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§2.3 等差数列的前n项和(2)


§2.3 等差数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最大(小)值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P45 ~ P46,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3,求 S 5 . 复习 2:等差数列{ a n }中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求 和 S8 .

二、新课导学 ※ 学习探究 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

※ 典型例题
1 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 2 吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

1 2 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

小结:数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系为
? S1 (n ? 1) an = ? ,由此可由 Sn 求 a n . ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

2 4 例 2 已知等差数列 5, 4 , 3 ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7 7

变式:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 Sn 的最小值.

小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1) 利用 a n : 当 a n >0, d<0, 前n项和有最大值, 可由 a n ≥0, 且 an ?1 ≤0, 求得n的值; 当 a n <0, d>0,前n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 Sn :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 ※ 动手试试 练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 a n .
王新敞
奎屯 新疆

练 2. 有两个等差数列 2,6,10,…,190 及 2,8,14,…200,由这两个等差数列的公共 项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系;
2. 等差数列前项和最大(小)值的两种求法.

※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数 2n,则
S偶-S奇=nd ;
S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1

2°若项数为奇数 2n+1,则 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ;
S偶 = n . S奇 n ? 1

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). A. an ? n2 B. Sn ? 2n ? 1
C. Sn ? 2n2 ? 1 D. Sn ? 2n2 ? n

2. 等差数列{ a n }中,已知 S15 ? 90 ,那么 a8 ? (

). ). .

A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列{ a n }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 1 5. 在等差数列中,公差 d= , S100 ? 145 , 2 则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? .

课后作业
1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值.

2. 等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小?


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