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2014年高中数学复习方略课时作业:6.6直接证明与间接证明(人教A版·数学文·四川专用)]


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课时提升作业(三十九)
一、选择题 1.(2013·潍坊模拟)在证明命题“对于任意角θ ,cos4θ -sin4θ =cos 2 θ ”的过程: “cos4θ -sin4θ =(cos2θ +sin2θ )·(cos2θ -sin2θ )=cos2 θ -sin2θ =cos 2θ ”中应用了( (A)分析法 (C)分析法和综合法综合使用 ) (B)综合法 (D)间接证法 )
a 4 ? b4 ≤0 2

2.要证明 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( (A)2ab-1-a2b2≤0 (C)
(a ? b) 2 -1-a2b2≤0 2

(B)a2+b2-1-

(D)(a2-1)(b2-1)≥0 ) (B)a3+b3≤ab2+a2b (D)a3+b3<ab2+a2b ) (B)a,b 都大于 0 (D)a,b 中至少有一个小于 0

3.如果 a<0,b<0,则必有( (A)a3+b3≥ab2+a2b (C)a3+b3>ab2+a2b

4.若实数 a,b 满足 a+b<0,则( (A)a,b 都小于 0 (C)a,b 中至少有一个大于 0

5.在不等边三角形 ABC 中,a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结论,三 边 a,b,c 应满足的条件是( )

(A)a2<b2+c2 (C)a2>b2+c2
4 4

(B)a2=b2+c2 (D)a2≤b2+c2

6.(2013·郑州模拟)若|loga 1 |=loga 1 ,|logba|=-logba,则 a,b 满足的 条件是 ( (A)a>1,b>1 (C)a>1,0<b<1
? ? 2 2

)

(B)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1

7.若α ,β ∈[ ? , ],且α sin α -β sin β >0,则下面结论正确的是 ( ) (B)α +β >0 (D)α 2>β
1 b 1 c 1 a
2

(A)α >β (C)α <β

8.已知 a,b,c 都是负数,则三数 a ? , b ? , c ? ( (A)都不大于-2 (C)至少有一个不大于-2 二、填空题

)

(B)都不小于-2 (D)至少有一个不小于-2

9.(2013· 石家庄模拟)如果 a a ? b b ? a b ? b a, 则 a,b 应满足的条件是 _______. 10.设 P ? 2,Q ? 7 ? 3,R ? 6 ? 2, 则 P,Q,R 的大小顺序是_______. 11.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意的 m,n∈N*都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;

③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有_______. 三、解答题 12.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d 中至少 有一个是负数. 13.(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子 的值都等于同一个常数. (1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°. (2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°. (3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°. (4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°. (5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你 的结论. 14.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点. 若 f(c) =0,且 0<x<c 时,f(x)>0.
1 a 1 (2)试比较 与 c 的大小. a

(1)证明: 是函数 f(x)的一个零点.

答案解析
1.【解析】选 B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 2.【解析】选 D.a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 3.【解析】选 B.(a3+b3)-(ab2+a2b)=(a3-ab2)-(a2b-b3)=a(a2-b2)-b(a2-b2) =(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b), 由于 a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0, 于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0, 故 a3+b3≤ab2+a2b. 4.【解析】选 D.假设 a,b 都不小于 0,即 a≥0,b≥0,则 a+b≥0,这 与 a+b<0 相矛盾,因此假设错误,即 a,b 中至少有一个小于 0. 5. 【解析】 选 C.当 A 为钝角时, cos A<0,因此
b2 ? c2 ? a 2 ? 0, 于是 a 2 ? b2 ? c2 . 2bc

6.【思路点拨】先利用|m|=m,则 m≥0,|m|=-m,则 m≤0,将条件进行 化简,然后利用对数函数的单调性即可求出 a 和 b 的范围. 【解析】选 B.∵|loga 1 |=loga 1 ,
4 4

∴loga 1 ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1.
4

∵|logba|=-logba, ∴logba≤0=logb1,但 b≠1,所以根据对数函数的单调性可知 b>1. 7.【思路点拨】构造函数 f(x)=xsin x,研究其奇偶性与单调性,再进 行判断. 【解析】选 D.设函数 f(x)=xsin x,显然 f(x)是偶函数,且在(0, ) 上,f′(x)
? 2

=sin x+xcos x>0,即 f(x)在[0, ]上递增.由已知可得 f(α)>f(β), 亦即 f(|α|)>f(|β|),因此|α|>|β|,故 ?2 ? ?2 . 8.【解析】选 C.假设三个数都大于-2,即 a ? ? ?2, b ? ? ?2, c ? ? ?2, 则得到 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6. 而 a,b,c 都是负数, 所以 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? )
? ?2 (?a)
1 b 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a

? 2

1 1 1 ? 2 (?b) ? 2 (?c) ? ?6, ?a ?b ?c
1 c 1 a

这与 (a ? ) ? (b ? ) ? (c ? ) ? ?6 矛盾,因此三个数中至少有一个不大于 -2. 【变式备选】证明:若正数 a,b,c 满足 abc>8,则 a,b,c 中至少有一个 大于 2. 【解析】假设 a,b,c 都不大于 2,即 0<a≤2,0<b≤2,0<c≤2,所以 0 <abc≤8,这与 abc>8 矛盾,因此 a,b,c 中至少有一个大于 2. 9.【解析】 a a ? b b ? a b ? b a ? ( a ? b)2 ( a ? b) ? 0 ? a ? 0, b ? 0, 且 a ≠b. 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 10.【解析】∵ P ?
4 2 2 ,Q ? 4 4 ,R ? , 7? 3 6? 2

而 2 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 7, ∴
1 2 2 ? 1 1 ? , 2? 6 3? 7



4 2 2

?

4 4 ? , 即 P>R>Q. 2? 6 3? 7

答案:P>R>Q 11.【解析】在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2, 则 f(1,5)=f(1,4)+2=?=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=?=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③ 12.【证明】假设 a,b,c,d 都是非负数,因为 a+b=c+d=1, 所以 a,b,c,d∈[0,1],
a?c b?d , bd ? bd ? , 2 2 a?c b?d ? ? 1, 所以 ac ? bd ? 2 2

所以 ac ? ac ?

这与已知 ac+bd>1 相矛盾,所以原假设不成立,即证得 a,b,c,d 中至 少有一个是负数. 13. 【解析】 ①选择(2)式计算如下 sin215°+cos215°-sin 15°cos 15° = 1 ? sin 30° ? . ②三角恒等式为 sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) ? . 证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α + sin 30°sin α)
3 4 1 2 3 4

=sin2α+ cos2α+ - sin2α

3 4

1 3 3 sin αcos α+ sin2α- sin αcos α 4 2 2

1 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4

14.【解析】(1)∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2. ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根. 又 x1x2= ,∴x2= ( ≠c),
1 a 1 即 是函数 f(x)的一个零点. a 1 1 (2)假设 <c,∵ >0,由 0<x<c 时,f(x)>0, a a 1 1 1 知 f( )>0,这与 f( )=0 矛盾,∴ ≥c. a a a 1 1 又∵ ≠c,∴ >c. a a c a 1 a 1 a

∴ 是 f(x)=0 的一个根,

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