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2010江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(5)答案


2010 江苏省扬州中学数学竞赛冲刺复习讲义(5)答案 一、填空题: (共 8 小题,满分 64 分,每题 8 分) 1. 【解】

1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 lo g 2 1 x
2

2

2

/>
1 7 1 1 ?? . ?? 或 2 log 1 x 2 log 1 x
2

2

此时 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ?
2 2

2 ? log 1 x ? 0 . 2 7

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . 1 【变式与拓展】集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x 2. 【解】 :A?B,A≠?.? 3≤2a+1≤3a-5≤22,?6≤a≤9.{a | 6≤a≤9} 【变式与拓展】设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10
x2-2
2

2



=10x},则 A∩?RB=____

3.【解】 :必要性反例: (1)两个不等式的解集都是 R; (2)充分性反例:若比值为-1. 即既不充分也不必要条件 4. 【解】 :(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2 ≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4).等号当且仅当 x=y=z 时成立.故 n=3. π 5.【解】 :3≤x≤6,令 x-3= 3sinα(0≤α≤ ),则 x=3+3sin2α, 6-x= 3cosα. 2 故 6≥ 3(sinα+cosα)≥ 3. 1 1 【变式与拓展】实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 + =_______. Smax Smin x0 1 1 1 k 6. 【解】 :显然 >1,从而 logx01993>0.即 + + ≥ . x3 lgx0-lgx1 lgx1-lgx2 lgx2-lgx3 lgx0-lgx3 x3 就是[(lgx0-lgx1)+(lgx1-lgx2)+(lgx2-lgx3)]( 1 1 1 + + )≥k. lgx0-lgx1 lgx1-lgx2 lgx2-lgx3

其中 lgx0-lgx1>0,lgx1-lgx2>0,lgx2-lgx3>0,由 Cauchy 不等式,知 k≤9.即 k 的 最大值为 9. 【变式与拓展】 设任意实数 x0>x1>x2>…>xn>0, M>1, 要使不等式 logx0M+logx1M+…+logx2M
x1 x2 x3

≥k· logx0M 恒成立,则 k 的最大值是_______.答:n2(证明请自行完成)
x3

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7. 【解】 :由于 x≥y≥z≥ ,故 ≤x≤ - ×2= . 12 6 2 12 3 1 1 1 1 ? 1 ∴ cosx siny cosz=cosx× [sin(y+z)+sin(y-z)]= cos2x+ cosxsin(y-z)≥ cos2 = ,最小值 2 2 2 2 3 8 1 1 ? ? ? ? . (由于 ≤x≤ , y≥z, 故 cosxsin(y-z)≥0), 当 y=z= , x= 时, cosx siny cosz= . 8 6 3 12 3 8 1 1 1 ∵ cosx siny cosz=cosz× [sin(x+y)-sin(x-y)]= cos2z- coszsin(x-y). 2 2 2 1 1 ? 1 ? 2+ 3 由于 sin(x-y)≥0,cosz>0,故 cosx siny cosz≤ cos2z= cos2 = (1+cos )= . 2 2 12 2 6 8 5? ? 当 x= y= ,z= 时取得最大值. 12 12 3+ 3 ∴ 最大值+最小值= . 8 θ 【变式与拓展】设 0<θ<π, ,则 sin (1+cosθ)的最大值是 2 .

?

?

?

?

?

1 1 8. 【解】 :由 x,y∈(-2,2),xy=-1 知,x∈(-2,- )∪( ,2), 2 2
4 2 4 9x2 -9x +72x -4 35 u= + = =1+ . 2 2 4 2 4 4-x 9x -1 -9x +37x -4 37-(9x2+ 2) x

1 1 1 4 2 当 x∈(-2,- )∪( ,2)时,x2∈( ,4),此时,9x2+ 2≥12.(当且仅当 x2= 时等号成立). 2 2 4 x 3 12 此时函数的最小值为 . 5 1 1 【变式与拓展】设 n 为自然数,a、b 为正实数,且满足 a+b=2,则 + 的最小值 1+an 1+bn 是 . 二、解答题: 1 13 1 13 9.【解】 :⑴ 若 a≤b<0,则最大值为 f(b)=- b2+ =2b.最小值为 f(a)=- a2+ =2a.即 2 2 2 2 a,b 是方程 x2+4x-13=0 的两个根,而此方程两根异号.故不可能. 13 13 ⑵ 若 a<0<b,当 x=0 时,f(x)取最大值,故 2b= ,得 b= . 2 4 1 13 当 x=a 或 x=b 时 f(x)取最小值,①f(a)=- a2+ =2a 时.a=-2± 17,但 a<0,故取 2 2 1 13 39 a=-2- 17. 由于|a|>|b|, 从而 f(a)是最小值. ②f(b)=- b2+ = =2a>0. 与 a<0 矛盾. 故 2 2 32 舍.
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⑶ 0≤a<b.此时,最大值为 f(a)=2b,最小值为 f(b)=2a. 1 13 1 13 ∴ - b2+ =2a.- a2+ =2b.相减得 a+b=4.解得 a=1,b=3. 2 2 2 2 13 ∴ [a,b]=[1,3]或[-2- 17, ]. 4 10. 【解】 (1)设点 P(a cos? , b sin ? ) , Q(a cos ? , b sin ? ) 由点 A(?a,0), B(a,0) 得: y 直线 AP: P M

a(1 ? cos? ) y ? b sin ? ( x ? a) ,
直线 QB: A O F2 Q B N x

a(cos ? ? 1) y ? b sin ? ( x ? a)
联立消去 y 得:

(cos ? ? 1) sin ? ( x ? a) = (1 ? cos? ) sin ? ( x ? a)

? [(cos ? ? 1) sin ? ? (1 ? cos? ) sin ? ]x = [(1 ? cos ? ) sin ? ? (1 ? cos? ) sin ? ]a ? [(sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ]x = [sin ? ? sin ? ? sin(? ? ? )]a ? cos

? ??
2

(sin

? ??
2

? sin

? ??
2

) x = cos

? ??
2

(sin

? ??
2

? sin

? ??
2

)a

? xM ?

a cos

???

2 ,同理 x ? 2 ,所以 MN ? AB N ? ?? ? ?? cos cos 2 2

a cos

? ??

(2)注意到: F2 P ? (a cos? ? c, b sin ? ) , F2 Q ? (a cos ? ? c, b sin ? )

由 P, F2 , Q 三点共线得 F2 P 与 F2 Q 共线

? (a cos? ? c) sin ? = (a cos ? ? c) sin ? ? a sin(? ? ? ) = c(sin ? ? sin ? ) ? a sin

? ??
2

cos

? ??
2

= c sin

? ??
2

cos

? ??
2

? a cos

? ??
2

= c cos

? ??
2

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2 2 2 ? a ,因此直线方程为 x ? a ? ?? c c cos 2 1 1 1 1 2 n 1 11.证明:由于 ? ( ? ) ,因此 an ? ? ,于是,对任意 n ? 1 k ?1 k k (n ? 1 ? k ) n ? 1 k n ? 1 ? k 1 1 n 1 1 n ?1 1 的正整数 n≥2,有 (an ? an ?1 ) ? ? ? ? 2 n ? 1 k ?1 k n ? 2 k ?1 k n n 1 1 1 1 1 1 ?( ? )? ? ? (? ? 1) ? 0 ,即 an+1<an。 n ? 1 n ? 2 k ?1 k (n ? 1)( n ? 2) (n ? 1)( n ? 2) k ?1 k

? xM ? x N ?

a cos

? ??

【变式与拓展】答案 1 1. 【变式与拓展】解 由已知,得 <logx10≤1?1≤lgx<2?10≤x<100.故该集合有 90 个 2 元素.其真子集有 290-1 个. 2. 【变式与拓展】解:A={2},B={2,-1},故为? 5 5. 【变式与拓展】解:令 x=rcosθ,y=rsinθ,则 S=r2 得 r2(4-5sinθcosθ)=5.S= . 5 4- sin2θ 2 5 5 4+ 4- 2 2 8 1 1 ∴ + = + = . Smax Smin 5 5 5 7. 【变式与拓展】解:令 y= sin

?
2

(1+cosθ) >0,

2 ? ? ? ? ? 则 y2=4 sin2 cos4 =2·2sin2 cos2 cos2 ≤2( )3. 2 2 2 2 2 3 4 3 ∴ y≤ 9 .当 tan

?
2

=

2 时等号成立. 2

a+b 2 1 1 1+an+1+bn 8. 【变式与拓展】解:ab≤( ) =1,从而 anbn≤1,故 ≥1.等 n + n = 2 1+a 1+b 1+an+bn+anbn 号当且仅当 a=b=1 时成立.即所求最小值=1.

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