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高三平面向量数量积专题2


向量

, , ) b ? ( 2? , 1.若向量 a ? ( 3m

a ?b ? 0 ,则实数 m 的值为_____. 1) ,

2.向量 a,b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2, ,则 2a ? b ? _____. 3. 若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为_____.

uur uur V ABC CD ? ACB 中,点 在 上, 平方 .若 , CB ? a CA ? b , a ? 1, b ? 2 , D AB 4.
则 CD ? _____. 5.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, ?AB ? AC ???AB ? AC ?? 则

uuu r

??? ?2

??? ? ????

??? ? ????

???? ? ?AM?? _____.
6.如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? AC ? AD =_____.
7.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切 点,那么 PA ? PB 的最小值为_____. 8.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 , AB ? AC ? AB ? AC , 则 AM ? _____. 9.在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB ? AC 等于_____.

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ????

??? ? ????

???? ?

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参考答案

b ? 6 ? m ? 0 ,所以 m =6 1. a?
2.

2a ? b ? (2a ? b) 2 ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 8 ? 2 2

3.1200 4.因为 CD 平分 ?ACB ,由角平分线定理得 且 AD ?

AD CA 2 = ? ,所以 D 为 AB 的三等分点, DB CB 1

? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? 2? 1? 2 ??? AB ? (CB ? CA) ,所以 CD ? CA+AD ? CB ? CA ? a ? b . 3 3 3 3 3 3 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5.由 BC =16,得|BC|=4 ? AB ? AC ???AB ? AC ??? BC ? =4 ????
而?AB ? AC ?? ??AM?故?AM?? 2

??? ? ??? ?

???? ?

???? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AD ? | AC | ? | AD | cos ∠ DAC ? | AC | ? cos ∠ DAC ? | AC | sin∠BAC 6.
??? ? ? BC sin B ? 3
7. 如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) , ∠ APO= ? , 则∠ APB= 2? , PO= 1 ? x , sin ? ?
2

1 1 ? x2

A , O P

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 2 ( x 2 ? 1) = PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) = x2 ? 1

B

??? ? ??? ? x4 ? x2 x4 ? x2 2 4 2 ,令 PA ? PB ? y ,则 y ? 2 ,即 x ? (1 ? y) x ? y ? 0 ,由 x 是实数,所 2 x ?1 x ?1


? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

??? ? ??? ?

2 ?1 .

2 ??? ? ??? ? ?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ,0 ? x ?1 , 换 元 : x ? sin ? ? ? 2 2 2? ? 2? ? sin sin 2 2
cos 2

?

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??? ? ??? ? ?1 ? x ??1 ? 2 x ? 1 PA ? PB ? ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
【解析 3】建系:园的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,

??? ? ??? ? 2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12

AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
??? ? ??? ? 2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3
8.由 BC =16,得|BC|=4? AB ? AC ???AB ? AC ??? BC ? =4 而?AB ? AC ?? ??AM?故?AM?? 2 9.

??? ?2

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