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2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(57)随机数与几何概型)


课时作业(五十七) [第 57 讲 随机数与几何概型] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中产生一个均匀随机数,则得到数字 8 的概率是( ) 1 8 1 1 A. B. C. D. 9 9 3 2 2. [2011· 锦州摸底] 某路公共汽车每 5 分钟发车一次, 某乘客到乘车点的时刻是随机的, 则他候车时间不超过

3 分钟的概率是( ) 3 4 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 3.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为( ) π 3 2 1 A. B. C. D. 4 4 3 3 4.[2011· 山西联考] 在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机选一点 M,则点 M 到点 D 的 距离小于正方形的边长的概率是________. 能力提升 5. 在等腰 Rt△ABC 中, 在斜边 AB 上任取一点 M, 则 AM 的长小于 AC 的长的概率是( ) 2 2 2 1 A. B. C. D. 3 4 2 2 6.[2011· 肇庆二模] 在区间(0,π]上随机取一个数 x,则事件“sinx+ 3cosx≤1”发生 的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3

图 K57-1 7.[2011· 三明联考] 如图 K57-1 所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个 a 角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧围成的,某人向此板投镖,假设 2 每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 ( ) π π A. B.1- 4 4 π C.1- D.与 a 的取值有关 8 8.[2011· 福州质检] 在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x) 2 2 =x +2ax-b +π2 有零点的概率为( ) π π A.1- B.1- 8 4 π 3π C.1- D.1- 2 4 9. 将一条 4 米长的绳子随机地截成两条, 用 A 表示所截两段绳子都不短于 1 米的事件, 则事件 A 发生的概率是________. 10. 在一个边长为 3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形, 向大正方形内随机 投点,则所投的点落入小正方形内的概率是________. 11.从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以 构成三角形的概率是________. 12. (13 分)[2011· 东莞一模] 某班主任统计本班 50 名学生放学回家后学习时间的数据,

用条形图表示(如图 K57-2). (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出 10 个学生谈话,求在学习时间为 1 个小时的学生中选出的人数; (3)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续学习 2 小时,乙每天 连续学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率.

图 K57-2 难点突破 13.(12 分)天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,你能设计一种 随机模拟的方法,近似计算这三天恰有两天下雨的概率是多少吗?

课时作业(五十七) 【基础热身】 1.A 1 [解析] 依据均匀随机数的概念知,在该集合内得到任何一个整数的概率都是 . 9

故选 A. 2.A [解析] 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点,而且点落入[2,5]内的概率设为 A ={某乘客候车时间不超过 3 分钟}, 构成事件A的区域长度 3 则 P(A)= = . 试验的全部结果构成的区域长度 5 3.C [解析] 点 B 可以在点 A 的两侧来取,距离点 A 的最远处时,AB 的弧长为 1,根 2 据几何概率可知其整体事件是其周长 3,则其概率是 .故选 C. 3

π [解析] 如图,点 M 落在阴影区域内时,点 M 到点 D 的距离小于正方形的边长, 4 π 所以概率为阴影部分的面积与正方形面积的比值,即 . 4 【能力提升】 AC′ AC 5.C [解析] 在 AB 上截取 AC′=AC,于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)= = = AB AB 2 .故选 C. 2 π? 1 π 6.C [解析] 由 sinx+ 3cosx≤1 得 sin? ?x+3?≤2,当 x∈(0,π]时,解得2≤x≤π,所 π π- 2 1 以所求概率为 P= = .故选 C. π-0 2 a 7.B [解析] 阴影部分的面积是边长为 a 正方形面积减去一个半径为 的圆的面积,所 2 2 2 a a- π 4 π 以概率为 =1- . a2 4 4.

8. B [解析] 由已知, 有-π≤a≤π, -π≤b≤π.函数有零点, 则 Δ=4a2+4b2-4π2≥0, 2 2 即 a +b ≥π ,如图,当两数 a,b 落在正方形内,圆外的四个空白区域内时,满足题设条 4π2-π·π2 π 件,所以概率为 P= =1- .故选 B. 4π2 4 1 9. [解析] 要满足所截两段都不短于 1 米,则截点在绳子的中间 2 米的区域内,所以 2 2 1 概率为 P(A)= = . 4 2 4 22 4 10. [解析] 设所求概率为 P,则 P= 2= . 9 3 9
2

3 11. 4

[解析] 从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,共有 4 种不同取

3 法,能构成三角形的有 2、3、4,2、4、5,3、4、5 共 3 种,∴所求的概率为 P= . 4 20×1+10×2+10×3+5×4 12.[解答] (1)平均学习时间为 =1.8(小时). 50 10 (2)20× =4. 50 (3)设甲开始学习的时刻为 x,乙开始学习的时刻为 y,试验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x, y)|18≤x≤21,18≤y≤20}, 面积 SΩ=2×3=6.事件 A 表示“22 时甲、 乙正在学习”, 所构成的区域为 A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y≤20},面积为 SA=1×1=1,这是一个几何概 SA 1 型,所以 P(A)= = . SΩ 6 [点评] 根据以上的解法,我们把此类问题的解决总结为以下四步: (1)构设变量.从问题情景中,发现哪两个量是随机的,从而构设为变量 x、y. (2)集合表示.用(x,y)表示每次试验结果,则可用相应的集合分别表示出试验全部结果 Ω 和事件 A 所包含试验结果.一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集. (3)作出区域.把以上集合所表示的平面区域作出来,先作不等式对应的直线,然后取 一特殊点验证哪侧是符合条件的区域. 计算求解.根据几何概型的概率公式,易从平面图形中两个面积的比求得. 【难点突破】 13.[解答] 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算器或计算机可以产生 0 到 9 这十个数字的随机数,我们用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨,这样可以体 现下雨的概率是 40%.因为是 3 天,所以每三个随机数作为一组. 例如,产生 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 257 393 027 556 488 730 113 537 989 431 就相当于做了 20 次试验. 在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两天下雨,它们分别是 5 191,271,932,812,393, 即共有 5 个数. 我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似值为 =25%. 20


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