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1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理


1.1.1 分类计数原理



分步计数原理

2004年夏季在德国举行的第十
八届世界杯足球赛共有32支队伍参 加。他们先分成八个小组进行循环赛,

决出16强,这16强按确定的程序进
行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外

还决出了三、四名。
问:一共安排了多少场比赛?

思考?
用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号,总共能够编出多 少种不同的号码?

26+10=36

问题 1. 从甲地到乙地,可以乘火车,也
可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中,火 车有4 班, 汽车有2班,轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车,有4种方法; 第二类方法, 乘汽车,有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。

一、分类计数原理

完成一件事,有n类办法. 在第1类办法中有 m1种不同的方法,在第2类方法中有m2种不同的 方法,……,在第n类方法中有mn种不同的方法, 则完成这件事共有

N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
说明
各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事, 要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数 原理又称加法原理。

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:

A大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学

B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
解:这名同学在A大学中有5种专业选择,在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。

想一想 在填写高考志愿表时,一名高中毕业 生了解到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业,具体情况如下: A大学 B大学

C大学
环境科学 地质学 车辆工程

生物学
化学

数学
会计学

医学
物理学

信息技术学
法学

工程学
如果这名同学只能选择一个专业,那么他共有多 少种选择呢?

思考?
用前6个大写英文字母和1~9九个阿 拉伯数字,以A1,A2,〃〃〃,B1,B2, 〃〃〃的方式给教室里的座位编号,总 共能编出多少个不同的号码?
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任何一个组成一个号码,而且 它们各个不同,因此共有6×9=54个不同的 号码。

问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条,
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村,共有多少种不同的走法?
北 A村 北 B村 C村


南 南

从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。

分析:

二、分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, ……, 做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有
说明

N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1)各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理 2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准, 然后对每步方法计数.

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同 的电话号码? 分析:

05798415 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

N=4+3+2=9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?

N=4 ×3×2=24

例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法?
解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种 选法 第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2 种选法

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N= 3 × 2 = 6

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类办法都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类办法是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

课堂练习
如图,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地 有3条路;从甲地到丙地有4条路可以走,从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法?

甲地

乙地 N1=2×3=6

N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地

2.如图,该电
路,从A到B共 有多少条不 同的线路可 通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

例5、给程序模块命名,需要用3个字符,其中首 字符要求用字母A~G或U~Z,后两个要求用数字 1~9,问最多可以给多少个程序命名? 解:

第1步:选首字符,共有7+6=13种选法
第2步:选中间字符,共有9种选法 第3步,选最后一个字符,共有9种选法 根据分步计数原理,最多可以有13×9×9= 1053个不同的名称

例6 核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学 成分,一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的 长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分 所占据.总共有4种不同的碱基,分别用A,C,G,U表示. 在一个RNA分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以 在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设 有一类RNA分子由100个碱基组成,那么能有多少个不同的 RNA分子?

4100个

A C A G U C C G A U G A

例8 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥 有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部 门出台了一种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照都 必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数 字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须 合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照?

共能给22464000辆汽车上牌照.

作业:
1. 课本P6练习; 2. 课本P10练习1,2,3,4题;

3.课本P12习题1.1全部。


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