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河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷(理科)(Word版含解析)


河南省洛阳市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数 z 的实部与虚部之和为() A.0 B. 1 C. 2 D.4 2. (5 分)集合 A={x|x<0},B={x|y=lg[

x(x+1)]},若 A﹣B={x∈A,且 x?B},则 A﹣B= () A.{x|x<﹣1} B.{x|﹣1≤x<0} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|x≤﹣1} 3. (5 分)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象的对称轴方程是() A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2 4. (5 分)已知等比数列{an}的公比为 q,则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=lgx,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围是() A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 6. (5 分)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+a =(b+c) 2 ,则 cosA 等于() A. B. ﹣
6 4 2 2

C.

D.﹣

7. (5 分) (x+1) (x﹣2) 的展开式中 x 的系数为() A.﹣100 B.﹣15 C.35

D.220

8. (5 分)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中 甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)已知双曲线 C:

,斜率为 1 的直线过双曲线 C 的左

焦点且与该曲线交于 A,B 两点,若 心率为() A. B.

+

与向量 =(﹣3,﹣1)共线,则双曲线 C 的离

C.

D.3

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10. (5 分) 设函数 ( f x) =x|x﹣a|, 若对?x1, x2∈[3, +∞) , x1≠x2, 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,0)

C.(﹣∞,3]

D.(0,3]

11. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几 何体的各个面中最大面的面积为()

A.1

B.

C.

D.2

12. (5 分)已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 积的最大值为 A.36π ,则球 O 的表面积为() B.16π C.12π

,AC=3,若三棱锥 D﹣ABC 体

D.

π

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)执行如图的程序图,若输入 x=2,则输出的所有 x 的值的和为.

14. (5 分)已知 tanα,tanβ 分别是 lg(6x ﹣5x+2)=0 的两个实根,则 tan(α+β)=.

2

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15. (5 分)已知向量 , 满足| |=2,| |=1,且对一切实数 x,| +x |≥| + |恒成立,则 , 的夹角的大小为.
2 2 2 2

16. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 3x ﹣y =3a (a>0)的左、右焦点,P 是抛物线 y =8ax 与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2=12,则抛物线的准线方程为.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤) * 2 17. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,对?n∈N 有 2Sn=an +an (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= 理数的个数. 18. (12 分)为了解某地高中生身高情况,研究小组在该地高中生中随机抽取 30 名高中生 的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm) ;若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高 个子”,身高在 175 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选 3 名,用 ξ 表示所选 3 人中“高个子”的人数,试写出 ξ 的数学期望. ,设{bn}的前 n 项和为 Tn,求 T1,T2,T3,…,T100 中有

19. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分 别在 BC,AD 上,EF∥AB,现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC. (1) 若 BE=1, 是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P, 且 =λ , 使得 CP∥平面 ABEF?

若存在,求出 λ 的值,若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 A﹣CDF 的体积的最大值,并求出此时二面角 E﹣AC﹣F 的余弦值.

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20. (12 分)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

+

=1(a>b>0)上一点,A,B 是其左右顶

点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)上点 N(x,y)处切线方程为 + =1,若与

与椭圆 E 相切与(x1,y1) ,D(x2 ,y2)两点的切线相交于 P 点,且 ? =0,求证点 P 到原点距离为定值.

21. (12 分)已知函数 f(x)=a ﹣xlna(a>1) ,g(a)=b﹣ x ,e 为自然对数的底数. (1)当 a=e,b=5 时,求整数 n 的值,使得方程 f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解 (2)若存在 x1,x2∈[﹣1,1]使得 f(x1)+g(x2)+ ≥f(x2)+g(x1)+e 成立,求实数 a 的取值范围.

x

2

选做题。请在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分 22. (10 分)如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,点 P 在线段 BA 延长线上,T 是⊙O1 上一点,PT⊥O2T,过 P 的直线交⊙O1 于 C,D 两点 (1)求证: = ,求 PA 的长.

(2)若⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5,PT=

选修 4-4,坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: (φ 为参数) ,以坐标原点

O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ (1)去曲线 C1 的直角坐标方程; (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围.

选修 4-5 不等式选讲
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24.已知 a,b∈R,a+b=1,x1?x2∈R. (1)求 + + 的最小值;

(2)求证: (ax1+bx2) (ax2+bx1)>x1x2.

河南省洛阳市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. (5 分)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数 z 的实部与虚部之和为() A.0 B. 1 C. 2 D.4 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数. 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:由 zi=1+i,得 , ∴复数 z 的实部与虚部分别为 1 和﹣1,和为 0. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)集合 A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若 A﹣B={x∈A,且 x?B},则 A﹣B= () A.{x|x<﹣1} B.{x|﹣1≤x<0} C.{x|﹣1<x<0} D.{x|x≤﹣1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中 x 的范围确定出 B,根据 A﹣B 的定义确定出 A﹣B 即可. 解答: 解:由 B 中 y=lg[x(x+1)],得到 x(x+1)>0, 解得:x>0 或 x<﹣1,即 B={x|x>0 或 x<﹣1}, ∵A={x|x<0}, ∴A﹣B={x|﹣1≤x<0}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象的对称轴方程是() A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2
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考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得出 y=f(2x) ,再 向左平移 个单位得出 y=f(2x+1)=f(2(x 利用对称轴的平移对称答案. 解答: 解;∵y=f(2x+1)=f(2(x ) ) ) )的图象.

∴函数 y=f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得出 y=f(2x) , 再向左平移 个单位得出 y=f(2x+1)=f(2(x ∵函数 y=f(2x+1)是偶函数 ∴函数 y=f(2x+1)的对称轴为 x=0, ∴函数 y=f(2x)的对称轴为 x= , y=f(x)的对称轴为 x=1, 故选:A 点评: 本题考查了函数的图象的平移伸缩,对称,属于抽象函数的知识比较多的题目,注 意平移的方向. 4. (5 分)已知等比数列{an}的公比为 q,则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可举﹣1, 必要,进而可得答案. 解答: 解:可举 a1=﹣1,q= ,可得数列的前几项依次为﹣1, 递减数列, 故由“0<q<1”不能推出“{an}为递减数列”; 可举等比数列﹣1,﹣2,﹣4,﹣8,…显然为递减数列,但其公比 q=2,不满足 0<q<1, 故由“{an}为递减数列”也不能推出“0<q<1”. 故“0<q<1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选 D 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及等比数列的性质,举反例是解决问题的关键,属基 础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=x ,g(x)=lgx,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围是()
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2

) )的图象.



…,说明不充分;举等比数列﹣1,﹣2,﹣4,﹣8,…说明不



…,显然不是

A.[0,+∞)

B.(0,+∞)

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 由 f(a)=a ≥0 可得 g(b)=lgb≥0,从而解得. 2 解答: 解:∵f(a)=a ≥0, ∴g(b)=lgb≥0, ∴b≥1; 故选 C. 点评: 本题考查了对数函数与二次函数的性质应用,属于基础题. 6. (5 分)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S+a =(b+c) 2 ,则 cosA 等于() A. B. ﹣ C. D.﹣
2

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 分析: 由 S+a =(b+c) ,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得: =2bccosA+2bc,化为 sinA﹣4cosA=4,与 sin A+cos A=1.解出即可. 解答: 解:∵S+a =(b+c) , 2 2 2 ∴S=b +c ﹣a +2bc, ∴ =2bccosA+2bc,
2 2 2 2

化为 sinA﹣4cosA=4, 2 2 与 sin A+cos A=1. 解得 cosA=﹣ 或 cosA=﹣1.

cosA=﹣1 舍去. ∴cosA= .

故选:D. 点评: 本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 7. (5 分) (x+1) (x﹣2) 的展开式中 x 的系数为() A.﹣100 B.﹣15 C.35 考点: 专题: 分析: 解答:
6 4

D.220

二项式系数的性质. 二项式定理. 6 6 4 把(x﹣2) 按照二项式定理展开,可得(x+1) (x﹣2) 的展开式中 x 的系数. 6 解: (x+1) (x﹣2) ﹣ + ﹣2 ?
3

=(x+1) (

?x +2 ?

3

4

?x ﹣2 ?

2

5

?x+2 ?

6



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故展开式中 x 的系数为﹣2 ?

4

3

+2 ?

2

=﹣100,

故选:A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用, 二项展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于基础题. 8. (5 分)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中 甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知基本事件总数 n= m= =120,甲连续三天参加活动,包含的基本事件个数

=24,由此能求出甲连续三天参加活动的概率.

解答: 解:甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动, 每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天, 基本事件总数 n= =120, =24,

甲连续三天参加活动,包含的基本事件个数 m= ∴甲连续三天参加活动的概率 p= = = .

故选:B. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.

9. (5 分)已知双曲线 C:

,斜率为 1 的直线过双曲线 C 的左

焦点且与该曲线交于 A,B 两点,若 心率为() A. B.

+

与向量 =(﹣3,﹣1)共线,则双曲线 C 的离

C.

D.3

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的左焦点和直线 AB 的方程,联立双曲线方程,运用韦达定理和向量的 2 2 坐标运算即可得到 a =3b ,再由 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到. 解答: 解:双曲线 C: 的左焦点为(﹣c,0) ,
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斜率为 1 的直线方程设为 y=x+c, 代入双曲线的方程得(b ﹣a )x ﹣2a cx﹣a c ﹣a b =0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ,y1+y2=x1+x2+2c= +2c= ,
2 2 2 2 2 2 2 2



+
2

与向量 =(﹣3,﹣1)共线,则有 y1+y2= (x1+x2) ,
2 2 2 2 2

即有 a =3b ,即 c =a +b = a , 即 e= = .

故选 B. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质, 主要考查离心率的求法, 同时考查向量的坐标运算, 由直线方程和双曲线方程联立,运用韦达定理是解题的关键.

10. (5 分) 设函数 ( f x) =x|x﹣a|, 若对?x1, x2∈[3, +∞) , x1≠x2, 不等式 >0 恒成立,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,0)

C.(﹣∞,3]

D.(0,3]

考点: 函数恒成立问题. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由条件可得 函数 f(x)=x|x﹣a|在[3,+∞)上是增函数,对 a 讨论,当 a≤3 时, 当 a>3 时,求得单调区间,即可得到 a≤3. 解答: 解:∵对于任意 x1,x2∈[3,+∞) ,x1≠x2,不等式 立, ∴函数 f(x)=x|x﹣a|在[3,+∞)上是增函数. 由函数 f(x)=x|x﹣a|=
2

>0 恒成



当 a≤3 时,f(x)=x ﹣ax(x≥3)在( ,+∞)递增,则在[3,+∞)递增; 当 a>3 时,f(x)的增区间为(a,+∞) ,减区间为(﹣∞,a) ,即有 f(x)在[3,+∞)先 减后增. 综上可得,a≤3, 故实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]. 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的单调性的判断和证明, 函数的单调性的应用, 掌握分类讨论的 思想方法和两区间的包含关系是解题的关键,属于中档题.

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11. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几 何体的各个面中最大面的面积为()

A.1

B.

C.

D.2

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意, 几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥, 有 3 个面是全等的等腰直角三角 形,面积为 =2,另一侧面是等边三角形,边长为 2 ,求出面积,即可得出结论.

解答: 解:由题意,几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥,有 3 个面是全等的等腰直角 三角形,面积为 =2, ,面积为 =2 ,

另一侧面是等边三角形,边长为 2

所以该几何体的各个面中最大面的面积为 2 , 故选:D. 点评: 本题考查三视图,考查学生的计算能力,确定几何体的形状是关键. 12. (5 分)已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 积的最大值为 A.36π ,则球 O 的表面积为() B.16π C.12π D. π ,AC=3,若三棱锥 D﹣ABC 体

考点: 球内接多面体. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 确定∠BAC=120°,S△ ABC= ,利用三棱锥 D﹣ABC 的体积的最大值为 ,

可得 D 到平面 ABC 的最大距离,再利用射影定理,即可求出球的半径,即可求出球 O 的表 面积. 解答: 解:设△ ABC 的外接圆的半径为 r,则 ∵AB=BC= ∴2r= ,AC=3,∴∠BAC=120°,S△ ABC= =2 , ,

∵三棱锥 D﹣ABC 的体积的最大值为 ∴D 到平面 ABC 的最大距离为 3,

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设球的半径为 R,则( ∴R=2,
2

) =3×(2R﹣3) ,

2

∴球 O 的表面积为 4πR =16π. 故选:B. 点评: 本题考查球的半径,考查体积的计算,确定 D 到平面 ABC 的最大距离是关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)执行如图的程序图,若输入 x=2,则输出的所有 x 的值的和为 126.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序算法可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:由已知中的程序算法可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值, ∵y=log2x, 故当 y 为整数时,x 为 2 的整数次幂, 又由退出循环的条件为 x>100, 故该程序输出的 x 值为 100 以内的 2 的整数次幂, 即 2+4+8+16+32+64=126, 故答案为:126 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 分析程序的 功能,以便得出正确的结论,是基础题. 14. (5 分)已知 tanα,tanβ 分别是 lg(6x ﹣5x+2)=0 的两个实根,则 tan(α+β)=1. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得 tanα+tanβ 和 tanα?tanβ 的值,从而 求得 tan(α+β)的值. 2 解答: 解:由题意 lg(6x ﹣5x+2)=0,
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2

可得 6x ﹣5x+1=0,tanα,tanβ 分别是 lg(6x ﹣5x+2)=0 的两个实根, ∴tanα+tanβ= ,tanα?tanβ= ,

2

2

∴tan(α+β)=

=

=1.

故答案为:1. 点评: 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系, 两角和的正切公式的应用, 属于中档 题.

15. (5 分)已知向量 , 满足| |=2,| |=1,且对一切实数 x,| +x |≥| + |恒成立,则 , 的夹角的大小为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: 设 , 的夹角为 θ,求得 =2cosθ,再由向量的平方即为模的平方,对一切实
2

数 x,| +x |≥| + |恒成立,即有不等式 x +4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0 恒成立,运用判别式不大 于 0,解不等式,再由非负数概念和夹角的范围,即可得到所求夹角. 解答: 解:设 , 的夹角为 θ, 则 =2×1×cosθ=2cosθ,

不等式| +x |≥| + |即为 ( +x ) ≥( + ) , 即 +2x +x
2 2 2 2



+2

+



即有 4+4xcosθ+x ≥4+4cosθ+1, 2 即 x +4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0, 由对一切实数 x,| +x |≥| + |恒成立, 则有△ ≤0,即为 16cos θ+4(1+4cosθ)≤0, 2 即有(2cosθ+1) ≤0, 则有 2cosθ+1=0, 即 cosθ=﹣ , 由 0≤θ≤π,可得 θ= .
2

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故答案为:



点评: 本题考查向量的数量积的性质, 主要考查向量的平方即为模的平方, 同时考查二次 不等式恒成立思想,运用判别式不大于 0 是解题的关键. 16. (5 分)已知 F1,F2 分别是双曲线 3x ﹣y =3a (a>0)的左、右焦点,P 是抛物线 y =8ax 与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2=12,则抛物线的准线方程为 x=﹣2. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定双曲线的焦点坐标,结合题意,确定焦半径,利用双曲线的定义可解. 解答: 解:由双曲线方程 (a>0)得 c=2a
2 2 2 2

∴F1(﹣2a,0) ,F2(2a,0) , 2 由抛物线方程 y =8ax,设 F2(2a,0)为抛物线的焦点,其准线为 x=﹣2a,过 F1 点 则有|PF1|﹣|PF2|=2a, ∵|PF1|+|PF2|=12, ∴|PF1|=6+a,|PF2|=6﹣a, 又双曲线左准线为 x=﹣ = ,离心率 e=2

∴|PF1|=2xP+a=6+a,∴xP=3 ∴|PF2|=xP+2a=6﹣a,∴a=1 2 ∴抛物线方程为 y =8x, ∴抛物线的准线方程为 x=﹣2. 故答案为:x=﹣2.

点评: 本题综合考查抛物线与双曲线的定义与性质, 考查方程思想, 解题的关键是灵活运 用定义解题,并学会从方程到图形来沟通数与形之间的联系. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤) * 2 17. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,对?n∈N 有 2Sn=an +an (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= 理数的个数. ,设{bn}的前 n 项和为 Tn,求 T1,T2,T3,…,T100 中有

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考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推式可得 an﹣an﹣1=1.利用等差数列的通项公式即可得出; (2)由(1)可得:an=n,可得 bn= 得:{bn}的前 n 项和为 Tn= 解答: 解: (1)∵2Sn=an +an, ∴当 n=1 时, 当 n≥2 时, ,解得 a1=1; ,
* 2

=

,利用“裂项求和”可

,根据 n+1 必定是平方数即可得出.



化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0,∵?n∈N 有 an>0, ∴an﹣an﹣1=1. ∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1. ∴an=1+(n﹣1)=n. ∴an=n.

(2)bn=

=

=



∴{bn}的前 n 项和为 Tn= = ,

+

+…+

∴T1,T2,T3,…,T100 中只有取 n=3,8,15,24,35,48,63,80,99 时,Tn 才为有理 数. ∴T1,T2,T3,…,T100 中有理数的个数为 9. 点评: 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、平方数,考查了变 形能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 18. (12 分)为了解某地高中生身高情况,研究小组在该地高中生中随机抽取 30 名高中生 的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm) ;若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高 个子”,身高在 175 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选 3 名,用 ξ 表示所选 3 人中“高个子”的人数,试写出 ξ 的数学期望.

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考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由题意及茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,利用用分层抽样的方 法,每个人被抽中的概率是 = ,利用对立事件即可; = ,从该地所有高中生(人数很多)中

(2)依题意,抽取一名学生是“高个子”的概率为

选 3 名,ξ~B(3, ) .ξ 的取值为 0,1,2,3,求出每一个值对应事件的概率,即可求出 ξ 的数学期望. 解答: 解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = ,

所以选中的“高个子”有 2 人,“非高个子”有 3 人. 用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”, 则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选 中”, 则 P(A)=1﹣ = .

因此,至少有一人是“高个子”的概率是

. = ,从该地所有高中生(人数很多)中

(2)依题意,抽取一名学生是“高个子”的概率为 选 3 名,ξ~B(3, ) .ξ 的取值为 0,1,2,3. P(ξ=0)= P(ξ=2)= 因此,ξ 的分布列如下: ξ 0 P ∴Eξ=0× +1× +2× +3× = . = = ,P(ξ=1)= ,P(ξ=3)=

= =



1

2

3

点评: 本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的 分布列以及数学期望等基础知识, 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力 和应用意识. 19. (12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分 别在 BC,AD 上,EF∥AB,现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC. (1) 若 BE=1, 是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P, 且 若存在,求出 λ 的值,若不存在,说明理由;
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, 使得 CP∥平面 ABEF?

(2)求三棱锥 A﹣CDF 的体积的最大值,并求出此时二面角 E﹣AC﹣F 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (1)由 EF∥AB,AB⊥AD,可得 EF⊥AF,EF⊥FD,折起后平面 ABEF⊥平面 EFDC,可得 AF⊥平面 EFDC.假设线段 AD 上存在一点 P,且 ABEF.若 BE=1,可得平面 ABEF 的法向量为 ,可得 ,利用 =λ ,使得 CP∥平面 =λ ,可得

=(0,5,0) .由

,解得 λ 即可判断出. ,

(2)设 BE=a,可得 AF=a(0<a≤4) ,FD=6﹣a.V 三棱锥 A﹣CFD=

利用基本不等式的性质可得: 当且仅当 a=3 时取等号. 三棱锥 A﹣CDF 的体积有最大值. 设 平面 ACE 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,利用 ,可得 .设平面 ACF 的法向量为

,同理可得 ,利用

=

即可得出.

解答: 解: (1)∵EF∥AB,AB⊥AD, ∴EF⊥AF,EF⊥FD, 折起后平面 ABEF⊥平面 EFDC.平面 ABEF∩平面 EFDC=EF. ∴AF⊥平面 EFDC. 假设线段 AD 上存在一点 P,且 =λ ,使得 CP∥平面 ABEF.

∵BE=1,可得 F(0,0,0) ,A(0,0,1) ,D(0,5,0) ,C(2,3,0) . 可得平面 ABEF 的法向量为 ∵ ∴ =λ , = , ∴P ∴ = , ,则 = ,解得 . + = =(0,5,0) .

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∴线段 AD 上存在一点 P

,且

=

,使得 CP∥平面 ABEF.

(2)设 BE=a,∴AF=a(0<a≤4) ,FD=6﹣a. ∴V 三棱锥 A﹣CFD= = =3,当且

仅当 a=3 时取等号. ∴当 a=3 时,三棱锥 A﹣CDF 的体积有最大值 3. 可得 A(0,0,3) ,D(0,3,0) ,C(2,1,0) ,E(2,0,0) , ∴ =(2,0,﹣3) , =(2,1,﹣3) , =(0,0,3) , , =(2,1,0) .

设平面 ACE 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,则



,令 x1=3,解得 y1=0,z1=2,

∴ =(3,0,2) . 设平面 ACF 的法向量为 =(x2,y2,z2) ,则 ,

同理可得 =(1,﹣2,0) , ∴ = = = ,

∴二面角 E﹣AC﹣F 的余弦值为



点评: 本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理, 考查了通过建立空间直角坐标系利 用向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法,考查了空间想象能 力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. (12 分)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

+

=1(a>b>0)上一点,A,B 是其左右顶

点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . (1)求椭圆 E 的方程;
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(2)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)上点 N(x,y)处切线方程为

+

=1,若与

与椭圆 E 相切与(x1,y1) ,D(x2 ,y2)两点的切线相交于 P 点,且 ? =0,求证点 P 到原点距离为定值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,M(m,n) ,代入椭圆方程,运用直线的斜率公 式,化简整理,注意整体代入,解方程即可求得 a,b,进而得到椭圆方程; (2)设切点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,运用椭圆上一点的切线方程,得到 PC,PD 的方程, 求得交点 P 的坐标,再由 ? =0,则 PC⊥PD,运用直线的斜率公式,化简整理,由两点

的距离公式,注意 C,D 在椭圆上,满足椭圆方程,运用整体代入,化简计算即可得到定值. 解答: (1)解:设 A(﹣a,0) ,B(a,0) ,M(m,n) ,则 + =1,

即 n =b ? 由 k1k2=﹣ ,即

2

2



?

=﹣ ,

即有
2 2

=﹣ ,
2 2 2

即为 a =2b ,又 c =a ﹣b =1, 2 2 解得 a =2,b =1. 即有椭圆 E 的方程为 +y =1;
2

(2)证明:设切点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则两切线方程 PC,PD 分别为: +y1y=1, ) , +y2y=1,

解得 P(





?

=0,则 PC⊥PD, ,
2 2 2 2 2

即有 kPC=
2

由于 x1 +2y1 =2,即有 x1 ﹣2=﹣2y1 ,1﹣y1 = x1 ,

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代入上式,可得 kPC=



同理可得 kPD=



即有 kPC?kPD=﹣1,即为 x1x2=﹣4y1y2, 2 2 2 2 又 x1 =2﹣2y1 ,x2 =2﹣2y2 , 即有|PO| = 又(x1x2) =16(y1y2) , 2 2 2 即有(2﹣2y1 ) (2﹣2y2 )=16(y1y2) , 2 2 2 即(1﹣y1 ) (1﹣y2 )=4(y1y2) , 即 y1 y2 = (1﹣y1 ﹣y2 ) ,
2 2 2 2 2 2 2 2

=



则|PO| =

=3,

即|PO|= , 故 P 到原点距离为定值 点评: 本题主要考查椭圆的简单性质、 直线与椭圆的位置关系, 导数的几何意义等基本知 识,考查运算能力和综合解题能力.解题时要注意运算能力的培养.
x 2

21. (12 分)已知函数 f(x)=a ﹣xlna(a>1) ,g(a)=b﹣ x ,e 为自然对数的底数. (1)当 a=e,b=5 时,求整数 n 的值,使得方程 f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解 (2)若存在 x1,x2∈[﹣1,1]使得 f(x1)+g(x2)+ ≥f(x2)+g(x1)+e 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)构造函数 F(x)=f(x)﹣g(x)=a ﹣xlna+ x ﹣b,从而代入 a=e,b=5 得 F(x)=e ﹣x+ x ﹣5,F′(x)=e ﹣1+3x;从而由导数的正负确定函数的单调性,再结合 函数零点的判定定理可得 F(x)在(1,2) , (﹣2,﹣1)内分别有一个零点,从而可求得 n=1 或 n=﹣2. (2)原题意可化为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得[f(x1)﹣g(x1)]﹣[f(x2)﹣g(x2)]≥e ﹣ ;即存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得 F(x1)﹣F(x2)≥e﹣ ;从而化为 F(x)max﹣F(x)
min≥e﹣ x 2 x x 2

, x∈[﹣1, 1]; 从而转化为函数 F (x) 的最值问题, 求导可得 F ( ′ x) =a lna﹣lna+3x=3x+

x

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(a ﹣1)lna;从而由导数的正负确定函数的单调性,从而可得 F(x)min=F(0)=1﹣b,F (x)max=max{F(﹣1) ,F(1)};再比较 F(﹣1) ,F(1)的大小可得 F(1)>F(﹣1) ; 从而化为 F(1)﹣F(0)≥e﹣ ;从而可得 a﹣lna≥e﹣lne,从而解得. 解答: 解: (1)令 F(x)=f(x)﹣g(x)=a ﹣xlna+ x ﹣b, 当 a=e,b=5 时,F(x)=e ﹣x+ x ﹣5,F′(x)=e ﹣1+3x; 当 x>0 时,F′(x)>0,则 F(x)在(0,+∞)上为增函数, 当 x<0 时,F′(x)<0,则 F(x)在(0,+∞)上为减函数; 而 F(0)=﹣4,F(1)=e﹣ <0,F(2)=e ﹣1>0, F(﹣1)= ﹣ <0,F(﹣2)= +2>0;
2 x 2 x x 2

x

又∵F(x)在(1,2) , (﹣2,﹣1)上分别连续且单调, ∴F(x)在(1,2) , (﹣2,﹣1)内分别有一个零点, 即方程 f(x)=g(x)在区间(1,2) , (﹣2,﹣1)内有一个解; 综上所述,当 n=1 或 n=﹣2 时,方程 f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解. (2)若存在 x1,x2∈[﹣1,1]使得 f(x1)+g(x2)+ ≥f(x2)+g(x1)+e 成立, 即存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得[f(x1)﹣g(x1)]﹣[f(x2)﹣g(x2)]≥e﹣ ; 即存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得 F(x1)﹣F(x2)≥e﹣ ; 即 F(x)max﹣F(x)min≥e﹣ ,x∈[﹣1,1]; F′(x)=a lna﹣lna+3x=3x+(a ﹣1)lna; x ①当 x>0 时,由 a>1 得 a ﹣1>0,lna>0,故 F′(x)>0; ②当 x=0 时,F′(x)=0; x ③当 x<0 时,由 a>1 得 a ﹣1<0,lna>0,故 F′(x)<0; 则 F(x)在[﹣1,0]上为减函数,[0,1]上为增函数; 故 F(x)min=F(0)=1﹣b; F(x)max=max{F(﹣1) ,F(1)}; 而 F(1)﹣F(﹣1)=a﹣ ﹣2lna(a>1) ; 设 h(a)=a﹣ ﹣2lna(a>0) , 则 h′(a)=1+ ﹣2 =( ﹣1) ≥0,
2 x x

(当且仅当 a=1 时,等号成立) ∴h(a)在(0,+∞)上为增函数,而 h(1)=0; 故当 a>1 时,h(a)>h(1)=0; ∴F(1)>F(﹣1) ;

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故 F(1)﹣F(0)≥e﹣ ; 化简可得,a﹣lna≥e﹣lne, 且易知 m(a)=a﹣lna 在(1,+∞)上是增函数, 故 a≥e; 即实数 a 的取值范围为[e,+∞) . 点评: 本题考查了导数的综合应用及存在性命题, 同时考查了分类讨论的思想及函数零点 的判定定理的应用,属于难题. 选做题。请在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按第一题计分 22. (10 分)如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点,点 P 在线段 BA 延长线上,T 是⊙O1 上一点,PT⊥O2T,过 P 的直线交⊙O1 于 C,D 两点 (1)求证: = ,求 PA 的长.

(2)若⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5,PT=

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用切割线定理,即可证明; (2)证明∠O1AO2=90°,再利用切割线定理,即可求解. 解答: (1)证明:∵PT⊥O2T, ∴PT 是⊙O2 的切线, 2 ∴PT =PA?PB, ∵过 P 的直线交⊙O1 于 C,D 两点 ∴PC?PD=PA?PB, 2 ∴PT =PC?PD, ∴ = ;

(2)解:连接 O1A,O2A, ∵⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2=5, 2 2 2 ∴O1O2 =O1A +O2A , ∴∠O1AO2=90°, 设 Rt△ O1AO2 斜边长为 h,则 h= ∵PT =PA?PB,PT= ∴PA(PA+ )=(
2

=

,AB=2h=



, ),
2

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∴PA=



点评: 本题考查切割线定理,考查学生分析解决问题的能力,考查学生的计算能力,正确 运用切割线定理是关键. 选修 4-4,坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: (φ 为参数) ,以坐标原点

O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ (1)去曲线 C1 的直角坐标方程; (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可; (2) 利用已知, 得到|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1, 然后, 得到|MC2| = (4cosφ﹣1)+9sin φ=7cos φ ﹣8cosφ+10,借助于三角函数的取值情况进行求解即可. 解答: 解: (1)由 ρ=2cosθ,得 2 ρ =2ρcosθ, 2 2 ∴x +y =2x, 2 2 ∴(x﹣1) +y =1, (2)设点 M(4cosφ,3sinφ) ,则 |MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1, 2 2 2 2 |MC2| =(4cosφ﹣1) +9sin φ=7cos φ﹣8cosφ+10, 2 当 cosφ=﹣1 时,得|MC2| max=25,|MC2|max=5, 当 cosφ= 时,得|MC2| ∴
2 min= 2 2 2 2

,|MC2|min=



|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1, ,6].

∴|MN|的取值范围[

点评: 本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、 距离问题处理思路和方法等知识, 属 于中档题. 选修 4-5 不等式选讲 24.已知 a,b∈R,a+b=1,x1?x2∈R. (1)求 + + 的最小值;

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(2)求证: (ax1+bx2) (ax2+bx1)>x1x2. 考点: 不等式的证明. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: (1)利用基本不等式,即可求出 + + 的最小值;

(2)展开,利用基本不等式可得结论. 解答: (1)解:∵a,b∈R,a+b=1,x1,x2∈R, ∴ + + ≥3 =3 ≥3 =6,

当且仅当 a=b=0.5,x1=x2=1 时,

+
2

+
2

的最小值为 6;
2 2

(2)证明: (ax1+bx2) (ax2+bx1)=(a +b )x1x2+ab(x1 +x2 ) 2 2 2 ≥(a +b )x1x2+2abx1x2=(a+b) x1x2≥x1x2. 点评: 本题考查基本不等式的运用,考查最值问题,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题.

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