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2.3.1双曲线及其标准方程


一.复习提问: 椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a > |F1F2| ) 的点的轨迹. Y M ? x, y ? |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|) 思考问题: F1 ?? c, 0 ? O F2? c, 0 ? X 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢? 一.授新课:1.画双曲线 P= {M ||MF1 | - | MF2| = 2a } P= {M ||MF1 | - | MF2| =-2a } P= {M |||MF1 | - | MF2| |=2a } ①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线 2.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 注意 M (1)距离之差的绝对值 F | |MF1| - |MF2| | = 2a (2)常数要小于|F1F2|大于0 1 o F 2 0<2a<2c 试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形? (F1、F2是两定点, |MF1|-|MF2| =2a, |F1F2| =2c (0<a<c) 当|MF1|-|MF2|=2a时,点M的轨迹 双曲线的右支 当|MF2|-|MF1|=2a时,点M的轨迹 双曲线的左支 F2 ; ; 若2a=2c,动点M 的轨迹 以F1、F2为端点的两条射线 ; M 不存在 F1c,动点M 若2a>2 的轨迹 F 2 . F1 M 线段F1F2的垂直平分线 若2a=0,动点M的是轨迹_______________________. 因此,在应用定义时,首先要考查 2a与2c的大小 . F1 F2 练一练: 已知F1(-4,0),F2(4,0),︱MF1︱-︱MF2︱=2a, 当a=3和4时,点M轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线 3.双曲线的标准方程 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1| F1 y M o F2 x - |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = + 即 (x+c)2 + y2 - 4.化简. (x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a ( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2 y M F1 o cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 令c2-a2=b2 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 双曲线的标准方程 y M y M F2 x F O 1 F 2 x O F1 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? ? 1 2 2 a b

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