2 , n ? x1 。只需判断 f ? x2 ? x1 ? 的符号即可
解:任取 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,令 m ? x2 ? x1, n ? x1 ,代入方程可得:

f? ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ?

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?
? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,依题意可得: f ? x2 ? x1 ? ? 0

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 即 f ? x2 ? ? f ? x1 ?

? f ? x? 为增函数
小炼有话说:第(2)问将 x2 拆分为 ? x2 ? x1 ? ? x1是本题证明的亮点,达到了让 f ? x1 ? 与

f ? x2 ? 分居等号的两侧的目的
例 2:已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ,对于任意实数 a , b 都满足 f ? a ? b? ? f ? a ? f ?b ? ,且

f ?1? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1
(1)求 f ? 0 ? 的值 (2)求证: f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是增函数 (3)求不等式: f x ? x ?
2

?

?

1 的解集 f ? 2 x ? 4?

2 解: (1)令 a ? b ? 0 ,则有 f ? 0? ? f ? 0? ,解得 f ? 0 ? ? 0 或 f ? 0? ? 1

令 a ? 0, b ? 1 可得: f ?1? ? f ? 0 ? f ?1? ? f ?1? ? ? f ? 0 ? ? 1? ??0

? f ?1? ? 0

? f ? 0? ? 1

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函数及其性质

( 2 )思路:考虑证明 f ? x ? 单调递增,则需构造出 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,即可设 x2 ? x1 且令

a ? x2 ? x1, b ? x1







f ? x2 ? ? f ? x2 ? x1 ? f ? x1 ?







f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? f ? x1 ? , 由 x2 ? x1 ? 0 和 已 知 条 件 可 得 :

f ? x2 ? x1 ? ? 1 ? 0 所以需要证明 f ? x1 ? ? 0 ,即 ?x ? ? ??,0? , f ? x ? ? 0 ,可考虑结合题
目 条 件 和

f ? 0? ? 1





a ? x1, b ? ? x1







f ? 0 ? ? f ? x1 ? f ? ? x ? ? 1 f ?x ? ?

1 ? 0 ,从而单调性可证 1 f ? ? x1 ?

证明: ?x1, x2 ? R, x1 ? x2 ,则令 a ? x2 ? x1, b ? x1 ,代入函数方程有:

f ? x2 ? ? f ? x2 ? x1 ? f ? x1 ?
? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? f ? x1 ?

? x2 ? x1 ? 0

? f ? x2 ? x1 ? ? 0 ,下证 f ? x1 ? ? 0

由已知可得, x1 ? 0 时 f ? x1 ? ? 1 ? 0 ,所以只需证明 x1 ? ? ??,0? 时, f ? x1 ? ? 0 令 a ? x1, b ? ? x1 ? 0

? f ? 0? ? f ? 1 x? ? f ? 1? x?

? ?f ? 1x

1 f ? ? x1 ?

? x1 ? 0
? f ? x1 ? ?

? ?x1 ? 0
1 ?0 f ? ? x1 ?

? f ? ?x1 ? ? 0

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? f ? x1 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

? f ? x? 在 R 上单调递增
(3)思路:本题并没有 f ? x ? 的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由(1) (2)问 可得 f ? x ? ? 0 ,从而 f x ? x ?
2

?

?

1 ? f ? x 2 ? x ? 2 x ? 4 ? ? f ? 0 ? ,再根据单调 f ? 2 x ? 4?

性即可得到关于 x 的不等式,解出不等式即可 解:? f ? x ? ? 0

f ? x2 ? x ? ?

1 ? f ? x2 ? x ? ? f ? 2x ? 4? ? 1 f ? 2x ? 4?

? f ? x 2 ? x ? f ? 2 x ? 4 ? ? f ? x 2 ? x ? 2 x ? 4 ? ? f ? x 2 ? 3x ? 4 ? ,且 f ? 0? ? 1 ? f ? x 2 ? 3x ? 4 ? ? f ? 0 ?
由(2)可得 f ? x ? 单调递增

第二章

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函数及其性质

? x2 ? 3x ? 4 ? 0 解得 x ? ? ?4,1?
例 3 : 定 义 在 ? ?1,1? 的 函 数 满 足 关 系 f ? x ? ? f ? y ? ? f ?

? x? y ? ? , 当 x ? ? ?1, 0? 时 , ? 1 ? xy ?


1 ?1 ? ? ? ? ?1 若 P ?f ? ? ?f ? ? Q , ? f ? ? R ,f? f ? x? ? 0 , 5 ?4 ? ? ? ? ?2
A.

0?

则 P, Q, R 的大小关系为 ( ?, D. Q ? P ? R

R? P?Q

B. R ? Q ? P

C. P ? Q ? R

思路:由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性,先化简 P ,由

1 ? y? ? ? x? y ? ? x? y ? 4 ? f ? x? ? f ? y? ? f ? ? 可 得 : f ? x? ? f ? y? ? f ? ? ,令 ? x ? y 1 解得: ? 1 ? xy ? ? 1 ? xy ? ? ? ? ?1 ? xy 5
x? 3 ?3? ? 1? ,即 P ? f ? ? ,所给方程左边已经作差,所以考虑 ?x1 , x2 ? ?0, ? , x1 ? x2 ,则 7 ?7? ? 2?
, 因 为

? x ?x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
? 1 2 x1 ? x 0 , 2? 1 ? x1

0 ? x1 ? x2 ?

1 2







1 x ? 2 2

1 3 1 , ? 从 ?而 2 4

??1 ?

x1 ? x2 ? ?0 1 ? x1 x2





? x ?x ? ? 1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? 1 2 ? ? 0 ,得到 f ? x ? 在 ?0, ? 单调递增,所以 Q ? P ? R ? 2? ? 1 ? x1 x2 ?
答案:D 小炼有话说:本题在证明单调性时,因为考虑了 P, Q, R 中自变量的取值,所以只需考虑

x1 ? x2 ? 1? ?0, 2 ? 的单调性,缩小 x1 , x2 的范围使得判断 1 ? x x 的范围较容易。但也可将 x1 , x2 在 ? ? 1 2

? ?1,1? 中任取,但是在判断
假设 ?1 ?

x1 ? x2 的范围会比较复杂,可利用不等式的等价变形来证: 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ?0 1 ? x1 x2

x1 ? x2 ? 0 ,因为 1 ? x1x2 ? 0 1 ? x1 x2



x1 ? x2 ? ?1 ? x1 ? x2 ? x1x2 ? 1 1 ? x1 x2

? x1 ? x1x2 ? 1 ? x2 ? 0 ? ? x1 ? 1??1 ? x2 ? ? 0
由 x1, x2 ? ? ?1,1? 可得 ? x1 ? 1??1 ? x2 ? ? 0 成立,从而

x1 ? x2 ? ?1 1 ? x1 x2

例 4: 函数 f ? x ? 的定义域为 ?x | x ? 0? , 满足 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,f ? x ? 在区间 ? 0, ???

第二章

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函数及其性质

上单调递增, 若 m 满足 f ? log3 m ? ? f ? log 1 m ? ? 2 f ?1? , 则实数 m 的取值范围是 (

? ?

? ?



3

A.

?1,3?

B.

? 1? ? 0, ? ? 3?
3

C. ? 0, ? ? ?1,3? 3

? 1? ? ?

D. ? ,1? ? ?1,3? ?3 ?

?1 ?

思路:从所求中发现 log3 m,log 1 m 互为相反数,所以联想到判定 f ? x ? 是否具有奇偶性。 令 y ? ?1 , 则 有 f ? ?x ? ? f ? x ? ? f ? ?1? , 需 求 出 f ? ?1? : 令 x ? y ? ?1 , 则

f ?1? ? 2f ? ? ? 1, 再 令 x ? y ? 1 , 则 f ?1? ? 2 f ? 1 1 ? 0? f 0 所以 ? ? f? ? ? ??1 ? ,
? ? f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? 为偶函数。所以 f ? log3 m ? ? f ? log 1 m ? ? 2 f ? log3 m ? ,所解不 ? 3 ?
等式为 f ? log3 m? ? f ?1? ,因为 f ? x ? 为偶函数,且区间 ? 0, ??? 上单调递增,所以自变量 距离 y 轴越近,则函数值越小,所以 log3 m ? 1 ,即 ?1 ? log 3 m ?1 ,解得 为 log3 m ? 0 ? m ? 1 ,所以 m 的范围为 ? ,1? ? ?1,3? 答案:D 例 5: 设角 ? 的终边在第一象限, 函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? , 且 f (0) ? 0, f (1) ? 1, 当x ? y 时,有 f ? 为 思路:首先从所求出发,由 f ?

1 ? m ? 3 ,因 3

?1 ? ?3 ?

?x? y? ? ? f ? x ? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? y ? ,则使等式 ? 2 ?

?1? 1 f ? ? ? 成立的 ? 的集合 ?4? 4

1 ?1? 1 ? ? 确定代入的特殊值。令 x ? 2, y ? 0 得: ?4? 4

?1 ? ?1 ? f ? ?? f ? s ? ?? 1? s i? n? f? ?i n ?4 ? ?2 ?
值,令 x ? 1, y ? 0 ,则有 f ?

? 0?

1 ?1 ? ?1? f ? ? s? i n? ,则下一步需要确定 f ? ? 的 4 ?2 ? ?2?

1 ?1? 2 ? ? f ?1? sin ? ? ?1 ? sin ? ? f ? 0 ? ? sin ? ,所以 sin ? ? 4 , ?2? 1 ? ? ? ,从而 ? 的集合为 ?? | ? ? ? 2k? , k ? Z ? 2 6 ? ?

由角 ? 的终边在第一象限可得: sin ? ?

答案: ?? | ? ?

? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? 6 ?

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函数及其性质

例 6 :定义在 ? ?2013,2013? 上的函数 f ? x ? 满足:对于任意的 a, b ???2013,2013? ,有

f ? a ? b? ? f ? a ? ? f ?b? ? 2012 ,且 x ? 0 时,有 f ? x ? ? 2012 ,设 f ? x ? 的最大值和最
小值分别为 M , N ,则 M ? N 的值为( A. ) C.

2011

B.

2012

4022

D.

4024

思路:由最值联想到函数的单调性,从而先考虑证明 f ? x ? 单调,令 a ? x2 ? x1, b ? x1 (其 中 x1 ? x2 ) ,则可证明 f ? x ? 为增函数,从而 M ? f ? 2013? , N ? f ? ?2013? ,再利用函数 方程求出 f ? 2013? ? f ? ?2013? 的值即可 解: ?x1, x2 ???2013,2013? ,且 x1 ? x2 ,令 a ? x2 ? x1, b ? x1 代入函数方程可得:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 2012 ,? x2 ? x1 ? 0 ? f ? x2 ? x1 ? ? 2012 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0

? f ? x? 在 ??2013,2013? 单调递增 ? M ? f ? x ?max ? f ? 2013? , N ? f ? x ?min ? f ? ?2013?
? M ? N ? f ? 2013? ? f ? ?2013? ? f ? ? 2013 ? ? ?2013? ? ? ? 2012

? f ? 0? ? 2012
令 a ? b ? 0 ,可得: f ? 0? ? 2 f ? 0? ? 2012 ? f ? 0? ? 2012

? M ? N ? 4024
答案:D 例 7 : 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ?

1 , 对 任 意 实 数 x, y 都 有 2


f? x ?
A.

? y? ?

f ? ?? ?x 2 y
B.

x ff ?1? y ? f ? 2? ? f ?3? ? ? ? f ? 2014? ? ( ? ? f ? ,则
C.

1

?

1 2

1 2

D.

?1

思 路 : 由 所 求 出 发 可 考 虑 判 断 f ? x? 是 否 具 备 周 期 性 , 令 y ? 1 , 可 得

f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? f ?1?





f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? f ? x ?







f ? x ? 2? ? f ? x ? ? f ? x ? 1? ,两式相加可得 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 1? ,则可判定 f ? x ? 的周
期 为 6 , 由 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? f ? x ? 可 得 : f ? 2 ? ? f? 0 ? ? ?f ? 1 ? , 即

1 2

f ? 2? ? f ? 6? ?

1 , 由 2

f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 1? 可 得 f ? 4 ? ? ? f ?1? ? ?

1 , 则 2

第二章

第 8 炼 函数方程问题的分析

函数及其性质

1 f ? 3? ? f ? 5 ? ? f ? 4 ? ? ? ,从而 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ? f ?5? ? f ? 6? ? 0 ,所以 2
f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? ? ? f ? 2013? ? 335 ? ? f ?1? ? ? ? f ? 6 ? ? ? ? f ? 2013? ? f ? 2013? ,
且 f ? 2014 ? ? f ? 4 ? ? ? 答案:B 例 8 : 已 知 f ? x? 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , f ?

1 2

?? ? ? ? 0 , 且 对 任 意 的 x, y? R , 都 有 ?4?

?x? y? ?x? y? f ? x? ? f ? y? ? 2 f ? ?f? ? ,那么 ? 2 ? ? 2 ? ?? ? f ? ?? ?4? ? 3? f? ? 4 ? ?? ? ? 5? f? ? 4 ? ? ??? ? ? 2015? f? ? 4 ? ? ? __________ ?

思路:函数方程为“和→积”的特点,抓住 f ?

? ?? ? ? ? 0 ,可发现令 y ? x ? 2 ,则 ?4?

? ? ? 2x ? 2 ?? ? f ? x? ? f ? x ? ? ? 2 f ? 2? ? ? 2 ?
自变量间隔

? ? ?f ? ?

? ? ?? ? ? x??x? 2 ?? ? ? ? ? 2 f ? x ? ? ? f ? ? ? ? 0, ? 所以可得: ? ? ? ? 2 4? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ,,其函数值的和为 0,所以将求和的式子两两一组,即: 2
? 3? ?? ? ? 5? f ? ?? ? ? f ? ? 4 ?? ? ? 4 ? ?? ? ? ? 2013? ? ? 7? ? ? f? ? ?? ? ? f ? ?? ? 4 ?? ? ? 4 ? ? 2015? ? ? f? ?? ? 0 ? 4 ??

? ?? ? S ? ?f ? ?? ? ?4?
答案: 0

? R, 都 有 例 9 : 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , f ? 0? ? 1 , 且 对 ?x, y

f ? xy ? 1? ? f ? x ? f ? y ? ? f ? y ? ? x ? 2 ,则 f ? x ? 的解析式为________
思路:观察到右边的结构并非 f ? x ? , f ? y ? 的轮换对称式,考虑其中一个变量不变,另一个 变量赋值为 1,则 x ?1 时,

f ? y ? 1? ? f ?1? f ? y ? ? f ? y ? ? 1 ? 2 ① , y ? 1 时 ,

f ? x ? 1? ? f? x f1 ? f? 1? ? ? ? ? x?2 ② , 则 求 f ?1? 是 关 键 , 结 合 f ? 0? ? 1 , 可 令
x ? y ? 0 , 则 f ?1? ? f2 ? 0 ? ? ?f ?0 ? 0 ? 2 ? ? f?

1, ? 代 2 入到①②可得:

第二章

第 8 炼 函数方程问题的分析

函数及其性质

? ? ? f ? y ? 1? ? f ? y ? ? 1 ? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,即 ? ,消去 f ? x ? 1? 解得: f ? x ? ? x ? 1 ? f x ? 1 ? 2 f x ? x f x ? 1 ? 2 f x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
答案: f ? x ? ? x ? 1: 例 10: 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上不恒为 0 的函数, 且对于任意的实数 a , b 满足 f (2) ? 2 ,

f (ab) ? af (b) ? bf (a) , an ?

f (2n ) f (2n ) ? , ( n ? N ), b ? , (n ? N ? ) ,考察下列结论: n n 2 n
③数列 ?an ? 为等差数列 ④数列 ?bn ? 为等比数列,其

① f (0) ? f (1) ② f ( x ) 为奇函数 中正确的个数为( A. 1 ① 计 算 f ? 0? , f B. 2 )

C. 3

D. 4

思路:考虑按照选项对函数方程中的 x, y 进行赋值。

? ? 1,

令 a ? b ? 0 , 可 得 f ? 0? ? 0 ; 令 x ? y ? 1 , 则

f ?1? ? 2 f 0 f (0) ? f (1) ,①正确 ? ? 1? ? f? 1?,所以
② 使等式中出现 f ? x ? , f ? ?x ? ,令 a ? x, b ? ?1,则 f ? ?x ? ? xf ?? 1?? f x ?

? ,需要计算

出 f ? ?1? ,结合方程可令 x ? ?1, y ? ? 1 ,则有 f ?1? ? ?2 f ? ?1? ,即 f ? ?1? ? 0 ,所以

f ? ?x ? ? ? f ? x ? , f ? x ? 为奇函数,②正确
③ 从 等 差 数 列 定 义 出 发 , 考 虑 递 推 公 式 an ?1 ? an ?

f ? 2n ?1 ? 2n ?1

?

f ? 2n ? 2n

,因为

f ? 2n ?1 ? ? f ? 2n ? 2 ? ? 2n f ? 2 ? ? 2 f ? 2n ? ,所以可得:

an ?1 ? an ?
③正确

f ? 2n ?1 ? 2n ?1

?

f ? 2n ? 2n

?

2n ?1 ? 2 f ? 2n ? 2n ?1

?

f ? 2n ? 2n

? 1 ,从而判定 ?an ? 为等差数列,

n ?1 bn ?1 f ? 2 ? n ? ? ④若按照等比数列定义,考虑 ,则不易于进行化简。可由③出发得 bn n ? 1 f ? 2n ?

n 到 f 2 的表达式: a1 ?

? ?

f ? 2? 2

? 1 ,所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ,即 f ? 2 n ? ? 2 n ? n ,所

以 bn ? 答案:D

f ? 2n ? n

? 2n ,从而可判定 ?bn ? 是一个等比数列,④正确


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