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高三二轮复习传送带问题


高三二轮复习
------传送带问题分析

一、送带传问题分类 按放置分:水平、倾斜两种; 按转向分: 顺时针、逆时针转两种。
二、常用知识点: ?运动学公式 ?牛顿第二定律 ?动能定理、能量守恒定律 三、难点分析: 1、对于物体与传送带之间是否存在摩擦力、是滑动摩擦力还是 静摩擦力、摩擦力的方向如何、摩擦力何时发生突变等等,这 些关于摩

擦力的产生条件、方向的判断等基础知识模糊不清; 2、对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动,判断 错误; 3、对于物体在传送带上运动过程中的能量转化情况考虑不全面, 出现能量转化不守恒的错误过程。

(一)水平放置运行的传送带 ? 水平传送物体时,由于物体自身重力不 产生沿传送带方向的分力,所以较为简 单。

例1、如图示,质量m=1kg的物体从高为h=0.2m的光滑轨 道上P点由静止开始下滑,滑到水平传送带上的A点,物体 和皮带之间的动摩擦因数为μ=0.2,传送带AB之间的距离 为L=5m,传送带一直以v=4m/s的速度匀速运动, 求: (1)物体从A运动到B的时间是多少? (2)物体从A运动到B的过程中,摩擦力对物体做了多少功? (3)物体从A运动到B的过程中,产生多少热量? (4)物体从A运动到B的过程中,带动传送带转动的电动机 多做了多少功? P
h
A v L B

解:(1)物体下滑到A点的速度为v0 ,由机械能守恒定律 v0 =2m/s 物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动, t1= (v-v0) / μg=1s S1= (v2-v02 ) / 2μg=3m t2=(L-S1)/v=0.5s ∴t = t1 +t2=1.5s (2)Wf=μmg S1= 0.2×10 ×3J=6 J 或 Wf= 1/2 mv2 - 1/2 mv02 = 1/2 ×(16-4)J= 6 J (3)在t1时间内,皮带做匀速运动 S皮带=v t1 =4m Q= μmg ΔS = μmg(S皮带- S1)=2J

1/2 mv02 =mgh

(4)由能量守恒, W=Q+Wf=8J 或W=μmg S皮带=8J

小结:

一、 处理水平放置的传送带问题,首先是要对放在 传送带上的物体进行受力分析,分清物体所受摩擦力 是阻力还是动力;其二是对物体进行运动状态分析, 即对静态→动态→终态进行分析和判断,对其全过程 作出合理分析、推论,进而采用有关物理规律求解.

二、传送带问题中的功能分析

①功能关系:WF=△EK+△EP+Q ②对WF、Q的正确理解 (a)传送带做的功:WF=F·带 S 功率P=F · 带 v (F由传送带受力平衡求得)
(b)产生的内能:Q=f · 相对 S

练习1:水平传送带长4.5m,以3m/s的速度作匀速运动。 质量m=1kg的物体与传送带间的动摩擦因数为0.15,则该 物体从静止放到传送带的一端开始,到达另一端所需时 间为多少?这一过程中由于摩擦产生的热量为多少?这一 过程中带动传送带转动的机器做多少功? (g取10m/s2)。

解:物体在摩擦力作用下先匀加速运动, 后做匀速运动, a =μg=1.5m/s2 t1= v / a=2s S1= 1/2 at12= 3 m
t2=(L-S1)/v=0.5 s ∴t = t1 +t2=2.5 s

木块与传送带的相对位移 ΔS =vt1- S1=3m Q= μmg ΔS =4.5J
机器做功W= 1/2 mv2 +Q=9J 或W= μmg S皮带= μmg vt1=9J

练习2. 如图所示,一平直的传送带以速度v=2m/s匀速运 动, 传送带把A处的工件运送到B处, A、B相距L=10m。 从A处把工件无初速地放到传送带上,经过时间t=6s,能传 送到B处,要用最短的时间把工件从A处传送到B处,求 B 传送带的运行速度至少多大? A v 解: 由题意可知 t >L/v,
所以工件在6s内先匀加速运动,后匀速运动, 故有 S1=1/2vt1 ① S2=vt2 ② 且 t1+t2=t ③ S1+S2=L ④ 联立求解得: t1=2s; v=at1, a=1m/s2 ⑤ 若要工件最短时间传送到B处,工件加速度仍为a, 设传送带速度为v' ,工件先加速后匀速,同上 L=1/2 v' t1+ v' t2 ⑥

v? 又 ? t1 ? a



v? 2 v? ? v ?( t ? ) ⑨ 联立求解⑥─⑧得 L ? 2a a L v? t? ? ⑩ 将⑨式化简得 v ? 2a L v? L 从⑩式看出 ? ? ? 常量 v ? 2a 2a

t2=t-t1



L v? 故当 ? 即 v ? ? 2aL 时 , t 有最小值. 因而 v ? 2a

v ? v? ? 2aL ? 2 ? 1? 10 ? 4.47m/s
通过解答可知工件一直加速到B所用时间最短.

水平传送带但转动方向发生变化
例2.物块从光滑曲面上的P点自由滑下,通过粗糙的 静止水平传送带以后落到地面上Q点,若传送带的皮 带轮沿逆时针方向转动起来,使传送带随之运动,如 图7所示,再把物块放到P点自由滑下,则:( A ) A. 物块将仍落在Q点 B. 物块将会落在Q点的左边 C. 物块将会落在Q点的右边 D. 物块有可能落不到地面上
Q P

例3、 如图示,物体从Q点开始自由下滑,通过粗 糙的静止水平传送带后,落在地面P点,若传送带按 顺时针方向转动。物体仍从Q点开始自由下滑,则物 体通过传送带后: ( D ) Q A. 一定仍落在P点 B. 可能落在P点左方 C. 一定落在P点右方 D. 可能落在P点也可能落在P点右方
解:物体滑下的初速度为v0 ,传送带静止时,物体滑到右端速 度为v1,传送带转动时,物体滑到右端速度为v2,传送带长L P

由功能关系

f L=1/2m(v02-v12)

传送带转动时,可能一直减速,也可能先加(减)速后匀速 运动,相对地面滑动的距离为s f s=1/2m(v02-v22)

s≤L

∴v2≥v1

练习3 质量为m的物体从离传送带高为H处沿光滑圆弧 轨道下滑,水平进入长为L的静止的传送带落在水平地 面的Q点,已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ,则当 传送带转动时,物体仍以上述方式滑下,将落在Q点的 左边还是右边? P H
L h Q

答案

2 当传送带的速度v ? v 0 ? 2 ?gL 时,物体仍将落在Q点; 2 当传送带的速度 v ? v 0 ? 2 ?gL 时,物体将落在Q点的右边.

体验高考:2006年全国卷Ⅰ24、 24. 一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质 点),煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,

传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速
度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀 速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段

黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色
痕迹的长度。

解:根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传 送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度a小于传 送带的加速度a0 。根据牛顿定律,可得 a= μg

设经历时间t,传送带由静止开始加速到速度等于v0, 煤块则由静止加速到v,有 (P为传送带上的一点) v0= a0t v=at 由于a< a0 ,故v<v0,煤块继续受到滑动摩擦力的作用.
再经过时间t',煤块的速度由v增加到v0,有 v0=v+at' 此后,煤块与传送带运动速度相同,相对于传送带不 再滑动,不再产生新的痕迹。 设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中,传送带 和煤块移动的距离分别为s0和s,有 s0= 1/2a0t2+v0t' s=v02/2a 传送带上留下的黑色痕迹的长度 l = s0-s 2 v 0 ( a0 ? ? g ) l? 由以上各式得

2? ga 0

体验高考:2005年江苏理综卷35. 35. 如图所示为车站使用的水平传送带装置的示意图. 绷紧的传送带始终保持3.0m/s的恒定速率运行,传送 带的水平部分AB距水平地面的高度为h=0.45m.现有 一行李包(可视为质点)由A端被传送到B端,且传送 到B端时没有被及时取下,行李包从B端水平抛出, 不计空气阻力,g取10 m/s2 (1)若行李包从B端水平抛出的初速v=3.0m/s,求 它在空中运动的时间和飞出的水平距离; (2)若行李包以v0=1.0m/s的初速从A端向右滑行, 包与传送带间的动摩擦因数μ=0.20,要使它从B端 L 飞出的水平距离等于(1)中所 A B 求的水平距离,求传送带的长 h 度L应满足的条件.

解:(1)设行李包在空中运动时间为t, L 飞出的水平距 离为s,则 A B 2 s=v t h=1/2 gt h 代入数据得:t=0.3s s=0.9m (2)设行李包的质量为m,与传送带 相对运动时的加速度为a,则滑动摩擦力 F=? mg=ma 代入数据得:a=2.0m/s2 要使行李包从B端飞出的水平距离等于(1)中所求 水平距离,行李包从B端飞出的水平抛出的初速度 v=3.0m/s 设行李被加速到V时通过的对地位移距离为s0,则 2as0 =v2-v02 ⑦

代入数据得 s0=2.0m ⑧ 故传送带的长度L应满足的条件为:L≥2.0m



传送带问题变式:(2004全国高考) 一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一 边与桌的AB边重合,如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ 1, 盘与桌面间的动摩擦因数为μ 2。现突然以恒定加速度。将桌布抽 离桌面,加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌 面掉下,则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)

(二)倾斜放置运行的传送带
难点分析:
?分析时没有考虑到重力的分力、重力势能的变化; ?滑动摩擦力的方向判断错误。 ?没有出分析滑动摩擦力、静摩擦力之间的突变。

例4:如图示,传送带与水平面夹角为370 ,并以v=10 m/s 运行,在传送带的A端轻轻放一个小物体,物体与传送带 之间的动摩擦因数μ=0.5, AB长16米,求:以下两种情况 下物体从A到B所用的时间. (1)传送带顺时针方向转动 (2)传送带逆时针方向转动

解: (1)传送带顺时针方向转动时受力如图示:

mg sinθ-μmg cosθ= m a
a = gsinθ-μgcosθ= 2 m/s2 S=1/2a t2
t? 2S ? a 2 ? 16 ? 4s 2
B

N v mg

f

A

(2)传送带逆时针方向转动物体受力如图: 开始摩擦力方向向下,向下匀加速运动 a1 =g sin370 +μ g cos370 = 10m/s2 t1=v/a1=1s S1=1/2 ×a1t2 =5m S2=11m 1秒后,速度达到10m/s,摩擦力方向变为向上

物体以初速度v=10m/s向下作匀加速运动 a2=g sin370 -μg cos370 = 2 m/s2
S2= vt2+1/2×a2 t2
2

N N B

A
f f mg mg

11=10 t2+1/2×2×t22 t2=1s

∴t=t1+t2=2s

v

例5. 一传送皮带与水平面夹角为30°,以2m/s的恒定 速度顺时针运行。现将一质量为10kg的工件轻放于底 端,经一段时间送到高2m的平台上,工件与皮带间的 动摩擦因数为μ= 3 2 ,取g=10m/s2 求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。

v

30°

解: 设工件向上运动距离S 时,速度达到传送带的速 度v ,由动能定理可知 μmgS cos30°– mgS sin30°= 0- 1/2 mv2 解得 S=0. 8m,说明工件未到达平台时,速度已达到 v , 所以工件动能的增量为 工件重力势能增量为 △EK = 1/2 mv2=20J △EP= mgh = 200J

在工件加速运动过程中,工件的平均速度为 v/2 ,

因此工件的位移是皮带运动距离S '的1/2,
即S '= 2S = 1.6 m 由于滑动摩擦力作功而增加的内能 △ E 为 △E=f △S= μ mgcos30°(S '-S)= 60J 电动机多消耗的电能为 △EK+△EP+△E=280J

另解: 物体开始受到向上的摩擦力作用,做匀加速运动

滑动摩擦力 f1= μmgcosθ=75N a=μgcosθ-gsinθ=g/4 =2.5 m/s2 经过时间t1=v/a=0.8s 速度达到2m/s ,上升s1=v2/2a=0.8m
然后在静摩擦力作用下做匀速运动,上升 s2=3.2m t2= s2 /v=1.6 s 静摩擦力 f2= mgsinθ=50N 为保持皮带匀速运动,机器在t1时间内应增加动力75N, 在t2时间内应增加动力50N 带动皮带的电动机由于传送 工件多消耗的电能为 W= f1 vt1 + f2 vt2 =75×1.6+50×3.2 =120+160=280J
N v f

30°

mg

小结: ?分析滑动摩擦力方向时要紧紧抓住“阻碍 相对运动”这句话的含义。 ?注意重力的分力,注意物体的受力由滑动 摩擦力到静摩擦力的突变,物体在倾斜的 传送带上运动时静摩擦力也做功。 ?系统能量的增加来源于电动机消耗的电能。

练习4

重物A放在倾斜的皮带传送机上,它和皮带一直相对静 止没有打滑,如图所示。传送带工作时,关于重物受 到摩擦力的大小,下列说法正确的是: ( B ) A、重物静止时受到的摩擦力一定小于它斜向上运动 时受到的摩擦力 B、重物斜向上加速运动时,加速度越大, 摩擦力一定越大 A C、重物斜向下加速运动时.加速度 越大.摩擦力一定越大 D、重物斜向上匀速运动时速度 B 越大,摩擦力一定越大 θ

练习5 如图所示,传送带与地面间的夹角为370,AB间传动 带长度为16m,传送带以10m/s的速度逆时针匀速转动 ,在传送带顶端A无初速地释放一个质量为0.5kg的物 体,它与传送带之间的动摩擦因数为0.5,则物体由A 运动到B所需时间为(g=10m/s2 sin370=0.6)( B )

4 5 A.1s B.2s C.4s D. 5
B 370

A

体验高考(1998上海高考)某商场安装了一台倾角为θ = 300的自动扶梯,该扶梯在电压为u=380V的电动机带动 下以v=0.4m/s的恒定速率向斜上方移动,电动机的最大 输出功率P =4.9kW.不载人时测得电动机中的电流为I =5A,若载人时扶梯的移动速率和不载人时相同,则这台 自动扶梯可同时乘载的最多人数为多少?(设人的平均质 量m=60kg,g=10m/s2) 解:这台自动扶梯最多可同时载人数的意义是电梯仍能以 v=0.4m/s的恒定速率运动. 按题意应有电动机以最大输出功率工作,且电动机做功有 两层作用:一是电梯不载人时自动上升;二是对人做功. 由能量转化守恒应有:P总=P人+P出, 设乘载人数最多为n,则有P=IU+nmgsinθ ·v,

代入得n=25人

(三)平斜交接放置运行的传送带
这类题一般可分为两种:一是传送带上仅有一个物 体运动;二是传送带上有多个物体运动。解题思路与

前面两种相仿,都是从力的观点和能量转化守恒角度
去思考,挖掘题中隐含的条件和关键语句,从而找到

解题突破口.

例6
如图的传送带,其水平部分ab=2m,bc=4m,bc与水 平面夹角 ? =37o ,一小物体A与传 送带的动摩擦因数 ? =0.25,皮带沿图所示方向运动,速率为2m/s。若把 物体A轻轻放到A点,它将被皮带送到c点,且物体A 一直没有脱离皮带。求物体A从a点被传送到c 点所用 的时间。

体验高考03年全国理综 一传送带装置示意如图,其中传送带经 过AB区域时是水平的,经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑 模板形成,未画出),经过CD区域时是倾斜的,AB和CD都与BC 相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送 带上,放置时初速为零,经传送带运送到D处,D和A的高度差 为h。稳定工作时传送带速度不变,CD段上各箱等距排列,相 邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后,在到达B之前已经 相对于传送带静止,且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小 滑动)。已知在一段相当长的时间T 内,共运送小货箱的数目为 N。这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮 轴处的摩擦。 求电动机的平均输出功率P。 D

A

B

C

解析:以地面为参考系(下同),设传送带的运动速度为 v0,在水平段运输的过程中,小货箱先在滑动摩擦力作 用下做匀加速运动,设这段路程为s,所用时间为t,加 速度为a,则对小箱有: S =1/2· 2 at v0 =at 在这段时间内,传送带运动的路程为: 由以上可得: S0 =2S S0 =v0 t

用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力, 则传送带对小箱做功为 A=f S=1/2· 02 mv
传送带克服小箱对它的摩擦力做功 A0=f S0=2×1/2· 02 mv 两者之差就是摩擦力做功发出的热量 Q=1/2· 02 mv

[也可直接根据摩擦生热 Q= f △S= f(S0- S)计算]

可见,在小箱加速运动过程中,小箱获得的动能与 发热量相等. Q=1/2· 02 mv
T时间内,电动机输出的功为: W=PT

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦 力发热,即:

W=N· 1/2· 02+mgh+Q ]= N· mv02+mgh] [ mv [
已知相邻两小箱的距离为L,所以: v0T=NL 联立,得: v0=NL / T

? Nm ? N 2 L2 P? ? 2 ? gh? T ? T ?


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