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9.2014高中数学专题训练9


专题训练9 立体几何Ⅰ

基础过关 1.下面几何体的轴截面是圆面的是( D ) A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球

2. 垂直于同一条直线的两条直线一定( D ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能

3. 一条直线和平面所成的角为 θ,那么 θ 的取值范围是( B ) A. (0° ,

90° ) C. [0° ,180° ] B. [0° ,90° ] D. [0° ,180°]

4. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3

5. 设 l, m 是两条不同的直线, α 是一个平面, 则下列命题正确的是( B ) A. 若 l⊥m,m?α ,则 l⊥α C. 若 l∥α,m?α ,则 l∥m B. 若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D. 若 l∥α,m∥α ,则 l∥m

? 6. 已知点 A? ?1,2,-1?,点 C 与点 A 关于平面 xOy 对称,点 B 与点 A 关

于 x 轴对称,则|BC|的长为( B ) A. 2 5 B. 4 C. 2 2 D. 2 7

提示:C(1,2,1),B(1,-2,1)
7. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同 一球面上,则这个球的表面积是( B ) A. 25π C. 125π B. 50π D. 以上答案都不对

5 2 提示:由外接球直径等于长方体体对角线,可得 R= ,S=4π R2=50π . 2

8. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A ) 3 A. π R3 24 3 B. π R3 8 5 C. π R3 24 5 D. π R3 8

R 3 1 3 提示:圆锥底面半径 r= ,高 h= R,V= π r2h= π R3. 2 2 3 24

9. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( D ) A. 2 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 6 3

提示:所求角即为 DD1 与平面 ACD1 所成角,由图形对称性可知所成角即为 ∠DD1O.

10. 在空间四边形 ABCD 中,M,N 分别是 AB,CD 的中点,设 BC+AD =2a,则 MN 与 a 的大小关系是( C ) A. MN>a C. MN<a B. MN=a D. 不能确定

提示:取 BD 中点 E,连接 ME,NE,由中位线可知 ME+NE=a,由三角形 性质可知 MN<ME+NE=a.
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心, E,F 分别是 CC1,AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等 于( D ) A. 10 5 B. 2 3 C. 5 5 D. 15 5

提示:取 BC 的四等分点 G,在三角形 OEG 中利用余弦定理可求解.

12. 如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和 俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( B )

(第 12 题)

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

提示:由三视图可知原几何图为斜四棱柱,V=3×3× 3=9 3.

13. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的所有面对角线中,与 AB1 成异面直线且 与 AB1 成 60° 角的有( D ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条

14. 已知正三棱锥底面三角形的边长为 2, 侧棱长为 3, 则其体积为( A ) A. 5 3 B. 5 C. 2 5 3 D. 5 6

提示:先求得正三棱锥高 h=

15 1 1 15 5 ,V= × ×2×2×sin 60 °× = . 3 3 2 3 3

15. 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形, 且该梯 形的面积为 2,则原梯形的面积为( D ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4

提示:可得原梯形上下底不变,高为题中梯形高的 2 2倍.
16. 已知 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,过 A,C,B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l,则 l 与 AC 的位置关系是________ 平行 .

17. 若将两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个球,则这个大球的半径为
3 2 ________ .

18. 已知二面角 α-MN-β 的大小是 60°,P∈α ,PQ⊥β 于 Q,且 PQ =6 cm,则 Q 到 α 的距离是________ . 3

提示:h=6×sin 30°=3.

19. 点 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平 面 ABCD,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD= 2a, PD 与底面成 30°角,BE⊥PD 于 E.求直线 BE 与平 面 PAD 所成的角.
解析

(第19题)

∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥AB.∵

∠BAD=90°,∴AB⊥AD,∴AB⊥平面 PAD.∴∠BEA 为 BE 与平面 PAD 所 成的角.∵BE⊥PD,∴AE⊥PD.在 Rt△PAD 中,∠PDA=30°,AD=2a,∴ AE=a,∴∠BEA=45°,即直线 BE 与平面 PAD 所成的角为 45°.

20. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知棱长 AB= 3,AA1=1 ,截面 AB1C1D 为正方形. (1)求点 B1 到平面 ABC1 的距离; (2)求二面角 B-AC1-B1 的正弦值.
解析 (1)如图,∵棱长 AB= 3,AA1=1,AB1C1D 是正

方形,∴B1C1=AB1=2.∵AB⊥平面 BB1C1C.∴平面 ABC1⊥ 平面 BB1C1C.作 B1H⊥BC1 于 H, 则 B1H⊥平面 ABC1, ∴B1H
(第20题) 为点 B1 到平面 ABC1 的距离.在 Rt△BB1C1 中,∵BB1·B1C1=BC1·B1H.∴B1H

BB1·B1C1 1×2 2 = = = 5. BC1 1+4 5

(2)作 HO⊥AC1,垂足为 O,则 B1O⊥AC1,∴∠

HOB1 是二面角 B—AC1—B1 的平面角,又 O 是正方形 AB1C1D 的对角线交点, B1H 10 10 ∴sin∠B1OH= = ,即二面角 B-AC1-B1 的正弦值为 . B1O 5 5

冲刺 A 级 21.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°.现将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( D ) A. 9 π 2 B. 7 π 2 C. 5 π 2 3 D. π 2

1 3 提示:V=V 大-V 小= π r2(1+1.5-1)= π . 3 2

22. 如图,四边形 ABCD 为矩形,AB=3,BC=1,EF∥BC 且 AE=2EB, G 为 BC 的中点,K 为△ADF 的外心.沿 EF 将矩形折成一个 120°的二面角 A-EF-B,则此时 KG 的长是( A )

(第 22 题) A. 3 B. 3 2 C. 3 D. 1

提 示 : 直 角 △ADF 的 外 心 为 斜 边 AF 的 中 点 , 由 余 弦 定 理 得 KG = 12+12-2×1×1×cos 120 °= 3.

23. 正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 中点,则直线 AC 与 截面 BDE 所成的角为________ 45° .

提示:连接 AC,BD 相交于点 O,可知所求角即为∠COE.

24. 如图是正方体的表面展开图,在这个正方体中,① AN 与 BG 平行;②AN 与 EF 是异面直线;③AN 与 DM 成 60°角;④DM 与 EF 平行.以上四个命题中,正确命题的
①③ . 序号是________ 提示:由图还原正方体即可求得.

(第 24 题)

25. 如图,Rt△BCD 所在的平面垂直于正△ABC 所在的平面,其中∠BCD =90°,PA⊥平面 ABC,DC=BC=2PA,E,F 分别为 DB,BC 的中点. (1)求证:AE⊥BC; (2)求直线 PF 与平面 BCD 所成角的大小.

(第 25 题)
解析 (1)连接 EF,AF,∵EF//CD,CD⊥BC,∴EF⊥BC.又在正三角形 ABC 中,有 AF⊥BC,AF∩EF=F,∴BC⊥平面 AEF,而 AE?平面 AEF,∴ AE⊥BC. (2)∵DC⊥BC,平面 BCD⊥平面 ABC,∴DC⊥平面 ABC,∴DC⊥ AF.又∵AF⊥BC,∴AF⊥平面 BCD.连接 PE,而 PA 綊 EF,∴四边形 PAFE 为 平行四边形,即 PE//AF,∴PE⊥平面 BCD,∴∠PFE 为直线 PF 与平面 BCD 所成的角.设 PA=1,则在 Rt△PEF 中,PE=AF= 3,EF=1,∴tan∠PFE = 3,∴∠PFE=60°,∴直线 PF 与平面 BCD 所成角的大小为 60°.


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