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山东省日照市第一中学2014年高三上学期期中考试文科数学


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山东省日照市第一中学 2014 届高三上学期第一次月考
数 学 试 题(文科)
注意事项: 山东中学联盟 1. 本试题共分三大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置,在草稿纸和本卷上 答题无效。作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第 I 卷(共 60 分)
一、 选择题 (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项符合题目要求.) 1. 设全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {2,3,4} , B ? {2,5} ,则 B ? (CU A) ? ( A.{5} B.{1,2,5} C. {1,2,3,4,5} D. ? )

2.定义映射 f : A ? B ,若集合 A 中元素在对应法则 f 作用下象为 log 3 x ,则 A 中元素 9 的象 是( ) A.-3 B.-2 C.3 D. 2 ( B. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; ) C. (??,0) D. (??,??) ) )

3.已知命题 p : ?x ? R,cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; 4.函数 f ( x) ? 1 ? 2 的定义域是 (
x

A. (??,0]

B. [0,??)

5. A, B, C 是三个集合,那么“ A ? B ”是“ A ? C ? B ? C ”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若 a ? log 3, b ? log 2, 2, c ? log 2, 则a, b, c 的大小关系是 2 3 1
3





A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

7. f (x) 为奇函数且在 (0,?? )上递增, f (2) ? 0 ,则 若 又 A. (?2,0) ? (0,2) C. (?2,0) ? (2,??)

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 的解集是( x



B. (??,2) ? (0,2) D. (??,?2) ? (2,??)

2 x 8.已知命题 p : 关于 x 的函数 y = x ? 3ax ? 4 在 [1, ??) 上是增函数, 命题 q : 函数 y = (2a ? 1)

为减函数,若 p ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围是 A. a ?

( D.

)

2 3

B. 0 ? a ?

1 2

C.

1 2 ?a? 2 3

1 ? a ?1 2
( )

9.下列函数中既是奇函数又在区间 [?1,1] 上单调递减的是 A. y ? sin x B. y ? ? x ? 1 C. y ? ln

2? x 2? x


D. y ?

1 x (2 ? 2 ? x ) 2

?ln x ? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) f ( x) ? ? 10.函数 的零点的个数 ? 2 x ? 1, ( x ? 0)
A.4 B. 3 C.2 D.1



?a x ? x ? 0? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?0成 11.已知函数 f ? x ? ? ? ,满足对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 ? x2 ?? a ? 3? x ? 4a ? x ? 0 ? ? 立,则 a 的取值范围是 ( ) 1 1 A . (0, ] B .(1,2] C. (1,3) D. ( ,1) 4 2 1 x 12.若存在负实数使得方程 2 ? a ? 成立,则实数 a 的取值范围是( ) x ?1
A. (2,??) B. (0,??) C. (0,2) D. (0,1)

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上) 13.已知函数 y ? f ( x) 的图象在 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y ?

f (1) ? f ?(1) ?

1 x ? 2 ,则 2

.

14.函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x 的极值点为

.

15.已知函数 y = f ( x) 满足 f ( x +1) = f ( x -1) ,且 x ?[?1,1] 时, f ( x)=x 2 ,则函数 y = f ( x) 与

y = log3 | x | 的图象的交点的个数是

.

16. 用 ?x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ?3.1? ? 3, ?? 3.4? ? ?4, ?0? ? 0 , 设 函 数

f ( x) ? ?x? ? x( x ? R) ,关于函数 f (x) 有如下四个命题:① f (x) 的值域为 ?0,1? ; ② f (x) 是
偶函数 ; ③ f (x) 是周期函数,最小正周期为 1 ; ④ f (x) 是增函数. . 其中正确命题的序号是: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(I)当 m =3 时,求 A ? (C R B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知 m ? R ,设命题 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ;命题 Q:函数 f(x)=3x2 4 +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围. 3 19.(本小题满分 12 分)
x 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ,函数 f (x) 的值域为集合 A .

1 2

(I)求 f (?1) 的值; (II)设函数 g ( x) ?

? x 2 ? (a ? 1) x ? a 的定义域为集合 B ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? a ? (I)求 a 的值; (Ⅱ)判断 f (x) 的单调性并证明;

1 是奇函数. 4 ?1
x

(III)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x. (Ⅰ)若 f ( x)在(1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 (Ⅱ)若 x ? ? 是f ( x) 的一个极值点,求 f ( x)在[1, a] 上的最大值。

1 3

22. (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , x ?[0,6] 的图象经过 (0,0) 和 (6,0)

y

两点,如图所示,且函数 f ( x) 的值域为 [0,9] .过该函数图象上的 动点 P(t , f (t )) 作 x 轴的垂线,垂足为 A ,连接 OP . (I)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)记 ?OAP 的面积为 S ,求 S 的最大值.

P

O

A

6

x

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山东省日照一中 2011 级高三年级第一次月考 数 学 试 题(文科)参考答案 第 I 卷(共 60 分) BDCAA CDCCB AC

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上)

1 3; 2 ;4;③
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (1)

? x | ?1 ? x ? 3? ----------6 分

(2)m=8--------12 分

18. (本小题满分 12 分)已知 m ? R ,设命题 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ;命题 Q:函数 f(x)=3x2 4 +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围. 3 18.解:对 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ,即 2≤m≤8………2 分 4 对 Q:由已知得 f(x)=3x2+2mx+m+ =0 的判别式 3 4 Δ=4m2-12(m+ )=4m2-12m-16>0,…………….5 分 3 得 m<-1 或 m>4. ………………………………….8 分 所以,要使“P 或 Q”为真命题,只需求其反面,P 假且 Q 假, 即?

?m ? 8或m ? 2 ………10 分 ?? 1 ? m ? 4

? ? 1 ? m ? 2 ………11分 ?实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? …………12 分
19.解: (I) ?函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数

? f (?1) ? f (1)
又 x ? 0 时, f ( x) ? ( )

...........1 分

1 2

x

? f (1) ?

1 2 1 f (?1) ? 2

...........2 分 ...........3 分

(II)由函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,可得函数 f (x) 的值域 A 即为 x ? 0 时, f (x) 的取 值范围. 当 x ? 0 时, 0 ? ( ) ? 1
x

..........5 分

1 2

...........7 分

故函数 f (x) 的值域 A = (0,1]

...........8 分

? g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a

?定义域 B ? {x ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}
由 ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 得

...

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 ,
即 ( x ? a)( x ? 1) ? 0 ...........10 分

? A? B
? B ? [?1, a], 且 a ? 1

?实数 a 的取值范围是 {a a ? 1}

...........12 分

20.解: (1)函数 f (x) 的定义域为 R,因为 f (x) 是奇函数,所以 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 即a ?

1 1 1 4x 1 ? a ? ?x ? 2a ? x ? ? 2a ? 1 ? 0 ,故 a ? ? . x x 2 4 ?1 4 ?1 4 ?1 1? 4
1 2

(另解:由 f (x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,故 a ? ? . 再由 f ( x) ? ? ?

1 1 1? 4x ? , 2 1 ? 4 x 2(1 ? 4 x )

1 的合理性)-------------4 分 2 1 1 (2)解法一:由(1)知 f ( x) ? ? ? x , 2 4 ?1
通过验证 f ( x) ? f (? x) ? 0 来确定 a ? ? 由上式易知 f (x) 在 R 上为减函数,证明略------------8 分 (3)又因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 等价于
2 2

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ).
f (x) 在 R 上为减函数,由上式得: t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k.
即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0,
2

从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ?
2 21.解: (I) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3

1 -------------12 分 3

? f ( x)在[1, ??) 上是增函数

? f ?( x)在[1, ??)上恒有f ?( x) ? 0

………………3 分

即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0在[1, ??) 上恒成立

a ? 1且f ?(1) ? ?2a ? 0,? a ? 0. 3 1 (II)依题意, f ?(? ) ? 0, 3 1 2 即 ? a?3? 0 3 3
则必有

………………6 分

? a ? 4,? f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 3x
令 f ?( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 3 ? 0, 得 x1 ? ? , x2 ? 3, 则

………………8 分

1 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

1

(1,3) —

3 0 —18

(3,4) +

4

—6

—12

? f ( x) 在[1,4]上的最大值是 f (1) ? ?6.

………………13 分 ..........2 分

22. 解: (I)由已知可得函数 f ( x) 的对称轴为 x ? 3 ,顶点为 (3,9) . .

? ? f ( 0) ? 0 ? ? b ?3 方法一:由 ?? ? 2a ? 4ac ? b 2 ?9 ? ? 4a
得 a ? ?1, b ? 6, c ? 0 得 f ( x) ? 6 x ? x , x ?[0,6]
2

...........5 分 ...........6 分
2

方法二:设 f ( x) ? a( x ? 3) ? 9 由 f (0) ? 0 ,得 a ? ?1

...........4 分 ...........5 分 ...........6 分

f ( x) ? 6 x ? x2 , x ?[0,6]

(II) S (t ) ?

1 1 OA ? AP ? t (6t ? t 2 ), t ? (0,6) 2 2 3 2 3 S ' (t ) ? 6t ? t ? t (4 ? t ) 2 2

...........8 分 ...........9 分

列表 ...........11 分 由上表可得 t ? 4 时,三角形面积取得最大值. 即 S (t )max ? S (4) ?

1 ? 4(6 ? 4 ? 42 ) ? 16 . 2

………………13 分


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