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2013届高考数学(理)复习讲议:矩阵与变换(人教A)


【2013 年高考会这样考】 1.本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算,考题中多考 查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形,进而研究新图形的性质. 2.本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵,主要考查行列式的计算、逆矩阵的 性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题. 【复习指导】 1.认真理解矩阵相等的概念,知道矩阵与矩阵的乘法的意义,并能熟练进行

矩 阵的乘法运算. 2.掌握几种常见的变换,了解其特点及矩阵表示,注意结合图形去理解和把握 矩阵的几种变换. 3.熟练进行行列式的求值运算,会求矩阵的逆矩阵,并能利用逆矩阵解二元一 次方程组.

基础梳理 1.乘法规则 (1)行矩阵[a11 [a11 b a12]与列矩阵?b11?的乘法规则: ? ?
21

b a12]?b11?=[a11×b11+a12×b21]. ? ?
21 21

a (2)二阶矩阵?a11 ?

a12? ?x0? a22?与列向量?y0?的乘法规则:

?a11 a12? ?x0?=?a11×x0+a12×y0?. ?a21 a22? ?y0? ?a21×x0+a22×y0? (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下: ?a11 a12? ?b11 b12?= ?a21 a22? ?b21 b22? ?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22? ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22? (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.即(AB)C=

A(BC),AB≠BA,由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行 乘法运算. 2.常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换. 3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩 阵; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) 1=B 1A 1. 4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使 Aα=λα,那 么 λ 称为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. 双基自测 1 1.(2011· 南通调研测试)曲线 C1:x2+2y2=1 在矩阵 M=?0 ? 曲线 C2,求 C2 的方程. 解 设 P(x,y)为曲线 C2 上任意一点,P′(x′,y′)为曲线 x2+2y2=1 上与 P 对应的点, 1 则?0 ? ?x=x′+2y′, ?x′=x-2y, 2??x′? ?x? =?y?,即? ?? 1??y′? ?y=y′ ?y′=y. 2? 1?的作用下变换为
- - -

因为 P′是曲线 C1 上的点, 所以 C2 的方程为(x-2y)2+2y2=1. 1 2.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是?1?,求 ? ? 矩阵 A. a 解 设 A=? c ? a 由? c ? ?a=2, b? a b 1 2 ,由?c d? ?0?=?3?,得? d? ? ? ? ? ? ? ?c=3.

?a+b=3, ?b=1, b??1? 1 3 =3?1?=?3?,得? 所以? d??1? ? ? ? ? ?c+d=3. ?d=0. 1? 0?.

2 所以 A=?3 ?

a 3.(2011· 苏州调研测试)已知圆 C:x2+y2=1 在矩阵形 A=?0 ? x2 y2 对应的变换作用下变为椭圆 9 + 4 =1,求 a,b 的值. 解

0? b?(a>0,b>0)

设 P(x,y)为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点

P′(x′,y′), ?x′? a 则?y′?=?0 ? ?x′=ax, 0? ?x? ,即? b? ?y? ?y′=by.

x2 y2 a2x2 b2y2 又因为点 P′(x′, y′)在椭圆 9 + 4 =1 上, 所以 9 + 4 =1.由已知条件可知, x2+y2=1,所以 a2=9,b2=4. 因为 a>0,b>0,所以 a=3,b=2. 1 2 4. (2011· 南京市模拟)已知 a=?1?为矩阵 A=?-1 ? ? ? 实数 a,λ 的值及 A2. 1 解 由条件可知?-1 ? a? ?2? ?2? 4? ?1?=λ?1?, a? 4?属于 λ 的一个特征向量,求

?2+a=2λ, 所以? 解得 a=λ=2. ?-2+4=λ, 1 因此 A=?-1 ? 1 所以 A2=?-1 ? ?-1 ?-5 10? 14?. 2? 4?. 2? ? 1 4? ?-1 2? 4?=

考向一

矩阵与变换

【例 1】 ?求曲线 2x2-2xy+1=0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程, 1 其中 M=?0 ? 0? ? 1 2?,N=?-1 0? 1?.

[审题视点] 先求积 MN,再求变换公式. 1 解 MN=?0 ? 0?? 1 2??-1 0? ? 1 1?=?-2 0? 2?.

设 P(x′,y′)是曲线 2x2-2xy+1=0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换

下变为点 P(x,y), 1 x 则?y?=?-2 ? ? ? x′ ? 0??x′? ? =? 2??y′? ?-2x′+2y′?, ?

y 于是 x′=x,y′=x+2, 代入 2x′2-2x′y′+1=0,得 xy=1. 所以曲线 2x2-2xy+1=0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy=1.

【训练 1】 四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形, 其中点的坐标分别为 A(-1,2),B(3,2),C(3,-2),D(-1,-2),A′(-1,0), B′(3,8), C′(3,4), D′(-1, -4), 求将四边形 ABCD 变成四边形 A′B′C′D′ 的变换矩阵 M. 1 解 该变换为切变变换,设矩阵 M 为? k ? 1 则? k ? 0? 1?,

0??-1? ?-1? 1?? 2?=? 0 ?.所以-k+2=0,解得 k=2. 0? 1?. 考向二 矩阵的乘法与逆矩阵 -1? ?,求(AB)-1. 0?

1 所以 M 为?2 ?

?1 【例 2】?已知矩阵 A=? ?0

0? ?0 ?,B=? 2? ?1

?a b? ?的逆矩阵,一般是设 [审题视点] 求矩阵 A=? ?c d ? ?x y ? ?a b? ?,由? ? A-1=? ?c d ? ?z w? ?1 解 AB=? ?0 0? ?0 ? ? 2? ?1 ?x y ? ?1 ? ?=? ?z w? ?0 -1? ?. 0? 0? ?, 1? 0? ?, 1? 0? ?求得. 1?

-1? ?0 ?=? 0? ?2

?a b? ?1 ?,则由(AB)· -1=? 设(AB)-1=? (AB) ?c d ? ?0 ?0 得? ?2 -1? ? 0? ?a b? ?1 ? ?=? ?c d ? ?0

0? ?-c -d ? ?1 ?,即? ?=? 1? 2b? ?0 ?2a

?-d=0, 所以? 2a=0, ?2b=1,
-c=1,

? 1 ?b=2, 解得? ?c=-1, ?d=0.
a=0,

? 0 故(AB) =? ? ?-1
-1

1? 2?. ? 0?

?1 【训练 2】 已知矩阵 A=? ?2

0? ?1 ?,B=? ?0 1? c? ?, d?

3? ?,求矩阵 AB 的逆矩阵. 1?

?a 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 A-1=? ?b ?1 则? ?2 0? ? 1? ?a ? ?b c? ? a ?= d? ?2a+b

c ? ?1 2c+d?=?0 ?

0? ?, 1?

解之得,a=1,b=-2,c=0,d=1, ? 1 所以 A-1=? ?-2 ?1 同理得,B-1=? ?0 ?1 所以(AB)-1=? ?0 0? ?. 1? -3? ?.又(AB)-1=B-1A-1, 1? -3?? 1 ?? 1??-2 0? ? 7 ?=? 1? ?-2 -3? ?. 1?

考向三 ?2 【例 3】?已知矩阵 M=? ?2 得到点 P′(-4,0),求: (1)实数 a 的值;

矩阵的特征值与特征向量

a? ?,其中 a∈R,若点 P(1,-2)在矩阵 M 的变换下 1?

(2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量. ? λ-2 [审题视点] f(λ)=? -2 ?2 解 (1)由? ?2 -3 ? λ-1?=(λ-2)(λ-1)-6.

a?? 1? ?-4? ?? ?=? ?, 1??-2? ? 0?

所以 2-2a=-4.所以 a=3. ?2 (2)由(1)知 M=? ?2 ?λ-2 f(λ)=? ?-2 3? ?,则矩阵 M 的特征多项式为 1?

-3? ?=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4. λ-1 ?

令 f(λ)=0,得矩阵 M 的特征值为-1 与 4. ??λ-2?x-3y=0, 当 λ=-1 时,? ?x+y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ? 1? 所以矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为? ?. ?-1? ??λ-2?x-3y=0, 当 λ=4 时,? ?2x-3y=0. ?-2x+?λ-1?y=0 ?3? 所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为? ?. ?2? ?a b? ?,矩阵 A 属于特征值 λ1=-1 的一个特征向 【训练 3】 已知二阶矩阵 A=? ?c d ? ? 1? ?3? 量为 a1=? ?,属于特征值 λ2=4 的一个特征向量为 a2=? ?,求矩阵 A. ?2? ?-1? 解 由特征值、特征向量定义可知,Aa1=λ1a1, ?a-b=-1, ? 1? ?a b?? 1? ?? ?=-1×? ?,得? 即? ?c d ??-1? ?-1? ?c-d=1. ?3a+2b=12, 同理可得? 解得 a=2,b=3,c=2,d=1. ?3c+2d=8. 因此矩阵 A= ?2 3? ? ?. ?2 1?

矩阵的有关问题及其求解方法 矩阵与变换是理科附加题的选考题,题型主要有矩阵与变换、矩阵的乘积与逆矩 阵,求矩阵的特征值与特征向量.熟悉变换问题的解题,掌握矩阵乘法法则和求 矩阵特征值与特征向量的方法,会用待定系数法求逆矩阵. ?a 【示例】? (本题满分 10 分)(2011· 福建)设矩阵 M=? ?0 (1)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M-1; x2 (2)若曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′: 4 + 0? ?(其中 a>0,b>0). b?

y2=1,求 a,b 的值. 用待定系数法求逆矩阵. ?x1 y1? ?, [解答示范] (1)设矩阵 M 的逆矩阵 M-1=? ?x2 y2? ?1 则 MM-1=? ?0 ?2 所以? ?0 0??x1 ?? 3??x2 0? ?2 ?.又 M=? ?0 1? y1? ?1 ?=? y2? ?0 0? ?, 1? 0? ?, 3?

所以 2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 1 1 即 x1=2,y1=0,x2=0,y2=3,

故所求的逆矩阵 M



?1 2 1 ? = ?0 ?
0? ? b?

0? ?.(5 分) 1? 3?

(2)设曲线 C 上任意一点 P(x,y),它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 ?a P′(x′,y′),则? ?0 ?ax=x′, ?x? ?x′? ? ?=? ?,即? 又点 P′(x′,y′)在曲线 ?y? ?y′? ?by=y′,

x′2 C′上,所以 4 +y′2=1, a2x2 2 2 则 4 +b y =1 为曲线 C 的方程.
2 ?a =4, 又已知曲线 C 的方程为 x +y =1,故? 2 ?b =1, 2 2

?a=2, 又 a>0,b>0,所以? (10 分) ?b=1. ?1 【试一试】 (2011· 江苏)已知矩阵 A=? ?2 =β.
[尝试解答] 设 α=? ?, A α=β, ? 由 得
2

1? ?1? ?,向量 β=? ?,求向量 α,使得 A2α ?2? 1?

?x? ?y?

? ?3 2??x? ?1? ?3x+2y=1, 即 ?? ?=? ?, ? ?4 3??y? ?2? ?4x+3y=2, ?

解得?

?x=-1, ? ?y=2. ?

故 α=?

?-1? ?. ? 2?

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