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天体运动中的追及相遇问题


天体运动中的追及相遇问题

江西省南丰一中 聂应才 地面上的物体常常出现追及相遇问题,关键是找出它们的位移、速度和时间等关系,运 动路线应该在同一轨道上。 天体运动中也有追及相遇问题, 它与地面上的追及相遇问题在思 维有上相似之处,即也是找出一些物理量的关系,但它也不同之处,有其自身特点。根据万

有引力提供向心力,即

,所以当天体速度增加或减少时,对

应的圆周轨道会发生相应的变化, 所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。 分析天体运 动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。 1.追及问题 例 1 如图 1 所示,有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动,旋转方向相同,A 行星的周期为 T1,B 行星的周期为 T2,在某一时刻两行星相距最近,则①经过多长时间,两 行星再次相距最近?②经过多长时间,两行星第一次相距最远?

分析与解答:A、B 两颗行星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力

,因此 T1<T2。可见当 A 运动完一周时,B 还没有达到 一周,但是要它们的相距最近,只有 A、B 行星和恒星 M 的连线再次在一条直线上,且 A、B 在同侧,从角度看,在相同时间内,A 比 B 多转了 2π;如果 A、B 在异侧,则它们相距最远, 从 角 度 看 , 在 相 同 时 间 内 , A 比 B 多 转 了 π 。 所 以 再 次 相 距 最 近 的 时 间 t1 , 由

; 第 一 次 相 距 最 远 的 时 间

t2 , 由

。如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去 掉,那么结果如何? 2.相遇问题 例 2 设地球质量为 M,绕太阳做匀速圆周运动,有一质量为 m 的飞船由静止开始从 P 点沿 PD 方向做加速度为 a 的匀加速直线运动,1 年后在 D 点飞船掠过地球上空,再过 3 个

月又在 Q 处掠过地球上空,如图 2 所示(图中“S”表示太阳)。根据以上条件,求地球与 太阳之间的万有引力大小。

分析与解答:飞船开始与地球相当于在 D 点相遇,经过 3 个月后,它们又在 Q 点相遇, 分析与解答

因此在这段时间内,地球与太阳的连线转过的角度

。设地球的公转周

期 为 T , 飞 船 由 静 止 开 始 做 加 速 度 为 a 的 匀 加 速 直 线 运 动 , 则

地球的公转半径为

所以 地球与太阳之间的万有引力大小为 例 3 阅读下列信息,并结合该信息解题: (1)开普勒从 1609 年~1619 年发表了著名的开普勒行星运动三定律,其中第一定律 为: 所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动, 太阳在这个椭圆的一个焦点上。 第三定律: 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。 实践证 明,开普勒三定律也适用于其他中心天体的卫星运动。

(2)从地球表面向火星发射火星探测器,设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周 运动,火星轨道半径 Rm 为地球轨道半径 Re 的 1.500 倍,简单而又比较节省能量的发射过程 可分为两步进行:第一步,在地球表面用火箭对探测器进行加速,使之获得足够动能,从而 脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造卫星; 第二步是在适当时刻点燃与探测器 连在一起的火箭发动机,在短时间内对探测器沿原方向加速,使其速度数值增加到适当值, 从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好 射到火星上。 当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后, 在某年 3 月 1 日零时测得探 测器与火星之间的角距离为 60°,如图 3 所示,问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭 发动机方能使探测器恰好落在火星表面?(时间计算仅需精确到日),已知地球半径为: ; ; 。

分析与解答:为使探测器落到火星上,必须选择适当时机点燃探测器上的发动机,使探 分析与解答 测器沿椭圆轨道到达火星轨道的相切点,同时,火星也恰好运行到该点与探测器相遇,为此 必须首先确定点燃时刻两者的相对位置。如图 4 所示。

因探测器在地球公转轨道运行周期 Td 与地球公转周期 Te 相等,即 Td=Te=365 天

探测器在点火前绕太阳转动角速度

探测器沿椭圆轨道的半长轴

由开普勒第三定律 得探测器在椭圆轨道上运行周期



因此探测器从点火到达火星所需时间

火星公转周期



火星绕太阳转动的角速度 由 于 探 测 器 运 行 至 火 星 需 255 天 , 在 此 期 间 火 星 绕 太 阳 运 行 的 角 度

即探测器在椭圆轨道近日点点火时,火星在远日点的切点之前 137°,亦即点燃火箭发 动机时,探测器与火星角距离应为θ2=180°-θ1=43° 已知某年 3 月 1 日零时,探测器与火星角距离为 60°(火星在前,探测器在后),为 使其角距离变为θ2=43°,必须等待 时间,则

所以 故点燃发动机时刻应为当年 3 月 1 日后 38 天,即 4 月 7 日。


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