当前位置:首页 >> 数学 >>

1.2.1平面的基本性质


平面的基本性质
第 1 ,2 课 时

光滑的桌面、地面

同学们看到的平静的海面和湖面都给了我 们以平面的形象. 和点、直线一样,平面也是从现实世界中抽象
出来的几何概念.

问题:
那我们怎样来认识和表示一个 平面呢?

1.平面的基本概念 : 平面是一个只

描述而不定义的最基本 的概念,它是从日常见到的具体的平面抽 象出来的理想化的模型.
几 何 里 的 平 面 的 特 征 :

1.平
2.无限延展

(不是凹凸不平) (没有边界)
(无所谓面积) (没有质量)

3.不计大小
4.不计厚薄

2. 平面的画法:
(1)通常用平行四边形表示,有时也可根据需要用 其它平面图形表示,如:矩形;菱形;三角形;圆(椭圆) 等等;

(2) 通常画平行四边形表示平面,当平面是 水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成 45°横边画成邻边长的2倍。 (3)画直立平面时,要有一组对边为竖直。

水平平面: 直立平面

(4)在画图时,如果图形的一部分被另一部分遮住, 可以把遮住部分画成虚线(不等同于平面几何中的辅助 线),也可以不画。
M M

N

N

从集合的角度来说, 以点当元素,则直线、平 面可以看作是点的集合, 那么点与线、点与面、 线与面之间关系用什么 符号加以表示?

3. 点、线、面的位置关系(集合语言表示法)

Q

P

点A 在平面a内,
点B 在平面a外,

A ??
B ??

点P在直线l上,

P ?l
Q ?l

点Q不 在直线l上,

直线 L 在平面 a 之外
(I) (II) L

L

A

?
?

l∥α

L ?? ? A

直线L在平面a 内,

?

L

表示为:

L ??

直线a与b 相交于点A,
A

b

?

a

表示为:

a ?b ? A

4、平面的表示法
α 平面α
A
A D

?

平面 ?

B
B C

C

平面ABC

平面AC或平面BD

4、空间中点、 直 线 、平面的位置 关系(填一填)

· P
位置关系 在 直线AB上 点P—— 点C不在 ——直线AB上 在 点M— 平面AC内 不在平面AC内 点A1—— B 直线AB与BC交于点 —— 符号表示 P ∈AB C AB M ∈平面AC A1 ? 平面AC

· M

?

AB∩BC=B

在 直线AB—平面AC内 AB ? 平面AC 直线AA1不在 ——平面AC内 AA1 ?平面AC

5.相交平面的画法

画相交平面时,虚线实线要清楚。

归纳基本作图要求: (1)看不见的部分用虚线表示(这一点与平面几何 中 辅助线才用虚线是不一样的) (2)体现平面的基本性质: a、无厚薄

b、绝对平
c、无限延伸性

练习: 1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×” (1)可画一个平面,使它的长为4cm,宽为2cm. (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平 面把空间分成两部分. (3)一个平面的面积为20 cm2. (4)经过面内任意两点的直线,若直线上各点都 在这个面内,那么这个面是平面.

2.观察(1)、(2)、(3)三个图形,模型说明它 们的位置关系有什么不同,并用字母表示各个平面.

(1)

(2)

(3)

3.请将以下四图中,看得见的部分用实线描出.

(1)

(2)

(3)

(4)

4、平面的空间感觉: (1) 一个平面把空间分成_____________部分;

(2) 二个平面把空间分成_____________部分;
(3) 三个平面把空间分成_____________部分。

(4) 正方体把空间分成______________部分

? 用两个合页和一把锁 就可以将一扇门固定 ,将 一把尺置于桌面上 , 通过是否漏光就能检查 桌面是 否平整, 为什么?

? 椅子放不稳 , 是地面不平还是椅子本 身有问题?

上面问题都和平面的基 本性质有关.

在生产与生活中 , 人们经过长期的观察与 实践, 总结出关于平面的三个 基本性质.我们把它们 当作公理, 作为进一步推理的基础 .

如果把桌面看作一个平面,把你的笔看作 是一条直线的话,你觉得在什么情况下, 才能使你的笔所代表的直线上所有的点都 能在桌面上?

文 字 语 言

符 号 4.平面的基本性质 语 言 A ??且B ?? ? 直线AB ? ? 公理1:如果一条直线上的 两个点在平面内,那么这条 直线上所有的点都在这个 α A 平面内. 作用:用来证明或 判断直线在平面内

图形语言

B

4 平面的性质

公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线 上的所有点都在这个平面内

如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内,或者说平面α经过直线l,否则,就说直 线l在平面α外
应用: A B l

1.判断点或直线在平 面内的依据;

α

2.判断点或直线共面的依据

1) 用手指头将一本书平衡地摆 方在空间某一位置,至少需要几个 手指头? 2)这些手指需要满足什么条件?

公理 2 如果 两个平 面有一个公共
?

点, 那么它们还有其他公共点 , 这 些
?

?

P

公共点的集合是经过这个公共点的 一条直线 ?图1 ? 2 ? 4 ?.

图1 ? 2 ? 4

如果两个平面有一条公 共直线, 则称这两个平面相交 , 交线 .教室里相邻的 这条公共直线叫做这两 个平面的 墙面在地面的墙角处有 一个公共点 , 那么它们就交于 过这个点的一条直线 .

公理 2 可用符号表示为?图1 ? 2 ? 4 ?: P ?? ? ? ? ? ? l 且 P ?l . P??

有且只有一个的含义:

“有”
“只有一个”

说明图形是存在的!
说明图形是唯一的!

应用:判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公 共点,那么它们相交; 2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共 点,那么这点就在这两个平面的交线上; 3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β

P l α

一块三角板与桌面只有一个 交点,问三角板与桌面所在的 平面是否只有一个交点?

?

? A

?B ?C

公理 3 经过不在同一条直线上的三 个点, 有且只有一个平面?图1 ? 2 ? 5 ?.

图1 ? 2 ? 5

"用两个合页和一把 锁 就可以将一 扇门固定 "、 "照 相机支架只需三条 腿就够了" 都是 基于这个基本性质 . 公理3 也可简单地说, 不共线的三点 确定一个平面 .

应用:确定平面的依据 判定点或线的共面;
过不共线三点ABC的平面?图1 ? 2 ? 5?通常记作"平面ABC".
确定一个平面的含义是有且只有一个平面.

根据上述公理 , 可以得出下面推论: 推论 1 经过一条直线和这条直 线外一点 , 有且只有一个 平面?图1 ? 2 ? 6?. ?B ? 已知 : 直线 l , 点A ? l ?1 ? 2 ? 6?. ?l A C ? 求证 : 过直线l和点A有且只有一个平面.
分析 先在直线l上任取两点B, C , 这样A, B, C 三点就确定一个平面 , 再证明l 在这个平面内 . 证 在直线l 上任取两点B, C.因为点A不在直线l上. 根据公理3, 经过不共线三点A, B, C有一个平面? . 因为 B ? ? , C ? ? , 所以根据公理1, l ? ? , 即平面?经过直线 l 和点A. 因为B, C 在 l上, 所以经过直线l 和点A的平面一定经 过点A, B, C. 于是再根据公理3, 经过不共线的三点 A, B, C的平面只有一 个, 所以经过直线l 和点A的平面只有一个.
图1 ? 2 ? 6

a

?

b

?

?

类似地, 我们可以得出下面两个推理:

?

图1 ? 2 ? 7
?
A

一个平面 ?图1 ? 2 ? 7 ?.
a

推论 2 经过两条相交直线 , 有且只有 推论 3 经过两条平行直线 , 有且只有

?

b

一个平面 ?图1 ? 2 ? 8 ?.

图1 ? 2 ? 8

如图1 ? 2 ? 9, 用两根细绳沿上桌子 四条腿的对角拉直 , 如果这两根细 绳相交 , 说明桌子四条腿的底端在 同一个平面内 , 否则就 不在同一个 平面内, 其依据就是推理 2 .

图1 ? 2 ? 9

例1 已知 : A ? l , C ? l , D ? l ?图1 ? 2 ? 10 ?. 求证 : 直线AD, BD , CD 共面.
分析 因为直线l与点D可 以确平面? , 所以只需证明 AD, BD , CD 都在? 内.
D

?
C

l
A B

证 因为D ? l , 所以 l 与D可以确平面? ?推论1?.

图1 ? 2 ? 10

又因为A ? l , 所以 A ?? , 又D ?? , 所以AD ? ? ?公理1?.

同理, BD ? ? , CD ? ? ,

所以AD, BD, CD 在同一平面? 内, 即它们共面.
空间点和直线都在同一个平面内, 那么就称它们" 共面".

例 2 如图1 ? 2 ? 11, 在长方体ABCD ? A1 B1C1 D1中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由A1 , C1 , P 三点所确定的平面 ?与长方体表面的交线 .
D1 C1 B1 D1 C1 B1

A1

A1

D A

?P

C A

D

P

?
B

C

?1?

B

图1 ? 2 ? 11

?2?

分析 因为点P既在平面? 内又在平面AB1 内, 所以点 P 在平面?与平面AB1的交线上.同理, 点A1在平面?与平面 AB1的交线上.因此, PA1就是平面?与平面AB1的交线 .

作法 连结 A1 P, PC1 , A1C1 ,它们就是平面?与长方 体表面的交线?图1 ? 2 ? 11?2??.

练习1:空间四点不共面,可以确定
A B C D

4 个平面.

平面ABC 平面ACD 平面ABD 平面BCD

练习2:
判断下列说法是否正确: (1)梯形是平面图形. (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (3)四条边都相等的四边形是菱形.

例3:如图,直线AB、BC、CA两两相交,交点 分别为A、B、C,判断这三条直线是否共面, 并说明理由.
A

?

B

C

共面

证法1∵ :AB∩AC=A

∴直线AB、AC确定一个平面? (推论2) ∵B∈AB ,C∈AC
∴B∈ ? ,C∈? ∴BC ?? (公理1) ∴直线AB、BC、CA都在平面 ?内 即它们共面
A

?

B

C

证法2: ∵A ?直线BC
∴过点A和直线BC确定平面 ? ∵ A∈? , B∈BC ∴ B∈ ? ,∴AB?? 同理 AC?? ∴AB、AC、BC共面
A

?

B

C

证法3:
∵ A、B、C三点不在一条直线上

∴过A、B、C三点可以确定平面 ? (公理3) ∵ A∈? , B∈ ? ∴AB ?? (公理1) 同理 BC ?? , AC ??
∴AB、AC、BC共面
A

?

B

C

例4.如图,已知:△ABC的各顶点在平面外,直
线AB,AC,BC分别交平面α于P,Q,R, 求证:P,Q,R三点共线 A B

C

Q αR

P

例5:已知:空间四边形ABCD,平面四 边形EFGH的顶点分别在空间四边 形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与 GH不平行,求证:三条直线 EF,GH,BD共点。

例6、点A ? 平面BCD ,E, F, G, H分别是AB,


BC ,CD ,DA上的点,若EH 与FG交于点P, (这样的四边形叫做空间四边形) 求证:P ? BD
E

王新敞
奎屯 新疆

A H D G B F C P

王新敞
奎屯

新疆


相关文章:
2.1平面的表示方法1.2平面的基本性质
文化基础课教案主备人: 教学日期 教研室:数理教研室 教学对象 教学课题 §2.1 平面的表示方法 §2.2 平面的基本性质 课时 2 教学目标 1、 了解平面的概念,...
1.2.1 平面的基本性质(1)
泰兴市第一高级中学校本化资料 高二数学 编写人:常锐 2012/9/1 1.2.1 【学习目标】 1.初步理解平面的概念; 平面的基本性质(1) 2.了解平面的基本性质(公理...
1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2.1 平面的基本性质与推论_高一数学_数学_高中教育_教育专区。济南市长清中学 高一编号:B2-8 课型:新授课 编制人: 李震 数学 导学案审核人: 李震 年级...
1.2.1+平面的基本性质(1)教案
1.2.1+平面的基本性质(1)教案_数学_高中教育_教育专区。课 题 1.2.1 平面的基本性质(1) 知识与技能:1. 初步理解平面的概念; 2. 了解平面的基本性质(...
1.2.1平面的基本性质与推论
高一数学导学案(必修二) 编号: 35 使用时间: 11.24 第 4 周 第 2 课时 编制人:吕宏岩 小组: 姓名: 组评: 师评: 学教思考 1.2.1 平面的基本性质与...
1.2.1 平面的基本性质与推论
平面的基本性质: (1)点和直线的基本性质:连接两点的线中, 条直线,并且 条直线。 (2)平面的基本性质: 最短;过两点 10 如果条直线的 点在个平面...
1.2.1平面的基本性质与推论
1页 免费 1.2.1平面基本性质与推论3 6页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
高一数学必修二1.2.1平面的基本性质
高一数学必修二1.2.1平面的基本性质_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修二1.2.1平面的基本性质,注重高考!高一数学必修二 1.2.1. 平面的基本性质...
1.2.1平面的基本性质
平面的基本性质3 7页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 1.2.1平面的基本性质 平面的基本性质平面的...
更多相关标签:
平面的基本性质 | 平面的基本性质ppt | 平面的基本性质与推论 | 平面基本性质 | 平面及其基本性质 | 平面的基本性质教案 | 平面的基本性质练习题 | 平面的基本性质公理 |