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六大基本初等函数图像及其性质


桂林师范高等专科学校

14 生化班

六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中 C 为常数);
常数函数( y ? C )
C?0
y

C ?0
y

y ?C
O x

y?0

r />O

x

平行于 x 轴的直线 定义域 R
? 二、幂函数 y ? x , x 是自变量, ? 是常数;

y 轴本身 定义域 R
y
1

1.幂函数的图像:

y ? x2

y ? x2

y?x
y ? x3

y ? x ?1

O

x

2.幂函数的性质; 性质 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
第 1 页

y?x
R R 奇 增

y ? x2
R [0,+∞) 偶 [0,+∞) 增 (-∞,0] 减

y ? x3
R R 奇 增 (1,1)

y ? x2
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增

1

y ? x ?1
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0,+∞) 减 (-∞,0) 减

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1)当α 为正整数时,函数的定义域为区间为 x ? (??,??) ,他们的图形都经过原点,并当α >1 时 在原点处与 x 轴相切。且α 为奇数时,图形关于原点对称;α 为偶数时图形关于 y 轴对称; 2)当α 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数; 3)当α 为正有理数

m 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(n

∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1); 4)如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果 m<n,图形于 y 轴相切,且 m 为偶数时,还跟 y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称; 5)当α 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去 除 x=0 以外的一切实数。

三、指数函数 y ? a ( x 是自变量, a 是常数且 a ? 0 , a ? 1 ),定义域是 R ;
x

[无界函数]
1.指数函数的图象: y y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

(0,1)
O

y ?1
x O

(0,1)

y ?1
x

2.指数函数的性质;

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 公共点

y ? a x (a ? 1)
R (0,+∞) 非奇非偶

y ? a x (0 ? a ? 1)

过点(0,1),即 x ? 0 时, y ? 1
( ? ?, ? ?) 在 是增函数

单调性

( ? ?, ? ?) 在 是减函数

1 ) 当 a ? 1 时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 ? a ? 1时 函 数 为 单 调 减 ; 2) 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 ,图 形 在 x 轴 上 方 ; 3 ) 当 x ? 0 时 , y ? 1 , 所 以 它 的 图 形 通 过 (0,1) 点 。
第 2 页

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3.(选,补充)指数函数值的大小比较 a ? N ;
*

y

a.底数互为倒数的两个指数函数

f ( x) ? a

x

?1? f ( x) ? ? ? ?a?
(0,1)

x

f ( x) ? a

x



?1? f ( x) ? ? ? ?a?

x

的函数图像关于 y 轴对称。
O x

h( x) ? 3x

y

f ( x) ? 2 x
(0,1)
O x

b.1.当 a ? 1 时,a 值越大, 的图像越靠近 y 轴;

y ? ax

y

?1? g ( x) ? ? ? ? 3?

x

b.2.当 0 ? a ? 1 时,a 值越大, 的图像越远离 y 轴。

y ? ax

(0,1)
O

?1? q ( x) ? ? ? ?2?

x

4.指数的运算法则(公式); a.整数指数幂的运算性质 (a ? 0, m, n ? Q) ; b.根式的性质; (1)

(1) (2)

a m ? a n ? a m? n a m ? a n ? a m?n

? a?
n

n

?a
n

; (2)当 n 为奇数时,

n

an ? a

当 n 为偶数时, c.分数指数幂; (1) a (2) a
m n
m n

? a (a ? 0) an ? a ? ? ?? a(a ? 0)

(3)

?a ?

m n

?a

nm

? a

? ?

n m

? n a m (a ? 0, m, n ? Z * , n ? 1)
? 1 a
m n

(4)

?ab?n ? a nbn

?

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? Z * , n ? 1)

第 3 页

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四、对数函数 y ? loga x ( a 是常数且 a ? 0, a ? 1 ),定义域 x ? (0,??) [无界]
1.对数的概念:如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,
b

记作 loga N ? b ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子 loga N 叫做对数式。 对数函数 关于直线

y ? loga x 与指数函数 y ? a x 互为反函数,所以 y ? loga x 的图象与 y ? a x 的图象

y ? x 对称。

2.常用对数: log10 N 的对数叫做常用对数,为了简便,N 的常用对数记作 lg N 。 3.自然对数:使用以无理数 e ? 2.7182 为底的对数叫做自然对数,为了简便,N 的自然对数 loge 记作 ln N 。 4.对数函数的图象: y

N简

x ?1

y ? loga x (a ? 1)

y

x ?1

(1,0)
O

(1,0)

x

O

x

y ? loga x (0 ? a ? 1)
5.对数函数的性质;

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 公共点

y ? loga x
(a ? 1)
(0,+∞) R 非奇非偶

y ? loga x
(0 ? a ? 1)

过点(1,0),即 x ? 1 时, y ? 0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

单调性

1)对数函数的图形为于 y 轴的右方,并过点(1,0); 2)当 a ? 1 时,在区间(0,1),y 的值为负,图形位于 x 的下方;在区间(1, + ? ),y 值为正,图形位于 x 轴上方,在定义域是单调增函数。 a ? 1 在实际中很少用到。
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6.(选,补充)对数函数值的大小比较 a ? N ;
*

y

y ? loga x
(1,0)

a.底数互为倒数的两个对数函数

y ? loga x , y ? log1 x
a

O

x

的函数图像关于 x 轴对称。 y

f ( x) ? log2 x

y ? log1 x
b.1. 当 a ? 1 时,a 值越大,

f ( x) ? log3 x
O

f ( x) ? loga x

a

的图像越靠近 x 轴;

(1,0)

x

y

b.2. 当 (0 ? a ? 1) 时,a 值越大, 的图像越远离 x 轴。

f ( x) ? loga x

(1,0)
O x

f ( x) ? log1 x
3 2

7.对数的运算法则(公式); a.如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么: c.换底公式: (1) logb N ?

f ( x) ? log1 x

loga ?MN ? ? loga M ? loga N
log a M ? log a M ? log a N N

loga N ( a ? 0, a ? 1 , 一般常常 loga b

换为 e 或 10 为底的对数,即 log b

N?

loga M n ? n loga M
b.对数恒等式:

ln N ln b



logb N ?

lg N lg b



a loga N ? N (a ? 0且a ? 1,N ? 0)

(2)由公式和运算性质推倒的结论:

log a n b n ?
d.对数运算性质 (1)1 的对数是零,即 loga 1 ? 0 ;同理 ln 1 ? 0 或 lg 1 ? 0 (2)底数的对数等于 1,即 loga a ? 1 ;同理 ln e ? 1 或 lg10 ? 1
第 5 页

n log a b m

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五、三角函数
1.正弦函数

y ? sin x ,有界函数,定义域 x ? (??,??) ,值域 y ? [?1,?1]
? 3? ,? , , 2? 2 2

图象:五点作图法:0,

2.余弦函数

y ? cos x ,有界函数,定义域 x ? (??,??) ,值域 y ? [?1,?1]
? 3? ,? , , 2? 2 2

图象:五点作图法:0,

3.正、余弦函数的性质;

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 周期性 对称中心 对称轴

y ? sin x (k ? Z )
R [-1,1] 奇函数
T ? 2?

y ? cos x (k ? Z )
[-1,1] 偶函数
T ? 2?

(k? ,0)
x ? k? ?

( k?

?
2

,0 ) ,0)

?
2

(k? ?

?
2

? ?? ? 在 x ? ?2k? ? ,2k? ? ? 上是增函数 2 2? ?
单调性

在 x ? ?2k? ? ? ,2k? ?上是增函数 在 x ? ?2k? ,2k? ? ? ?上是减函数

? 3? ? ? 在 x ? ?2k? ? ,2k? ? ? 上是减函数 2 2? ?
x ? 2 k? ?

?
2

时, ymax ? 1

x ? 2k? 时, ymax ? 1
x ? 2k? ? ? 时, ymin ? ?1

最值
x ? 2 k? ?

?

2

时, ymin ? ?1
第 6 页

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4.正切函数

y ? tan x ,无界函数,定义域 ?x x ? k? ? ? , (k ? Z )?,值域 y ? (??,??)
y

2

x

?

5? 2

? 2?

?

3? 2

??

?

?
2

O

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

y ? tan x 的图像
5.余切函数

y ? cot x ,无界函数,定义域 ?x x ? k? , k ? Z?, y ? (??,??)
y

x

? 3?

?

5? 2

? 2?

?

3? 2

?? ? ? 2

O

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

y ? cot x 的图像
6.正、余切函数的性质;

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 周期性 单调性 对称中心 零点

y ? tan x (k ? Z )
x ? k? ?
R

y ? cot x (k ? Z )
x ? k?
R

?
2

奇函数
T ??

奇函数
T ??

在 (?

?
2

? k? ,

?
2
(

? k? ) 上都是增函数
k? ,0 ) 2

在 (k? , (k ? 1)? ) 上都是减函数
( k? ,0 ) 2

(k? ,0)
第 7 页

(k? ?

?
2

,0)

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7.正割函数

y ? sec x ,无界函数,定义域 ?x x ? k? ? ? , (k ? Z )?,值域 sec x ? 1
y

2

1

? 2?

?

5? 2

?

3? 2

??
?

?
2

?
O -1

2?

3?

?
2

3? 2

5? 2

x

y ? sec x 的图像 1 8.余割函数 y ? csc x ? ,无界函数,定义域 ?x x ? k? , (k ? Z )?,值域 csc x ? 1 sin x
y

?

5? 2 ? 2?

??
? 3? 2

?

?
2

1 O -1

?
2

?

3? 2
2?

3?

5? 2

x

y ? csc x 的图像
9.正、余割函数的性质;

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 周期性

y ? sec x (k ? Z )

y ? csc x (k ? Z )

?x x ? ? ? k ? ?
2

?x x ? k? ?
(??, ? 1] ? [1,??)
奇函数

(??, ? 1] ? [1,??)
偶函数

T ? 2?
(2k? ?

T ? 2?
3? ) 2 3? ,2k? ? 2? ) 减 2 2 ? 3? (2k? ? ,2k? ? ? ) ? (2k? ? ? ,2k? ? ) 2 2 增 (2k? ,2k? ? ) ? (2k? ?

?
2

,2k? ) ? (2k? ? ? ,2k? ?

?

单调性


(2k? ,2k? ?

?
2

) ? (2k? ?

?
2

,2k? ? ? ) 增
第 8 页

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续表:

性质 函数
对称中心 对称轴 渐近线

y ? sec x (k ? Z )
(k? ?

y ? csc x (k ? Z )
(k? ,0)
x?

?
2

,0)

x ? k?
x?

?
2

? k?

?
2

? k?

x ? k?

六、反三角函数
1.反正弦函数

y ? arcsin x ,无界函数,定义域[-1,1],值域 [0, ? ]
? ?? y ? sin x 在区间 ? ?? , ? 上的反函数称为反正弦函数,记为
? 2 2?

A. 反正弦函数的概念:正弦函数

y ? arcsin x
2.反余弦弦函数

y ? arccos x ,无界函数,定义域[-1,1],值域 [0, ? ] y ? cos x 在区间 ?0, ? ? 上的反函数称为反余弦函数,记 为
y

B. 反余弦函数的概念:余弦函数 y

y ? arccos x

? 2

?
? 2

-1 O 1 x

?

?
2
-1 O 1 x

y ? arcsin x 的图像
3.反正、余弦函数的性质;

y ? arccos x 的图像 y ? arccos x
[-1,1]
[0, ? ]

性质 函数 定义域 值域
奇偶性 单调性

y ? arcsin x
[-1,1]
[0, ? ]

奇函数 增函数
第 9 页

非奇非偶函数 减函数

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4.反正切函数

? ?? y ? arctan x ,有界函数,定义域 x ? (??,??) ,值域 ? ?? , ?
? 2 2?

C. 反正切函数的概念:正切函数

? ?? y ? tan x 在区间 ? ? ? , ? 上的反函数称为反正切函数,记为
? 2 2?

y ? arctan x
5.反余切函数

y ? arc cot x ,有界函数,定义域 x ? (??,??) ,值域 ?0, ? ?

D. 反余切函数的概念:余切函数

y ? cot x 在区间 ?0, ? ? 上的反函数称为反余切函数,记为

y ? arc cot x
y
?
2

y

?
?

O
?
2

x O

2

?

x

y ? arctan x 的图像
6.反正、余弦函数的性质;

y ? arc cot x 的图像

函数 性质

y ? arctan x
R

y ? arc cot x

定义域

值域

? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

?0, ? ?

奇偶性

奇函数

非奇非偶

单调性

增函数

减函数

第 10 页

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三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ? 正切: tan ? ?
y r y x r x
x2 ? y 2 。

余弦: cos ? ? 余切: cot? ?

x r

x y r y

正割: sec ? ?

余割: csc? ?

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 商数关系: tan ? ? 平方关系: sin
2

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ?

三、诱导公式

x 轴上的角,口诀:函数名不变,符号看象限;
y 轴上的角,口诀:函数名改变,符号看象限。

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

tan( ? ? ?) ? tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
tan 2? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
二倍角的余弦公式常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)

1 ? cos2? ? 2 cos2 ?

1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? sin 2? 1 ? cos 2? sin 2? 2 ? , sin ? ? , tan ? ? 2 2 sin 2? 1 ? cos 2?
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六、三倍角公式

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? 4 sin ? sin(

?
3

? ? ) sin( 3

?
3

??)

cos 3? ? 4 cos 3 ? 3 cos ? ? 4 cos ? cos(

?

? ? ) cos(

?
3

??)

3 tan? ? tan3 ? ? ? tan3? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ??) 1 ? 3 tan2 ? 3 3
七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin
sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

cos
sin

???
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???
2
2

cos

???
2

???
2

???
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???

sin

???
2

八、辅助角公式

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a2 ? b2

, cos?

?

a a2 ? b2

, tan ? ?

b a

九、三角函数的周期公式
( x ? ? ) , x ? R 及 函 数 y ? A cos(?x ? ? ) , x ? R (A, ? , ? , 为 常 数 , 且 函 数 y ? A si n ? A ? 0, ? ? 0 )

周期: T ?

2?

?
?
2 , k ? Z (A, ? , ? ,为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )

?x ? ? ) , x ? k? ? 函数 y ? A tan(
周期: T ?

? ?

十、正弦定理

a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
十一、余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC
第 12 页


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