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九年级数学 二次函数.doc


九年级数学 二次函数
学习目标: 1.使学生理解二次函数的概念. 2.使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法,并了解如何根据实际问题确定自 变量的取值范围,简单的用待定系数法确定二次函数解析式 学习过程: 一、创设情境,导入新课 1.什么叫函数?它有几种表示方法? 2.什么叫一次函数?(y=kx+b)自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有 k≠0 的条件? k 值对函数性质有什么影响? 二、合作学习,探索新知 1.正方形的边长是 a,面积 s 与边长 a 之间的函数关系如何表示? 2.矩形的长是 4 厘米, 宽是 3 厘米, 如果将其长与宽都增加 x 厘米, 则面积增加 y 平方厘米, 试写出 y 与 x 的关系式. 请观察上面列出的两个式子, 它们是不是函数?为什么?如果是函数, 请你结合学习一次 函数概念的经验,给它下个定义. 归纳定义: 做一做 1、 下列函数中,哪些是二次函数? (1) y ? x
2

(2) y ? ?

1 x2
2

(3) y ? 2 x ? x ? 1
2

(4) y ? x(1 ? x)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1) y ? x ? 1
2

(2) y ? 3x ? 7 x ? 12
2

(3) y ? 2 x(1 ? x) 。

3、若函数 y ? (m 2 ? 1) x m 三、例题示范,了解规律

?m

为二次函数,则 m 的值为

例 1.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. (1)写出正方体的表面积 S(cm )与正方体棱长 a(cm)之间的函数关系; (2)写出圆的面积 y(cm )与它的周长 x(cm)之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是 1.98%,存入 10000 元本金,若不计利息,求本息和 y(元)与所存 年数 x 之间的函数关系;
用心 爱心 专心
2 2

(4)菱形的两条对角线的和为 26cm,求菱形的面积 S(cm )与一对角线长 x(cm)之间的函 数关系. 例 2.已知二次函数 y=ax +bx+c,当 x=0 时,y=0;x=1 时,y=2;x=-1 时,y=1.求 a、b、 c,并写出函数解析式.
2

2

例 3. 如图, 一张正方形纸板的边长为 2cm, 将它剪去 4 个全等的直角三角形 (图中阴影部分) 。 设 AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形 EFGH 的面积为 y(cm ),求: (1) y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围。 (2) 当 x 分别为 0.25,0.5,1.5,1.75 时,对应的四边形 EFGH 的面积,并列表表示。
2

D H

G

C

F A
四、课内练习 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1) y ? x ? 0
2

E

B

(2) y ? ( x ? 2)(x ? 2) ? ( x ? 1) (4) y ?
2

2

(3) y ? x ?
2

1 x

x 2 ? 2x ? 3

2.已知正方形的面积为 y(cm ) ,周长为 x(cm) . (1)请写出 y 与 x 的函数关系式; (2)判断 y 是否为 x 的二次函数. 五、课末检测
用心 爱心 专心

1.在长 20cm,宽 15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为 xcm 的正方形,写出余下木 板的面积 y(cm )与正方形边长 x(cm)之间的函数关系,并注明自变量的取值范围.
2

2.已知二次函数 y=4x +5x+1,求当 y=0 时的 x 的值.

2

3.已知二次函数 y=ax +bx+c 中,当 x=0 时,y=2;当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=-4,试 求 a、b、c 的值

2

4. 当 k 为何值时,函数 y ? (k ? 1) x k

2

?k

? 1 为二次函数?

27.2 二次函数的图象与性质
第一课时 二次函数 y ? ax2 的图象与性质

学习目标 会用描点法画出二次函数 y ? ax 的图象,概括出图象的特点及函数的性质.
2

教学过程 导入新课: 我们已经知道, 一次函数 y ? 2 x ? 1 , 反比例函数 y ? ,那么二次函数 y ? x 的图象是什么呢?
2

3 的图象分别是 x



(1)描点法画函数 y ? x 2 的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当 x 取互为相反数的值时,y 的值如何? (2)观察函数 y ? x 的图象,你能得出什么结论?
2

自主探索 例 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点? (1) y ? 2 x
2

(2) y ? ?2x
用心

2

爱心

专心



列表 x … … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … …

y ? 2x 2 y ? ?2x 2

例 2.已知 y ? (k ? 2) x k (1)求 k 的值;

2

? k ?4

是二次函数,且当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大.

(2)求顶点坐标和对称轴. 例 3.已知正方形周长为 Ccm,面积为 S cm2. (1)求 S 和 C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出 S=1 cm2 时,正方形的周长; (3)根据图象,求出 C 取何值时,S≥4 cm2.

当堂练习 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点 坐标.
用心 爱心 专心

(1) y ? 3x 2 2. (1)函数 y ?

(2) y ? ?3x 2 ,对称轴是 ,对称轴是

(3) y ?

1 2 x 3
; .

2 2 x 的开口 3 1 2 (2)函数 y ? ? x 的开口 4

,顶点坐标是 ,顶点坐标是

3. 已知等边三角形的边长为 2x, 请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数, 并画出图象的草图.

课末检测 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. (1) y ? ?4x 2 2.填空: (1)抛物线 y ? ?5x ,当 x=
2

(2) y ?

1 2 x 4
值,是 .

时,y 有最
2

(2)当 m=

时,抛物线 y ? (m ? 1) x m
2

?m

开口向下. ,当 x 时,y 随 x

(3)已知函数 y ? (k 2 ? k ) x k 的增大而增大. 3.已知抛物线 y ? kx k
2

?2 k ?1

是二次函数,它的图象开口

? k ?10

中,当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大.

(1)求 k 的值; (2)作出函数的图象(草图) . 4.已知抛物线 y ? ax2 经过点(1,3) ,求当 y=9 时,x 的值.

第二课时
学习目标:
2

二次函数的 y=ax2+k 图象与性质

1.理解二次函数 y=ax +k 的图象—抛物线;并会画抛物线; 2.能利用二次函数 y=ax +k 的图象说出的顶点坐标对称轴、开口方向、增减性。 重点、难点: 理解二次函数 y=ax +k 的图象和性质; 一、复习: 说出 y=ax 图象与性质。 二、操作题 1、在同一坐标系中画出下列二次函数的图象. 列表:
用心 爱心 专心
2 2 2

x

… … … …

-3

-2

1

0

1

2

3

… … … …

1 2 x 2 1 2 y= x +2 2 1 2 y= x -2 2
y=

y

0

x

三、总结:根据所画二次函数图象及分析,说出 y=ax +k 的性质: 1、二次函数 y=ax +k 的图象与二次函数 y=ax 的图象 二次函数 y=ax +k 的图象是
2 2 2 2

2

; 即直线 x= ;顶点坐标 个长度单位得到; 个长度单位得到; ;

;对称轴是
2

当 k﹥0 时,抛物线 y=ax +k 是由抛物线 y= ax 沿 当 k﹤0 时,抛物线 y=ax +k 是由抛物线 y= ax 沿 2、当 a﹥0 时,抛物线 y=ax +k 开口 而 ;当 x>0 时,y 随 x 的增大而
2 2 2 2

轴向 轴向

平移 平移

,顶点是最

点;当 x<0 时,y 随 x 的增大 值是 ;

;当 x=0 时,y 有最 ,顶点是最

3、当 a﹤0 时,抛物线 y=ax +k 开口 而 ;当 x>0 时,y 随 x 的增大而

点;当 x<0 时,y 随 x 的增大 值是 ;

;当 x=0 时,y 有最

用心

爱心

专心

显然, 二次函数 y=ax +k 的图象、性质与二次函数 y=ax 的图象、性质相似。 跟踪练习:

2

2

1 2 1 2 x +2 与 y= x -2 的图像都是 ;对称轴都是 即直线 x= 2 2 1 2 1 2 抛物线 y= x +2 是由 y= x 沿 轴向 平移 个长度单位得到; 2 2 1 2 1 2 抛物线 y= x -2 是由 y= x 沿 轴向 平移 个长度单位得到; 2 2 1 2 1 2 y= x +2 顶点坐标 ;y= x -2 顶点坐标 ; 2 2 1 2 1 2 2、抛物线 y= x +2 与 y= x -2 开口方向:开口都 ,顶点都是最 点; 2 2 1 2 1 2 3、y= x +2 与 y= x -2 增减性与最值; 2 2
1.二次函数 y= 当 x<0 时,y 随 x 的增大而 当 x=0 时,y= ;当 x>0 时,y 随 x 的增大而 值是 ;当 x=0 时,y= ; 值是 。



1 2 x +2 有最 2

1 2 x -2 有最 2

四、课末检测: 1、分别在下列坐标系中画出二次函数的图象. 列表: x y= … -2 -1 0 1 2 … … … y=x … -2 1 0 1 2 … … …

3 2 x +3 … 2 3 2 y= x -2 … 2

3 2 x +3 … 2 3 2 y=- x -2 … 2

2、二次函数 y=可由函数 大而

3 2 x +5 的图象的开口____顶点坐标 5
的图象沿 y 轴向 平移 顶点坐标 平移

;对称轴直线 x=

;其图象

个长度单位得到;当 x<0 时,y 随 x 的增 ;当 x=0 时,y 有最 值是 ; ;其图 ;对称轴直线 x=

;当 x>0 时,y 随 x 的增大而
2

3、二次函数 y=4x -5 的图象的开口 象可由函数 增大而 的图象沿 y 轴向

个长度单位得到;当 x<0 时,y 随 x 的 ;当 x=0 时,y 有最 值是 ;

;当 x>0 时,y 随 x 的增大而

用心

爱心

专心

4、将二次函数 y=-2x 的图象沿 y 轴向下平移 7 个长度单位得到二次函数 5、 将二次函数 y=象: 。

2

的图象 的图

2 2 x +3 的图象沿 y 轴向下平移 2 个长度单位得到二次函数 3

第三课时 二次函数 y ? a( x ? h) 2 的图象与性质
[学习目标]会画出 y ? a( x ? h) 2 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [导入新课]我们已经了解到,函数 y ? ax2 ? k 的图象,可以由函数 y ? ax2 的图象上下平移 所得, 那么函数 y ?

1 1 2 ( x ? 2) 2 的图象, 是否也可以由函数 y ? x 平移而得呢?画图试一试, 2 2

你能从中发现什么规律吗? [实践与探索] 例 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y?
解:

1 2 1 1 x , y ? ( x ? 2) 2 , y ? ( x ? 2) 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2 2 2
列表. x … … … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … …

y?

1 2 x 2

y?
y?

1 ( x ? 2) 2 2
1 ( x ? 2) 2 2

回顾与反思 x

对于抛物线 y ?

1 ( x ? 2) 2 ,当 x 2

时,函数值 y 随 x 的增大而减小;当 时,函数取得最 值,最 值

时,函数值 y 随 x 的增大而增大;当 x

用心

爱心

专心

y= 探索

. 抛物线 y ?

1 1 ( x ? 2) 2 和抛物线 y ? 1 ( x ? 2) 2 分别是由抛物线 y ? x 2 向左、 向右平移 2 2 2 1 1 2 2 两个单位得到的.如果要得到抛物线 y ? ( x ? 4) ,应将抛物线 y ? x 作怎样平移? 2 2
例 2.不画出图象,你能说明抛物线 y ? ?3x 2 与 y ? ?3( x ? 2) 2 之间的关系吗?

回顾与反思 纳如下:

y ? a( x ? h) 2 (a、h 是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归
开口方向 对称轴 顶点坐标

y ? a( x ? h)
当堂练习

2

a?0 a?0

1.画图填空:抛物线 y ? ( x ? 1) 2 的开口 它可以看作是由抛物线 y ? x 2 向 平移

,对称轴是 个单位得到的.

,顶点坐标是



2. 在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象.y ? ?2x 2 ,y ? ?2( x ? 3) 2 ,y ? ?2( x ? 3) 2 , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

课末检测

1.已知函数 y ? ?

1 2 1 1 x , y ? ? ( x ? 1) 2 , y ? ? ( x ? 1) 2 . 2 2 2

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象; (2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.

用心

爱心

专心

2 .根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线 y ? ?

1 2 x 得到抛物线 2

1 1 y ? ? ( x ? 1) 2 和 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 2

3.函数 y ? ?3( x ? 1) 2 ,当 x 取得最 值,最 值 y= .

时,函数值 y 随 x 的增大而减小.当 x

时,函数

4.不画出图象,请你说明抛物线 y ? 5x 2 与 y ? 5( x ? 4) 2 之间的关系.

第四课时 二次函数 y ? a( x ? h) 2 +k 的图象与性质
[学习目标]1.掌握把抛物线 y ? ax2 平移至 y ? a( x ? h) 2 +k 的规律; 2.会画出 y ? a( x ? h) +k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
2

[导入新课]由前面的知识,我们知道,函数 y ? 2 x 2 的图象,向上平移 2 个单位,可以得到函 数 y ? 2 x 2 ? 2 的图象; 函数 y ? 2 x 2 的图象, 向右平移 3 个单位, 可以得到函数 y ? 2( x ? 3) 2 的图象,那么函数 y ? 2 x 的图象,如何平移,才能得到函数 y ? 2( x ? 3) ? 2 的图象呢?
2 2

[实践与探索] 例 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y?

1 2 1 1 x , y ? ( x ? 1) 2 , y ? ( x ? 1) 2 ? 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2 2 2

它们的开口方向都向

,对称轴分别为
用心 爱心 专心





,顶点坐标

分别为 回顾与反思





.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.

二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数 y ? a( x ? h) 2 +k 中 k 的值;左右

平移,只影响 h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、 后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关. 探索 你能说出函数 y ? a( x ? h) 2 +k(a、h、k 是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴

和顶点坐标吗?试填写下表. 开口方向 对称轴 顶点坐标

y ? a( x ? h) +k
2

a?0 a?0

例 2. 把抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 向上平移 2 个单位, 再向左平移 4 个单位, 得到抛物线 y ? x 2 , 求 b、c 的值.

当堂练习 1.将抛物线 y ? 2( x ? 4) 2 ? 1 如何平移可得到抛物线 y ? 2 x 2 A.向左平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位 B.向左平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位 C.向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位 D.向右平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位 2.把抛物线 y ? ? 式为 3.抛物线 y ? 1 ? 2 x ? 个单位而得到. 课末检测 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象. ( )

3 2 x 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位,所得的抛物线的函数关系 2


1 2 1 x 可由抛物线 y ? ? x 2 向 2 2

平移

个单位,再向

平移

y ? ?3x 2 , y ? ?3( x ? 2) 2 , y ? ?3( x ? 2) 2 ? 1 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐
标.

用心

爱心

专心

2.将抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 5 先向下平移 1 个单位,再向左平移 4 个单位,求平移后的抛物 线的函数关系式.

3.将抛物线 y ? ?

1 2 3 1 x ? x ? 如何平移,可得到抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 2 2 2

课外作业 1 .把抛物 线 y ? x 2 ? bx ? c 向右平 移 3 个单位,再向下平 移 2 个单位,得到抛物 线

y ? x 2 ? 3x ? 5 ,则有
A.b =3,c=7 B.b= -9,c= -15 C.b=3,c=3 D.b= -9,c=21





2.抛物线 y ? ?3x 2 ? bx ? c 是由抛物线 y ? ?3x 2 ? bx ? 1 向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位得到的,求 b、c 的值.

第五课时 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与性质
学习目标 1. 能通过配方把二次函数 y ? ax ? bx ? c 化成 y ? a( x ? h) +k 的形式, 从而确定
2 2

开口方向、对称轴和顶点坐标;2.会利用对称性画出二次函数的图象. 导入新课 我们已经发现,二次函数 y ? 2( x ? 3) ? 1 的图象,可以由函数 y ? 2 x 的图象先
2 2



平移

个单位,再向

平移

个单位得到,因此,可以直接得出:函数 ,顶点坐标是 .那么,对于任

y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 的开口
2

,对称轴是

意一个二次函数, 如 y ? ? x ? 3x ? 2 , 你能很容易地说出它的开口方向、 对称轴和顶点坐标, 并画出图象吗?
用心 爱心 专心

实践与探索 例 1.通过配方,确定抛物线 y ? ?2x 2 ? 4x ? 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画 图.

探索

对于二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完 ,顶点坐标 .

成填空:对称轴

例 2.已知抛物线 y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 9 的顶点在坐标轴上,求 a 的值.

当堂练习 1. (1)二次函数 y ? ? x ? 2 x 的对称轴是
2

. ,当 x . 时,y 随 x 的增大而减小.

(2)二次函数 y ? 2 x ? 2 x ? 1的图象的顶点是
2

(3)抛物线 y ? ax2 ? 4x ? 6 的顶点横坐标是-2,则 a =

2.抛物线 y ? ax2 ? 2 x ? c 的顶点是 ( ,?1) ,则 a 、c 的值是多少? 课末检测 1.已知抛物线 y ?

1 3

1 2 5 x ? 3 x ? ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象. 2 2

用心

爱心

专心

2.利用配方法,把下列函数写成 y ? a( x ? h) 2 +k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标. (1) y ? ? x 2 ? 6x ? 1 (2) y ? 2x 2 ? 3x ? 4 (3) y ? ? x 2 ? nx (4) y ? x 2 ? px ? q

3.已知 y ? (k ? 2) x k

2

?2k ?6

是二次函数,且当 x ? 0 时,y 随 x 的增大而增大.

(1)求 k 的值; (2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.

课外作业 1.当 a ? 0 时,求抛物线 y ? x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a 2 的顶点所在的象限.

2 2. 已知抛物线 y ? x ? 4 x ? h 的顶点 A 在直线 y ? ?4 x ? 1 上,求抛物线的顶点坐标.

3. 求二次函数 y=mx +2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质。
用心 爱心 专心

2

第六课时

求二次函数的函数关系式
2

学习目标:已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数 y=ax 、y= 2 ax +bx+c 的关系式。 一、创设问题情境 见课本问题 2:如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型…… 引伸问:若以 A 点为原点, AB 所在直线为 x 轴, 过点 A 的 x 轴的垂直为 y 轴, 建立直角坐标系, 你能求出其函数关系式吗?能否以其他点为原点? 二、自学课本:请同学们阅读课本例 7。 三、课堂练习 课本练习第 1 题(3) 、第 2 题. 四、综合运用 例 1.如图所示,求二次函数的关系式。

练习: 一条抛物线 y=ax +bx+c 经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是 3,求这条抛物 线的解析式。
2

五、课末检测 1. 二次函数的图象的顶点在原点,且过点(2,4),求这个二次函数的关系式。 2.若二次函数的图象经过 A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,求这个二次函数的解 析式。

3.如果抛物线 y=ax +bx+c 经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3), ;求 a+b+c 的值。 4. 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示, 求这个二次 函数的关系式;
2

2

用心

爱心

专心

1 3 2 5.二次函数 y=ax +bx+c 与 x 轴的两交点的横坐标是- , ,与 x 轴交点的纵坐标是 2 2 -5,求这个二次函数的关系式。

第七课时

求二次函数的函数关系式(2)

学习目标:掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 一、情景创设 1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2.已知二次函数的图象经过 A(0,1),B(1,3),C(-1,1) 。 (1)求二次函数的关系式,(2) 画出二次函数的图象;(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

二、实践与探索

自学课本:请同学们阅读课本例 6。

例 2.已知抛物线对称轴是直线 x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式。

例 3、已知抛物线的顶点是(2,-4),它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4,求函数的关系式。

练习:已知二次函数 y=x +px+q 的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数关系式。

2

三、小结 求二次函数的关系式,常见的有几种类型?如何确定二次函数的关系式? 四、作业 1.课本习题第 4 题(1) 、 (2) ,第 5 题.

2.课外作业: 1. 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与 y 轴交点为(0,-5),求二次函 数的关系式。
用心 爱心 专心

2.函数 y=x +px+q 的最小值是 4,且当 x=2 时,y=5,求 p 和 q。 3.若抛物线 y=-x +bx+c 的最高点为(-1,-3),求 b 和 c。 4.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象经过 A(0,1),B(-1,0),C(1,0),那么此函数的关 系式是______。如果 y 随 x 的增大而减少,那么自变量 x 的变化范围是______。 5.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象过 A(0,-5),B(5,0)两点, 它的对称轴为直线 x=2,求这个二次函数的关系式。 6.如图是抛物线拱桥,已知水位在 AB 位置时,水面宽 4 6米,水位 上升 3 米就达到警戒线 CD,这时水面宽 4 3米,若洪水到来时,水位 以每小时 0.25 米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
2 2 2

2

27 . 3 实践与探索
第 1 课时 学习目标: (1)会求出二次函数 y ? ax ? bx ? c 与坐标轴的交点坐标;
2

(2)了解二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系. 实践与探索 例 画出函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,根据图象回答下列问题.

(1)图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么? (2)当 x 取何值时,y=0?这里 x 的取值与方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 有什么关系? (3)x 取什么值时,函数值 y 大于 0?x 取什么值时,函数值 y 小于 0?
2

用心

爱心

专心

跟踪练习:已知二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 ,画出此抛物线的图象,根据图象回答下列问题. (1)方程 x ? x ? 6 ? 0 的解是什么? (2)x 取什么值时,函数值大于 0?x 取什么值时,函数值小于 0?
2

当堂练习 1.已知二次函数 y ? x 2 ? 3x ? 4 的图象如图, 则方程 x ? 3x ? 4 ? 0 的解是
2 2

, , . , 与 x

不等式 x ? 3x ? 4 ? 0 的解集是 不等式 x ? 3x ? 4 ? 0 的解集是
2

2.抛物线 y ? 3x 2 ? 2x ? 5 与 y 轴的交点坐标为 轴的交点坐标为 .

27 . 3 实践与探索
第 2 课时 学习目标:研究二次函数的图象与 x 轴交点的问题。 自学思考:给出三个二次函数: ( 1 ) y ? x ? 3x ? 2 ; ( 2 ) y ? x ? x ?1 ; (3)
2 2

y ? x 2 ? 2x ? 1.它们的图象分别为

观察图象与 x 轴的交点个数,分别是 个数与什么有关吗?

个、

个、

个.你知道图象与 x 轴的交点

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另外,能否利用二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象寻找方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,不等式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 或 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解?
例 1.(1)已知抛物线 y ? 2(k ? 1) x 2 ? 4kx ? 2k ? 3 ,当 k= 交于两点. (2)已知二次函数 y ? (a ? 1) x 2 ? 2ax ? 3a ? 2 的图象的最低点在 x 轴上,则 a= . 时,抛物线与 x 轴相

( 3 )已知抛物线 y ? x 2 ? (k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于两点 A ( α , 0 ) ,B( β , 0 ) ,且

? 2 ? ? 2 ? 17 ,则 k 的值是



例 2.已知二次函数 y ? ? x 2 ? (m ? 2) x ? m ? 1, (1)试说明:不论 m 取任何实数,这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点; (2)m 为何值时,这两个交点都在原点的左侧? (3)m 为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴? 练习 1.已知方程 2 x ? 3x ? 5 ? 0 的两根是
2

5 ,-1,则二次函数 y ? 2x 2 ? 3x ? 5 与 x 轴 2

的两个交点间的距离为
2



2.函数 y ? ax ? ax ? 3x ? 1的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的值及交点坐标. 3.如果二次函数 y ? x ? 6 x ? c 的顶点在 x 轴上,求 c 的值.
2

4.不论自变量 x 取什么数,二次函数 y ? 2 x 2 ? 6 x ? m 函数值总是正值,求 m 的取值范围.

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