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1.5.1 -1.5.3曲边梯形的面积 汽车行驶的路程(讲)


1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.(重点) 2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. (难点)

1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 1.5.3 定积分的概念

这些图形的面积该怎样计算?

例题(阿基米德问题):求由抛物 线y=x

2与直线x=1,y=0所围成的平面图形 的面积.
y

问题1:我们是怎样计 算圆的面积的?圆周率 是如何确定的? 问题2:“割圆术”是 怎样操作的?对我们有 x 何启示?

Archimedes,约公元前 287年—约公元前212年

1.曲边梯形的概念:如图所示,我们把由直
线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形称为曲边梯形.
y y=f(x) f(b)

f(a)
a b

如何求曲边梯 形的面积?

O

x

探究1: 曲边梯形的面积
直线x?1,y?0及曲线y?x2所围成的图形(曲边梯 形)面积S是怎么计算?
对任意一个小曲边梯形,用“直边”代替“曲边” (即在很小范围内以直代曲)
y

为了计算曲边梯形的面积S,将它分割成许多小曲边梯形,

方案1

方案2

方案3

O

1

x

下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程

解题思想
“细分割、近似和、渐逼近”

(1)分割

1 1 2 i ?1 i n ?1 n [0, ],[ , ], ???,[ , ], ???,[ , ], n n n n n n n
每个区间长度为

把区间[0,1]等分成n个小区间:

i i ?1 1 ?x ? ? ? n n n

过各区间端点作x轴的垂线, 从而得到n个小曲边梯形,它 们的面积分别记作

?S1 , ?S2 , ???, ?Si , ???, ?Sn .
S ? ? ?S i
i ?1 n

(2) 近似代替

i ?1 i ?1 2 1 ?Si ? f ( )?x ? ( ) ? n n n
n

(i=1,2,?,n)

(3)求和

S ? ?S1 ? ?S2 ? ??? ? ?Sn ? ? ?Si ,
i ?1

i-1 1 n i-1 2 1 ? ? f( ) ? ? ( ) n n i ?1 n n i ?1 1 2 2 ? 3 [0 ? 1 ? 2 2 ? ??? ? (n ? 1) 2 ] n

n

1 (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3 n 6 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) 3 n 2n
(4)取极限
当分割无限变细,即Δ x → 0(亦即n → +∞)时, 1 ? 1 ?? 1 ? 1 S = lim ? 1 - ? ? 1 = ? n→∞ 3 ? n ? ? 2n ? 3 1 即所求曲边梯形的面积为 . 3
演示

我们还可以从数值上看出这一变化趋势 区间[0,1]的等分数n
2
4 8 16 32

S的近似值Sn
0.125 000 00
0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09

64
128 256

0.325 561 52
0.329 437 26 0.331 382 75

512
1024 2048 ?

0.332 357 41
0.332 845 21 0.333 089 23 ?

? i ?1 i ? 取f ? x ? ? x 在区间 ? , ? 上任意一点?i处的值f ??i ? ? n n? 作为近似值,都有
2

S ? lim ?
?x ? 0 i ?1

n

1 1 f ??i ??x ? lim ? f ??i ? ? . n ?? 3 i ?1 n

n

一般地,对于曲边梯形,我们也可采用 分割 近似代替 求和 取极限

的方法,求其面积.

探究2: 汽车行驶的路程
思考1:已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的

运动速度?

例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s?(t)=6t+0.
思考2:已知物体运动速度为v(常量)及时间t,怎么 求路程?

s=vt 直接求出

思考 3:如果汽车做 变速直线运动, 在时 刻 t 的速度为 v(t)= 2 - t +2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢?

v
2

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) ? ? t 2 ? 2
D Sj

gD S

n

?

O

1 2 3 j n-1 n n n n n

1

t

解: (1)分割 在时间区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个分点, 将区间

? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:
? 1? ?1 2? ? n ?1 ? 0 , ? , ? , ? ,… , ? ,1? 记第 i 个区间为 ? ? n? ?n n? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为 ?t ? ? ? ? n n n ? n n? ? 1? ?1 2? ? n ?1 ? ,1? 上行 把汽车在时间段 ?0 , ? , ? , ? ,…, ? ? n? ?n n? ? n ? 驶的路程分别记作: ?S1 , ?S2 ,…, ?Sn

显然, S ? ? ?Si
i ?1

n

( 2 ) 近 似 代 替 当 n 很 大 , 即 ?t 很 小 时 , 在 区 间 ? i ?1 i ? 2 v t ? ? t ? 2 的值变化很 , 上,可以认为函数 ? ? ? ? ? n n? 小, 近似地等于一个常数, 不妨认为它近似地等于左端
i ?1 ? i ?1 ? ? i ?1 ? 点 处的函数值 v ? ? ? ?? ? ? 2 ,从物理意义 n ? n ? ? n ? ? i ?1 i ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) 上的速 看,就是汽车在时间段 ? ? n n? i ?1 度变化很小,不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n 2 ? i ?1 ? ? i ?1 ? v? ? ? ?? ? ? 2 做匀速直线运动, ? n ? ? n ?
2

即在局部小范围内“以匀速代变速” ,于是用小矩形 的面积 ?Si? 近似地代替 ?Si ,则有
2 ? ? 1 i ?1 ? i ?1 ? ? ? ?Si ? ?Si? ? v ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ? n

? i ?1 ? 1 2 ? ?? ? ? ? (i ? 1, 2,?, n) ① ? n ? n n

2

(3)求和
n

由①得,
n n

2 ? i ?1 ? i ?1 ? 1 2 ? ? ? S n ? ? ?Si? ? ? v ? ???t ? ? ? ? ? ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? n ? i ?1 ? ? ? n ? n n? ?

1 ?1? 1 ? n ?1 ? 1 = ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 n ?n? n ? n ? n 1 ?2 2 2 = ? 3 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 2 = ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 =? 3 3 ? n ?? 2n ? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 . 3 ? n ?? 2n ?

2

2

(4)取极限 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 即 ?t 趋 向 于 0 时 ,
1 ? 1 ?? 1 ? Sn ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 趋向于 S , 3 ? n ?? 2n ?
1 ? i ?1 ? 从而有 S ? lim Sn ? lim ? ? v ? ? n ?? n ?? ? n ? i ?1 n
n

? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 5 ? lim ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 2 ? ? . n ?? ? 3 ? n ?? 2n ? ? 3

思考 4:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车 行驶的路程 s 与由直线 t=0,t=1,v=0 和曲线 v= 2 -t +2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
图中矩形面积的和就是曲边 梯形的面积,从而汽车行 驶的路程 s ? lim s n 在数
n ??

v
v ? ?t 2 ? 2

值上就等于相应曲边梯形 面积.

o

1

t

图1.5 ? 6

从而,汽车行驶的路程S ? lim Sn在数值上等于
n ??

由直线 t ? 0, t ? 1, v ? 0和曲线v ? ?t 2 ? 2所围成的曲 边梯形的面积.

一般地, 如果物体做变速直线运动, 速 度函数为 v ? v(t ), 那么我们也可采用分割、 近似代替、求和、取极限的方法, 求出它在 a ? t ? b内的位移s.

探究3: 定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过 以下四步:

分割——近似代替——求和——取极限得到解
决.
曲边梯形面积 S ? lim ?
?x ?0 i ?1 n

1 f ??i ??x ? lim ? f ??i ?. n ?? i ?1 n

n

变速运动的路程 1 s ? lim ? v ?? ?i ?t ? lim ? v ?? ?i . ?t ? 0 n ?? i ?1 i ?1 n
n n

2.定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b
将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间 [xi-1 ,xi ]上任取一点ξ i(i = 1,2,...,n),作和式

?
i ?1

n

b?a f (?i )?x ? ? f (?i ) n i ?1
n

当n ? ?时,上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分, 记作

?a f ( x)dx
即?
b a

b

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ). n ?? n i ?1
n

这里,a和b分别叫做积分下限和积分上限, 区间[a, b]叫做积分区间,函数f ( x)叫做被积函数, x叫做积分变量,f ( x)dx叫做被积式.

定积分的定义的理解:

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ). n ?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间.

y

y ? f ( x)

O

a

x b

积分上限

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ). n ?? n i ?1
n

积分下限

被 积 函 数

被 积 式

积 分 变 量

探究 4:

定积分 ? f ( x)dx 的几何意义:
a
b

b

3. 定积分的几何意义:如果在区间[a,b]上函数 f(x) 连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分 ? f ( x )dx 表示由
a

直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积.
y

y?f ( x)

O

a

b x

按定积分的几何意义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、

x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为

S = ? f(x)dx.
a

b

(2) 设物体运动的速度 v=v(t) ,则此物体在时间区

间[a, b]内运动的距离s为

s = ? v(t)dt.
a

b

根据定积分的定义,右边图形

y f(x)=x2

的面积为

S??

1

0

1 f ( x )dx ? ? x dx ? . 0 3
1 2

1 S? 3
O
1

x

同样地,1.5.2中汽车在0≤t≤1
这段时间内经过的路程

5 s ? ? v ( t )dt ? ? ( ?t ? 2)dt ? . 0 0 3
1 1 2

总结提升: (1) 定积分是一个数值 , 它只与被积函数 及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,



? ?
b

b

a

f ( x )dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du.
a a

b

b

(2) 定义中区间的分法和?i的取法是任意的.
(3)
a

f ( x )dx ? ?? f ( x )dx.
b
b a

a

特别地, 当a ? b时, ? f ( x)dx ? 0.

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所

围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f ( x )dx在几何上
a

b

y

y??f (x)
b

表示上述曲边梯形面积 的负值.

S ? ? [ ? f ( x )]dx
a

b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

? ? ? f ( x )dx
a

b

O a
b c

b x
?? S f (x)dx? ?a f (x)dx ?? ?c a
b

f(

?

b

a

f ( x )dx ? ? S .

y?f ( x)

探究5: 用定积分表示图中阴影部分的面积

根据定积分的几何意义,如何用定积分 表示图中阴影部分的面积?
y y?f ( x)

(x S1 ? y x) )dx ? ? fg(
S2 ? ? g ( x)dx
a
a

b

b

O

a
b a

b x
b a

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx.

探究4: 定积分的基本性质
性质1

?
b a

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx (k为常数)
a
b

b

性质2

? [ f ( x) ? f ( x)] dx ? ?
1 2

a

f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx
a

b

性质3.定积分关于积分区间具有可加性

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx (其中a<c<b)
a c

c

b

y

y?f ( x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
y
a c

c

b

y=f ( x)

f )( dx x)dx ?? ?? f (x f )(dx x)? dx f (x ?)f dx (x f? )(dx )。 dx f (。 x)dx? ?a f?a(x ? ?x ?c a a a ? c ? c a

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

例1 利用定积分的定义,计算 ? x dx的值.
3 0

1

1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

0

a ①

x

(1)在图①中,被积函数f(x)= x2在[0,a] 解: 上连续,且f(x) ? 0,根据定积分的几何意
a 2 义,可得阴影部分的面积为A ? ? 0 x dx

y

f(x)=x2

x

-1 0

2

x



(2)在图②中,被积函数f(x)= x2在[-1,2] 上连续,且f(x) ? 0,根据定积分的几何意
2 义,可得阴影部分的面积为A = ? 2 x -1 dx

y
f(x)=1

a

0

b x



(3)在图③中,被积函数f(x)= 1在[a,b] 上连续,且f(x)> 0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为A = ? b a dx

f(x)=(x-1)2-1

y

-1 0

2 x



(4)在图④中,被积函数f(x)=(x - 1)2 - 1在[-1,2] 上连续,且在[-1,0]上f(x) ? 0,在[0,2]上f(x) ? 0, 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
2 2 2 A= ?0 [(x 1) 1] dx [(x 1) - 1] dx -1 ?0

2.利用定积分的几何意义说明等式 ?

? ? 2

? 2

sin xdx ? 0

成立.
解: 在右图中,被积函数f(x)= sinx
ππ π 在[- , ]上连续,且在[- ,0] 2 2 2 π 上sinx ? 0,在[0, ]上sinx ? 0,并 2 有A1 = A2 ,所以?
π 2 π 2

y
f(x)=sinx
?

?
2

1
A1 -1

A2

? 2

x

f(x)dx = A 2 - A1 = 0

3. 计算积分

?

1

0

1- x2 dx.

解:由定积分的几何意义知,定积分值等于
曲线y = 1- x2 ,x轴,x = 0及x = 1所围 的面积
1 面积值为圆的面积的 4

所以?

1

0

π 1- x dx = . 4
2

1.求曲边梯形面积

分割——近似代替——求和——取极限
2.定积分定义

3.定积分几何意义
4.定积分计算性质

总结提升: 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积 的方法

(1)分割
(2)近似代替 (3)求和

(4)取极限 ? x ? 0(或 n ? ? )

? i ?1 i ? 1.当n很大时,函数f ( x) ? x 在区间 ? , ? ? n n? 上的值,可以用( C )近似代替.
2

1 A. f ( ) n

2 B. f ( ) n

i C. f ( ) n

D. f ? 0 ?

2、在“近似代替”中,函数f (x)在区间 ? xi , xi ?1 ? 上的近似值等于( C ) A.只能是左端点的函数值f ( xi ) C.可以是该区间内任一点的函数值f (?i )(?i ? ? xi , xi ?1 ?) D.以上答案均不正确 B.只能是右端点的函数值f ( xi ?1 )

1.求曲边梯形面积的“四个步骤”: 1°分割 2°近似代替 化整为零 以直代曲

3°求和 4°取极限

积零为整 刨光磨平

不积跬步,无以至千里;不积小流,无以 成江海。 ——《荀子劝学》


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