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奥数教材全攻略


奥 数 教 材 全 攻 略
本教材, 本教材,是一套比较全面的电子书 教材,包含了五年级到一年级的奥数内 教材, 容,值得一看。 值得一看。 五年级奥数(2--71) 五年级奥数

三年级奥数( 三年级奥数(72-146) ) 四年级奥数( 四年级奥数(147-) ) 后有一年级奥数题,仅供参考。 后有一年级奥数题,仅供参考。 奥数题

五年级奥数( 五年级奥数(2---71 页)

◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 消去问题(一) 消去问题(二) 一般应用题


………………………2 …………………… 7

…………………………12

盈亏问题(一)………………16 盈亏问题(二) …………………………… 17 流水问题 等差数列 找规律 ………………………… 19 …………………………23 ……………………………26

能力测试(一)……………………………26 第九讲 第十讲 加法原理 乘法法原理 ………………………28 ………………… …31

◆第十一讲 ◆第十二讲

周期问题(一)……………………………35 周期问题(二) ……………………………37

◆第十三讲 ◆第十四讲 ◆第十五讲 ◆第十五讲

巧算(一) 巧算(二) 数阵问题(一) 数阵问题(二)

…………………………… 39 ……………………40 …………………… 45 …………………… 45

◆能力测试 (二)
◆ 第 16 讲 ◆ 第 17 讲 ◆ 第 18 讲 ◆ 第 19 讲 ◆ 第 20 讲 ◆ 第 21 讲 ◆ 第 22 讲 ◆ 第 23 讲

……………………………………63

平面图形的计算(一) …………… 平面图形的计算(二) ……………

列方程解应用题(一) ……………… 列方程解应用题(二)……………… 行程问题(一)………………………… 行程问题(二)………………………… 行程问题(三) ………………… 行程问题(四)…………………… ……………………

◆ 阶段测试(一) ◆ 第 24 讲 ◆ 第 25 讲

平均数问题(一)……………………… 平均数问题(二) …………… … ………………

◆第 26 讲 长方体和正方体(一)

◆第 27 讲 长方体和正方体(二)…………………… ◆第 28 讲 数的整除特征 ……………………………

◆第 29 讲 奇偶性问题…………………… ◆第 30 讲 最大公约数和最小公倍数………………… ◆第 30 讲 分解质因数(一) ◆第 31 讲 分解质因数(二) ◆第 32 讲 牛顿问题 ◆综合测试 …………………… ……………………

……………………

………………………………………

第一讲

消去问题( 消去问题(一)

在有些应用题里, 给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系, 要求出这些未知数的数 量。我们在解题时,可以通过比较条件,分析对应的未知数量变化的情况,想办法消去其中的 一个未知量,从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来。这样的解题方 法,我们通常把它叫做“消去法” 。 例题与方法

在学习例题前,我们先进行一些基本数量关系的练习,为用消去法解题作好准备。

(1)买 1 个皮球和 1 个足球共用去 40 元,买同样的 5 个皮球和 5 个足球一共用去多少元?

(2)3 袋子、大米和 3 袋面粉共重 225、千克,1 袋大米和 1 袋面粉共重多少千克?

(3)6 行桃树和 6 行梨树一共 120 棵,照这样子计算 8 行桃树和 8 行梨树一共有多少棵?

(4) 学校买了 4 个水瓶和 25 个茶杯, 一共用去 172 元, 每个水瓶 18 元, 每个茶杯多少元?

例1 学校第一次买了 3 个水瓶和 20 个茶杯,共用去 134 元;第二次又买了同样的 3 个水瓶 和 16 个差杯,共用去 118 元。水瓶和茶杯的单价各是多少元?

例2 买 3 个篮球和 5 个足球共、用去 480 元,买同样的 6 个篮球和 3 个足球共用去 519 元。 篮球和足球的单价各是多少元?

练习与思考

(第 1~4 题 5 分,其余每题 10 分,共 100 分) 1、 1 袋黄豆和 1 袋绿豆共重 50 千克,同样的 7 袋黄豆和 7 袋绿豆共重( )千克。

2、买 5 条毛巾和 5 条枕巾共用去 90 元,买 1 条毛巾和 1 条枕巾要( )元。 买 用去了 68 元, 买同样的 9 本字典和 9 本笔记本一共要 ( 3、 4 本字典和 4 本笔记本共、 元。 )

4、9 筐苹果和 9 筐梨共重 495 千克,找这样计算,2 筐苹果和 2 筐梨共重(

)千克。

5、妈妈买了5米画布和3米白布,一共用去102元。花布每米15元,白布每米多少 元?

6、果园里有14行桃树和20行梨树,桃树和梨树一共有440棵。每行梨树15棵, 每行桃树多少棵?

7、买3千克茶叶和5千克糖,一共用去420元,买同样的3千克茶叶和3千克糖,一 共用去874元。每千克茶叶和每千克糖各多少元?

8、食堂第一次运来6袋大米和4袋面粉,一共重 400 千克;第二次又运来 9 袋大米和 4 袋面粉,一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?

9、3 豹味精和 7 包糖共重 3800 克,同样的 3 包味精和 14 包糖共重 7300 克。每包味精和每 包糖各重多少克?

10、 10、育新小学买了 8 个足球和 12 个篮球,一共用去了 984 元;青山小学买了同样的 16 个 足球和 10 个篮球,一共用去 1240 元。每个足球和每个篮球各多少元?

11、 11、买 15 张桌子和 25 把椅子共用去 3050 元;买同样的 5 张桌子和 20 张椅子,需要 1600 元。买一张桌子和一把椅子需要多少元?

12、 12、3 头牛和 6 只羊一天共吃草 93 千克,6 头牛和 5 只羊一天共吃草 130 千克。每头牛每 天比每只羊多吃多少千克?

第二讲
例1、 每袋大米和每袋面粉的重量。

消 去问 题 ( 二 )

7 袋大米和 3 袋面粉共重 425 千克同样的 3 袋大米和 7 袋面粉共重 325 千克。求

例2、

甲买了 8 盒糖和 5 盒蛋糕共用去元;乙买了 5 盒糖和 2 盒蛋糕共用去 90 元。每盒

糖和每盒蛋糕各多少元?

例3、

三头牛和 8 只羊每天共吃青草 93 千克,5 头牛和 15 只羊每天吃青草 165 千克。

一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克?

练习与思考
(第 1~4 题 13 分,其余每题 12 分,共 100 分。 ) 1. 3 个皮球和 5 个足球共 245 元,同样的 6 个皮和 10 个足球共( )元。

2.

2 条床单和 3 条毛巾共 280 元。一条床单和一条毛巾共( )元,2 条床单和 2 条毛巾

共( )元。

3.

5 盒铅笔和 9 盒钢笔共 190 支,同样的 2 盒铅笔和 6 盒钢笔共 100 支。3 盒铅笔和 3 盒

钢笔共( )支,1 盒铅笔和 1 支钢笔共( )支。

4.

育才小学体育组第一次买了 4 个篮球和 3 个排球,共用去了 141 元;第二次买了 5 个

篮球和 4 个排球,共用去 180 元。每个篮球和每个排球各多少元?

5.

3 筐苹果和 5 筐梨共重 138 千克,5 筐同样的苹果和 3 筐同样的共重 134 千克。 ,每筐

苹果和每筐梨各重多少千克?

6.

某食堂第一次运进大米 5 袋,面粉 7 袋,共重 1350 千克;第二次运进大米 3 袋,面粉

5 袋,共重 850 千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克?

7.

3 件上衣和 7 条裤子共 430 元,同样的 7 件上衣和 3 条裤子共 470 元。每件上衣和每

条棵子各多少元?

8.

2 千克水果糖和 5 千克饼干共 64 元,同样的 3 千克水果糖和 4 千克饼干共 68 元。每

千克水果糖和每千克饼干各多少元?

9.

5 包科技书和 7 包故事书共 620 本,6 包科技书和 3 包故事书共 420 本。每包科技书比

每包故事书少多少本?

10. 3 个水瓶和 8 个茶杯共 92 元,5 个水瓶和 6 个茶杯共 102 元。每个水瓶和每个茶杯各 多少元?

11. 甲有 5 盒糖,乙有 4 盒糕共值 44 元。如果甲、乙两人对换一盒,则每人所有物品的价 值相等。一盒糖、一盒糕各值多少元?

第三讲

一般应用题

在小学里,通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类。 “典型应用题” 有基本的数量关系、解题模式,较复杂的问题可以通过“转化” ,向基本的问题靠拢。我们已经 学过的“和差问题” 、和“倍差问题”等等,都是“典型应用题”“一般应用题|”没有各顶的 。 数量关系,也没有可以以来的 解题模式。解题时要具体问题具体分析,在认真审题,理解题意 的基础上,理清一知条件与所求问题之间的数量关系,从而确定解题的方法。对于比较复杂的 问题,可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析。

例题与方法
例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分,鱼尾重 4 千克,鱼头的重量等于鱼尾的 重量加身一般的重量, 而鱼身体、 的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。 这条鱼重多少千克?

例 2、一所小学的五年级有四个班,其中五(1)班和五(2)班共有 81 人,五(2)班和五 (3)班共有 83 人五(3)班和五(4)班共有 86 人,五(1)班比五(4)班多 2 人。这所学校 五年级四个班各有多少人?

例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼,甲钓了 5 条,乙钓了 3 条,吃鱼时,来了一位客人和 甲、乙平均分吃这条鱼。吃完后来客付了 8 角钱作为餐费。问:甲、乙两为渔夫各应得这 8 角 钱中的几角?

例 4、一个工地用两台挖土机挖土,小挖土机工作 6 小时,大挖土机工作 8 小时,一共挖 土 312 方。已知小挖土机 5 小时的挖土量等于大挖土机 2 小时的完土量,两种挖土机每小时各 挖土多少方?

例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜。分西瓜时,甲和丙都比乙多拿西瓜 7。5 千 克。结果甲和丙各给乙 1.5 元钱。每千克西瓜多少元|?

例 6、小红有 一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中 2 分币比 5 分币多 22 个。而按钱数算, 5 分币比 2 分币多 4 角。已知这些硬币中有 36 个 1 分币。问:小红的储蓄筒里 共存了多少钱?

练习与思考
(第 1~4 题 13 分,其余每题 12 分,共 100 分。 ) 1. 有一段木头,不知它的长度。用一根绳子俩量它,绳子多 15 米;如果将绳子对折以后

再来量,又不够 04 米。问:这段绳子长多少米?

2.

甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布,原约定各拿花布同样多。结果甲拿了 6 米,

乙拿了 14 米。这样,乙就要给甲 12 元钱。每米花布的单价是多少元?

3.

甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克。分苹果时,甲和丙都比乙多拿 7。

8 千克苹果,这样甲和丙各应给乙 6 元钱。每千克苹果多少钱?

4.

学校买了 2 张桌子和 5 把椅子,共付了 330 元 。每张桌子的价钱是每把椅子的 3 倍。

每张桌子多少元?

5.

某校六年级有甲、乙、丙丁四个班,不算甲班,期于三个班的总人数是 131 人,不算

丁班,期于三个班的总人数是 134 人。已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少 1 人,甲、乙丙、丁四个班共有多少人?

6.

李大伯买了 15 千克特制面粉和 35 千克大米,共用去 31.2 元。已知 1 千克特特制面粉

的价格是 1 千克大米的 2 倍。李大伯买特制面粉和大米各用去多少元? 7. 14 千克大豆的价钱与 8 千克花生的价钱相等,已知 1 千克花生比 1 千克大豆贵 12 元,

大豆和花生的单价各是多少元? 8. 某车间按计划每天应加工 50 个零件,实际每天加工 56 个零件。这样,不仅提前 3 天

完成原计划加工凌驾的任务,而求多加工了 120 个零件。这个车间实际加工了多少个零件? 9. 某班学生植树,共、有杉树苗用途杨树苗 10 棵。每小组分杉树苗 6 棵,杨树苗 8 棵。

这样杉树苗正好分完,而杨树苗还剩 2 棵。原来杉树苗与杨树帽各有多少棵? 10. 用 8 千克丝可以织 6 分米宽的绸 4 米,现在有 10 千克的丝,要织 75 分米宽的绸,可 以织几米?| 第4讲 盈亏问题(一) 盈亏问题又叫盈不足问题, 是指把一定数量的物品平均分给固定的对象, 如果按某种标准 分,则分配后会有剩余(盈) ;按另一种标准分,又会不足(亏) ,求物品的数量和分配对象的 数量。例如: 小朋友分苹果,如果每人分 2 个,就多余 16 个;如果每人分 5 个, 就缺少 14 个。小朋友有多少个?苹果有多少个? 比较两次分的结果,第一次余 16 个,第二次少 14 个,两次相差 1+ 14=30(个) 。这是因为第二次比第一次每人多分了 5-2=3(个)苹果。相差 30 个,就说明 有 30÷3=10(个)小朋友。请小读者自己算出苹果的个数。

例题与方法
例 1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友,如果每人分 3 粒,就会余下糖果 17 粒;如果 每人分 5 粒,就会缺少糖果 13 粒。问:幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒? 例 2、学生搬一批砖,每人搬 4 块,其中 5 人要搬两次;如果么人搬 5 块,就有两人没有砖 可搬。搬砖的学生有多少人?这批砖共有多少块? 例4、 某校在植树活动中,把一批树苗分给各班,如果每班分 18 棵,就会有余下 24 棵;

如果每班分 20 棵,正好分完。这个学校有多少个班?这批树苗共有多少棵?

练习与思考
(第 1~4 题 13 分,其余每题 12 分,共 100 分。 ) 1. 小朋友分糖果若每人分 4 粒则多 9 粒; 若每人呢分 5 粒则少 6 粒。 有多少小朋友? 问:

有多少粒糖果?

2.

小朋友分糖果,每人分 10 粒正好分完;若每人呢分 16 粒,则有 3 个小朋友分不到糖

果。问:有多少粒糖果? 3. 在桥上测量桥高。把绳长对折后垂到水面,还余 4 米;把绳长 3 折后垂到水面,还余

1 米。桥高多少米?绳长多少米? 4. 某校安排新生宿舍,如果每间住 12 人,就会有 34 人没有宿舍住;如果每间住 14 人就

会有空出 4 间宿舍。这个学校有多少间?要安排多少个新生? 5. 在依次大扫除中,有一些同学被分配擦玻璃,他们当中如果有 2 人擦 4 块,其余的人

各擦 5 块, 就会多下 12 块玻璃没有人擦; 如果么人擦 6 块, 刚好擦完。 擦玻璃的同学有多少人? 玻璃共有多少块? 6. 7. 有一个数,减去 3 所的差的 4 倍,等于它的 2 倍加上 36。这个数是多少? 体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱,如果买 10 个“冠军”牌

足球,还差 42 元;后来他向朋友借了 1000 元,买了 31 个“冠军”牌足球,结果多了 13 元。 体育老师原来身边带了多少元? 8. 某小学生乘汽车去春游,如果每辆车坐 65 人,就会有 15 人不能乘车;如果每辆车多

坐 5 人恰好多余了一辆车。一共有多少辆汽车?有多少个学生? 第五讲 盈亏问题(二) 上一讲,我们讲了盈亏问题的一般情形,也就是在量词分配中恰好洋盈(多余) ,一次亏 (不足) 。事实上,在许多问题里,也会出现两次都是盈(多余) ,或者两次都是亏(不足)的 情况。 例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生,每人 9 支缺 15 支;每人 7 支就缺 7 支。问:三好学 生有多少人,铅笔有多少支? 例 2、某小学的部分同学外出参观,如果每辆车坐 55 人就会余下 30 个座位;如果每辆车坐 50 人,就还可以坐 10 人。有多少辆车?去参观的学生多少人? 例 3、学校规定上午 8 时到校。王强上学去,如果每分钟走 60 米,可以提早 10 分钟到校; 如果每分钟作呕 50 米可以提早 8 分钟到校。问:王强什么时候离开家?他家离学校多远?

练习与思考
(第 1~4 题 13 分,其余每题 12 分,共 100 分。 ) 1. 同学们打羽毛球,每两人一组。每组分 6 个羽毛球,少 10 个球;每组分 4 个羽毛球,

少 2 个球。问:共、有多少个同学打球?有多少个羽毛球?

2.

学校将一批钢笔奖给三好学生,每人 8 支缺 11 支;每人 7 支缺 7 支。问:三好学生有

多少人?钢笔有多少支? 3. 某小学的部分学生去春游,如果每辆车坐 50 人,就会余下 30 个座位;如果每辆车坐

40 个人,还可以坐 10 人。问有多少辆车?去春游的学生多少人? 4. 一筐苹果分给一个小组,每人 5 个剩 16 个;每人 7 个缺 12 个。这个小组有多少人?

共有多少苹果? 5. 一些学生分练习本。其中两人每人分 6 本,其余每人分 4 本,就会多 4 本;如果有一

人分 10 本,其余每人分 6 本,就会少 18 本。学生有多少人?练习本多少本? 6. 一个学生从家到学校,先用每分 50 米的 速度走了 2 分,如果这样走下去,他会迟到

8 分;后来他改用每分 60 米的速度前进,结果早到学校 5 分。这个学生家到学校的路程是多少 米? 7. 筑路对计划每天筑路 720 米,实际每天比原计划多筑 802 米,这样,在规定完成任务

时间的前 3 天,就只剩下 1160 米未筑。这条路多长? 8. 老师给幼儿园小朋友分苹果。每 2 人 3 个苹果,多 2 个苹果,每 3 人 5 个苹果,少 4

个苹果。问:有多少小朋友?多少苹果? 第6讲 流水问题 想一想:从南京长江逆流而上去长江三峡,与从长江三峡顺水而下回南京,哪个花的时间 少?哪个花的时间多?为什么? 原因很简单。 在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的, 因为长江的水是一直从西 向东(也就是从上游向下游)流着的,船的速度会受到江水的影响。而在平静的湖水中行船时, 船的速度不会受到水流的影响。考虑船在水流速度的情况下行驶的问题,就是我们这一讲要讲 的流水问题。 船在顺水航行时(比方说,从长江三峡顺流而下到南京) ,船一方面按照自己本身的速度即 船速(船在静水中行驶的速度)行驶,同时整个水面又按照水的流动速度在前进,水推动着船 向前,所以,船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和。也就是 顺水速度=船速+水速 比方说,船在静水中行驶 10 千米,水流速度是每小时 5 千米,那么,船顺水航行的速度 就是每小时 10+5=15(千米) 。 同学们可以想一想,上面的问题中,如果是问“船逆水航行的速度是多少?”答案又该怎

么样呢?船逆水行驶,情况恰好相反。本来船每小时行驶 10 千米,但由于水每小时又把它往回 推了 5 千米,结果船每小时只向上游行驶了 10—5=5(千米) 。 也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差。即 逆水速度=船速—水速 例1、 一艘每小时行驶 30 千米的客轮,在一河水中顺水航行 165 千米,水速每小时 3 千米。 问:这艘客轮需要航行多少小时? 例2、 一艘船顺水行 320 千米需要 8 小时,水流速度是每小时 15 千米,这艘船逆水每小时 行多少千米?这艘船逆水行这段路程,需要多少小时? 例3、 甲船逆水航行 360 千米需要 18 小时,返回原地需要 10 小时;乙船逆水航行同样的异 端水路需要 15 小时,返回原地需要多少小时?

练习与思考
(每题 20 分,共 100 分) 1. 一只小船以每小时 30 千米的速度在 176 千米长的河中逆水而行,用了 211 小时。这只

小船返回原处需要用多少小时? 2. 船在静水中的速度是每小时 25 千米,河水流速位每小时 5 千米,一只船往返甲、乙两

港共花了 9 小时,两港相距多少千米? 3. 两地距 280 千米,一艘轮船在期间航行,顺流用去 14 小时,逆流用去 20 小时。求这

艘轮船在静水中的速度和水流的速度。 4. 一架飞机所带的燃料,最多可以用 6 小时,飞机去是顺风,每小时可以飞 1500 千米,

飞回时逆风,每小时可以飞 1200 千米。这架飞机最多飞出多少千米,就需要往回飞? 5. 乙船顺水航行 2 小时,行了 120 千米,返回原地用了 4 小时。甲船顺水航行同一段水

路,用了 3 小时。甲船返回原地比去时多用多少小时? 第7讲 等差数列 (1)1,2,3,4,5,6,7,8,… (2)2,4,6,8,10,12,14,16,… (3)1,4,9,16,25,36,49,… 上面三组数都是数列。 数列中称为项,第一个数叫第一项,又叫首项,第二个数叫第二项……以此类推,最后一个 数叫做这个数列的末项。项的个数叫做项数。

一个数列中, 如果从第二项起, 每一项与它前面一项的差都相等, 这样的数列叫等差数列。 后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。 如等差数列:4,7,10,13,16,19,22,25,28。首项是 4,末项是 28,共差是 3。 这一讲我们学习有关等差数列的知识。 例题与方法 例1、 例2、 在等差数列 1,5,9,13,17,…,401 中 401 是第几项? 100 个小朋友排成一排报数,每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多 3,小

明站在第一个位置,小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是 300,小明报的数是几? 例3、 有一堆粗细均匀的圆木,堆成梯形,最上面的一层有 5 根圆木,每向下一层增加

一根,一共堆了 28 层。最下面一层有多少根? 例4、 例5、 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+10=? 求 100 以内所有被 5 除余 10 的自然数的和。 小王和小胡两个人赛跑,限定时间为 10 秒,谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒

例6、

跑 1 米,以后每秒都比以前一秒多跑 0.1 米,小胡自始至终每秒跑 1.5 米,谁能取胜?

练习与思考
(每题 10 分,共 100 分。 ) 1. 2. 少米? 3. 4. 5. 6. 7. 在树立俄,10,13,16,…中,907 是第几个数?第 907 个数是多少? 求自然数中所有三位数的和。 求所有除以 4 余 1 的两位数的和。 0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99 的和是多少? 梯子最高一级宽 32 厘米,最底一级宽 110 厘米,中间还有 6 级,各级的宽度成等差数 数列 4,7,10,……295,298 中,198 是第几项? 蜗牛每小时都比前一小时多爬 0.1 米,第 10 小时蜗牛爬了 1.9 米,第一小时蜗牛爬多

列,中间一级宽多少厘米? 8. 9. 有 12 个数组成等差数列,第六项与第七项的和是 12,求这 12 个数的和。 一个物体从高空落下,已知第一秒下落距离是 4.9 米,以后每秒落下的距离是都比前

一秒多 9.8 米 50 秒后物体落地。求物体最初距地面的高度。 10. 求下面数字方阵中所有数的和。 1,2,3,…,98,99,100

2,3,4,…99,100,101 3,4,5,…,100,101,102 …… 100,101,102, …197,198,199 第八讲 找规律 你能找出下面各数列暴烈的规律吗?请在括号内填上合适的数》 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8,15,22, ) ( ,36,…; 17,1,15,1,13,1, )( ) ( , ,9,1,…; 45,1,43,3,41,5, ( ) ( ) , ,37,9,…;

1,2,4,8,16, ) ( ,64,…; 10,20,21,42,43, )( ( , 1,2,3,5,8,13,21, ( ) ,174,175,…;

) ,55。

例1. 一串数按下面规律排: 例2. 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,6,7,…从第一个数算起,前 100 个数的和 是多少? 例3. 在一个长方形中,如果没有一条直线,则长方形可以看作一个部分。如果在长方形中 画一条直线,这个长方形就被分为两个部分。在长方形可中画两条直线最多可以将长方形分成 四个部分。如果三条直线最多可以将长方形分成七个部分 ,小方格的边长是 1,图中的 1、2、3、4、…分别表示折线 例4. 在方格纸上画折线(如图) 的第 1、2、3、4、…段。求折线中第 1994 段的长度。

0

练习与思考
(第 1 题 30 分,其余每题 10 分,共 100 分。 ) ( 1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. 找规律,在括号内填上合适的数。 1,3,9,27,( ),243; ),37;

2,7,12,17,22,( ),( 1,3,2,4,3,( ),4;

0,3,8,15,24,( ) ,( 6,3,8,5,10,7,12,9,( 2,3,5,(

),48; ),11;

),( ),17,23;

81,64,( ) ,36, ) ( ,16,9,4,1; 21,26,19,24, )( ) ( , ,15,20; 1,8,9,17,26, ) ( ,69; 4,11,18,25, ) ( ,39,46;

一串数按下面规律排列:

1,3,5,2,4,6,3,5,7,4,6,8,5,7,9,… 从第一个数算起,前 100 个数的和是多少? 3. 有一串黑白相间的珠子(如下图) ,第 100 个黑珠前面一共有多少个白珠?

4.

在平面中任意作 100 条直线,这些直线最多能形成多少个交点?

5. 6.

在平面中任意作 20 条直线,这些直线最多可把这个平面分成多少个部分?

序号 算式 序号 算式

1 1+1 6 3+11

2 2+3 7 1+13

3 3+5 8 2+15

4 1+7 9 3+17

5 2+9 … …

根据上面的规律,第 40 个序号的算式是什么?算式‘1+103“的序号上多少? 7. 小正方形的边长是 1 厘米,依次作出下面这些图形。

已知第一幅图的周长是 10 厘米。 (1)36 个正方形组成的图形的周长是多少厘米? (2)周长是 70 厘米的图形,由多少个正方形组成? 已知第一幅图的周长是 10 厘米。 ( 1) ( 2) 8 36 个正方形组成的图形的周厂是多少厘米? 周长是 70 厘米的图形,由多少个正方形组成?

在方格纸上画折线(如本讲例 4 图) ,小方格的边长是 1,图中的 1,2,3,4,…分别

表示折线扩大第 1,2,3,4,…段。求折线中第 100 段的长度。长度是 30 的是第几段? 能力测试(一) 一、 填空题(每空 3 分,工 39 分) 。 1. 在下面的括号里按照规律填上适当的数字。 1,2,3,4,8,16, ) ( ,64,128。 5,10,15,20,25, ) ( ,35,40。 4,7,10,13,16, ( ) ,22,25。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

1,1,2,3,5,8,13,21, ) ( 1024,512,256, ) ( ,64,32,16,8,4。 2,5,11,20,32, ( 1,3,2,4,3,5, ( ) ,65,86。 ) ,6,5。

(8) 1.

1,4,9,16,25, ) ( ,49,64。 )页;照这样计算,5 个同学

9 个人 9 天共读书 1620 页,平均 1 个人 1 天共读书(

5 天读书( )页。 2. 3. 如果平均 1 个同学 1 天植树( )棵,那么,3 个同学 4 天共植树 120 棵。 买 3 只足球和 9 只篮球共用了 570 元,买 9 只足球和 27 只篮球要用( )元。

。 二、 计算题(每小题 5 分,共 10 分) 1. 2. 2+4+6+8+10+ … +22+24+26 1+2+3+4+5+6+ … +1996+1997+1998

。 三、 应用题(第 1~4 题 10 其余每题 10 分,第 5 题 11 分,共 51 分) 1. 李老师将一叠练习本分给第一组的同学,如果每人分 7 本,还多 7 本。如果每人分 9,

那么有一个同学译本也分不到。第一组有多少同学?这叠练习本一共有多少本? 2. 一只小船在河中逆流航行 176 千米,用了 11 小时。一知水流速度是每小时 4 千米,这

只小船返回原处要用多少小时? 3. 4 只篮球和 8 只足球共买 560 元,6 只篮球和 3 只足球共买 390 元。问:一只篮球和一

只足球各买多少元? 4. 有 10 元钞票与 5 元钞票共 128 张,其中 10 元比 5 元多 260 元。两种面额的钞票各是多少 张? 5. 下面是一种特殊数列的求和方法。

要求数列 2,4,8,16,32,64,… ,1024,2048 的和,方法如下:

S = 2+4+8+16+32+64+ … +1024+20482 2S = 4+8+16+32+64+ … +1024+2048+4096
用下面的式子减去上面的式子,就得到 S =4096 – 2 = 4094 即数列 2,4,8,16,32,64,… ,1024,2048 的和是 4094。 仔细阅读上面的求和方法,然后利用这种方法求下面数列的和。 1,3,9,27,81,243,…,177147,531441。 第9讲 加法原理 在日常生活与实践中,我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题,我们通 常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。 熟练掌握这两个原理, 不仅可以顺利

解答这类问题,而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢?我们先来看这样一个问题: 从南京到上海,可以乘火车,也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海 有 4 班火车、6 班汽车,3 班轮船、2 班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海 共有多少种不同的走法? 我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法,那么从南京到上海, 乘火车有 4 种走法,乘汽车有 6 种走法,乘轮船有 3 种走法,乘坐飞机有 2 种走法。因为每 一种走法都可以从南京到上海,因此,一天中从南京到上海共有 4+6+3+2 = 15 (种)不同的 走法。 我们说,如果完成某一种工作可以有分类方法,一类方法中又有若干种不同的方法, 那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。 N = m1 + m2 + … + 即 mn (N 代表完成一件工作的方法的总和,m1,m2, … mn 表示每一类完成工作的方法的种数)。 这个规律就乘做加法原理。 例1 书架上有 10 本故事书,3 本历史书,12 本科普读物。志远任意从书架上取一本 书,有多少种不同的取法? 例 2 一列火车从上上海到南京,中途要经过 6 个站,这列火车要准备多少中不同的车 票? 例 3 在 4 x 4 的方格图中(如下图) ,共有多少个正方形?

例 4 妈妈,爸爸,和小明三人去公园照相:共有多少种不同的照法?

练习与思考
(每题 10 分,共 100 分。 )
1.

从甲城到乙城,可乘汽车,火车或飞机。已知一天中汽车有 2 班,火车有 4 班,

甲城到乙城共有( )种不同的走法。

2.

一列火车从上海开往杭州,中途要经过 4 个站,沿途应为这

列火车准备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。

4. 5.

图中共有_____个角。 书架上共有7种不同的的故事书,中层6本不同的科技书,下层有4钟不同的历

史书。如果从书架上任取一本书,有____种不同的取法。 6. 平面上有8个点(其中没有任何三个点在一条直线上) ,经过每两个点画一条直

线,共可以画_____条直线。 7. 图中共有_____个三角形。

8. 9.

图中共有____个正方形. 从 2,3,5,7,11,13,这六个数中,每次取出两个数分别作为一个分数的分

子和分母,一共可以组成_____个真分数. 10. 某铁路局从A站到F站共有6个火车站(包括A站和F站)铁路局要为在A站到 F 站之间运行的火车准备_____种不同的车票,其中票价不相同的火车票有_____种。

第 10 讲
乘法原理 上一讲我们学习了用“加法原理”计数,这一讲我们学习“乘法原理” 。什么是乘法 原理呢?我们来看这样一个问题: 从甲地到乙地有 3 条不同的道路,从乙地到丙地有 4 条不同的道路。从甲地经过乙

地到丙地,共有多少种走法? 我们这样思考:从甲地到乙地的 3 条道路中任意选一条都可以从甲地到乙地,再从 乙地大丙地的 4 条道路中任意选一条都可以从乙地到丙地,那么,从甲地到乙地的 3 条道 地第一条到达乙地后,可以走从乙地到丙地的任意一条路,这样就有了 4 种不同的走法。 从甲地到乙地的第二条、第三条路到达乙地后,仍可以从乙地到丙地的 4 条路中任选一条 到丙地,如图所示:

从图中可以看出,从甲地到丙地共有 3 X 4 =12(种)走法。 如果完成一件事情需要 几个步,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,…那么,完成 这件工作共有 N = m1 x m2 x m3 x … x mn 种不同的方法。这就是乘法原理。 7 志远从书架上任取一本故事书和一本科普书, 例1 书架上有 4 本故事书, 本科普书, 共有多少种不同的取法? 例2 从 2、3、5、7、11 这五个数字中每次取出 2 个数字,分别作为一个分数的分子 和分母,一共可以组从多少个分数?其中有多少个真分数? 例3 用 9、8、7、6 这四个数可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些位数的和 是多少? 例4 如图,A、B 、C、D 四个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。 若要求相邻的区域染不同的颜色,问:共有多少种不同的染色方法? A B C D

例5 如图,小明家到学校有 3 条东西向的马路和 5 条南北向 的马路。他每天步行从 家到学校(只能向东或向南走) ,最多有多少种不同的走法?

小明家

学校

练习与思考
(每题 10 分,共 100 分。 ) 1.从甲地到乙地有两条河,从乙地到丙地有 3 条路可走,从甲地经乙地到丙地共有 种走法。 2.书架的上、中、下层各有 3 本、5 本、 本故事书。若要从每层书架上任取一个本 、4 书,共有 种不同的取法。 个没有重复数字的三位数。

3.有 1,2,3,三数字,一共可以组成

4.两个班级进行乒乓球比赛,每班选 3 人,每人都要和对方的每个选手赛一场,一共 要赛 场。 个分数,其

5.从 5,7,11,13 这四个数中每次取 2 个数组成分数,一共可以组成 中真分数有 个。 个不同的长方形。

6.图中一共有

7.一个口袋里装有 5 个小球,另 7 一个口袋里装有 4 个小球。这些小球的颜色互不相 同。 (1) 从两个口袋里任意取一个小球,有 (2)从两个口袋内各取一个小球,有 种不同的取法。 种不同的取法。

8.某信号兵用红、黄、蓝三面棋从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号。每次可挂 一面、 二面或三面, 并且不同的顺序、 不同的位置表示不同的信号。 一共可以表示 种

不同的信号。 9.图中从 A 点到 B 点共有 A 种走法(要求走最短的线路) 。

B 10.用 0 到 9 这十个数 有重复数字的三位数。 字可以组成 个没

第 11 讲
周期问题( 周期问题(一) 世间万物,千奇百怪;运动变化,千姿百态。可这貌似“杂乱无章”的世界却受到 各式各样的规律支配着。在这些规律中,有一种最常见的规律就是从形形色色的周期现象 中提炼出来的规律。 如果某一事物的变化具有周期性,那么,该事物在经历一段变化后,又会呈现原俩 的状态。我们把事物所经历的这一段,叫该事物变化的周期。例如,在自然数列中,各位 数字变化的周期是 10;星期日出现的周期是 7(天) ;用动物记年的走器是 12(年)等等。 在数学中,我们把与周期性有关的数学问题叫做周期问题。解答这类问题,要抓住 一下几点: 1. 2. 找出规律,发现周期现象。 把要求的问题和某一周期的变化相对应,以求得问题解决。

例1 有 249 朵花,按 5 朵红花,9 朵黄花,13 朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是 什么颜色的花?这 249 朵花中,红花、黄花、绿花各有多少朵? 例2 1997 年元旦是星期三,那么,同年 12 月 1 日是星期几? 例3 国庆节,路旁挂起了一盏盏彩灯,小华看到每两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一 盏。那么,第 80 盏灯应是什么颜色的? 例4 7
1998

表示 1998 个 7 连乘,它的结果末位上的数字是几?

例5 下面是一个 11 位数,每 3 个相邻数字之和都是 17,你知道“?”表示的数字是 几吗?

思考与练习 (第 1 题 16 分,其余每题 12 分,共 100 分。 ) 1. 把 1\7 化成小数,请回答:

(1)小数点后面第 80 个数字是几? (2)小数点后面前 80 个数字的和是多少? 2. 3. 4. 把 1\81 化成小数后,小数点后面 100 位数字之和是多少? 今天是星期一,从明天开始第 1800 天是星期几? 有同样大小的红珠、白珠、黑株共有 160 个?按 4 个红株,3 个白株,2 个黑株

的顺序排列着。黑株共有几个?第 101 个株子是什么颜色? 5. 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这 12 种动物按

顺序轮流代表各年号。如果 1940 年是龙年,那么,1996 年是什么年? 6. 科学家进行一项试验,每隔 6 小时做一次记录。第 10 次记录时,挂钟的时针恰

好指向 7,问:做第几一次记录时,时针指向几? 7. 8.
15 124 表示 15 个 124 连乘,所得积的末位数字是几? 15

下面是一个 11 位数,每三个相邻数字之和都是 15,你知道问好表示的数字是几

吗?这个 11 位数水多少? 8 ?

第 12 讲
周期问题( 周期问题(二) 例1 有 13 名小朋友编成 1 到 13 号,他们呢依次围成月毫个源泉做游戏。现在从 1 号 开始,每数到第 3 个人发一粒糖(每人只拿一次糖) 。那么,最后一个拿到糖的小朋友是 几号? 例2 紧接着 1998 后面写一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的各 个位数。例如,9 X 8 =72 。在 8 后面写 1,8,X 2 = 16,在 2 后面写 6,……得到一 串数:199826……这串数字从 1 开始往右数,第 1998 个数字是几? 例3 把自然数按下表规律排列后,可分成 A、B、C、D、E 五类,例如,3 在 C 类,10 在 B 类。那么 985 在哪一行,哪一类? A B C D E

1

2 8

3 7 1 1 2 …

4 6 1 5

9 0

1



… 3

1









例4 把 1 至 8 个数码摆成一个圆圈《现在有一个小球,第一天从 1 号顺时针前进 203 个位置,第二天再顺时针前进 335 个位置,第三天又顺时针前进 203 个位置,第四天再舒 适镇前进 335 个位置,第五天又顺时针前进 203 个位置……试问:至少经过几天后,小球 又回到 1 号位置?

,第二组为(习 例5 下表中,将每列上下两个汉字组成一组,例如,第一组为(学做) 接) 。那么第 649 组是什么? 学 做 习 接 好 班 学 人 习 做 好 接 学 班 习 人 好 做 … …

例6 在一根长 100 厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每 隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么,长度是 1 厘米的短木棍有 多少根?

练习与思考
(第 1~4 题每题 17 分,其余每题 16 分,共 100 分。 ) 1. 有 a、b、c、d 四条直线(如图) ,从直线 a 上开始,按箭头方向从 1 开始依次

在 a、b、c、d 上写自然数 1,2,3,4,5,6,…

(1) (2) 2

106 在哪条线上? 直线 a 上第 56 个数是多少?

.在一列数 2,9,8,2,…从第三个数起,每个数都是它前面两个数成积的个位

数。比如,第三个数 8,是前两个数的积 2 X 9 =18 的个位数字。这一列数的第 180 个 数是几?

3.将奇数 1,3,5,7,…依次排成五列(如图) ,把最左边的一列叫做第一列,从左 到右依次将每列写上数。1997 出现在哪一列? 1 3 1 5 1 7 9 3 1 … 9 1 1 2 7 3 2 3 2 5 2 5 1 1 2 7 1 9

4.把 16 把椅子摆成一个圆圈,依次编上 1 到 16 号。现在有一个人从第一号椅子顺时 针前进 213 把椅子,再逆时针前进 285 把椅子,又顺时针前进 213 把椅子,再逆时针前进 285 把椅子,又顺时针前进 12 把椅子,这时他到了第几号椅子?

5.下表中每列上下两个汉字和字母组成一组,例如,第一组是(我 A) ,第二组是(们 B) ,…

我 A (3) (4)

们 B

爱 C

数 D

学 A

我 B

们 C

爱 D

数 A

学 B

我 C

… …

第 82 组是什么?

(数 D)代表 1979 年,…那么,2000 年将对应哪一组? (2) 如果(爱 C)代表 1978 年,

6

在一根长 80 厘米的木棍上,自左至右每隔 5 厘米染上一个红点,同时自右至左

每隔 4 厘米染上一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开,那么,长度是 1 厘米的短木棍 有多少根?

第 13 讲

巧算( 巧算(一)

德国大教育家高斯(1777-1855)读小学的时候,有一天,老师出了这样一道题: 1+2+3+…+99+100 的和是多少? 老师刚把这道题说完,小高斯已迅速、准确地说出了答案 5050,这令班上的同学吃惊 不已。原来高斯是用一种巧妙的方法算出这道题的。后来人们称这种计算方法为“高斯原 理” 。 同学们一定想提高自己的计算能力,使自己计算时算得又快又巧。这一讲,我们学习 整数的巧算,也就是根据数的 点,数的排列规律,巧妙地运用运算定律或性质,使计算 简便。 例题与方法 例 1.计算(1+3+3+…+1999)-(2+4+6+…+1998)

例 2.计算 99999×77778+33333×66666

例 3.计算 654321×123456-654322×123455

例 4.计算 123456 -123455

2

2

例 5.9=3×3,16=4×4,这里“9”和“16”都叫做“完全平方数” 。在前 300 个自然 数中, “完全平方数”的和是多少?

练习与思考 1.计算 1+2+3+…+199+200

2.计算 100+99-98+97-96+…3-2+1

3.计算 1961+1971+1981+1991+2001

4.计算 1990-1985+1980-1975+…+20-15+10-5

5.计算 999+99+9+9999+99999

6.计算 33333×66666

7.计算 9999×2222+3333×3334

8.计算 1989×1999-1988×2000

9.计算 1999+999×999

10.计算 333333

2

11.已知数列 1,4,7,10,… (1)这列数的第 21 项是多少?

(2)118 是这列数中的第几个数?

12.在前 200 个自然数中,去掉所有的“完全平方数” ,剩下的自然数的和是多少? 13.计算 2974×3026

14.计算 20 -19 +18 -17 +…+2 -1

2

2

2

2

2

2

15.计算 1997×19981998-1998×19971997

第 14 讲

巧算( 巧算(二)

上一讲我们学习了整数的巧算,这一讲我们学习小数的巧算。 例 1.计算 578.47-4.62-78.47-3.38

例 2.计算 0.9999×1.3-0.1111×2.7

例 3.计算 3.6×31.4+43.9×6.4

例 4.7.37×12.5×0.15×16

例 5.计算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.99

例 6.计算(44332-443.32)÷(88664-886.64)

练习与思考 用简便方法计算下面各题。 1. 15.4-2.17-3.83+4.6

2.

25.6-(0.23+5.6)-51.7

3.

146.95-48.3-6.95-51.7

4.

12.5×0.64×2.5

5.

36.3×4.5+6.37×45

6.

1+0.2+0.3+0.4+0.5+8.9+8.8+8.7+8.6+8.5

7.

0.876+0.765+0.654+0.543+0.432

8.

36×2.54+1.8×49.2

9.

5.76×1.1+57.7×0.89

10.

(22944-22.944) ÷(45888-45.888)

11.

16.15÷1.8+1.85÷1.8

12.(4.8+3.6+2.4+1.2) ÷1.8

13.2.8×7.2×5.1÷2.8÷3.6÷5.1

14.0.7777×0.7+0.1111×2

15.(1+1.2)+(2+1.2×2)+(3+1.2×3)+…+(99+1.2×99)+(100+1.2×100)

第 15 讲

数阵问题( 数阵问题(一)

把给定的一些数,按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中,这样的图形叫做数

阵图。 传说在四千年前,洛河洪水泛滥,大禹去治水。有一天,从河里浮出其不意一只大乌 龟,龟驮着一本书,称为“洛书” ,书上有一幅奇特的图案(见下左图) 。

4 3 8

9 5 1

2 7 6

这幅图用现在的数字表示,即为 1 到 9 这九个数字,填在九个格子里,每一纵列、每 一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是 15(见上右图) 。多么巧妙、奇特的数字图! 我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图” ,国外称它为“魔方”或“幻方” 。我们这 一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。 数阵问题的题型主要有三种: (1)辐射型; (2)封闭型; (3)综合型。 这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。 例题与方法 例 1.将 1~9 九个数字填在右图正方形的九个方格中,使 得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。

例 2.用 7、9、11、13、15、17、19、21、23 构制一个三阶 幻方。

例 3.下面是一个九宫图,第一行第三列上的数是 6,第二行第一 列上的数是 7,请你在其他位置上填上适当的数,使每行、每列以及 每条对角线上三个数的和为 30。 7

6

例 4.把 3、4、5、6、7 这五个数分别填入下图中的五个方格里,使横行、竖 列三个数的和都是 14。

例 5.将 1~7 分别填入右图中的○内,使每条线段上三个○内数的和相等。

例 6.把 1~9 九个数填入“七一”内,使每一横行、竖行的数字和是 13。

练习与思考 1.按四个填数步骤把 4~12 这 9 个数填在右图 3×3 的格内,制成三阶幻方。

2.用“杨辉法” ,将 9~17 这 9 个数制成三阶幻方。

3.用 11,13,15…,25,27 这 9 个数制一个三阶幻方。

4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28 制一个三阶幻方。

5.在图中空格内填上适当的数,使每行、每列、每条对角线上的数的和都为 27。

14 12 13 14 14

24 24 24

19 19 19

第5题

第6题

6.将图中的数重新排列,使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。 7.将 5,6,7,8,9 五个数分别填入图中,使横行、竖行三个数的和都是 21。

8.将 3~9 这 7 个数填入图中的○内,使每条线段上三个○内的数的和相等。 9.将 1~13 这 13 个数分别填入图中的○内,使每条线段上四个○内的数的和相等。

10.将 1~6 这六个数分别填入图中的○内,使每条直线上三个○内所填数的和相等。 11.将 1~8 这八个数填入方格内,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四 格、对角线和四角四格内四个数相加的和都是 18。

12.将九个不同的自然数填入九宫图中,使得每行、每列、每条对角线上三个数的积 都相等。 第 16 讲 数阵问题( 数阵问题(二)

上一讲我们学习了三阶幻方数阵图的辐射数阵图,这一讲我们学习封闭型数阵图和复 合型数阵图。 例 1.将 1~6 这六个数分别填入图中的○内,使每条边上三个○内的数字之和相 等。

例 2.将 5~14 这十个自然数填入右图中的○内,使每个大圆上六个数的 和是 55。

例 3.将 1~10 这十个自然数分别填入图中的十个○内,使各条线段上四个○内数 的和相等,每个三角形三个顶点上○内数的和也相等。

例 4.把 0~9 这十个整数分别填入右图圆圈中, 使每个正方形顶点上四个 数字之和相等。

练习与思考 1. 5~10 这六个自然数分别填入图中的○内, 将 使图中每条边上三个数的和都是 21。

2.将 1—10 这十个自然数填入图中的○内,使五边形每条边上的三个数之和相等,并 使和尽可能地小。 3.将 1—9 这九个自然数分别填入图中九个小三角形中,使每 4 个小三角形组成的三 角形内的 4 个数的和等于 20。

4.将 1—9 这九个自然数分别填入图中九个小三角形中,要求靠近三角形每条边上五 个数的和相等,并尽可能地大。这五个数之和最大是多少? 5.将 1—8 这八个自然数分别填入图中的○内,使每个大圆上五个○内所填数的和等 于 21。

6. 3—10 这八个自然数填在图中立方体八个顶点上的○中, 将 使立方体每个面四个顶 点上○中数的和相等。 7.将 1—9 这九个自然数填入图中的○内,使对角结上五个○内数的和相等,每个正 方形四个顶点上数的和也相等。

8. 如图, 三个正方形组成八个三角形。 现在把每个正方形的四个顶点上都分别填上 2, 3,4,5 这四个数。这连续的八个自然数各是多少| 9.如图,三个圆相互交割成七部分,请在空白部分中分别五上 2,3,5,7,使每个 圆圈内四个数之和都等于 15。

10.上右图是五圆连环图,相互交割成九个部分。将 1—9 这九个自然数分别填入九个 部分内,使每个圆圈里数的和都相等。 11.下左图中有三个正三角形,其中有三条通过四点的线段。请你把 1—9 这九个自然 数分别填在九个黑点的旁边,使每个正三角形顶点上三个数的和相等,每条线段上四个数

的 和 也 相 等 。

12.将 1—16 这 16 个自然数填入图中的 16 个圆圈内,使每条线段上四个圆圈内数的 和相等,两个八边形顶点上的数的和也相等。 能力测试( 能力测试(二) (满分 100 分,90 分钟完成) 一、计算(每小题 4 分,共 32 分) 。 1.9+99+999+9999+99999+999999 2.1998+1996+1994+1992+…+4+2 3.1.999+2.998+3.997+4.996+…+999.001 4.2.19+6.48+0.51-1.38-5.48-0.62 5.0.6×1.6+0.6×26.4+0.6×2 6.7.5×45+17×2.5 7.1998+199.8+19.98++1.998+0.1998 8.205×32-68×95 二、解答下面和问题(第 1—4 题每题 9 分,其余每题 8 分,共 68 分) 。 1.下面是一个没有写完成的算式,请你在等式左边的数字之间插入一些括号和运 算符号,使等式成立。 (在两个相连数之间,如果没有插入括号或运算符号,就应看成是 两位数。比如 1 和 2 之间不加括号或运算符号,就看成是 12。 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9=72

2.0,1,2,3 四个数字,共能组成多少个各位数字不同的四位数? 3.把元钱换成角票,共有几种换法?(人民币中的角票有五角、二角、一角三种。 ) 4.在下面和空格中填上 1,2,3,4,5,6,7,8,9,使得每行、每列、两条对角线 上的三个数之和都相等。

5.1998 个 1998 相乘,结果的末位数字是多少? 6.下面写了一串数: 0,1,6,7,12,13,18,19,… 按照这个规律写下去,第 1998 个数被除余多少? 7.下面图中,从左向右、从上到下读“我们爱数学” ,共有多少种读法? 我 们 爱 们 爱 数 爱 数 学

8.在自然数中,从 1998 开始往后数,第 1998 个不能被 7 整除的数是多少? 第 17 讲 平面图形的计算(一)

在这两讲,我们主要讨论这样的问题:根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间 的关系,应用公式或其他数量关系,计算出该图形(或其中某个部分)的面积或图形中有 关线段的长度。 到目前为止,我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五咱简 单图形,它们的概念、性质(特征)与它们的周长、面积的意义的计算公式,课本上都作 了介绍。这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。 例题与方法 例 1.图中的甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。 (单位:厘米)

例 2.计算右图的面积。 (单位:厘米)

例 3.如图,已知四条线段的长分别是:AB=2 厘米,CE=6 厘米,CD=5 厘米, AF=4 厘米,并且有两个直角。求四边形 ABCD 的面积。

例 4.右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积。 (单位:分米)

例 5.下页左图是一块长方形草地,长方形的长是 16,宽是 10,中间 有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么,有草部分(阴影 部分)的面积有多大?(单位:米)

练习与思考 1.求图中阴影部分的面积。

2.求图中阴影部分的面积。 3.下左图的长方形中,三角形 ADE 与四边形 DEBF 和三角形 CDF 的面积分别相等,求 三角形 DEF 的面积。

4.四中平等四边形 ABCD 的边 BC 长 10 厘米,直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘米,

已知阴影部分的面积比三 角形 EFG 的面积大 10 平方厘米,求 CF 的长。 5.图中三角形的高为 4,面积为 16;长方形的宽为 6,长方形的面积是三角形面积的 多少倍?

6.如图,长方形的长是 8,宽是 6,A 和 B 是宽的中点,求长方形内阴影部分的面积。 7.如图,BC 长为 5,求画斜线的两个三角形的面积之和。

8.上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起,按照图上标出的数,计算阴影部分的 面积。 9.右图是一块长方形草地,长方形长为 16,宽为 12,中间有一条宽为 2 的道路,求 草地(阴影部分)的面积。

第 18 讲

平面图形的计算( 平面图形的计算(二)

例 1.一个正方形,如果它的边长增加 5 厘米,那么,所成的正方形比原来正方形 的面积多 95 平方厘米。原来的正方形的面积是多少平方厘米?

例 2. 右图中由 9 个小长方形组成的一个大长方形。按图中的编号,1 号、2 号、3 号、4 号、5 号长方形的面积依次为 1 平方厘米、2 平方厘米、3 平方厘米、4 平方厘米、 5 平方厘米。求 6 号长方形的面积。 1 2 4 3

5

6

例 3.右图中三角形 ABC 为等边三角形,D 为 AB 边上的中点。已知三角形 BDE 的面积 为 5 平方厘米。求等边三角形 ABC 的面积。

例 4.右图中长方形的长为 12 厘米,宽为 6 厘米。把它的长 3 等分,宽 2 等分,然后 在长方形内任取一点,把这一点与分点及顶点连结(如图) 。求图中阴影部分的面积。

例 5.把一块边长为 9.5 分米的正方形钢板切割成两条直角边分别为 4.5 分米的直角 三角形小钢板,最多可以切割成多少块?

练习与思考 1.有四个完全一样的直角三角形,它们的两条直角边分别是 7 厘米、5 厘米。把 它们拼成下左图图的正方形,求大、小两个正方形的面积。

第2题 2.上右图中,大、小两个正方形对应边的距离均为 1 厘米。已知两个正方形之间部分 的面积是 20 平方厘米,求小正方形的面积。 3.求下左图中阴影部分的面积。 (单位:厘米)

4.上右图中,长方形的周长是多少厘米?(单位:厘米) 5.下左图中,甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米?(单位:厘米)

6.求图中阴影部分的面积。 (单位:厘米) 7.如图,在腰长为 10 厘米,面积为 34 平方厘米的等腰三角形的底边上任意取一点, 设这个点到两腰的垂线段分别长 a 厘米和 b 厘米,那么,a+b 的长度是多少厘米?

8.一个正方形,面积为 18.75 平方厘米。在正方形内有两条平行于对角的线段把正方 形分成 3 等份(如图) 。图中线段 AB、CD 各长多少厘米? 9.如图,在梯形 ABCD 中,BO 的长度等于 DO 长度的 2 倍,阴影部分的面 积是 4 平方分米。求梯形 ABCD 的面积。

10.在等腰三角形 ABC 中,AB 的长度是 AC 的 2 倍,如果这个等腰三角形中的周长是 200 厘米,那么,BC 长多少厘米? 11.一个梯形,它的下底是上底的 2 倍。如果上底延长 7 厘米,就形成一个面积是 42 平方厘米的平行四边形。这个梯形的面积是多少平方厘米? 12.一个直角梯形的周长是 48 厘米,两底之和是两腰之和的 4 倍,一条腰的长度是另 一条腰的 1.5 倍。还应这个梯形的面积。 13.一个长方形,如果长增加 2 厘米,宽增加 5 厘米,那么,面积增加 60 平方厘米, 这时恰好成为一个正方形。原来长方形的面积是多少平方厘米? 第 19 讲 列方程解应用题(一)

列方程解应用题是小学数学的一项重要内容, 是一种不同于算术解法的新的解题方法。 传统的算术方法,要求用应用题里给出的已知条件,通过四则运算,逐步求出未知量。 而列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系,列出含有未知数的等式,也就 是方程,然后解出未知数的值。它的优点在于可以使未知数直接参加运算。 列方程解应用题的关键在于能够正确地设立未知数,找出等量关系,从而建立方程。 而找出等量关系,又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这两点,就能正确地 列出方程。 列方程解应用题的一般步骤是: 1.弄清题材意,找出未知数,并用 x 表示; 2.找出应用题中数量之间的相等关系,列方程;

3.解方程; 4.检验,写出答案。 例题与方法 例 1.一个数的 5 倍加上 10 等于它的 7 倍减去 6,求这个数。 例 2.两块地一共 100 公顷,第一块地的 4 们比第二块地的 3 倍多 120 公顷。这两块 地各有多少公顷? 例 3. 琅琊路小学少年数学爱好者俱乐部五年级有三个班, 一班人数是三班人数的 1.12 倍,二班比三班少 3 人,三个班共有 153 人。三个班各有多少人? 例 4.被除数与除数的和是 98,如果被除数与除数都减去 9,那么,被除数是除数的 4 倍。求原来的被除数和除数。 练习与思考 1. 列方程解应用题, 有时要求的未知数有两个或两个以上, 我们必须视具体情况, 设对解题有利的未知数为 x,根据数量关系用含有 x 的式子来表示另一个未知数。 2.篮球、足球、排球各 1 个,平均每个 36 元。篮球比排球贵 10 元,足球比排球贵 8 元。每个排球多少元? 3.一次数学竞赛有 10 道题,评分规定对一道题得 10 分,错一题倒扣 2 分。小明回答 了全部 10 道题,结果只得了 76 分,他答对了几道题? 4.将自然数 1—100 排列如下表: 在这个表里,用长方形框出的二行六个数(图中长方形框仅为示意) ,如果框起来的六 个数的和为 432,问:这六个数中最小的数是几? 5.拉萨路小学图书馆一个书架上有上、下两层,一共有 245 本书。上层每天借出 15 本,下层每天借出 10 本,3 天后,上、下两层剩下图书的本数一样多。上、下两层原来 各有图书多少本? 6.甲、乙、丙三个数的和是 166,已知甲数除以乙数,乙数除以丙数都是商 3 余 2, 甲、乙、丙三个数各是多少? 7.玲玲今年 11 岁,爷爷今年 74 岁。再过几年,爷爷的年龄是玲玲年龄的 4 倍? 8.甲、乙两个养鸡专业户,一共养鸡 3000 只。乙养鸡专业户卖掉 800 只鸡后,甲养鸡 专业户养鸡的只数正好是乙养鸡专业户剩下的 3 倍。甲、乙两个养鸡专业户原来各养鸡多 少只? 第 20 讲 列方程解应用题(二)

这一讲我们继续学习列方程解应用题。 列方程解应用题, 关键是掌握分析问题的方法, 对应用题中数量关系分析得越深刻,所列的方程就越优化,解答起来就越方便。 例题与方法 例 1.六(1)班同学合买一件礼物送给母校留作纪念。如果每人出 6 元,则多 48 元;如果每人出 4.5 元,则少 27 元。求六(1)班学生人数。 例 2.五老村小学体育器材室里的足球个数是排球的 2 倍。体育活动课上,每班借 7 个足球,5 个排球,排球借完时,还有足球 72 个。体育器材室里原有足球、排球各多少 个? 例 3.甲、乙、丙、丁四人共做零件 325 个。如果甲多做 10 个,乙少做 5 个,丙做的 个数乘以 2,丁做的个数除以 3,那么,四个人做的零件数恰好相等。问:丁做了多少个? 例 4.如右图,长方的长为 12 厘米,宽为 5 厘米。阴影部分甲的面积比乙 的面积大 15 平方厘米。求 ED 的长。

练习与思考 1.妈妈买回一箱库尔勒香梨,按计划天数,如果每天吃 4 个,则多 出 24 个香梨;如果每天吃 6 个,则又少 4 个香梨。问:计划吃多少天?妈妈买回香梨多 少个? 2.一架飞机所带的燃料最多可以用 9 小时,飞机去时顺风,每小时可飞 1500 千米; 返回时逆风,每小时可以飞 1200 千米。这架飞机最多飞出多少千米,就需要往回飞? 3.某商店库存的花布比白布的 2 倍多 20 米每天卖出 30 米白布和 40 米花布,几天以 后,白布全部卖完,而花布还剩下 140 米。原来库存这两种布共多少米? 4.一条大鲨鱼,头长 3 米,身长等于头长加尾长,尾长等于头长加身长的一半。这条 大鲨鱼全长是多少米? 5.甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,途中丙与乙相遇 2 分后又 遇到甲。如果每分甲行 50 米,乙行 60 米,丙行 70 米,问:乙比甲早多少分到西镇? 6.供销社张叔叔买回一批酒精,放在甲、乙两个桶里,两个桶都未装满。如果把甲酒 精倒入乙桶,乙桶装满后,甲桶还剩下 10 升;如果把乙桶酒精全部倒入甲桶,甲桶还能 再盛 20 升。已知甲桶容量是乙桶的 2.5 倍,张叔叔一共买回多少升酒精? 7.一个两位数十位止的数字比个位上的数字扩大 4 倍,个位上的数字减去 2,那么,

所得的两位数比原来大 58。求原来的两位数。 8.如右图,正方形 ABCD 的边长是 8 厘米,三角形 ADF 的面积比三角形 CEF 的面 积小 6 平方厘米。求 CE 的长。

第 21 讲

行程问题( 行程问题(一)

讨论有关物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题叫做行程应用题。 行程问题的主要数量关系是: 路程=速度×时间 如果用字母 s 表示路程,t 表示时间,v 表示速度,那么,上面的数量关系可用字母公 式样表示为:s=vt。 行程问题内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几物体的运动两 大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。 这一讲我们学习一个物体运动的问题的一些简单的相遇问题。 例题与方法 例 1.小明上学时坐车,回家时步行,在路上一共用了 90 分。如果他往返都坐车, 全部行程需 30 分。如果他往返都步行,需多少分? 例 2.甲、乙两城相距 280 千米,一辆汽车原定用 8 小时从甲城开到乙城。汽车行驶 了一半路程,在中途停留 30 分。如果汽车要按原定时间到达乙城,那么,在行驶后半段 路程时,应比原来的时速加快多少? 例 3.一列火车于下午 1 时 30 分从甲站开出,每小时行 60 千米。1 小时后,另一列火 车以同样的速度从乙站开出,当天下午 6 时两车相员。甲、乙两站相距多少千米? 例 4.苏步青教授是我国著名的数学家。一次出国访问,他在电车上碰到了一位外国 数学家,这位外国数学家出了一道题目让苏步青做,题目是: 甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是 100 千米。甲每小时行 6 千米,乙每 小时行 4 千米。甲带着一只狗,狗每小时行 10 千米。这只狗同甲一道出发,碰到乙的时 候,它就掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇。这只狗一共走了多少 千米? 苏步青略加思索,就把正确答案告诉了这位外国数学家。小朋友们,你能解答这道题 吗?

例 5.甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行 56 千米,乙车每小 时行 48 千米,两辆汽车在距中点 32 千米处相遇。东、西两地相距多少千米? 练习与思考 1.小王、小李从相距 50 千米的两地相向而行,小王下午 2 时出发步行,每小时 行 4.5 千米。小李下午 3 时半骑自行车出发, 、经过 2.5 小时两人相遇。小李骑自行车每 小时行多少千米? 2.A、B 两地相距 60 千米。两辆汽车同时从 A 地出发前往 B 地。甲车比乙车早 30 分 到达 B 地。当甲车到达 B 地时,乙车离 B 地还有 10 千米。甲国君从 A 地到 B 地共行了几 小时? 3. 一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距 255 千米的两地相向而行, 公共汽车每小时 行 33 千米,面包车每小时行 35 千米。行了几小时后两车相距 51 千米?再行几小时两车 又相距 51 千米? 4.甲、乙两人同时从 A、B 两地相对而行,甲骑车每小时行 16 千米,乙骑摩托车每小 时行 65 千米。甲离出发点 62.4 千米处与乙相遇。A、B 两地相距多少千米? 5.小张的小王同时分别从甲、乙两村出发,相向而行。步行 1 小时 15 分后,小张走 了两村间路程的一半还多 0.75 千米,此时恰好与小王相遇。小王的速度是每小时 3.7 千 米,小张每小时行多少千米? 6.A、B 两地相距 20 千米,甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车每小时行 10 千米,乙步行每小时行 5 千米。甲在途中停了一段时间修车。乙到达 B 地时,甲比乙落后 2 千米。甲修车用了多少时间? 7.A、B 两地相距 1000 千米,甲列车从 A 地开出驶往 B 地,2 小时后,乙列车从 B 地 开出驶往 A 地,经过 4 小时与甲列车相遇。已知甲列车比乙列车每小时多行 10 千米。甲 列车每小时行多少千米? 8.小李由乡里到县城办事,每小时行 4 千米,到预定到达的时间时,离县城还有 1.5 千米。如果小要每小时走 5.5 千米,到预定到达的时间时,又会多走 4。5 千米。乡里距 县城多少千米? 9.A、B 两城相距 75 千米,小红从 A 向 B 走,每小时走 6.5 千米,小明从 B 地走向 A, 每小时走 6 千米。小军骑自行车在小红和小明间联络,小军从 A 走向 B,每小时走 15 千 米。三人同时动身,小军在途中遇见的小明即折顺往 A 走,遇见了小红,又折回向 B 走, 再遇见了小明又折回往 A 走……一直到三人在途中相遇为止。小巧玲珑军共走了多少千

米? 10.东、西两镇相距 240 千米,一辆客车上午 8 时从东镇开往西镇,一辆货车上午 9 时从西镇开往东镇,到中午 12 时,两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午 8 时由两地相向开出,速度不变,到上午 10 时,两车还相距多少千米? 第 22 讲 行程问题( 行程问题(二)

本讲主要讲“相遇问题” 。 相遇问题一般是指两个物体从两地出发,相向而行,共同行一段路程,直至相遇,这 类应用题的基本数量关系是: 总路程=速度和×相遇时间 这里的“速度和”是指两个物体在单位时间内共同行的路程。 例题与方法 例 1.甲、乙两辆汽车同时从东村、西村之间公路的中点向相反方向行驶,6 小时后, 甲车到达东村,乙车离西村还有 42 千米。已知甲车的速度是乙车的 2 倍。东、西两村之 间的公路长多少千米? 例 2.一支 1800 米长的队伍以每分 90 米的速度行进,队伍前端的联系员用 9 分的时 间跑到队伍末尾传达命令。联络员每分跑多少米? 例 3.甲、乙两车相距 516 千米,两车同时从两地出发相向而行,乙车行驶 6 小时后 停下修理车子,这时两车相距 72 千米。甲车保持原速继续前进,经过 2 小时与乙车相遇。 求乙车的速度。 例 4.甲、乙两列车同时从 A、B 两地相对开出,第一次在离 A 地 75 千米处相遇。相 遇后两列车继续前进,到达目的地后又立刻返回,第二次相遇在离 B 地 55 千米处。求 A、 B 两会间的路程。 练习与思考 1.甲、乙两人分别从东、西两地同时相向而行。2 小时后两人相距 96 千米,5 小时后 两人相距 36 千米。东、西两地相距多少千米? 2.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发,甲车每小时行 13 千米,乙车每小时 行 12 千米 。如果甲先行 2 小时,那么,乙行几小时后两人相距 99 千米? 3.甲、乙两地相距 59 千米,汽车行完全程要 0.7 小时,步行要 14 小时。一个人从甲 地出发,步行 1.5 小时后改乘汽车,他到达乙地共要几小时 ? 4.甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相向而行。甲车每小时行 82 千米,乙车每小时行

72 千米,两车在离中点 30 千米处相遇。A|B 两地相距多少千米? 5.甲、乙两车同时从东、西两地相向开出,甲车每小时行 40 千米,经过 3 小时已驶 过中点 25 千米,这时乙车与甲车还相距 7 千米。求乙车的速度。 6.甲、乙两车同时同地同向行进,甲车每小时行 30 千米,乙车每小时行的路程是甲 车的 1.5 倍。当乙车行到 90 千米 的地方时立即按原路返回,又行了几小时和甲车相遇? 7.两辆汽车从同一地点向相反方向开出,第一辆汽车每小时行 48 千米,第二辆汽车 每小进行 52 千米。如果第一辆车先行 1.2 小时,那么,两辆汽车同时行驶几小时后,它 们之间的距离为 557.6 千米? 8.一架运输机和一架客机同时从某地起飞相背飞行,2.5 小时后两机相距 3650 千米。 已知客机比运输机每小时多飞行 100 千米,运输机每小时飞行多少千米? 9.A、B 两地相距 6 千米,甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发在两面三刀地间往返 行走(到达另一地后就马上返回) ,在出发 40 分后两人么一次相遇。乙到达 A 地后马上返 回,在离 A 地 2 千米的地方两面三刀人第二次相遇。求甲、乙两人的速度。 10.客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行 54 千米,货车每小时行 48 千米。两车相遇后又以原速继续前进,客车到达乙地后立即返回,货车到达甲地后也 立即返回,两车在距中点 108 千米处再以、次相遇。甲、乙两地相距多少千米? 第 23 讲

行程问题( 行程问题(三)
本讲的内容是“追及问题” 。 追及问题一般是知两个物体同时运动,经过一定时间,后者追上前者的问题。追及 问题的基本数量关系是: 速度差 ×追及时间=追及路程 例1 中巴车每小时行 60 千米,小轿车每小时行 84 千米,两车由同一个车库出发。已 知道中巴车先开出,30 分钟后小轿车顺着中巴车的路线出发,小轿车经过多少时间能追 上中巴车? 例2 甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地,甲车每小时行 40 千米,乙车每小时 行 35 千米。途中甲车因故障修车用了 3 小时,结果甲车比乙车迟 1 小时到达目的地。两 地间的路程是多少千米? 例3 兄妹两人同时离家去上学,哥哥每分走 90 米,妹妹每分走 60 米。哥哥到校门口 时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行到离学校 180 米处与妹妹向隅,他们呢家离

学校有多远? 例4 小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地,早上 6 时小华和小丽两人一起从甲地 出发一,小华每小时走 5 千米,小丽每小时走 4 千米。小霞上午 8 时才从甲地出发。傍晚 6 时,小华和小霞同到到达乙地。小霞是在什么时间追上小丽的? 练习与思考 1.哥哥放学回家,以每小时 6 千米的速度步行,18 分后,弟弟也从同一所学校 放学回家, 弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追上哥哥。 经过几分弟弟可以追上哥哥? 2.两辆卡车为王村送化肥,第一辆以每小时 30 千米的速度由仓库开往王村,第二辆 晚开 12 分,以每小时 40 千米的速度由仓库开往王村,结果两车同时到达。仓库到王村的 路程有多少千米? 3. 好马每天走 240 里, 劣马每分走 150 里, 劣马先走 12 天, 好马几天可以追上劣马? (我国古代算题) 4.小玲每分行 100 米,小平每分行 80 米,两人同时同地背向行了 5 分后,小玲调转 方向去追赶小平。小玲追上小平时一共行了多少米? 5.一架飞机从甲地飞往乙地,原计划每分飞行 9 千米,现在按每分 12 千米的速度飞 行,结果比原计划提前半小时到百叶窗。甲、乙两地相距多少千米? 6.一辆摩托车追前面的汽车,汽车每小时行 28 千米,摩托车每小时行 40 千米,摩托 车开出 4 小时后追上汽车。汽车比摩托车早出发几小时?(得数保留一位小数) 7.一支队伍长 450 米,以每秒 1。5 米的速度行进。一个战士因画需从排尾赶到排头, 并立即返回排尾。如果他的速度是每秒 3 米,那么,这位战士往返共需多少时间? 8.李华以每小时 4 千米的速度从学校出发步持到 20.4 千米以外的冬令营报到,半小 时后,营地的老师闻讯前往迎接,老师每小时比李华多走 1.2 千米。又过了 1.5 小时,张 明从学校骑车去营地报到,结果三人同时在途中相遇。张明骑车每小时行多少千米? 9.甲、乙两人各骑一辆自行车由同一地点出发,到相隔 45 千米的某地办事。乙比甲 早出发 20 分,而甲比乙早到 45 分,甲到达时乙在甲的后面 10 千米处。甲每小时行多少 千米?(得数保留整数) 10.玲玲从家到县城上学,她以每分 50 米的速度走了 2 分后,发现按个人速度走下去 要迟到 8 分,于是她加快了速度,每分多走 10 米,结果到学校时,离上课还有 5 分。玲 玲家到学校的路程是多少米? 第 24 讲 行程问题(四)

要讲主要讲两种比较特殊的行程问题, “火车过桥”和“环形跑道”“火车过桥”是两 。 个物体,一动一静,火车在前进、在运动,桥是静的、不动的。为了弄清运动过程中的数 量关系,我们可以利用身边一些适宜演示这类问题的实物,如直尺、铅、笔、橡皮等,把 它们当作“火车”和“桥” ,按照题意比试比试,使题目具体、形象化,从而找到解题的 思路。 “环形跑道” ,也是称为封闭回路,它可以是圆形的、长方形的、三角形的,也可以是 由长方形和两个半圆组成的运动场形状。解题时,我们可以运动“转化法”把线路“拉直” 或“截断” ,从布把物体在“环形路道”上的运动转化为我们熟悉的物体在直线上的运动。 例题与方法 例 1.一列火车长 150 米,每秒行 20 米。全车通过一座 450 米长的大桥。需要多少时 间? 例 2.某人沿着铁路旁的便道步行,一列客车从身后开来,在此人身旁通过的时间是 7 秒。已知客车长 105 米,每小时行 72 千米。步行人每秒行多少千米? 例 3.小张和小王各自以一定的速度在周长为 500 米的环形跑道上跑步。小王每分跑 180 米。 (1) 度。 (2) 小张和小王同时从同一地点出发,沿同一方向跑步,经过多少分两人第一次 小张和小王同时从一个地点出发,反向跑步,75 秒后两人相遇,求小张的速

在途中相遇? 例 4.在一个 600 米长的环形跑道上,兄妹两人同时从同一起点都按顺时针方向跑步, 每隔 12 分相遇一次,若两人速度不变,还是在原出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方 向跑,则每隔 4 分相遇一次。两人跑一圈各要几分? 练习与思考 1.小张以每秒 3 米的速度沿着铁路跑步,迎面开来一列长 147 米的火车,它的行 驶速度是每秒 18 米。火车经过小张身边要多少秒? 2.甲、乙两人在周长 720 米的湖边同时、同地背向而行,甲每分行 55 米,乙每分行 65 米,经过多少分两人在湖边相遇? 3.一条环形跑道长 600 米,甲练习骑自行车,平均每分行 550 米,乙练习长跑,平均 每分跑 250 米。两人同时从同一地点同向出发,经过多少分两人相遇? 4.在 300 米长的环形跑道上,甲、乙两人同时同向并排起跑,甲平均每秒跑 5 米,乙

平均每秒跑 4。4 米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前多少米? 5. 一个学生离学校 30 千米, 他每天早晨骑自行车上学, 以每小时 15 千米的速度行进, 恰好准时到校。一天早晨,因为逆风,开始的 10 千米,他只能以每小时 10 千米的速度骑 行,剩下 20 千米,他应以怎样的速度骑行,才能准时到校? 6. 甲、 乙两人环湖跑步, 环湖一周长是 400 米, 乙每分跑 80 米, 甲的速度是乙的 1.25 倍。现在两人同时向前跑,且起跑时甲在乙的前面 100 米。多少分后两人相遇? 7.慢车车长 125 米,车速每秒 17 米;快车车长 140 米,车速每秒 22 米。慢车在前面 行驶,快车从后面追上来,快车追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间? 8.一个人站在铁道旁,听见远处传来的火车汽笛声后,再过 57 秒火车经过他前央。 已知火车拉笛时离他 1360 米(轨道是直的) ,声音每秒可传 340 米远。 求火车的速度。 (得 数保留整数。 ) 9. 小红为测量急驶过的火车的长度和速度准备了两只秒表, 一只记下火车从她面前通 过用了 15 秒,另一只记下从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆(车头先经过第 一根电线杆,再经过第二根电线杆)用了 20 秒,并量出两根电线杆之间的距离是 100 米。 请你帮助小红算出火车的长度和速度。 10.火车每分行 1050 米,从车头与一个路标并列到车尾离开这个路标 3 分钟后,一辆 摩托车以每分 1200 米的速度从这个路标出发,摩托车出发 25 分后,与火车的车头正好并 列。求这列火车的长。 能力测试( 能力测试(三) (满分 100 分,90 分钟完成) 一、填空题(每题 3 分,共 39 分) 。 1.有一块长 20 米,宽 1 米 5 分米的塑料薄膜,用它做规格相同的塑料袋,每个塑 料袋长 4 分米,宽 3 分米。这块塑料薄膜最多可以做( )个塑料袋。

2. 王大爷要用 48 米长的竹篱笆围成长方形或正方形的养鸡场地, 如果围成长方形, 那么,长方形的长是宽的 2 倍,其中一条长边利用旧墙,其余三条边用竹篱笆围成。如里 围成正方形,那么,也有一条边利用旧墙。这两种围法( )形占地面积大。 )

3. 把一块长 12 米, 3 米的长方形钢板, 宽 截成边长为 2 米的正方形钢板, ( 能截 块。

4.有一块正方形实验田,边长 80 米。现在把这块田向四面都扩大 20 米,形成一 块更大的正方形实验田。扩大后的面积比原来增加了( )平方米。

5.一个梯形的面积是 7.44 平方厘米,高是 1.2 厘米,上底长 4.2 厘米。这个梯形 的下底长( )厘米。 )度。

6.一个任意五边形的内角和是(

7.一块长方形地的长和宽都减少 1 米,面积就比原来减少 20 平方米。这块地原来 的周长是( )米。

8.甲、乙两列火车同时从两个城市相对开出,甲车每小时 54 千米,乙车每小时行 的路程是甲车的一半,经过 5 小时两车相遇。两个城市相距( )千米。

9.甲、乙两人同时从 A、B 两地相对走来,甲每小时走 6 千米, 乙每小时走 5 千米。 两人在距离 A、B 两地中点 4 千米的地方相遇。A、B 两地之间相距( )千米。

10.一艘海军潜艇用相同的速度向目的地航行,第一天航行了 270 千米,第二天航 行了 360 千米。第一天比第二天少航行 2 小时。两天共航行( )小时。

11.一列快车,车长 200 米,每分行 500 米。这列快车通过一个长 800 米的隧道, 需要( )分。 12.甲、乙两人相距 13 千米,两人同时同向行走。乙在前,每小时行 4 千米。甲 在后,每小时行 6 千米。经过( )小时甲超过乙 3 千米。

13.甲从东村,乙、丙两人从西村同时相向而行。甲每分行 70 米,乙每分行 60 米, 丙每分行 50 米。 途中甲和乙相会 6 分后, 和丙相会。 丙从出发到相会共用了 甲、 ( 分。 二、周长和面积的计算(每题 5 分,共 20 分) 。 1. 图中阴影部分是街心花园中一个正方形的花坛, 花坛的四周有 1 米宽的水泥路。 如果水泥路的总面积是 12 平方米,中间花坛的面积是多少平方米? )

2.图中三角形 ABC 的面积是 52 平方厘米,三角形 ABD 与三角形 ADC 的面积相等。 求阴影部分的面积。 (单位:厘米) 3.用篱笆围成一个梯形的养鸡场地(如图) ,场地的一边利用房屋的墙壁,篱笆的 总长度是 95 米。这个养鸡场地占地多少平方米?

4. 。如图,求四边形 ABCD 的面积。 (单位:厘米) 三、应用题(第 1 题 6 分,其余每题 7 分,共 41 分) 。 1.李明家到车站的距离是 6 千米,一天,他从家步行到车站去乘车。如果李明以每小 时 4 千米的速度步行,那么,当他到车站时,车已开走了 5 分。如果李明要在开车前 10 分到达车站,那么,他每小时就步行多少千米? 2.少先队员外出野营,队伍长 60 米。途中通过一座公路桥,从排头的队员上桥,到 排尾的队员离桥,共用去 15 分。如果队伍上桥时保持每秒 1.5 秒的速度行进,那么,这 座桥全长多少米? 3.南京到北京的铁路长 1157 千米,一列快车在某日 22 时 30 分从南京开往北京,每 小时行驶 68 千米,同日,一列慢车在 19 时从北京开往南京。已知两车在第二天早晨 7 时 30 分相遇。求慢车的速度。 4.有两列火车,一列长 102 米,每秒行 20 米。另一列长 120 米,每秒行 17 米。两呈 相向而行,从车头相遇到车尾相离,需要几秒? 5.甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站,甲车每小时比乙车多行 12 千米。甲车行驶 4 个半小时到达西站后,没有停留,立即从原路返回,在距离西站 31.5 千米的地方和乙 车相遇。甲车每小时行驶多少千米? 6.一列火车在与公路平行的铁路上行驶,公路上有一个行人,每小时行 4.5 千米,另 有一辆自行车,每小时行 18 千米。火车从后面开来,超越行人所花的时间是 12 秒,超越 自行车所花的时间是 16.5 秒,求火车的长度和速度。 第 25 讲 平均数问题(一)

平均数问题在我们的日常生活中经常遇到的。例如,为了比较五(1)班和五(2)班 在期中考试中,哪个班考得更好一些,我们可以计算出每个班的平均分数,平均分数高的 班通常就被认为考得好些。又如,通过计算两辆汽车行驶的平均速度,来比较这两辆汽车 的快慢。求平均分数、平均速度、平均身高等,都是求平均数。

求平均数,要知道两个条件:被平均分的事物的总数量和平均分的总分数。用总数量 除以相应的总份数,就可以求出平均数。即: 平均数=总数量÷总份数 由这个基本数量关系式,可以得出: 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 例题与方法 1.五(1)班第一小组 7 个同学测量身高,有两个同学的身高都是 153 厘米,有 一个同学的身高是 152 厘米,有两个同学的身高是 149 厘米,还有两个同学和身高是 147 厘米。这个小组同学的平均身高是多少厘米? 例 2.小红上学期共参加数学测试五次,前两次的平均分数是 93 分,后三次的平 均分数是 88 分。小红这五次测试的平均分数是多少? 例 3.小明前五次数学测试的平均成绩是 88 分。为了使平均成绩达到 92.5 分,小明 要连续考多少次满分?(每次测验的满分是 100 分) 例 4.小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛,那四名同学的成绩分别为 78 分、91 分、82 分、79 分,小芳的成绩比五人的平均成绩高 6 分。小芳的成绩排在五人中的第几 位? 例 5.下面一串数是一个等差数列: 3,7,11,…,643。 这串数的平均数是多少? 练习与思考 1.小玲四次英语测验的平均成绩是 92.5 分,第五次测验得 100 分。小玲五次英 语测验的平均成绩是多少? 2.小军期终考试,语文、外语、自然三门的平均成绩是 78 分,数学成绩公布以后, 四门的平均成绩提高了 5 分。小军数学考了多少分? 3.甲、乙、丙三个数的平均数是 6,甲、乙两个数的平均数是 4,乙、丙两个数的平 均数 5.3。乙数是多少?甲、丙两个数的平均数是多少? 4.五个数的平均数是 60, 。若把其中的一个数改为 80,平均数变为 70。灾个数原来 是多少? 5.小强前几次数学测验的平均成绩是 84 分,这一次测验要得 100 分,才难把平均成

绩提高到 86 分。这一次是第几次测验? 6.小华读一本书,第一天读 83 页,第二天读 74 页,第三天读 71 页,第四天读 64 页,第五天读的页数比这五天中平均每天读的页数多功能 3.2 页。小华第五天读多少页? 7.以 2 为首的连续 52 处自然数的平均数是多少? 8.有四个自然数,从第二个数起,每个数都比前一个数大 3。已知这四个数的平均数 是 24.5,其中最大一个数是多少? 9.甲、乙、丙三人一共买了 8 个面包平均分着吃,甲付 5 个面包的钱,乙付了 3 个面 包的钱。丙没带钱。经计算,丙应该付 4 元钱,甲就收加多少钱? 10.小钢在计算 11 个整数的平均数时,得数(按四舍五入法保留两位小数)为 15.35。 老师说,最后一位数字错了。正确的结果是多少? 第 26 讲 平均数问题(二)

例题与方法 例 1.甲、乙两地相距 60 千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行 20 千米。到达 乙地后,又从乙地沿原路返回甲地,每小时行 30 千米。这辆汽车往返甲、乙两地的平均 速度是多少? 例 2.五(2)班女同学人数是男同学的一半,男同学的平均体重是 41 千克,女同学 的平均体重是 35 千克。全班同学的平均体重是多少千克? 例 3.A,B,C,D 四个自然数,两两相配可配成不同的六对。分别求出每对数的和, 这六个和从小到大排列是 24,26,30,34,38,40。A,B,C,D 四个数的平均数是多少? 练习与思考 1.在一次登山活动中,小李上山时,每分走 50 米,18 分到达山顶。然后他按原 路下山,每分走 75 米。小李上山、下山的平均速度是多少? 2.一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时 60 千米的速度从乙地开回甲地。这辆汽车往返的平均速度是多少? 3.有一人从甲地到乙地,前一半时间骑自行车,后一半时间步行。步行的速度为每小 时 4.8 千米,骑自行车的速度为每小时 14.5 千米。这个人从甲地到乙地的平均速度是多 少? 4.某班有 50 名同学,在一次数学考试中,按成绩从高到低排了名次。结果前 30 名的 平均分数比生 20 名的平均分数多 12 分。 一位同学把前 30 名的平均成绩加上后 20 名的平 均成绩,再除以 2,错误地认为这廉洁是全班的平均成绩。他这样算,所得的全班的平均

成绩比正确的平均成绩多了,还是少了?请算出相差的分数。 5.一辆汽车一天平均每小时行 42 千米,已知这辆汽车上午行了 4 小时,平均每小时 行 50 千米,下午平均每小时行 37 千米。这辆汽车下午行了几小时? 6.有三个数,每次选取其中 2 个数,算出它们的平均数。再加上另外的一个数。用这 样的方法计算了 3 次,得到 3 个数:35,27,25。原来三个数中最大的一个数是多少? 7.如果十个互不相同的两位奇数之和等于 898,那么,这些数中最小的一个是多少? 8.A,B,C,D,E 五个人在一次满分为 100 分的考试中,得分都是大于 91 的整数。 如果 A,B,C 的平均分为 95 分,B,C,D 的平均分为 94 分,A 是第一名,E 是第三名得 96 分,那么,D 的得分是多少? 9.五年级有学生 72 名,课间加餐共交□52.7□元(□为辨认不清的数字) 。平均每人 交了多少元? 10.某学生政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是 89 分。政治、数学两科 的平均成绩是 91.5 分,语文、英语两科的平均成绩是 84 分,政治、英语两科的平均成绩 是 86 分,且英语比语文多 10 分。该生这五科的成绩各是多少分? 第 27 讲 长方体和正方体(一) 我们已经学习了长方体和正方体的有关知识,如长方体和正方体的特征,长方体和正 方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中,有许多问题涉及到长方体和正方体的知识,这 些问题既有趣,又具有一定的思考性,解答这些问题,不仅需要我们具备较扎实的基础知 识和较强的观察能力、作图能力和空间想象能力,还要能掌握一此致解题的思路的技巧。 通过本讲的学习,同学们将从解题的过程中得到一些启示,悟出一些道理,从而提高空间 想象能力和分析推理能力。 例题与方法 例 1.一个长方体,前面和上面的面积之和是 209 平方厘米,这个长方体的长、 宽、高以厘米为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少? 例 2.在一个长 15 分米,宽 12 分米的长方体水箱中,有 10 分米深的小。如果在水中 沉入一个棱长为 30 厘米的正方体铁块,那么,水箱中水深多少分米? 例 3.一个长方体容器内装满水,现在有大、中、小三个铁球。每一次把小球沉入水 中;第二次把小球取出,把中球沉入水中;第三次把中球取出,把小球和大球一起沉入水 中。已知每次从容器中溢出的水量的情况:第二次是第一次的 3 倍,第三次是第一次的 2.5 倍。问:大球的体积是小球的多少倍?

例 4. 一个长方体容器的底面是一个边长 60 厘米的正方形, 容器里直立着一个高 1 米, 底面边长 15 厘米的长方体铁块。这时容器里的水深 0.5 米。如果把铁块取出,容器里水 深多少厘米? 练习与思考 1.一个长方体棱长的总和是 48 厘米,已知长是宽的 1.5 倍,宽是高的 2 倍,求 这个长方体的体积。 2.用 2100 个棱长是 1 厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是 10 厘米,并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米? 3.在一个长 20 分米,宽 15 分米的长方体容器中,有 20 分米深的水。现在在水中沉 入一个棱长 30 厘米的正方体铁块,这时容器中水深多少分米? 4.把一个长 9 厘米,宽 7 厘米,高 3 厘米的长方体铁块和一块棱长 5 厘米的正方体铁 块熔铸成一个底面积是 20 平方厘米的长方体。求这个长方体的高。 5.有大、中、小三个长方体水池,它们的池口都是正方形,边长分别为 6 分米、3 分 米、2 分米。现在把堆碎石分别沉入水中、小水池内,这两个水池的水面分别升高了 6 厘 米和 4 厘米。如果把这两堆碎石都沉入大水池内,那么,大水池的水面将升高多少厘米? (得数保留整数) 6.有一块长方形的铁皮。长 30 厘米,宽 20 厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边 长为 2 厘米的小正方形,然后制成一个无盖的长方体盒子。 (1) (2) 求这个盒子的容积。 做这个盒子用了多少平方厘米铁皮?

7.有一块长方形的铁皮,长 32 厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 4 厘米的 小正方形,然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是 768 厘米,求原来长 方形铁皮的面积。 8.把一根长 6.4 米粗铁丝截成几段,焊成一个长方体的框架,再用铁皮包上各个面。 要使做成的带盖的长方形铁皮箱尽量能多装棱长为 1 分米的正方体 (铁丝架所占的空间不 计) ,做这个长方体铁皮箱需多少面积的铁皮?(焊接处不计。 ) 9.有一个长方体,它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米,并且长、宽、高都有 是质数,这个长方体的体积是多少? 10.一个长方体容器,底面是一个边长 60 厘米的正方形,容器里直立着一个高 1 米, 底面边长 15 厘米的长方体铁块,这时容器里的水深 0.5 米。现在把铁块轻轻地向上提起

24 厘米,那么,露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 第 28 讲 长方体和正方体( 长方体和正方体(二)

这一讲,我们解答长方体和正方体的拼、切,以及有关立体图形的计数问题。这此题 目构思巧妙,趣味性强,对形成空间观念非常有利。 例题与方法 例 1.下图是一个各面上依次标有 1,2,3,4,5,6 这六个数字的正方体的三种 不同摆法。问:这三种摆法左面上的数字和是多少?

例 2.有一个正方体,棱长是 6 厘米。如果把这个正方体切成棱长是 2 厘米的小正方 体(如右图) ,那么,这些小正方体表面积的和是多少?

例 3.一个表面涂满了红色的正方体,在它的每个面上都相等距离地切两刀。 (1) (2) (3) (4) 三个面涂有红色的小正方体有几个? 两个面涂有红色的小正方体有几个? 一个面涂有红色的小正方体有几个? 六个面都没有涂红色的小正方体有几个?

例 4.有一个棱长是 3 厘米的正方体,先从它的每个顶点处挖去一个棱长是 1 厘米的 小正方体,再在它每个面的中央粘上一个棱长是 1 厘米的小正方体。所得物体的表面积是 多少平方厘米?

例 5.18 个边长为 2 厘米的小正方体堆成如图的形状,求它的表面积。

例 6.一只小虫从右图长方体上的 A 点出发,沿长方体的表面爬行,依次经过前面、 上面、后面、底面,最后到达 P 点。请你为它设计一条最短的爬行路线。

· P A

练习与思考 1. 右图是由四个完全一样的正方体拼成的长方体, 每个正方体的 6 个面按相同次 序涂有黑、白、红、黄、蓝、绿六种颜色。问:黑色的对面涂的是什么颜色?红色的对面 涂的是什么颜色? 黑 白 红 黑 黄 黑 黑 黑 蓝 黑 黄 白

2.一个正方体木块,表面积是 96 平方厘米,把它锯成体积相等的 8 个正方体小木块, 每个小木块的表面积是多少? 3. 8 个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。 把 已知小正方体的表面积是 150 平方 厘米,大正方体的表面积是多少平方厘米? 4.一个正方体木块棱长 1 米,沿水平方向将它锯成 3 片,每片又锯成 4 长条,每条又 锯成 5 小块,共得到大大小小的长方体 60 块。这 60 块长方体的表面积的和是多少? 5.右图中 A 的面积是 25 平方米,B 的面积是 15 平方米,h 是 4 米。现在把 A 处 的土堆到 B 处,使 A、B 两处同样高,这时 B 处比原来升高了多少米? h A B

6. 把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体, 然后在大正方体的表面涂上红色。 已知一面涂红色的小正方体有 96 个,那么,两面涂红色的小正方体有多少个?

7.右图是由 16 个棱长 2 厘米的小正方体重叠而成的,求这个立体图形的表面积。

8.一个正方体木块,棱长是 8 厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个

边长为 2 厘米的正方形孔,直透对面。所得立体图形的体积是多少?表面积是多少?

9.右图是一个棱长 3 厘米的正方体木块,一只蚂蚁从 A 点沿表面爬向 B 点。请画 出蚂蚁爬行的最短路线。这样的路线共有几条?

10.在一个棱长为 2 厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为 1 厘米的 正方体小洞,接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为 0.5 厘米的小洞。第三个小 洞的棱长为 0.25 百米挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立方体图形的表 面积是多少?

第 29 讲

数的整除特征

如果整除 a 除以不为零数 b,所得的商为整数而余数为 0,我们就说 a 能被 b 整除,或 叫 b 能整除 a。如果 a 能被 b 整除,那么,b 叫做 a 的约数,a 叫做 b 的倍数。 下面是有关数的整除的一些性质。 1.如果自然数 a 和 b 都能被自然数 c 整除,那么,它们的和(a+b)或差(a-b)也能被 c 整除。例如:60 能被 5 整除,40 能被 5 整除,它们的和 60+40=100 及差 60-40=20 也能 被 5 整除。 2.几个自然数相乘,如果其中一个因数能被某一个自然数整除,那么,它们的积也 能被这个数整除。例如:26 能被 13 整除,26×29×38 的积也能被 13 整除。 3.如果一个自然数能被互质的两个数中的每一个数整除,那么,这个数就能被这两个 互质数的积整除。例如:3 和 4 是互质数,24 分别能被 3 和 4 整除,那么,24 就能被 3 与 4 的积 12 整除。

例题与方法
例 1.在五位数 15□8□的□内填什么数字,才能使它既能被 3 整除,又含有约数 5?

例 2.六位数 3 ABABA 是 6 的倍数,这样的六位数有多少个?

例 3.在 568 后面补上三个数字,组成一个六位数,使它分别能被 3,4,5 整除。符 合这些条件的六位数中,最小的一个是多少?

例 4. 已知 87654321□□这个十位数能被 36 整除, 那么, 这个数个位上的数最小是几? 例 5.一个六位数 12□34□是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是多少? 例 6.如果六位数 1993□□能被 105 整除,那么,它的最后两位数是多少? 练习与思考 1.在 235 后面补上三个数字,组成一个六位数,使它分别能被 3、4、5 整除。这 个六位数最小是多少? 2.有一个四位数 3AA1 ,它能被 9 整除。A 代表的数字是几? 3.从 1 到 100 的自然数中,所有不能被 9 整除的数的和是多少? 4.173□是个四位数。王老师说: “我在这个数的□中先后填入 3 个数,所得的 3 个四 位数依次能被 7,11,6 整除的数的和是多少? 5.用 0,1,3,5,7 这五个数字中的四个数字,可以组成许多能被 11 整除的四位数, 其中最小的一个四位数是多少? 6.商店有三种油漆,牌子和颜色都不同,红色的每桶 1.5 千克,黄色的每桶 2 千克, 白色的每桶 2.5 千克。 为了方便顾客, 商店把这三种油漆改装成每桶 0.5 千克油漆的小桶。 结果“球光牌”装了 280 桶, “江海牌”装了 255 桶, “前进牌”装了 292 桶。请问:每种 牌子的油漆各是什么颜色? 第 30 讲 奇偶性问题

能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的叫做奇数。奇数平常也叫做单数,偶数也 叫做双数。0 也是偶数。所以。一个整数不是奇数,就是偶数。 奇数和偶数的运算有如下一些性质: 1.偶数±偶数=偶数;奇数±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数。 2.奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数。

3.如果一个偶数能被奇数整除,那么,商必是偶数。偶数除以,如果能整除,商可能 是奇数,也可能是偶数。奇数不能被偶数整除。 4.偶数的平方能被 4 整除,奇数的平方被 4 除余 1。 例题与方法 例 1.65 个连续自然数相加,和是奇数还是偶数? 例 2.有一列数:1,3,4,7,11,18,29,…这列数排列的规律是,从第三个数开 始,每个数都是前两个数的和。问:在前 50 个数中(包括第 50 个数) ,有多少个奇数? 例 3.41 名同学参加智力竞赛,竞赛共 20 道题。评分方法是:基础分 15 分,答对一 题 5 分, 不答加 1 分,答错一题倒扣 1 分。请说明: 所有参赛同学得分的总和一定是奇数。 例 4.有一类小于 200 的自然数,每一个数的各位数之和都奇数,并且每个数都是两 个两位数的乘积(如:144=12×12) 。把这一类自然数从大到小排列,第三个数是多少? 例 5.音乐教室里有 7 排椅子,每排 7 把,每把椅子上坐着一个学生,老师每月都要 将座位调换一次,张明同学向老师提建议,每个同学都必须与他相邻(前、后、左、右) 的某一个同学交换座位。老师告诉他,这样交换座位不可能做到。你知道为什么吗? 例 6.线段 AB 的两个端点,一个标以红色,一个标经蓝色。在此线段任意插入 93 个 分点,每个分点随意涂上红色或蓝色,这样,分得 94 条不重叠的小线段。如果把两端涂 色不同的线段叫做标准线段,问:标准线段的条数是奇数还是偶数?为什么? 练习与思考 1.两个相邻的奇数的和乘以它们的差得 184,这两个奇数各是多少? 2.今有 12 张卡片,每张上面都写着一个一位数。其中三张写着 1,三张写着 3,三张 写着 5,三张写着 7。你能否从中选出 5 张卡片,使它们上面的数字之和为 20?为什么? 3.三个连续偶数的和比其中最大的一个偶数的 2 倍多 2,这三个偶数的积是多少? 4.1+2+3+4+…+1997,这道加法算式的和是奇数还是偶数? 5.99 个数排成一行:0,1,3,8,21,…除了两头的两个数以外,每个数的 3 倍都 恰好等于它两边的两个数的和。这 99 个数中有多少个奇数? 6.用 0,1,2,3,…9 共十个数字组成五个两位数,每个数字只能用一次,要求它们 的和是一个奇数,并且尽可能地大。那么,这五个两位数的和是多少? 7.一个小于 200 的自然数,它的每个数字都是奇数,并且它是它两个两位数的乘积。 这个自然数是多少? 8. 7 名同学参加同一篇小论文的讨论会, 有 他们中的每一位都与三位同学各讨论过一

次,这可能吗?请说明理由。 9.某班同学参加数学竞赛,每张试卷上有试题 50 道。评分方法是:答对一道给 3 分, 不答给 1 分,答错倒扣 1 分。请说明该班同学得分的总和一定是偶数。 第 31 讲 最大公约数和最小公倍数

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大 公约数。自然数 a、b 的最大公约数可记作(a,b) 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小 公倍数。自然数 a、b 的最小公倍数可记作[a,b] 两个数的最大公约数与最小公倍数有如下关系: 最大公约数×最小公倍数=两数的乘积,即 (a,b)×[a,b]= a×b 例题与方法 例 1.两个自然数的最小公倍数是 180,最大公约数是 12,并且小数不能整除大 数。求这两个数。 例 2.能同时被 2,3,4,5,6,7,8,9,10 这九个数整除的最大六位数是多少? 例 3.三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书,甲 3 天去借一次,乙 4 天去一次, 丙 5 天去一次。一个星期一,他们三人在图书馆相遇,至少再过多少天他们又在图书馆相 遇?相遇时是星期几? 例 4.小佳的储蓄筒里存有二分和五分的硬币,他把这些硬币倒出来,估计有五、六 元钱。小佳把这些硬币分成钱数相等的两堆,第一堆中二分硬币和五分硬币的个数相等; 第二堆中二分硬币和五分硬币的钱数相等。你知道小佳存了多少钱吗? 例 5.某班学生列队,如果每排 3 人,就多出 1 人;如果每排 5 人,就多出 3 人;如 果每排 7 人,就多出 2 人。问:这个班至少有多少人? 练习与思考 1.已知 A,B 两个数的最大公约数是 12,最小公倍数为 72,A=36,求 B=? 2.两个自然数的和是 52,它们的最大公约数是 4,最小公倍数是 144。这两个数各是 多少? 3.有一种自然数,它们加上 1 是 2 的倍数,加上 2 是 3 的倍数,咖上 3 是 4 的倍数, 加上 4 是 5 的倍数,加上 5 是 6 的倍数,加上 6 是 7 的倍数。这种自然数除 1 以外,最小 的数是多少?

4.有一批砖,长 45 厘米,宽 30 厘米,至少用这样的砖多少块才能铺成一个实心的正 方形? 5.现有语文本 42 本,数学本 112 本,外语本 70 本,平均分成若干堆,每堆中这三种 课本的数量分别相等。最多可以分成几堆? 6. 从运动场的一端到另一端全长 96 米, 从一端起到另一端每隔 4 米插一面小红旗 (两 个端点各插一面旗) 。现在要改成每隔 6 米插一面小红旗,问:可以不拔出来的小红旗有 多少面? 7.有四个自然数 A,B,C,D,它们的和不超过 400,并且 A 除以 B 商是 5 余 5,A 除 以 C 商是 6 余 6,A 除以 D 商是 7 余 7。这四个自然数的和是多少? 8.甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步,甲跑完一圈要 1 分,乙跑完一圈要 1 分 15 秒。现在三人同时同地出发,几分后,三人又在出发地相会?这时他们各跑了几圈? 9.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数中选出 5 个不同的数字组成一个五位 数,使它能被 3,5,7 和 13 整除,这个数最大是多少? 第 32 讲 分解质因数(一)

一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数。例如:2、3 都是 36 的质 因数,4 和 9 都是 36 的因数,但不是 36 的质因数。 把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如 240=2 ×3×5, 4200=2 ×3×5 ×7 在解决一些数学问题的过程中,我们常常把一些已知数分解质因数,以便于研究已知 数与未知数之间的关系。 例题与方法 例 1.23÷( )=( )……5,在括号内填入适当的数,使等式成立,共有几 种不同的填法? 例 2.班主任李老师带领五(1)班同学去种树,全班同学恰好可以平均分成 3 组。如 果老师与学生每人种树的棵树一样多,则共种了 364 棵树。五(1)班有学生多少人?每 人种树多少棵? 例 3.一只筐里共有 96 个苹果,如果不一次拿出,也不一个一个地拿出,但每次拿出 的个数要相等,最后一次正好拿完。那么,共有几种拿法? 例 4.将下列八个数平均分成两组,并使这两组数的乘积相等。 例 5.504 乘以自然数 a,得到一个平方数(即等于某自然数的平方) ,求 a 的最小值
3 2 4

和这个平方数。 练习与思考 1.用 1,2,3 三个数字,允许重复使用,可以组成 100 以内的哪些质数? 2.三个自然数的乘积为 120,其中两个数的和等于另一个数,求这三个数。 3.用 462 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的拼法? 4.把 9,15,28,30,34,55,77,85 这八个数平均分成两组,使每组四个数的乘积 相等,应该怎样分? 5.如果两个自然数的和是 32,这两个数的积可以整除 3003,那么,这两个数的差是 多少? 6.要使 145×32×20×□积的末五位数都是 0,□里填入的自然数的最小值是多少? 7.把若干个自然数 1,2,3,4,…连乘起来,当乘积的最末 20 位恰好都是 0 时,最 后出现的自然数最小是多少? 8.有若干箱同样大小的正方形瓷砖,每箱 360 块。问:至少取多少箱,才能使所取出 的瓷砖能拼成一个正方形?(要求整箱地取,所取的瓷砖要全部用上。 ) 第 33 讲 分解质因数(二) 例题与方法 例 1.求 1585 的约数的个数。 例 2.某自然数是 3 和 4 的倍数,这个数包括 1 和本身在内共有 10 个约数,这个自然 数是多少? 例 3. A、B 两数都含有质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75。已知 A 有 12 个约数, B 有 10 个约数, 那么,A、B 两数的和是多少? 例 4.四个连续奇数的最小公倍数是 6435,这四个数中最大的一个数是多少? 例 5.把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填进下面算式的方框内(每个数字都要用到) , 使等式成立。 □□□×□□=□□×□□=5568 练习与思考 1.165 的约数共有几个? 2. 某自然数是 4 和 5 的倍数, 包括 1 和它本身在内共有 9 个约数, 这个自然数是多少? 3.甲、乙两个数都含有质数 2 和 7,它们的最大约数是 98。已知甲数有 12 个约数, 乙数有 8 个约数甲、乙两数各是多少?

4.用一个两位数除 3347,余数是 83,求这个两位数。 5.四个连续自然数的乘积是 11880,这四个数的和是多少? 6.一个长方形的面积为 320 平方米,如果它的长不变,宽增加 4 米,就成为一个正方 形。求原来长方形的周长。 7. 幼儿园陈老师带了 112 元钱去商店买一种玩具若干个, 由于这种玩具每个降价一元, 陈老师所带的钱可以比原汁划多买 2 个。陈老师原来准备买多少个这种玩具? 8. 11112222 个棋子排成一个长方阵。 每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个, 这个长方阵每一横行有多少个棋子? 第 34 讲 牛顿问题

牛顿是英国的一个伟大的科学家,他曾经写过一本“算术”书,书中有一道非常有名 的题目,是关于牛在牧场上吃草的问题。以后,人们就把这类“牛吃草问题”叫做“牛顿 问题” 。 例题与方法 例 1.有一片牧草,如果饲养 27 头牛,这些牛 6 天可以把草吃尽。如果饲养 23 头牛,则这些牛 9 天可以把草吃尽。如果饲养 21 头牛,多少天可以把草吃尽? 例 2.一块牧场的草够 12 头牛吃 12 个星期,或 15 头牛吃 8 个星期,如果在全部时间 内青草能均匀的生长,那么,这块牧场 6 个星期能养活多少头牛? 例 3.有一块牧场长满了牧草,每天牧草匀速生长,这块牧场的草可供 17 头牛吃 30 天,也可供 19 头牛吃 24 天。开始有一些牛在牧场上吃草,6 天后,有 4 头牛被卖了,余 下的牛用 2 天时间将牧场上的草吃完。问:开始有多少牛在吃? 例 4. 画展 9 时开门,但早有人来排队等候 5 入场。从第一个观众来到时起,每分来 的观众人数一样多。如果开 3 个入场口,9 时 9 分就不再有人排队。如果开 5 个入场口, 9 时 5 分就没有人排队。第一个观众到达时间是几时几分? 练习与思考 (每题 20 分,共 100 分) 1. 一块牧场长满了牧草,每天草都在匀度生长。这块牧场上的草可供 10 头牛吃 20

天,也可供 15 头牛吃 10 天。那么,这块牧场上的草可供 25 头牛吃几天? 2. 一牧区长满牧草,每天牧草都在匀速生长。这牧区的草可供 27 头牛食用 6 周,

可供 23 头牛食用 9 周。多少头牛 8 周可食完这牧区的草? 3. 一块 1000 平方米扩大牧场里的草能够让 12 头牛吃 16 个星期,或让 18 头牛吃 8

个星期。如果在全部时间内,草能够均匀地生长,那么,一块 4000 平方米的牧场 6 个星 期能养活多少头牛? 4. 有一口水井,连续不断地涌出泉水,每分涌出 的水量相等。如果用 3 台抽水机

来抽水,36 分可将水抽完;如果使用 5 台抽水机抽水,20 分可将水抽完。现在要求 12 分 内抽完井水,需要多少台抽水机? 5. 一个水池安装着若干根排水量相等的排水管。 现在揩油一根进水管不停地往水池

里注水,每分注如的水量相等。过一段时间,池里已有一些水。这时,如果开放 3 根排水 管,45 分可把池中的水排完;如果开放 5 根排水管,25 分可把池中的水排完。问:如果 这时开放 8 根排水管,几分可将池中的水排完? 能力测试(四) (满分 100 分,90 分钟完成) 一、填空题(每小题 3,共 54 分) 。 1.在 45 的约数中,既是奇数又是合数的有( )

2.从 7,0,5,4,9 这五个数中选出四个数,组成一个能同时被 2,3,5 整除的 数。最大的一个是( ) 。 ) 、 ( ) 、 ( ) 。

3. 有三个质数, 它们的最小公倍数是 105。 这三个质数是 ( 4.最小的自然数与最小的合数的和是( ) 。

5.两个自然数的积是 492,其中一个数大于 20,而小于 80。这两个数是( 和( ) 。 6.甲数是乙数的 3 倍,它们的最大公约数是( ) ,最小公倍数是( ) 。



7. 两个合数的最小公倍数是 72, 如果这两个数是互质数, 那么, 这两上数是 ( 和( ) 。 8.一个两位的自然数除以 12 的 8 都余 3。这个数最小是( 9.在 30 以内的质数中,加上 2 还是质数的有( ) 。 ) 。



10.在 100—150 中,找出两个整数,使它们的乘积等于 77 与 195 的乘积。这两个 整数是( )和( ) 。 ) 。

11. 乙两数的最大公约数是 5, 甲、 最小公倍数是 120。 已知甲数是 40, 乙数是 (

12.有三个相邻的偶数,它们的乘积是一个六位数 8□□□□2。这三个偶数是 ( )( 、 )( 、 ) 。

13.有 50 个数,它们的平均数是 38。如果划去两个数,而且划去的这两个数的和

是 100,那么,剩下的数的平均数是(

) 。

14.五个数的平均数是 60。如果把其中的一个数改为 80,那么,这五个数的平均 数就变为 70, 。被改的数原来是( ) 。

15.一个正方体,棱长是 10 分米。如果把这个正方体切割成棱长是 2.5 分米的小 正方体,可以切成( 平方分米。 16.把一个长、宽、高分别是 6 厘米、5 厘米、4 厘米的长方体截成两个长方体后, 这两个长方体的表面积之和最大是( )平方厘米。 )块,这些小块正方体的表面积之和比原来正方体多( )

17.一个长方体的宽和高相等,若长减少 2.5 厘米,就成为表面积是 150 平方厘米 的正方体。原来长方体的体积是( )立方厘米。

18.一个长方体的木块,长 8 分米,宽 4 分米,高 2 分米。把它锯成若干个小正方 体,然后再拼成一个大正方体。这个大正方体的表面积是( )平方分米。

二、判断题(对的在括号里打“√”错的打“×”) 。(每小题 2 分,共 16 分) 。 1.一个自然数,如果不是质数,就一定是合数。 ……………………………………………………… ( ) ( ( ( ( ) ) ) )

2.两个质数的乘积一定是合数。……………………… 3.两个奇数的和一定是偶数。 ……………………

4.任何一个自然数的约数至少有两个。……………… 5.一个数的约数总比它的倍数小。 ………………

6.因为 18 和 19 没有公约数,所以,18 和 19 是互质数。 ………………………………………………………… 7.比 6 小的数的和是 15。 ( ) )

………………………… (

8.一个自然数,如果能被 3 和 5 整除,那么,它就一定能被 15 整除。 ………………………………………………………… ( 三、应用题(每题 6 分,共 30 分) 1.一个摩托车驾驶员以每小时 20 千米的速度行了 3 小时。然后,立即沿原路返 回,每小时行 30 千米。这辆摩托车往返的平均速度是每小时多少千米? 2.某校五(1)班有学生 50 人,数学期中考试,有两名同学因病未考,这时班级平均 分为 87 分。缺考的两名同学补考后,各得 98 分。五(1)班这次数学期中考试的平均分 是多少? )

3.一个牧场上长满牧草,牧草每天匀速生长。这个牧场上的草可供 10 头牛吃 20 天, 也可供 15 头牛吃 10 天。那么,可供 25 头牛吃多少天? 4. 一个文具店出售每支 5 角的铅笔, 很少有人买。 于是, 文具店把这种铅笔降价出售。 结果,库存的这种铅笔全部卖光,共卖得 31.93 元。这个文具库存的这种铅笔有多少支? 每支降价多少元? 5.把一个长 18 米,宽 6 米,高 4 米的大教室,用厚度为 25 厘米的隔墙分为 3 个活动 室(隔墙砌到顶) ,每间活动室的门窗面积都是 15 平方米。现在用石灰粉刷 3 个活动室的 内墙壁和天花板,平均每平方米用石灰 0.2 千克,一共需要石灰多少千克?


◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲



加减法的巧算(一)…………………2 加减法的巧算(二)………………… 7 乘法的巧算 配对求和 …………………………12 ………………16

找简单的数列规律…………………… 17 图形的排列规律……………………… 19 数图形 …………………………23 分类枚举 ……………………………26

能力测试(一)……………………………26 第九讲 第十讲 填符号 组算式 ………………………28

填数游戏………………… …31 算式谜(一)……………………………35 算式谜(二) ……………………………37

◆第十一讲 ◆第十二讲

◆第十三讲 火柴棒游戏(一)………………………… 39 ◆第十四讲 ◆第十五讲 ◆第十六讲
◆ 第 17 讲

火柴棒游戏(二)

……………………40

从数量的变化中找规律…………………… 45 数阵中的规律
时间与日期 推理

…………………… 45

…………… ……………

◆ 第 18 讲

◆能力测试 (二) ………………………………63
◆ 第 19 讲 ◆ 第 20 讲 循环……………… 最大和最小…………………………

◆ 第 21 讲 ◆ 第 22 讲 ◆ 第 23 讲 ◆ 第 24 讲

最短路线………………………… 图形的分与合 ………………… 格点与面积…………………… 一笔画……………………… ……………………

◆ 阶段测试(三) ◆ 第 25 讲

移多补少与求平均数 …………… … ………………

◆第 26 讲 上楼梯与植树

◆第 27 讲 简单的倍数问题…………………… ◆第 28 讲 年龄问题 …………………………… ◆第 29 讲 鸡兔同笼问题…………………… ◆第 30 讲 盈亏问题………………… ◆第 31 讲 还原问题 ◆第 32 讲 周长的计算 ◆第 33 讲 等量代换 ◆第 34 讲 一题多解 …………………… …………………… …………………… ……………………

◆能力测试(四)………………………………

第一讲

加减法的巧算

森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军,都在舞台上 发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。 由于他们对每个选手分数的及时通报, 台下的观众频频为选手取得的好成绩而热 烈鼓掌,同时,观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。 观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中,就像变魔 术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时,小白兔已欣赏了一阵比赛,结

果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问: “白兔弟弟,你这么快就 算出了答案,有什么决窍吗?” 小白兔说: “比如 2 号选手是 93、95、98、96、88、89、87、91、93、91, 去掉最高分 98,去掉最低分 87,剩下的都接近 90 为基准数,超过 90 的表示成 90+ 零头数’不足 90 的表示成 90- ‘ , ‘零头数’于是 。 (93+95+96+88+89+91+93+91) ÷8=90+(3+5+6―2―1+1+3+1)÷8=90+2=92。你可以试一试。 ” 小熊照着小白兔说的去做,果然既快又对。这下小熊明白了,掌握了速算的 技巧,在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间,更主要的是提高 了我们的工作效率。 我们在进行速算时,要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则,选择 合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。 例题与方法 例1 计算: (1)2458+503 (2)574+798

例 2.

计算: (1)956-597

(2)3475-308

例3

用简便方法计算: (2)2803+(2178+5497)+4722

(1)783+25+175

例 4.

计算:

999+99+9

练习与思考。 练习与思考 1. 计算下面各题,并口述解题思路。 (1)256+503 (2)327+798

(3)379-297

(4)467-103

(5)2497+183

(6)3498-438

2.直接写出得数 ( 1 ) 376+174+24 (2)864+(673+136)+227

(3)1324―875―125

(4)3842―1567―433―842

3.计算下列各题。 (1)99999+9999+999+99+9 (2)7+7+5+2+7

第二讲

加减法的巧算( 加减法的巧算(二)

我们已经知道了有关简单加减法的巧算方法。对于稍复杂的加减法,如何进 行巧算呢?这一讲,我们就来讨论这个问题。 例题与方法 例题与方法

1. 计算: 2. 计算: 3. 计算: 4. 计算: 5. 计算:

1654-(54+78) 2937-493-207 657897-657323+297 995+996+997+998+999 1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98

-8-99-9

练习与思考 1. 下列各题。 (1) 538-194+162 (2) 497+334-297 (3) 7523+(653-1523) (4) 9375-(2103+3375) (5) 874―(457―126) (6) 3467―253―174―47―126 2. 计算下列各题。 (1) 657-(269+257)+169 (2) 77+79+79+80+81+83+84 (3) 1000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―84―16―83― 17―82―18―81―19 (4) 901+902+905+898-907+908-895 (5) 997+3―(997―3)

第4讲

配对求和

高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家,从小就聪明过人。他 8 岁时,老师给他和班上的同学出了一道题: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = ?

8 岁的小高斯很快报出了得数:5050。这个答案完全正确! 最让老师吃惊的是,小高斯是计算速度如此快 小高斯用什么办法算得这么的呢? 原来,他用了一种巧妙的方法——配对求和。这种方法正是我们要向读者小

朋友介绍的。 例题与方法

1. 计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2. 计算:11+12+13+14+15+16+17+18+19 3. 计算:101+102+103+104+105+106+107+108+109+110 4. 有一垛电线杆叠堆在一起, 一共有 20 层。 1 层有 12 根, 2 层有 13 根…… 第 第 下面每层比上层多一根(如下图) 。这一垛电线杆共有多少根?

练习与思考 1. 计算:1+2+3+4+…+18|+19 2. 计算:1+2+3+4+…+29+30 3. 计算:2+4+6+8+…+98+100 4. 计算:40+41+42+…+61 5. 计算:13+14+15+…+27 6. 有 20 个数,第 1 个数是 9,以后每个数都比前一个数大 3。这 20 个数连加, 和是多少? 7. 有一串数,第 1 个数是 5,以后每个数比前一个数大 5,最后一个数是 90。 这串数连加,和是多少? 8. 一堆圆木共 15 层,第 1 层有 8 根,下面每层比上层多 1 根。这堆圆共多少 根? 9. 省工人体育馆的 12 区共有 20 排座位,呈梯形。第 1 排有 10 个座位,第 2 排有 11 个座位,第 3 排有 12 个座位,……这个体育馆的 12 区共有多少个 座位? 10. 有一个挂钟,一个点钟敲 2 下,三点钟敲 3 下……十二点敲 12 下,每逢分 种指向 6 时敲 1 下。问这个挂种一昼夜共敲多少下?

第5讲

找简单数列的规律

在日常生活中,我们经常会碰到一定排列的数,比如: 一列自然数:1,2,3,4,5,6,7,8,… 年份:1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,… 某工厂全年产量(按月份排) :400,450,500,450,50 0,550,… 像上面的这些例子,都是按某种法则排列的一列数,这样的一列数就叫做数 列。数列里的每一个数都叫做这个数列的项。其中第 1 个数叫做数列的第 1 项, 第 2 个数叫做数列的第 2 项,第 n 个数列叫做数列的 第 n 个数叫做数列的第 n 项。比如在年份数列中,第 4 项是 1983,第 7 项就是 1986。 研究数列的目的是为了发现数列中的数排列的规律并依据这个规律来解决 问题。 例题与方法 例1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例2 找出下面数列的规律,并根据规律在括号里填出适当的数。 3,6,9,12, ( ) ,18,21 ) ,18,16 )( , ) )( , ) )( , ) ) ) )

28,26,24,22, ( 60,63,68,75, (

180,155,131,108, (

196,148,108,76,52, (

6,1,8,3,10,5,12,7, ( 0,1,1,2,3,5,8, (

) , ( )( ,

10,98,15,94,20,90, (

在下面数列中填出合适的数。 ) ,243 ) ,5040 ) ,31 ) ,48,63

(1) 1,3,9,27, (

(2) 1,2,6,24,120, ( (3) 1,1,3,7,13, ( (4) 0,3,8,15,24, (

例3 在下面数列的每一项由 3 个数组成的数组成的数表示,它们依次是: (1, 5,9)(2,10,18)(3,15,27) , , ,……。问第 50 个数组内三个数的和是多少? 例4 先找规律,再填数。 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=( 12345×9+6=( 123456×9+7=( 1234567×9+8=( 例5 ) ) ) )

第6讲

图形的排列规律 图形的排列规律

找规律是解决数学问题的一种重要手段。而发现规律既需要敏锐的观察力, 又需要严密的逻辑推理能力。同学们一定听说过福尔摩斯这个人吧,他是世界著 名的大侦。我们从小说和电视剧中看到福尔摩斯的“破案”简值神极了,什么疑 难案件,他都能把业超级大国去肪分析清楚。他靠的不仅是渊博的知识,还有细 心敏锐的观察与严密的逻辑推理。这一讲将为你提供很多图形,它们在某一个方 面,比如颜色、形状、大小、结构、位置或繁难等有些共同的特征或变化规律, 我们要学会通过观察找规律,并根据规律来推断结果。 例题与方法 例 1 下面哪个图形和其他几个不一样,请你找出来,并打上“√” 。
(1)

(2)

(3)

(4)

例 2 按顺序观察下图的变化规律,想一想在带“?”处应选择哪一个图形?

?

可供选项:


例3







仔细观察下面的三个图形,然后选择一个合适的图形填在“?”处。

例4

根据等号左边两个图形的变换关系,推断出“?”处应选择第几号图 形?

=











例5

下面的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并在“?”处填上适 当的图形。


(1) (2) (3)

练习与思考 1.选择合适的图形,将图号填入虚线框内。 (1)
(4) (5)


(6)


(7) (8) (9)









(2)

(3)









2.仔细观察下面图形,按其变化规律在“?”处填上合适的图形。 (1)



(2)



(3)

3.根据左边图形的关系,画出右边图形的另一半。 (1)

(2)

(3)

4.从所给的 6 个图形中,选出一个适当的图形,将它的编号填入“?”处。 (1)

?











(2)













第七讲

数图形

晚饭过后,妈妈给小明出了一道“试眼力”的题目:数数窗户上一共有几个 正方形。小明看,立刻回答: “窗户上有 6 个正方形。 ”妈妈笑了,爷爷在一旁也 笑了,小明给弄了个“丈二和尚摸不着头脑” 。小朋友,你知道小明的爷爷妈妈 为什么笑吗?小明数昨难道不对吗?如果不对, 那么窗户上窨有几个正方形呢? 下面我们就一起来研究数图形的问题。

例题与方法 例1.
A

下图中有多少条线段?
B C D E

例2.

下面图形中有几个角?
D C B O A A

例3.

下图中共有多少个三角形?

例4.

右图中有多少个正方形?
B A B C D

E

例5.

数一数图中共有多少个三角形?
A A

D

练习与思考
B

C

B

C

1.下图中各有多少条线段? (1)
A A B C D E F D

F

G B

(2)
B

A

D C

C D E B F

H A I E

(3)
F B

D

C A B C D E O F

2.下图中有多少个角?

3.下图中各有多少个三角形? (1) (2)

(3)

(4)

4.下图中各有多少个长方形? (1) (2)

(3)

5.下图中有多少个正方形?

第8讲

分类枚举

小芳为了给灾区儿童捐款, 把储蓄罐里的钱全拿了出来。 她想数数有多少钱。 小朋友, 你知道小芳是怎么数的吗?小芳是个聪明的孩子, 她把钱按 1 分、 分、 2 5 分、1 角、2 角、5 角、1 元等分类去数。所以很快就好了。 小芳数钱,用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的思考方法,在很多 问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧! 例题与方法 例 1.右图中有多少个三角形?

例 2.右图中有多少个正方形?

例 3. 在算盘上, 用两粒珠子可以表示几个不同的三位数?分别是哪几个数? 例 4.用数字 1,2,3 可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数? 例 5.往返于南京和上海之间的泸宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州 三站。问:铁路部门要为这趟车准备多少种车票? 例 6.小明有面值为 3 角、5 角的邮票各两枚。他用灾些邮票能付多少种不同 的邮资(寄信时,所需邮票的钱数)? 例 7.有一种用 6 位数表示日期的方法。例如,用 940812 表示 1994 年 8 月 12 日。用这种方法表示 1991 年全年的日期,那么全年中 6 位数字都不相同的日 期共有多少天? 练习与思考 1.下图中有多少个三角形? (1) (2)

2.右图中有多少个长方形?

3.用 0,1,2,3 可组成多少个不同的三位数? 4.从北京到南京的特快列车, 中途要停靠 9 个站。 在几种不同标价的车票? 5.用 3 张 10 元和 2 张 50 元一共可以组成多少咱币值(组成的钱数)? 6.中、日、韩进行四国足球赛。每两队踢一场。按积分排名次,一共踢多

少场? 7.丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶,红蓝、黑围巾各一条。冬天,丽丽每天 戴一顶帽子、围一条围巾,有几种不同的搭配方式? 8.用例 7 的方法表示 1994 年的日期,6 位数字各不相同的共有多少天? 能力测试( 能力测试(一) 一、填空题。 (每空 5 分,共 60 分) 1.1+2-3+4+5-6+7-8+9+10+11-12=( 2.15+16+17+18+19+20+21+22=( 3.按规律填出□中的数。 (1)3,15,35,63,99,□,195 (2)1,4,9,□,64,169,441 (3)1,3,6,10,□,21,28,36 (4)2,1,4,3,6,9,8,27,10,□ 4.数一数。 (1)
A B C D E F G H

) )

有(

)条线段。

(2)

有(

)个长方形。

(3)

有(

)个角。

(4)

有(

)个三角形。

5.按照前面两个图形的变化规律,在“?”处画上合适的图形。 (1)

?
(2)

二、用简便方法计算下列各题。 (每题 4 分,共 20 分) 1.478-128+122-72 2.947+(372-447)-572 3.15000÷125÷15 4.42×35+61×35-3×35 5.7+14+21+28+35+42+49+56+63 三、解答题。 (每题 5 分,共 20 分) 1.用 3 个 2 分币、4 个 5 分币能组成多少种不同的钱数?

2.某学校乒乓球队员 14 人,其中女队员 6 人,现要组成双打混合队去参加比 赛,有几咱组队方法?

3.3 根火柴可以摆成一个三角形,现如右图摆了一个由许多这种小三角形组 成的大三角形,大三角形的每边均由 29 根火柴摆志,那么摆出这个图形共需多少 根火柴?

4.小华、小明、小红参加数学竞赛。赛题 20 道,规定答对一道题给 5 分,答 错一题扣 2 分。小华、小明、小红都答完了 20 道题,小华得了 86 分,小明得了 72 分,小红得了 65 分。他们三人各答错了几道题?

第 9 讲 填符号

组算式

祝枝山是“江南四大才子”中有名的人物,他写得一手好字。有一次过年, 一个人请祝枝山写了一张条幅: “今年正好晦气,全无财帛进门。 ”差一点气昏过 去,大骂祝枝山是个“大混蛋” 。祝枝山不慌不忙,笑嘻嘻地说: “你听我念: ‘今 年正好,晦气全无,财帛进六。 ’这是多么好的口彩。 “主人一听,马上转怒为喜。 古人的断句,体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作 用。 例题与方法 例 1.在下列 4 个 4 中间,添上适当的运算符号+、-、×、÷和( 组成 3 个不同的算式,使得数都是 2。 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4=2 4=2 4=2 ) ,

例 2.在批改作业时,张老师发现小明抄题时丢了括号,但结果是正确的。 请你给小明的算式添上括号: 4+28÷4-2×3-1=4 例 3.在下面的数字之间添上运算符号,使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=60

例 4.在下面算式适当的地方添上加号,使等式成立。 8 8 8 8 8 8 8 8=1000

例 5.在下面算式适当的位置添上适当的运算符号,使等式成立。 8 8=1995 例 6.在下面式子的适当地方添上+、-、×,使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8=1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

练习与思考 1.在下面的式子里加上括号,使等式成立。 5+7×8+12÷4-2=75 5+7×8+12÷4-2=20 5+7×8+12÷4-2=102 2.在下面的数字之间添上+、-、×、÷和( 3 5 9 3 5 9 3 5 9 3 5 9 3=10 5=4 9=18 ) ,使等式成立。

3.把运算符号+、-、×、÷分别填入下面的○内,使等式成立。 (6○18○3)○(7○2)=12 (6○12○5)○(15○4)=7 4.在下列算式中适当的地方添上+、-、×号,使等式成立。 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4=1996 6=1992

5.只添上一个加号和两个减号,使下面等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100

6.在下列算式中适当的地方添上+、-号,使等式成立。 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1=21 1=23

第 10 讲

填数游戏

爱因斯坦是举世文明的大科学家,以发明物理学上的相对论著称。他在成 名后,仍继续为德国的《法兰克福报》写稿,给读者提出一些数学问题。下面是 爱因斯坦做过的一道题目: 如下图所示的几个圆的圆心是 4 个小的等腰三角形和 3 个大的等腰三角形的顶点,把数字 1~9 填入圆圈内,使这 7 个三角形中每个 三角形顶点的数字之和都相等。

这个问题就是我们所说的填数游戏,也就是数阵问题。要想解决大科学家做 过的问题,我们得学习数阵方面的一些基础知识。 例题与方法 例1. 把数字 1,3,4,5,6 分别填在右图中三角形 3 条边上的 5 个○内, 使每条边上 3 个○内数和和等于 9。

2

例2. 将数字 1,2,3,4,5,6 填入图中的小圆圈内,使每个大圆上 4 个 数字的和都是 16。

例3. 有 8 张卡片,写有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,请你重新按下右 图进行排列,使每边 3 张卡片上的数的和等于 13。

1

2

3

4

5

6

7

8

例4. 在右图中各圆空余部分填上 1,2,4,6,使每个圆中的 4 个数的和 都是 15。

3 7

5

例5. 将数字 1~5 分别填在下图中的○内,使每条线段上 3 个○内的数字 之和相等。

例6. 将数字 1~8 分别填入下图中的□内,使每一横行、每一竖相邻 3 个 □内的数字和相等。

练习与思考 1.把数字 1~9 填入下图中,要求每行、每列和每条对角线上 3 个数的和都 等于 15。

2.在上图中,只能用图中已有的 3 个数填满其余的空格,并要求每个数字

必须使用 3 次,而且每行、每列及每条对角线上的 3 个数字之和都相等。
3 7 5 4 6 8

3.把数字 1~8 分别填入下图的小圆圈内,使每个五边形上 5 个数之和都等 于 21。

4.把数字 1,2,3,4 填入上图中的小圆圈内,使每条线上 3 个数的和与每 个圆圈上 3 个数的和都等于 12。

5.将数字 1~8 填入图中,使横行□中的数字和等于竖行□中的数之和。

6.将数字 2~9 分别填在图中的○内,使每条线上五个○内数的和相等。

1

第 11 讲

算式谜(一) 算式谜(

小朋友们可能都猜过这样一个谜语,谜面是“空中码头” (打一城市名) 。谜 底你还记得吗?记不得也没关系,想想“空中”指什么?“天” 。这个地名第 1 个字可能是天。 “码头”指什么呢?码头又称渡口,联系这个地名开头是“天” 字,容易想到“天津”这个地名,而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底 就出来了:天津。 数学当中也有这样的谜,它是由一些数字与算式构成的,称为算式谜。日本 人形象地称之为“虫食算” ,即算式中一些数字被虫子咬去了。要想猜出算式谜, 也得先分析这些数字和算式构成的“谜面” ,再运用一些推理方法打到“谜底” 。 例题与方法 例 1.将数字 0,1,3,4,5,6 填入下面的□内,使等式成立,每个空格 只填入一个数字,并且所填的数字不能重复。 □×□=2=□□÷□ 例 2.将数字 1~9 分别填在下面 9 个方格中,使算式成立。 □+□=□ □-□=□ □×□=□ (1) (2) (3)

例 3.把数字 19 填在方格里,使等式成立,每个数字只能用一次。 □÷□=□÷□=□□□÷□□ 例 4.用数字 0~9 组成下面的加法算式,每个数字只许用一次。现已写出 3 个数字,请把这个算式补充完整。

□ + □ 2

□ 4 8 □ □

□ □

例5. 在下面算式的□内各填入一个合适的数字,使算式成立。



0 0 □ □ 9

- 5 0

1 □ 3 9

练习与思考 1.在□里填数使算式成立。

□ +

8 □

□ 6 □ 3

□ □ 1 2 8
2.在下面算式的空格内填上适当的数字,使算式成立。 (1) (2)



1

1



4



+ □ 9 □ □ 8 1 □

- □ □ 6 6 5 8

3.在□内填上数字 1~9,使算式成立,不能重复。 □÷□×□=□□ □+□-□=□ 4.将数字 0~9 填到○内,组成等式,每个数字只能用一次。 ○+○=○ ○-○=○ ○×○=○○ (1) (2) (3)

5.将数字 1~8 分别填在下面两图的空框里,使图中 4 个相关联的算式都成 立。

+ +

= ︱

‖ - =



÷ ︱

= ×

6. 下面算式中, 每个方框代表一个数字, ‖ 个算式中所有方框中的数字总和是多少? (1) + =



问每

□ + 1





□ □

(2)

□ □ 4 9

+ □ □ □ 1 9 9 3

第 12 讲

算式谜(二) 算式谜(

美国有一位百万富翁病逝前曾立下一张遗嘱, 吩咐把他的全部财产平均分给 各位亲戚。遗嘱中除了亲戚的名单外,还列出了一个长长的除式,说的是每个人 应得的遗产数额。 不幸, 这张遗嘱被一场大炎烧得面目全非。 除式中除了一个 “7” 可以辨认外,其余只能模模糊糊地看出式中每个标*的位置曾经有过数。大侦探 梅森利用虫食算的推理方法,填上了缺少的数字。学完了算式谜的内容,说不定 我们也能填上缺少的数字呢?

*7***

* * *) * * * * * * * * ****
例题与方法 例 1.

***

*** 少年儿童的心灵美 **** × 美 *** 少少少少少少少少 **** 例 2.下面的算式里,相同的汉字代表同一数字,不同的汉字代表不同的数
字。如果以下的 3 个等式成立: 迎迎×春春=杯迎迎杯 数数×学学=数赛赛数 春春×春春=迎迎赛赛 那么,迎+春+杯+数+学+赛的和是多少? 例 3.在右面算式的□内,填上适当的数字,使算式成立。

**** 0

□ 2 □ □ × □ 6

□ □ □ 4 □ □ 5 3 □ □ □ □ □
例 4.在下图中的□内各填入一个合适的数字,使算式成立。

□ □
例 5.填出右面除法算式中用字母表示的数字(不同的字母表示不同的数 □□2 )□ 0 □ □ 字) 。

D I 4 □ 4 B E F )B 1 □ 9 C 1 3 □ A □ B □ B 0 B C E G

G E H A G H A G 0

练习与思考 1.在下面算式的□中填入适当的数,使算式成立。 (1)

2 ×

8 □

5 □

(2)

5 9

□ □) □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ 6
(4)

1 □ 2 □ □ □ □ □ 9 □ □
(3)

5

7 0

□ □ □ □ × 6

□ □ 8 × □

□ 4 □ 4

3 1 □ 2

2.右面算式中相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字, 问 A 和 E 各代表什么数字?

ABCDE × A

EEEEEE
3.下面算式中同一个汉字代表相同的数,不同的汉字代表不同的数。问每 个汉字各代表什么? 优优优优优优÷学=学习再学习 4.如果 A、B 满足下面的算式,则 A+B 等于什么?

A B × B A 1 1 4 3 0 4 3 1 5 4

5.在□里填数,使算式成立。

2 □ □ □ 4 □ )□ □ □ □ □ □ □ 4 □ □ □ □ □ □ 4 4 □ □ □ □ □ 0
6.补全*处的数。

* * 7 * *) 8 * * * * * * 3

火柴棒游戏( 第 13 讲 火柴棒游戏(一) 小朋友,火柴棒是我们家家都有的生活用品,用火柴棒做游戏简便易学。 用火柴棒可以摆成一列数字和运算符号:

你们喜欢这样的游戏吗?在这一讲里, 我们要用火柴棒去探索变化无穷的数 字世界,在有趣的游戏中,变得更聪明。 例题与方法 例1. 右面是用火柴棒摆成的算式,但这个算式是不成立的。只要移动 1 根火柴棒,算式就成立了。你会移动吗?

例2. 用 4 根火柴棒可能分别表示一些加减运算符号, 然后把这 4 根火柴棒 放到数字 1 至 9 中间去,使最终的运算结果等于 100。

例3. 请你下面算芽再加上一根火柴棒,使它成立。

例4. 右面方格里的数字, 都是用火柴棒组成的。 请你移动其中的 1 根火柴, 使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。

练习与思考 1.移动 1 根火柴,使下面各题的等式成立。

2.移动两根火柴棒,使下面各等式成立。

第 14 讲

火柴棒游戏( 火柴棒游戏(二)

用火柴棒可以组成一些算式,用长短一样的火柴棒也可以摆成各种图形。如 果拿掉或是移动火柴,变成其他图形,非常有趣。你可以试一试。 例1. 用 6 根火柴,照右图摆成 1 个三角形。 要把这个三角形变成六角形,只准移动 4 根火柴,应该怎样移动?

例2. 请你只移动 3 根火柴把 3 个三角形变成 5 个三角形。

例3. 用 24 根火柴棒组成右边的图形。拿掉几根火柴棒可变成新的图形。

例4. 右图是由 4 个小正方形组成的正方形。现在要移动 3 根火柴,使它变 成 3 个相等的正方形,应该怎样移动?

练习与思考 1.有 3 个正方形都是由 8 根火柴组成。现在只有把这 3 个正方形的位置变 成一下,就可以多出 4 个小正方形。应该如何移动?

2.用 9 根火柴,怎样摆放,才能摆出 6 个正方形来?

3.下面是用 18 根火柴组成的 6 个同样的正方形。

4.上图是由 15 根火柴组成的图形。请你移动 2 根火柴,使它变成 5 个同样 的正方形。

5.下面是用 12 根火柴组成的图形。请你移动其中的 3 根火柴,使它变成 3 个正方形。

6.上图是用 11 根火柴组成的房子图,移动其中的 4 根火柴,使它变成 15 个大小不等的正方形。

7.右图是用 16 根火柴组成的 4 个正方形, 现在要用 15 根、14 根、13 根火柴各组 成 4 个同样大小的正方形,应该怎样摆?

8.用 12 根火柴组成 6 个正三角形,请按下列要求移动: (1)移动 2 根,变成 5 个正三角形。 (2)再移动 2,变成 4 个正三角形。 (3)再移动 2,变成 3 个正三角形。 (4)再移动 2,变成 2 个正三角形。

第 15 讲

从数量的变化中找规律

有一些几何图形,通过折叠、均分可以变成比较复杂的一系列图形。要学会 通过动手操作、计算、观察,归纳出每个图形数量之间的一般关系,并运用 这种规律解决问题。 例1 把一张纸对折,再对折,然后在折叠着的角上剪一刀,就在纸的中 间剪出了一个洞(见下图) 。 例2 将一张长方形纸对折,再对折,再对折……旭盯对折 8 次,有多少 个小长方形?有多少条折痕? 例3 一个大正方形用“十”字形连续均分,所得的小正主形越来越多。 问第 18 次均分后所得的正方形有多少个?第 1000 次均分后呢(不 包括原大正方形。 ) 例4 将圆周 3 等分, 在各点上分别写上 1, 3, 2, 然后再将各部分 2 等分, 在该点旁写上相邻数之和。这样,一直到圆周分成 96 等分时,最大 数是几?所有数的和是多少? 练习与思考 1.将一样大小的长方形像下图那样重叠粘在一起。

(1) 当 3 张纸连在一起时,重叠处一共有多少个? (2) 当 10 张纸连在一起时,重叠处一共有多少具? (3) 如果每张纸的长是 5 厘米,这样的 3 张纸连接起来(重叠处长都是 1 厘米)的长度是多少厘米? 2.将一些画好的图画像下面这样钉在墙上(重叠处只钉 2 个图钉) 。如果有 30 张这样的图画钉在墙上,至少要多少个图钉? 3.把画好的图画钉在墙上。 (1) 如果把 14 张图画照下面这样钉成两排,一共要多少个图钉? (2) 如果把 40 张画钉成两排,共需多少个图钉? (3) 如果把 40 张画,每排钉 8 张,共需要多少个图钉? 4.把一张纸对折,再摊开来看看,这样连续折几次,并写出每次折成的一 小块是整张纸的几分之几? 如果像这样连续对折 10 次,折成的一小块是整张纸的几分之几? 第 16 讲 数阵中的规律

不少同学早就对“幻方”有所了解了。幻方之所以会引起人们的兴趣,不仅 因为幻方中的数排列得很整齐(都排成正方形) ,更是因为幻方中的数排列得很 有规律,而这些规律往往很奇妙。 自然数排列成其他形式的数阵也很整齐有序,也充满着规律。在这一讲,我 们将会大开眼界。 例题与方法 例1. 自然数 1,2,3,4,…排成了下面的数阵: 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 …… (1)这个数阵中的第 15 行左起第 3 个数是 (2)48 排在这个数列第 行左起第 。 个。 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 3 5 7 9 11 4 6 8 10 12

例 2.在下面的数阵中,第 10 行左起第 3 个数是 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 … 1 2 4 7 8 5 9 3 6



10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 … … … … … …



例 3.自然数如下表的规律排列:
1 2 5 6 10 11 12 17 18 19 20 21 … … … … …

4 — 3

9 — 8 — 7

16 — 15 — 14 — 13 25— 24 —23 —22 —

(1) 求上起第 10 行,左起第 7 个数。 (2) 数 87 应排在上起第几行,左起第几列? 例 4.下面的数阵中共有 100 个数,你能用几种方法把这 100 个数相加的结 果算出来? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 练习与思考 1.在空的○内填上适当的数。 2.观察下列各数组成的“三角阵” ,它的第 7 行右起第 1 个数是 15 行左起第 7 个数是 。 2 6 1 3 7 4 ,第 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12 10 11 12 13 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
… … … … … … … … … …

8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … … …

5

3.将自然数按下表的顺序排列。 (1)最下面一横排从左到右第 10 个数是 (2)a= 16 11 7 4 2 1 17 12 8 5 3 18 13 9 6 14 10 15 a 。 …… …… …… …… …… …… 。

4.一串数按下面方式排列。 1 2 4 7 11 … 3 5 8 12 … … 6 9 13 … … … 10 14 … … … … 15 … … … … … (1)第 1 行第 8 个数是 。 … … … … … … (2)200 位于这数表中第 行左起第 5.自然数按下面的规律排列着: 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 24 23 22 21 25 26 27 28 … … … … … (1)第 10 行第 1 个数是 。 (2)100 在第 行左起第 个位置。

个数。

6.将 1~1001 各数排成如下的长方阵: 1 8 15 22 29 … 2 9 16 23 30 … 3 10 17 24 31 … 4 11 18 25 32 … 5 12 19 26 33 … 6 13 20 27 34 … 7 14 21 28 35 …

用一个长方形任意框出 6 个数,要使这 6 个数的和为 1995。这 6 个数分别 是 。

第 17 讲

时间与日期

我们已经学过阴关时间的基本知识,如时、分、秒,年、月、日,对星期、 季度、世纪、闰年等也比较熟悉。日常生活中,我们几乎每天都在和钟表、日历 (挂历、台历)等打交道。有了这些关于时间、日期的知识,有了认识、计算和 掌握时间的经验,我闪分析、解决时间问题也就比较容易了。 例1. 从 1999 年 8 月 16 日到 2000 年 3 月 8 日共经过多少天? 例2. 昨天是 9 日,今天是(星期三) ,再过 1 个星期、2 个星期、3 个星 期……都是星期三。从 10 日再过 19 天就是 29 日电报局以,要看 19 天中有几个 7 天,还余几天。 例3. 小嘉 16 号下午买回来一盆花。她从晚上 7 点开始第 1 次浇花,然后 每隔 12 小时浇一次。小嘉第 8 次浇花是在几号几点? 例4. 小李今年(1999 年)已经 20 多岁了,可是他 1996 年才过第 6 个真 正的生日。小李出生在几月几日,今年几岁(小李刚出生的那天算 做过第 1 个生日)? 例5. 某年的 6 月份有 4 个星期三, 个星期二, 5 这年的 6 月 1 日是星期几? 例6. 张教授实验室里的挂钟逢整个噗报时,几点就敲响几下。今天上午, 他开始做实验时,挂钟报时。他做完实验时,恰好挂钟又报时。从 实验开始到结束, 挂钟睛共敲响 33 下。 张教授的实验做了 时。 练习与思考 1.从 3 月 25 日到 7 月 7 日共经过 天。 小

2.一个月中最少有

个星期日,最多有

个星期日。 。 点

3.某年的元旦是星期五,这年国庆节是星期

4. 一台机器从上午 7: 开始工作, 30 连续工作了 430 分停机, 这台机器是 分停机的。

5.一页挂历被墨水弄污了(如右图) ,有些日期看不见,这个月 18 日是星 期 。

6.挂钟报时的规律是:每逢整点,几点就响几下;每逢半点(如 6 点半、7 点半、 点半) 就敲一下。 12 , 从上午 9 点到晚上 9 点, 挂钟报时一共响了 下。

7.王叔叔上班时从钟楼经过,刚好听见报时,钟响 6 下(6 点) 。从第 1 响 到第 6 响, ,间隔 30 秒。中午下班时,王叔叔碰巧又赶上钟楼报时,从第 1 响到 最后 1 响,恰好经过 1 分钟。王叔叔下班路过钟楼是 点。

8.小米生病了,医生让他每隔 6 小时吃一粒药。17 日中午 12 点,小米已 经吃第 12 粒药了。 小米是 日 点吃的第 1 粒药 (吃药所用的时间忽略不计) 。 。

9. 某年的 9 月份有 4 个星期一, 个星期二。 5 这一年 10 月 1 日是星期

10.小刚每天早晨起床后就把昨天的日历撕掉。一天下午他们全家一起从南 京到上海外婆家去,过了 3 天回到家。小刚一边连撕掉 3 张日历,这 3 张日历上 3 个日期加起来恰好是 60。小刚 号去上海的。 第 18 讲 推理

在日常生活中我们常碰到到这样的情况:看到一个人的面孔,可以推断出这 个人的大概年龄;甲比乙长得高,乙比丙长得高,我们可以推断甲一定比丙长得 高。像这样根据一些已经知道的事实,推断出某些结果,就是推理。 例题与方法

例 1.王菲、李娜、刘蓉都穿着新的连衣裙去参加游园会。她们穿的裙子一 个是花的,一个是白的,一个是蓝的。只知道刘蓉没有穿蓝裙子,王菲既不穿蓝 裙子,也不穿花裙子。请你开动脑筋,回答: 穿白裙子的名叫 穿蓝裙子的名叫 穿花裙子的名叫 。 。 。

例 2.飞飞有 4 个同样的用纸片做成的骰子,骰子的每一面都印有不同的图 案。把其中一个骰子拆开,就成了图 1 这样子。请你猜猜①、②、③、④、⑤这 几个面上的图案各是什么,并在图下画出来 。

1

2 3

5

4

例 3.有甲、乙、丙、丁 4 个同住在一座 4 层的楼房里,他们之中有工程师、 工人、教师和医生。如果已知: ① 甲比乙住的楼层高,比丙住的楼层低,丁住第 4 层。 ② 医生住在教师的楼上,在工人楼下,工程师住最低层。 试问:甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层?各自的职业是什么? 例 4.对某班同学进行了调查,知道如下情况: ① 有哥哥的人没有姐姐。 ② 没有哥哥的人有弟弟。 ③ 有弟弟的人有妹妹。 试问: ① 有姐姐的人没有哥哥,对吗? ② 有弟弟的人没有哥哥,对吗? ③ 没有哥哥的人有妹妹,对吗? 例 5.有 3 顶红帽子、2 顶白帽子,现将其中的 3 顶给排成 1 列的 3 人每人

戴一顶,每人都只能看到自己前面的人的帽子,而看不见自己的自己后面人的 帽子,同时 3 人也都不知道剩下的 2 顶帽子的颜色(但都知道他们 3 人的帽子 是从 3 顶红帽子、2 顶白帽子中取出的) 。 练习与思考 1.爸爸买回来 3 个皮球,其中 2 个是红色的,1 个是黄色的。哥哥和妹妹 都抢着要。爸爸让他们俩背对背地坐好。爸爸给哥哥的手里塞了 1 个红 球,给妹妹的手里塞了 1 个黄球,把剩下的 1 个球藏在自己的手中,然 后让他们猜爸爸手里的球是什么颜色。 谁猜对了, 就把球给谁。 你们说, 谁会得到这个球? 2.有红、白、蓝、黄、黑 5 个盒子,其中红盒比白盒大;蓝盒比黄盒大比 黑盒小;黄盒比白盒大;黑盒比红盒小。试问哪个盒子最大,哪能个盒 子最小? 3.有两个自然数的积是 40,证明它们的的不会大于 41。 4.某班学生,如果:①有红色铅笔的人,没有绿色铅笔;②没有红色铅笔 的人,有蓝色铅笔。那么“有绿色铅笔的人,就是蓝色铅笔” ,对吗? 5.甲、乙、丙、丁 4 人一同赛跑,共跑了 4 次,其中甲比乙快的有 3 次; 乙比丙快的有 3 次;丙比丁快的有 3 次。甲一定有 3 次比丁跑得快?丁 是否可能有 3 次跑得比甲快? 6.狐狸、灰兔、小熊、小猪和松鼠参加了跳绳比赛。小猪比狐狸少跳了 3 下, 小熊和小猪跳得同样多, 灰兔比狐狸多跳了 3 下, 比松鼠少跳 3 下。 请你想想, 这次跳绳比赛得第 1 的是谁?得第 2 的是谁?得第 3 和是谁? 7.一个院子里住了 4 户人家,房号分别是:1 号,2 号,3 号,4 号。4 家 的主人是:张三,李四,王五,赵六。现在 1 号关着门,烟囱冒着烟; 2 号开着门,门口放着一辆自行车;3 号锁着门;4 号掩着门。已知张三 到李四家下棋去了;王五正在家做饭;赵六刚下班。请你判断一下:1~ 4 号各住着谁? 8.警察拦住一辆摩托车,问骑车人: “坐在后面的是谁?”骑车人回答说: “是我的儿子。 ”警察又问后面坐车人: “骑车人是你的爸爸吗?”坐车 人回答说: “不是。 ”那么骑车人和坐车人究竟是什么关系?

9.运动会上,1 号、2 号、3 号、4 号运动员限得了 800 为赛跑的前 4 名, 小记者来采访他们各自的名次。1 号说: 号在我前面冲过了终点。 “3 ” 他旁边得第 3 名运动员说: 号不是第 4 名。 “1 ”小裁判员说: “他们的号 码与他们的名次都不相同。 ” 请你动脑筋想一想,他们分别得了第几名? 10.甲说: “我 10 岁,比乙小 2 岁,比丙大 1 岁。 ” 乙说: “我不是年龄最小的,丙和我差 3 岁,丙是 13 岁。 ” 丙说: “我比甲年龄小,甲 11 岁,乙比甲大 3 岁。 ” 以上每人所说的 3 句话中都有一句是错误的。请确定甲、乙、丙 3 人 的年龄。 能力测试( 能力测试(二) 一、 在下列各式中合适地地方, 添上合适的运算符号+、 ×、 ( -、 ÷或 使等式成立。 1.3 2.3 3.6 4.9 5.7 3 3 6 9 7 3 3 6 9 7 3 3 6 9 7 3=6 3=7 6=19 9=21 7=20 ) ,

二、在下列各式中的合适地方只添+或-,使算式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1=22

三、移动一根或两根火柴,使算式成立。

四、在□里填上合适的数。 5 + □ □ 0 □ 7 1 □ - 6 3 □ 8 7 □ 0

□ 8 □ 7 + □ 2 □ □ □ 1 8 五、1.已知□+□+△+△=24 □+△+△=14 那么□=( ) △=(

□ 4 □ 4 - □ 25 7 7 7 □



2.已知□+□+△+○=16 □+△+△+○=13 □+△+○+○=11 那么□=( ) △=( ) ○=( )

六、右面算式中,相同汉字代表相同数字,不同汉字代表不同数字。 数=( 好=( ) ) 学=( 爱=( ) ) 学 × 数 1 6 数 + 好 好 爱 数 学 数

七、解答题。

1.从 1998 年 9 月 25 日到 1999 年 7 月 13 日共经过多少天? 2.某年的“六一”儿童节是星期一,这年的国庆节是星期几? 3.观察下图所示的数表,并找出它的排列规律,请你写出第 15 行的第 1 个数。 1 2 4 5 7 9 10 12 14 16 17 19 21 23 25 … … … … … … 4.下图是自然数列排成的数阵,按照这样的排列规律,1993 在哪一列? A 6 7 12 13 18 19 17 … 11 14 16 … B 1 C 5 8 10 15 D 2 E 4 9 F 3

5.3 户人家每家有一个孩子,分别是小惠(女) ,小红(女) ,小虎(男) , 孩子的爸爸是老王、老张和老陈,妈妈是刘英、李玲和方丽。 (1)老王和李玲的孩子都参加了女子体操队。 (2)老张的女儿不是小红。 (3)老陈和方丽不是一家人。 这 3 户人家的爸爸、妈妈和孩子各是谁?请你写出来 。 第 19 讲 循环

在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖: 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。 在数学中,也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时,我们不仅要判 断其不断重复出现的规律, 也就是找出循环的固定数, 而更重要的是看它的余数。 如 1999 年元旦是星期五,2000 年元旦是星期几?因为 1999 年是平年,有 365 天,365÷7=52……1,所以 2000 年的元旦是星期六。这就是根据 365 除以 7 所 得的余数来判定的。下面就向大家介绍这方面的知识。 例题与方法 例 1.流水线上给小木球涂上色的次序是:先 5 个红,再 4 个黄,再 3 个绿, 再 2 个黑,再 1 个白,然后又依次是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白……如此继续 涂下去,到第 1999 个小球该涂什么颜色? 例2. 有一列数:7,0,2,5,3,7,0,2,5,3,… (1)第 81 个数是多少?(2)这 81 个数相加的和是多少? 例 3.假设所有自然数排列起来如下图所示,43 排在哪个字母下面?248 应 排在哪能个字母下面? A 1 5 9 … B 2 6 10 … C 3 7 11 … D 4 8 12 …

例 4.如右图,8 个队员围成一圈做传球游戏,从①号开始,按照箭头方向

1 8 7 2 3

向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到 96 时,球在几号队 员手上?

例 5.1999 个学生按下列方法编号排成 5 列: 一 1 9 17 … 二 2 8 10 16 … … 三 四 3 4 7 6 11 12 15 14 … … … … 五 5 12 …

最后一个学生应站在第几列? 练习与思考 1.老师有 1~53 号卡片依次发给赵红、李军、五王林、张立 4 个人。第 38 号卡片应发给谁? 2.李华把平时积存的硬币按先 3 个壹角币、再 2 个伍角币、最后 1 个壹元 币的顺序排列,说出李华摆出的第 46 个硬币面值是多少? 3.为庆祝国庆节,市少年宫内插了很多彩旗。彩旗是按 4 面黄旗、3 面红 旗、2 面绿旗、1 面蓝旗的顺序排列的。第 109 面旗应是什么颜色?已插 了几面黄旗、几面红旗、几面绿旗、几面蓝旗? 4.把自然数按下图的顺序排列,请问“39”排在哪个字母下面? A 1 5 9 … B 2 6 10 … C 3 7 11 … D 4 8 12 …

5.我爱小学生数学报我爱小学生数学报……依次排列,第 999 个汉字是什 么? 6.2000 年 1 月 1 日是星期六,那么 20006 年 6 月 1 日是星期几?

7.按下面的方法摆 60 个三角形,有多少个白色的? △ △▲▲△▲△△▲▲△▲△△……

8.按右图所示的顺序数手指头。 当数到 2000 时, 就数 到哪个手指头?

10 11 12 13 7 6 8 9 3 4 1 2 5

第 20 讲

最大和最小

六月一日, “小天使”儿童餐店迎来了 28 位前来就餐的小朋友。快餐店的老 板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。 谁的年龄最小呢? 当每个小朋友报出自己的年龄后,老板发现,其中有 10 岁的,也有 9 岁的、 8 岁、7 岁、6 岁的,最小的是 5 岁。但是 5 岁的小朋友有 4 位。按照这 4 位小 朋友生日的先后,还能找到一个最小的,因此老板要他们各自报出自己的生日。 结果如下: 小雨 豆豆 苗苗 阿慧 2月8日 5月2日 8 月 16 日 12 月 9 日

把这 4 位小客人的生日一比,很容易知道,阿慧是 28 位小朋友当中最小的。 阿慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了 28 份,让大家和她一起

品尝。 也许有的同学会问: “如果这 4 个小朋友中有两个生日是同一天,哪该怎么 办呢?” 办法还是有的——继续比呀!看他们两个小朋友谁生得早些,谁生得迟些。 礻好比我们要比较两个三位数的大小,先看百位上的数,百位数大的就大;百位 数相同就看十位数,十位数大的就大。如果百位数、十位数都相同,就看个们数 的大小了。 当然, “最大的”或“最小的”并不都能通过比较得出。下面的“例题与方 法”将会教给你这方面的知识。 例题与方法 例1. 用 1,4,7,9 这 4 个数字组成一个最大的四位数。 例2. 从十位数 7677782980 中划去 5 个数字,使剩下的 5 个数字(先后顺 序不改变)组成的五位数最小。这个最小的五位数是多少? 例3. 某公共汽车从起点站开往终点,中途共有 9 个停车站。如果这辆公 共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,从这一 站到以后的每一站正好有一位乘客下车。为了使每位乘都有座位, 那么这辆公共汽车至少有座位多少个? 例4. 钱袋中有 1 分、2 分和 5 分 3 种硬币。甲从袋中取出 3 枚,乙从袋中 取出 2 枚,取出的 5 枚硬币仅有 2 种面值,并且甲取出的 3 枚硬币 面值的和比乙取出的 2 枚硬币面值的和少 3 分,那么取出的钱数的 总和最多是多少分? 例5. 一把钥匙只能开一把锁,现在有 4 把钥匙 4 把锁,但不知道哪把钥 匙开哪把锁,最多要试几次就能配好全部的钥匙和锁? 例6. 把 1,2,3,4,5,6,7,8 填入下面算式中,使得数最大。 例7. 将 5,6,7,8,9,0 这六个数字填入下面算式中,使乘积最大。 □□□×□□□ 例 8.有两个整数 A 和 B,它们的和是 8,当 A= ×B 最大。 练习与思考 ,B= 时,A

1.最大的四位数

,比最小的三位数小 26 的数是

。 ,

2.156-2A﹤75,A 最小是 最小是

;□□□□-□□□=B,那么 B 最大是 。 ,最小的是 ,乙数= 。

;□□□÷43=□……C,C 最大是

3.用 1,3,5,8 组成的四位数中,最大的是 4.甲、乙两面三刀数的和是 12,当甲数= 的乘积最大,这个最大的乘积是 。

时,它们

5.在一次环保知识抢答比赛中,有 3 分题、5 分题材、8 分题 3 种,王小燕 同学在 1 分钟内得了 29 分,她最多答对 题,最少答对 题。

6.把 27 枚硬币放在 6 个盒子里,其中每个盒子至少放 2 枚。假设已经有 5 只盒子里都放过硬币了。剩下的那只盒子至少放 枚,至多放 枚。

7.现有 10 对钥匙和锁混放在一起,不知道哪把钥匙配哪把锁。至多要试开 次,可把它们全部配成对。 8.在多位数 464748495051 中划去 6 个数字,使剩下的数字(先后顺序不改 变)组成的六位数最大。这个最大的六位数是 。

9.有 9 颗钢珠,其中 8 颗一样重,另一颗比这颗略轻。用一架天平最多称 次,可以找到那颗较轻的钢珠。 第 21 讲 最短路线

在日常生活中、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。比如:邮递员送 信,要穿遍所有的街道,为了少走冤枉路,需要选择一条最短的路线;旅行者希 望寻求最佳旅行路线,以求能够最近和路而达到目的地,等等。这样的问题,就 是所谓“最短路线问题” 。 例题与方法 例1. 假如直线 AB 是一条公路,公路两侧有甲、乙两个村子(图 1) 。现在 要在公路上修建一个公共汽车站, 让这两个村子的人到汽车站的路线 之和最短。问“车站应该建在什么地方?

例2. 一个邮递员投送信件的街道如图 3 所示, 图上数字表示各段街道的千 米数。他从邮局出发,要走遍各街道,最后回到邮局。问下次什么样 的路线最合理?全程要走多少千米?
1 2 4 2 1

3

例3. 图 5 中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。 小明上 学走路的方向都是向东或向南, 因为他不想偏离学校的方向而走冤枉 路。那么小明从家到学校可以有我少条不同的路线?
小明家 △ ↑北

例4. 如图 8,从甲地到乙地最近的道路有几条?


□ 学校



例5. 某城市的街道非常整齐,如图 10 所示。从本南角 A 处到东北角 B 处 要求走最近的路,并且不能通过十字路口 C(正在修路) ,共有多少 种不同的走法?

C

B→

→A 练习与思考 1.图 13 是一个街区街道的平面图。邮递员从邮局出发,跑遍所有街道投送 信件。请你为他安排一条最短的路线,并按图中标出的千米数算出这条 路线的长度(单位:千米) 。
2 1 2

2 △ 邮局

2 1 1

3

2.图 14 是一个街道平面图。王宏要从 A 处到 B 处,在不走回头路,不走重 复路的条件下,可以有多少种不同的路线?请你用交叉点上标数的方法 计算一下。
A

B

3.从学校到少年宫有 4 条东西向的马路和 3 条南北向的马路相通。 如图 15, 李楠从学校出发,步行到少年宫(只放向东或向南行进) ,最多有多少种 不同的行走路线?
学校 C D H E N 少年宫 A -F G B M 北 ↑

4.如图 16,从 P 到 Q 共有多少咱不同的最短路线?
P

Q

5.如图 17 所示,某城市的街道图,若从 AZ 走到 B(只能由北向南、由西 向东) ,则共有多少种不同的走法?
A

6.如图 18 所示,从甲地到乙地,最近的道路有几条?
乙 B



7.图 19 为某城市的街道示意图,C 处正在挖下水道,不能通车,众 A 到 B
B 处的最短路线共有多少条?

C

A

8.如图 20 所示是一个街道的平面图, 在不走回头路、 不走重复路和条件下, 可以有多少种不同的走法?
A

B

第 22 讲

图形的分与合

把一个几何图形按照某种要求分成几个图形,就叫做图形的分割。反过来, 按照一定的要求也可以把几企图产形拼成一个完整的图形,就叫做图形的拼合。 在日常生活和生产实际中,经常会碰到一些图形分割或拼合问题。当你感到分割 或拼合图形有困难时,请记住:最好的方法是动手画一画、剪一剪、拼一拼。 例题与方法 例1. 把一个正方形分成形状、大小相等的 4 份,该怎样分呢? 例2. 如右图,把一块地分给 4 个小组种植,形状大小要相同(每一块有相 同的点数) ,怎样分?

例3. 下面是一副拼板,用这副拼板能拼成一个正方形吗?怎样拼?











例4. 从上面 6 块图形中选用几块拼成下面的图形, 你能说出它们分别选用 了哪几块吗?请你用虚线表示出拼的方法,并标上所选图形的编号。 例5. 你能把一个等边三角形分成大小、形状都相同的 3 个、4 个、6 个、8

个、9 个、12 个三角形吗?请用虚线将分法表示出来。

3个

4个

6个

练习与思考

8个

9个

12 个

1.请把下面的图形分成 7 专用长方形,使每块长方形中含有相连的 2 个小 方格。

2.你能把上面的正方形分成形状、大小相同的 4 块吗?你能想出多少中不 同的分法?

3.你能把右图的图形分成面积和形状都相同的 5 块吗? (1) 共有多少个小正方形?分成面积 相等的 5 块,每块有多少个小正方形?

(2) 要求形状相同,该怎样分?在图 上将分法画出来。

4.下图中左边的 5 块图形各有 5 个小正方形。请你用左现的 5 块图形拼成 一个大正方形,并表示出每块图形的位置。

① ②

→ ③





5.你能将上面的图形剪成三块,拼成正方形吗?请画出剪和拼的方法。

6.右图是由三个同样大小的正方形组成的“凸”字形,里面写着“数学乐



园”4 个字,请你把这个图形分为形状大小相同的 4 块,并且每块图形 中都有一个字。

第 23 讲

格点与面积

在一张方格图中,每个方格都是一个小正方形,并且大小都相等,我们称为 一个面积单位。例如:右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图,我们可以很快的比较或计算图形面积大小。 例题与方法 例1. 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形 和三角形。它们的面积分别是多少?

例2. 求下图中各图形的面积。

例3. 求下左图中图形的面积。

例4. 求右图中图形的面积。

练习与思考 1.求下图中各图形的面积。

2.求下图中各图形的面积。

3.求下图中各图形和面积。

4.求下图中各图形的面积

第 24 讲

一笔画

小朋友们,你们能将下面的图形一笔画出吗? 如果用笔在纸上连续不断又不重复,一笔画成某种图形,这种图形就叫一笔 画。那么是不是所有的图形都能画成呢?下面我们就来一起总结一笔画的规律。 例题与方法 例1. 下面这些图,哪个能一笔画?哪个不能一笔画?

(1)

(2)

(3)

(4)

例2. 下面各图能否一笔画成?
A D

(1)

B

(2)

C

(3)

例3. 下面和图形,哪些能一笔画?哪些不能一笔画?

例4. 下页图(1) ,至少要画几笔才能画成?请你给出一种画法。

A O

D

B

(1)

C

例5. 小丁是一名刚刚参加工作的邮递员,他将他所要走的街道画成地图 (如下图) ,打算设计一种最好的方法,使得自己每天不重复的走遍 每一条街。小丁动脑筋想了想,很快就想出了方法。小朋友,你知道 小丁是怎么走的吗?
A(邮局) E C H

B F D

G

例6. 科学家用小白鼠做实验, 试图让它偿重复的穿过右图中每一个相邻的 房间。小白鼠由 A 出发。小朋友你能很快就看出小白鼠所应走的路线 吗?并请你绘出它走的路线。

练习与思考 1.一笔画出下列图形。

2.下列图形,至少几笔画出?

3.一只蜗牛由 A 点出发,不重复的爬过每一个小格,评估你绘出一条路线。

A

4.一只蚂蚁由 A 点出发,到达 B 点,必须不重复的经过每一条线,你能想 出好办法吗?
A

B

能力测试( 能力测试(三) 1.填空。 (1)1,3,9,27, ( ) ) ) )

(2)16,15,13,12,10,9, ( (3)30,15,45,15,60, ( (4)10,8,16,13,39,35, (

2.下图是由 3 个正方形组成的,请将这个图形分成 4 个形状、大小完全相 同的部分。

3.将上图分成大小、形状都相等的两部分。

4.先判别下面几个图形哪些能一笔画,然后把它画出来 。

5.求下面格点图中图形的面积(格点间距 1 厘米) 。

6.下面的图形是由上面哪几个图形拼成的?

(1)

(2)

(3)

7.从甲村到乙村有 4 条路,从乙村到丙村有 3 条路,从丙村到丁村有 2 条路。那么,从甲村到丁村最多有多少种不同的走法?

8.有 4 个 2 分的硬币和 3 个 5 分的硬币,取出其中的一个或若干个,一共 可组成多少种不同的币值? 9.下图是一个公园的平面图,问游客能走遍每条路又不重复吗?如果能, 入口应设在哪里?
I H G F E D A B C

10.有同样大小的红、白、黑球共 90 个。按先 5 个红球,再 4 个白球,再 3 个黑球的顺序重复排列下去,如下图所示。试问: ○○○○●●● ○○○○

(1)第 28 个球,第 70 个球分别是什么颜色? (2)排在最后的一个球是什么颜色? (3)共有红球、白球、黑球各多少个? 第 25 讲 移多补少与求平均数

在日常生活中, 我们经常遇到这样的情况: 有几个杯子, 里面的水有多有少。 要想使杯中的水一样多,就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复 几次,直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”—— 也就是求平均数问题。 例题与方法 例1. 小明在一学期的 5 次数学测验中的得分分别是 95, 87, 92, 100, 96。 求小明平均每次数学测验的得分。 例2. 甲地到乙地的全程是 60 千米。小红骑自行车从甲地到乙地每小时行 15 千米,从乙地到甲地每小时行 10 千米。求小红往返的平均速度。 例3. 商店用 30 千克酥糖和 20 千克水果糖混合成什么锦糖。 每千克酥糖 8 元,每千克水果糖 3 元。每千克什锦糖应卖多少元? 例4. 小英 4 次语文测验的平均成绩是 89 分,第 5 次测验得了 94 分。问 她 5 次测验的平均成绩是多少? 例5. 小明 4 次语文测验的平均成绩是 87 分,5 次语文测验的平均成绩进 88 分。第 5 次测验的成绩。 例6. 有 5 个数的平均数是 20。如果把其中的一个数改成 4,这时候 5 个 数的平均数是 18。求改动的数原来是多少? 例7. 有甲、乙、丙 3 个数,甲、乙的和是 90,甲、丙的和是 82,乙、丙 的和是 86。甲、乙、丙 3 个数的平均数是多少? 练习与思考 1.用 4 个同样的杯子装水,水面的高度分别是 6 厘米、5 厘米、9 厘米、8 厘米。这 4 个杯子里水面的平均高度是多少厘米? 2.敬老院有 18 位老奶奶,平均年龄是 75 岁。有 12 位老爷爷,平均年龄是 70 岁。这些老人的平均年龄是多少岁? 3.某学生语文、数学两科的平均成绩单是 93 分,后来英语考 91 分,自然 考 89 分。该学生这 4 门功课的平均成绩是多少分? 4.上学期王红的语文、数学、外语 3 科的平均成绩是 94 分,其中语文、数 学两科的平均成绩是 92 分。外语得多少分? 5.某次数学考试,甲、乙的成绩和是 184 分,乙和丙的成绩单和是 187 分,

丙和丁的成绩和是 188 分,甲比丁多 1 分。他们 4 人分别考了多少分? 6.有 4 个数,每次取 3 个数相加,和分别是 22,24,27 和 20。这 4 个数 分别是多少? 7.4 个队采茶叶,甲、乙、丙 3 个队平均每队采 24 千克,乙、丙、丁三个 队平均每队采 26 千克。已知丁队采 28 千克,甲队采多少千克? 8.甲、乙两个数的和是 176。如果加上丙数,这时 3 个数的平均数比甲、 乙两数平均数多 3。丙数是多少? 第 26 讲 上楼梯与植树

小明的家住在 4 楼,每上 1 层楼要 1 分钟。他从 1 楼到 4 楼要用几分钟? 如果你的答案是 4 分钟就错了,正确答案应该是 3 分钟,为什么呢? 这就是下面要讲的上楼梯与植树问题。 例题与方法 例1. 把 1 根木头锯断,要 2 分钟。把这根木头锯成 4 段,要几分钟? 例2. 某人到一座高层楼的 8 楼去办事,不巧停电,电梯停开。他从 1 楼走 到 4 楼用了 48 秒。用同样的速度走到 8 楼,还要多少长时间? 例3. 时钟 4 点钟敲 4 下, 12 秒敲完。 用 那么 6 点钟敲 6 下, 几秒钟敲完? 例4. 同学们上体育课,有 10 个男生排成一排,相邻两个男生相隔 1 米。 问这排男生排列的长度有多少米? 例5. 有一条路长 100 米。在路的一侧从头到尾每隔 10 米栽一棵树。共栽 多少棵树? 例6. 一个圆形的花坛,周长是 180 米。每隔 6 米种芍药花,每相邻两棵芍 药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花?多少棵月季花? 练习与思考 1.一根木料锯成 3 段要 6 分钟。如果每次锯的时间相同,那么锯 7 段要多 少分钟? 2.一幢楼房 17 层高,相邻两层有 17 级台阶。某人从 1 层到 17 层,要走多 少级台阶? 3.某人到高层建筑的 10 楼去办事,从 1 层到 5 层用了 100 秒。如果用同样 的速度到 10 层,还需要多少秒?

4.甲、乙两人比赛爬楼梯,甲跑到 4 层楼时,乙跑到 3 层楼。照这样的速 度,甲跑到 16 层楼时,乙跑到多少层楼? 5.一条公路长 500 米, 在路的两边每隔 20 米栽 1 棵树, 起点和终点是站牌, 不用栽树。一共栽多少棵树? 6.汽车站每隔 10 分钟开出一辆汽车,1 小时开出多少辆汽车? 7.一个圆形池塘,它的周长是 150 米,每隔 3 米栽 1 棵树。一共栽多少棵 树? 第 27 讲 简单的倍数问题

倍数问题是指已知一个数或几个数和的和(差)及相互之间的倍数关系,求 其中一个数或者几个数的问题。它包括求 1 倍数或几倍数问题、和倍差、差倍问 题等。现在我们就来学习这三类比较简单的倍数问题。 例题与方法 一、求 1 倍数或几倍数 例1. 果园有苹果 1200 棵,梨树的棵树比苹果树的 2 倍多 80 棵。梨树有多 少棵? 例2. 果园有梨树 2480 棵,梨树的棵数比苹果树的 2 倍多 80 棵。苹果树有 多少棵? 二、和倍问题 例 3.学校图书馆有科技书和文艺书共 2400 本,文艺书的本数是科技书的 4 倍。两种书各有多少本? 三、差倍问题 例 4.某养鸡专业户养的母鸡比公鸡多 246 只,养的母鸡是公鸡的 4 倍。养 的公鸡和母鸡各多少只? 练习与思考 1.园林小学二年级有学生 200 人,三年级的人数比二年级的 2 掊少 18 人。 两个年级共有学生多少人? 2.一个长方形的长是宽的 2 倍少 2 分米。已知长是 18 分米,长方形的周长 是多少? 3.甲、乙两数的和是 306,甲数是乙数的 2 倍。甲、乙两数各是多少?

4.少先队员种杨树和柳树共 248 棵,其中杨树的棵树是柳树的 3 倍。种杨 树、柳树各多少棵?种杨树比柳树多多少棵? 5.长江路小学开展兴趣小组活动,其中合唱队的人数是舞蹈队的 4 倍,合 唱队比舞蹈队多 72 人。合唱队、舞蹈队各多少人? 6.甲厂六月份生产的化肥是乙厂的 3 倍,比乙厂多生产化肥 428 吨。甲、 乙两厂六月份共生产化肥多少吨? 7.今年,爸爸的年龄是小强的 6 倍,爸爸比小强大 25 岁。今年爸爸和小强 各多少岁? 第 28 讲 年龄问题

年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如:已知两个人或若干个人的年 龄,求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题,首先要明 白:两个不同年龄的人,年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这 个特点,运用“和差”“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。 、 例题与方法 例1. 爸爸、妈妈今年的年龄和是 82 岁。5 年后,爸爸比妈妈大 6 岁。今 年爸爸、妈妈各多少岁? 例2. 小红今年 7 岁,妈妈今年 35 岁。小红几岁时,妈妈的年龄正好是小 红的 3 倍? 例3. 6 年前,母亲的年龄是儿子的 5 倍。6 年后母子年龄和是 78 岁。问: 母亲今年多少岁? 例4. 小强今年 13 岁,小军今年 9 岁。当两人的年龄和是 40 岁时。两人各 是多少岁? 例5. 甲、乙两人的年龄和正好是 100 岁。当甲发像乙现在这样大时,乙的 年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁? 练习与思考 1.明明今年 3 岁,妈妈今年 27 岁。明明几岁时,妈妈的年龄正好是明明的 5 倍? 2.强强今年 11 岁,军军今年 7 岁。当两人的年龄的是 38 岁是,两人各是 多少岁?

3.婷婷今年 12 岁,妮妮今年 15 岁。当两人的年龄和是 47 岁时,两人各是 多少岁? 4.父子两人今年的年龄和是 40 岁。儿子年龄的 5 倍比父亲的年龄大 2 岁。 父子两人 3 年后各是多少岁? 5.爷爷今年 72 岁,孙子今年 12 岁。几年后爷爷的年龄是孙子的 5 倍?几 年前爷爷的年龄是孙子是的 13 倍? 6.小勇 5 年前的年龄等于小辉 7 年后的年龄,小勇 4 年后的年龄与小辉 3 年前的年龄和是 35 岁。小勇、小辉今年各多少岁? 7.一家三口,母亲比父亲小两岁,父亲比儿子大 27 岁,5 年后全家的年龄 的是 82 岁。现在每个人的年龄分别是多少岁? 8.当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时,徒弟的年龄为 10 岁。当徒弟的 年龄与师傅今年的年龄相等时,师傅已经 37 岁。今年师傅两人各多少 岁? 第 29 讲 鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼,共有 45 个头,146 只脚。笼中鸡兔各有多少只?”这就是著 名的“鸡兔同笼问题” 。鸡免同笼问题的特点是:题目中有两个或两个以上未知 数,求出各未知数的单量。解题时,首先要根据题目中所给出的两个未知数的关 系,用一个未知数代替另一个未知数,从而将两个未知数转换成一个未知数,从 而解出答案。 例题与方法 例1. 鸡兔同笼,共有 45 个头,146 只脚,笼中鸡兔各有多少只? 例2. 一个集邮爱好者买了 10 分和 20 分的邮票共 100 张, 总值 18 元 8 角。 这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张? 例3. 学校买来 3 个排球和 2 个足球,共花去 111 元。每个足球比每个排球 贵 3 元。每个排球的每个足球各多少元? 例4. 买 2 支钢笔的价钱等于买 8 支圆珠笔的价钱。如果买 3 支钢笔的 5 支圆珠笔共花了 17 元,问两种笑每支各多少元? 练习与思考 1.一个饲养组养鸡、兔 共 80 只,共有脚 220 只。那么,饲养组养鸡和兔

各多少只? 2.鸡兔共 100 只,鸡的脚比兔的脚一共少 70 只。问鸡、兔各有多少只? 3.用 6 元钱买 2 角的邮票和 5 角的邮票共 18 张。 问这两种邮票各多少张? 4.王师傅到家具厂买了桌子和椅子共 19 件。每张桌子 35 元,每把椅子 20 元,共付款 440 元。买桌子的椅子各多少件? 5.100 个和尚吃 100 个馒头。大和尚每人吃 4 个,小和尚每 4 人吃一个。 问:大和尚与小和尚各有多少人? 6.操场上停放 39 辆车,有三轮车和自行车,两种车轮子的总和为 96 个, 。 问三轮;车和自行车各多少辆? 7.数学竞赛题共 20 道。每做对一道题得 8 分,做错一道题倒扣 4 分。小丽 得了 100 分。问:她做对了几道题? 第 30 讲 盈亏问题

“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分 6 个梨,就多出 12 个梨;每只小猴 子分 7 个梨,就少 11 个梨。有几只小猴子和多少个梨?” 这道应用题是已知两种分配的方法,一次分配有余,一次分配不足,求参加 分配的数量及被分配的总量。这样的应用题,通常叫做盈亏问题(有余时称盈, 不足时称亏) 。 解盈亏问题,常常采用比较的方法。 例题与方法 例1. 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分 6 个梨,就多出 12 个梨;每只 小猴子分 7 个梨,就少 11 个梨。用几只小猴子和多少个梨? 例2. 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分 3 个,多 16 个;如果 每人分 5 个,那么就差 4 个。有多少小朋友?有多少个苹果? 例3. 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐 65 人,则有 15 人不乘车。如果每车多坐 5 人,恰好多余了一辆车。一共有几辆 汽车?有多少学生? 例4. 小明的爷爷买回一筐梨, 分给全家人。 如果小明和小妹每人分 4 个梨, 其余每人分 2 个梨,还多出 4 个梨。如果小明 1 人分 6 个梨,其余每 人分 4 个梨,又差 12 个梨。小明家有多少人?这筐梨子有多少个?

练习与思考 1.若干个同学去划船。他们租了一些船,如果每船坐 4 人,则多 5 人。如 果每船坐 5 人,则船上有 4 个空位。有多少个同学?多少条船? 2.把一袋糖分给小朋友们。如果每人分 10 粒糖,正好分完。如果每人分 16 粒糖,就有 3 个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒? 3.少先队员去植树。如果每人各挖 5 个树坑,还有 3 个树坑没人挖。如果 其中 2 人各挖 4 个树坑,其余的人各挖 6 个树坑,就恰好挖全部的树坑。 少先队员一共挖了多少个树坑? 4.奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班 55 人的班级,还要招收 30 人。若编成每班 50 人的班级,还需招收 10 名新生。这次共招收了多少 新生? 5.用一根长绳测量进的深度。如果绳子两折时,多 5 米。如果绳子三折时, 差 4 米。求绳子长度的进深。 (提示:绳子两折多 5 米,表示绳子长度是 进深的 2 倍多 10 米。 ) 6.用一根绳子绕树三圈,余三米。如果绕树 4 圈,则差 4 米。树周长有几 米?绳长几米? 7.全班同学去划船。如果减少一条船,每条船正好坐 9 人。如果啬一条船, 每条船正好坐 6 人。全班共有多少人? 8.一个学生从家到学校上课。他先用每分钟 80 米的速度走了 3 分钟,照这 样的速度,则要迟到 3 分钟。如果改为每分钟走 110 米,结果提前 3 分 钟到达,这个学生的家离学校有多远? 9.把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分 11 元,差 8 元。若每人分 16 元, 差 8 元。求学生人数与奖金总数。 第 31 讲 还原问题

还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果, 要求原来的数的 问题,解答这一类问题时,要根据题意,从所给的结果出发,抓拄逆运算关系, 由后向前一步步逆推(倒推法、还原法) ,做相反的运算,逐步靠拢已知条件, 直到问题得到解决。在解答还原问题时,如果列综合

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